A) a) générateur de tension de fém E et de résistance interne r + R.. On a choisi C

Transcription

1 . épnse d'un crcut - sére à un écheln de tensn : A) a) générateur de tensn de fém et de résstance nterne r + b) a l de malle dnne : r. ( q(. On a chs générateur l rentatn du cndensateur de façn à ce que ( = dq/. d en dérvant / t : r = a slutn générale de cette équatn sans secnd membre sera : λ.exp(-t/(r+)) a cnn ntale q(t = ) = fxe (t = ) = /(r+) d ù : ( = t exp r r r Ue +q U c) ue( = r.( = u ( +.( ; u( =.( Pur le tracé : u e () =./(+r) et u e ( ) = ; u () =./(+r) et u ( ) =. r Ue ' A B B) a) Pur se ramener à un crcut à une malle, n va représenter le dpôle (AB) seln Thévenn (Utlser d abrd la représentatn de Nrtn sur (,r) ) AB =./(r+ ) et AB = r. /(r+ ) b) ue ( = ue( = r.( st : r (r + )t u ( = exp (r + ) + r (r + r + ). épnse d'un crcut nductf à un écheln de curant : a) a-) I = ( + ( ; (d/d + ( =. ( mènent à d ' ' l équatn du crcut : I I a réslutn de cette équatn amène : ' I ' t ( exp ' a-) e dpôle (I, ) est un dpôle de Nrtn. Sa représentatn de Thévenn aura pur fém : I et pur résstance équvalente. On abutt alrs à un crcut à une seule malle, pur laquelle l équatn de malle s écrt : d ( ' ) ' I ; même slutn qu en a-). I ' I b) ' ( = I ( = ' t exp curant traversant ', et u ( =. ( ' ' c) Pur tracer ( et u ( : () = ; ( ) = I / (+ ) ; u() = I ; u( ) = I /(+ ). 3. égme transtre à deux phases d'un crcut - : ) crvns la l de malle quand est en pstn () : e = (r +) + q/ avec = dq/. nn ntale : q() = '

2 Slutn : q( = e ( exp(-t/ )) avec = (r +) t est tel que : q(t ) = e /. équatn e ( exp(-t / )) = e dnne t = ln. r e ) pur t > t, la l de malle (quand est en pstn ()), s écrt : - e = (r +) + q/ avec tujurs = dq/. a slutn générale est : q( = -e + A.exp(-t/ ) avec = (r + ) e r a cnn de cntnuté sur q( mpse : q(t - ) = e / = q(t + ) = -e + A.exp(-t / ) D ù A = (e / + e ). exp(+t/ ). On va dnc explcter q( sus la frme : q( = -e + (e / + e ).exp(-(t t )/ ). expsant en (t t ) peut être nterpréter cmme un changement d rgne des temps : pur t > t n aura (t t ) >, et l apparaîtra alrs une décrssance expnentelle de la charge à partr de sa valeur e / btenue à t = t. 3) t et t tel que la charge q s'annule. q(t > t ) = dnne t = t + ln(+ e /e ) 4. égme transtre pur deux cndensateurs en ppstn : dq dq a) d ù q + q = cste = q. de malle : q / - = q / + n élmnant q n va trer une équatn en q ( : dq q q. ( ) () () q q a réslutn, avec la cnn ntale q () = q dnne : t ( ). q ( q exp ù = b) W sera la dfférence entre l énerge électrque ntalement cntenue dans le cndensateur et l énerge électrque résduelle à l état fnal dans les deux cndensateurs. q ² W ( ² U ² ù U est la tensn fnale sur q et q. U = q /( + ). 5. épnse à une tensn en dent de sce : d( Ve V a l de nœud : e = + se tradut par St après mse en frme : dvs dve Vs ; ( ' ) ' a cnn ntale se tradut par V S () =. s ) Vs dv ' S Ve( ' e Vs( pur < t < T, V e ( = k.t dnc dv e/ = k. a slutn est V s ( = k(-exp(-t/)) pur t > T, V e ( = dnc dv e/ =. a slutn générale est V s ( = A.exp(-t/) et cmpte tenu de la cnn de cntnuté sur V S,

3 V S (t = T) = k (car T >>, le crcut attent quasment le régme permanent en fn de premère phase) : V s ( = k.exp(-(t-t)/) 6. épnse d'un crcut à un générateur de curant :. n ntégrant I = du/ n btent : u( = I.t /. u( quand t mpssble de cnserver ce mdèle sur une grande durée. I. Passer le dpôle (I, N ) en représentatn de Thévenn : fém I et résstance N. On a alrs un crcut à une seule malle qu mène à : u( = N.I ( exp(-t/)) ù = ( N + ). u( n fasant un D au vsnage de pur t << : u( N I ( ( t/)) = N I.t/ n retruve l expressn du. 7. épnse à un écheln de tensn. tude aux lmtes. On cnsdère le crcut c-dessus. e graphe représente une smulatn de sn cmprtement. a) nterrupteur est fermé à l nstant t =, sachant qu auparavant le cndensateur état déchargé et les bbnes n étaent parcurues par aucun curant. V V * à t = : (+) = et (+) = car n a cntnuté de l ntensté traversant une bbne. V (+) = par cntnuté de la tensn sur un cndensateur.. (+) = dnc V (+) = V (+) -. (+) =. c + = amène c (+) =.(dv / d(+) = V =. + V à tut nstant. Dérvns cette équatn par rapprt au temps : dv / =.d / + dv / à tut nstant. Or V =.d / amène : (d / d(+) = par alleurs, n a mntré : (dv / d(+) = dnc : (dv / d(+) = * à t > 4,5 ms, n truve le cmprtement à t (fn du régme transtre) : le crcut équvalent sera : dnc V et V. c = V V

4 b) Tujurs à partr des cnns de cntnuté : (t ) = (t ) = /. V (t ) = et dnc V (t ) =. mme (t ) = (t ), c (t ) = = (dv / d(t ). V =.d / amène : (d / d(t ) = Or V =. + V à tut nstant. n Dérvant cette équatn par rapprt au temps : dv / =.d / + dv / à tut nstant. mme (dv / d(t ) = et (d / d(t ) =, l vent (dv / d(t ) =. 8. égme transtre d'un crcut - : On psera ² = /. I I = + ; V( = d / avec = dv/ dnc : = d² /². D ù l équatn sur : I = + d² /² Slutn partculère : = I ; slutn générale : = A.cs t + Bsn t cnns ntales : () = et V() = d () =, qu amènent : ( = I.(- cs n dédut ensute asément : ( = I cs t et V( = I sn t. 9. égme transtre d'un crcut -- : V( n transfrmant (, ) seln Nrtn, n écrt la l de nœud. / = u/ + + du/ avec u = d / n dérvant par rapprt au temps : d ² u du u(. ² es cnd. nt. dnnent u() = et () = : / u u ans () = u() = dnc () = / du dnc a réslutn cmplète de l équatn a ensute été tratée en curs, sur l exemple du crcut sére. a nature des slutns va dépendre du sgne du dscrmnant Δ de l équatn caractérstque : r² + (/) r + / = ; Δ = (/)² - 4/. Pur Δ >, régme apérdque ; pur Δ = régme crtque ; pur Δ < régme pseudpérdque.. tncelle de rupture : ) a l de malle dnne =. + d/ + u avec = du/ d ù : u u ² u Q ² en psant : ² = / et Q = / = /. a slutn partculère est : u =. u( a slutn générale est de type pseud pérdque, car l équatn caractérstque : r² + ( /Q) r + ² = a un dscrmnant Δ < vues les valeurs numérques de et Q, calculées à partr des valeurs dnnées pur, et : = 5,. 6 rad/s.

5 Q On en dédut la slutn cmplète : u t ( ) exp t. Acs t B sn t avec : mpte tenu des cnns de cntnuté mpsant u() = 4Q² et = du/() = /, la slutn u( est ttalement détermnée. a valeur = Q/ est le temps de relaxatn (cnstante de temps dans le facteur expnentel représentant l amrtssement des scllatns). =,. -4 s. est très supéreur à la pseud pédde des scllatns T = / =,3. -6 s. Sur une durée pas trp mprtant, c'est-à-dre sur quelques pseud-pérdes, l amrtssement sera néglgable : la valeur du facteur être cnsdérée cmme cnstante (égale à ). a cnn : u() = amène A = -. u( n rasnnant sur la fnctn apprchée Acst Bsnt n aura du/ = B.cs( et du/() = / amène alrs B = / = Q. Fnalement : u( (-.cs t + Q.sn + dnc au vsnage de : u( Q.sn t au premer rdre. exp t Q peut ) D après ce qu précède, l évlutn de u( en début de phénmène crrespnd à une évlutn snusïdale. a valeur maxmale de la fnctn Q. sn t crrespndrat à U = Q. = 5 x 4V = kv. ette valeur serat attente pur t / st t max /( ) = 3,. -7 s. mpte tenu de ces valeurs numérques, u( crït rapdement. e ptentel explsf (de l rdre de V) est dnc très rapdement attent. 3 ) e mment ù le ptentel explsf est attent, c'est-à-dre ù u( = U exp, kv, crrespnd à un nstant t << t max. expressn apprchée de u( : u( Q. sn t est dnc alrs tut à fat cnvenable, et peut même être remplacée par snt Dévelppement mté à l rdre au vsnage de : u( Q...t de frme b.t avec b =,. V.s - (emarque : le terme d rdre pur la fnctn snus est nul, c est une fnctn mpare). nstant t répnd dnc à : Q...t = U exp d ù : t = U exp / (Q.. ) =,. -8 s = ns. ntensté crculant dans le crcut est ( =.du/. n utlsant l expressn apprchée de u( : u( Q. sn t n aura dnc : ( Q....cs t = (/)cs t. n fasant un D.. en de la fnctn csnus, n btent alrs : ( (/).( ( ²/) que l n dentfe effectvement à : ( = I ( at²) avec I = / =, A b = ²/ =,3. 3 us