TRAITEMENT DU SIGNAL

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1 pé ψ Devoir n 2 TAITEMENT DU IGNAL Le thérémine est l ancêtre des instruments de musique électronique. et instrument a été inventé en 1919 par le physicien russe Léon Theremin. Il a réalisé son instrument en utilisant les composants électroniques de l époque (essentiellement des tubes électroniques à vide). Pour jouer d un tel instrument il suffit de déplacer ses doigts dans l air en éloignant ou en rapprochant sa main droite d une antenne verticale et sa main gauche d une boucle horizontale. Le haut-parleur de l instrument émet alors un son audible dont la fréquence dépend de la position de la main droite et dont l intensité sonore dépend de la position de la main gauche. Aujourd hui, exhumé par les musiciens à la mode, cet instrument à l allure techno est de nouveau entendu dans des chansons comme «yber» de Zazie ou encore «hère inconnue» de Benjamin Biolay. appel : un signal sonore musical est caractérisé par des grandeurs appelées : hauteur : c est la fréquence de la composante fondamentale du signal ; volume sonore : c est l amplitude du signal (on se limitera à celle du fondamental) ; timbre : c est lié à la répartition des composantes harmoniques du signal. Léon Thérémin devant son instrument Dans tout le problème, les amplificateurs opérationnels (A.O.) sont modélisés comme parfaits, de tension de saturation ± V. AT Les figures sont rassemblées à la fin du sujet. Les trois parties sont indépendantes. Partie I EGLAGE DE LA HAUTEU 1) On considère le circuit de la figure 1. On pourra poser L = L 1 L 2. a) Montrer que sa fonction de transfert harmonique en sortie ouverte β i V i / V E i β iω =. ω ω 1 iq ω ω β( ω ) = ( ω) ( ω ) peut se mettre sous la forme b) Exprimer la pulsation centrale ω, le gain maximal β et le facteur de qualité Q en fonction de L, et. c) Préciser la nature et l ordre de ce filtre. d) Données : = 1, kω ; L 1 = L 2 = 1,1 mh et = 54 pf. alculer le facteur de qualité Q et la fréquence centrale associée à ω. 2) Le filtre étudié ci-dessus est inclus dans le montage de la figure 2, appelé oscillateur de Hartley. a) À quelle condition sur 2 en fonction de 1, L 1 et L 2 peut-il y avoir des oscillations? Quelle est alors la fréquence de ces oscillations? alculer 2 pour 1 = 1 kω. b) Déterminer une équation différentielle en v (t) et retrouver les résultats de la question précédente. pé ψ page 1/5 Devoir n 2

2 c) Quel(s) phénomènes est (sont) à l origine des oscillations? Quelle inégalité faut-il en réalité vérifier pour 2? Que peut-on dire alors d un point de vue mathématique de l évolution temporelle de la solution de l équation différentielle? d) Dessiner en fonction du temps l allure de la tension de sortie de l A.O. Quel phénomène physique limite l amplitude des oscillations? 3) L ensemble formé par une antenne accrochée au point A et la main reliée au sol par le reste du corps peut être assimilé à un condensateur plan de capacité dépendant de l écart mainantenne, placé en parallèle du condensateur de capacité de l oscillateur. a) Évaluer la valeur numérique de la capacité d un oscillateur de Hartley de fréquence f = 1 khz construit avec des inductances L 1 = L 2 = 1,1 mh, en l absence de capacité. b) Exprimer en fonction de f et L la valeur absolue de la variation de fréquence δf provoquée par une variation δ de la capacité telle que <<. c) On estime à 2pF la variation maximale de la capacité lorsque l on déplace la main. alculer numériquement la variation de la fréquence de l oscillateur de fréquence f = 1 khz. Peut-on obtenir beaucoup de notes de musique de cette façon. Et si la fréquence est f = 5 khz? onclure. 4) Dans le thérémine, la tension dont la fréquence détermine celle du son émis est issue d un étage dont le schéma bloc est indiqué figure 3 : Il comporte deux oscillateurs sinusoïdaux de fréquences voisines, dont l une, f 1, est variable par le procédé étudié ci-dessus, un multiplieur de coefficient de multiplication k et un filtre passebas. a) En supposant que f 2 = 5 Hz et f 1 = 5 44 Hz, indiquer l allure temporelle du signal en sortie du multiplieur. b) La fréquence de coupure du filtre passe-bas est de l ordre de f 2. Justifier ce choix. La précision de cette valeur est-elle cruciale pour le fonctionnement de l appareil? c) Donner le schéma d un filtre n utilisant que des composants passifs pouvant être utilisé, en indiquant les valeurs numériques associées à ces composants. d) Quelle est l opération réalisée par le montage de la figure 3? Partie II EGLAGE DU TIMBE 1) La tension s( t ) est purement sinusoïdale d amplitude V AT. omment peut-on obtenir un son ayant un timbre? 2) On considère le montage de la figure 4. a) Tracer la caractéristique s H en fonction de s. b) Tracer sur le même diagramme l allure des courbes sh ( t ) et au moins égale à deux périodes. 3) On applique les tensions sh ( t ) et s t pour une durée s t à l entrée du montage de la figure 5, où P est la résistance totale d un potentiomètre et x un réel positif compris entre et 1. La sortie du montage est ouverte. a) Établir l expression de s = 3 = 4 = P =. Quelle est l opération réalisée par ce montage. t. Pour simplifier les calculs, on prendra 1 = 2 b) omment peut-on changer le timbre du son obtenu à partir de s ( t ). 4) Pour un effet plus spectaculaire, on peut envisager d utiliser le montage de la pédale wahwah de type Morley, apparue dans les années 197. Il est indiqué sur la figure 6 pé ψ page 2/5 Devoir n 1

3 b) Préciser le gain statique G, la fréquence caractéristique f, le gain à cette fréquence V ω =. T a) Exprimer la fonction de transfert harmonique H ( j ) c) Quelle est précisément la nature de ce filtre? d) Quel est l effet d un changement de la valeur de? (En pratique, cette modification de est obtenue par contrôle par le moyen d une pédale de la luminosité d une LED illuminant la photorésistance. On peut ainsi modifier les caractéristiques du filtre sans commande mécanique, ce qui rend la solution très robuste.) Partie III EGLAGE DU VOLUME Le premier étage du montage de réglage de volume est identique au précédent et produit un signal sinusoïdal de basse fréquence, variable par déplacement devant l antenne correspondante. ette tension est ensuite traitée par un convertisseur fréquence-tension représenté figure 7. L A.O.3 fonctionne en régime saturé. 1) On pose v V sin ( 2 f ) pourra poser τ = 1. = π ϕ. V V V a) Établir l équation différentielle vérifiée par les fonctions v ( t ) et vd b) Donner l expression des fonctions v ( t ) et vd t (on ne cherchera pas à déterminer d éventuelles constantes d intégration. c) On suppose τ << T V = 1/f V. Que vaut v pour t [ 1, T ] d) Quel est le rôle de l A.O.2? pé ψ page 3/5 Devoir n 1 t. On τ? e) Tracer sur le même diagramme l allure des courbes vv ( t ) et vd' t pour une durée au moins égale à deux périodes. 2) La diode D est supposé parfaite, sa tension de seuil est nulle. a) La tension v D' V t est supposé nulle depuis longtemps et la tension de sortie V M est supposé constante et égale à V AT. Justifier l état passant de la diode D. b) On prend comme instant origine t =, l injection d un échelon de tension tel que V t = = E. Quelles sont les valeurs des tensions aux bornes des condensateurs en t =. D' de vm ( t )? c) À quelle condition sur E cet échelon de tension permet-elle le changement d état d) Montrer que la tension aux bornes du condensateur, notée v2 une équation différentielle du premier ordre. Donner l expression de v τ 2 = poser τ ' =. état initial. e) Justifier alors le changement d état de la diode. f) Donner l expression de la tension v t, est régie par t. On pourra poser t aux bornes de la résistance 1. On pourra g) Montrer que la tension de sortie vm ( t ) va rebasculer vers son état initial V AT. h) On suppose τ << τ 2. En déduire l instant t M où la tension v 3) Le signal vm ( t ) est mis en forme par l étage représenté figure 8. M t rebascule vers son

4 a) Quelle est la relation entre vi ( t ) et M b) Le signal M v t? v t est représenté figure 9, avec TV = 1/ fv. La diode D est supposé parfaite et sa tension de seuil est nulle. L impédance d entrée du filtre est infinie. Tracer les courbes des tensions vm ( t ), vi ( t ) et P v t pour une durée au moins égale à 2T V. c) alculer la valeur moyenne de la tension vp ( t ), en fonction de la fréquence f V. Définir le type de filtre à utiliser pour obtenir une tension V VOL proportionnelle à f V. Préciser l ordre de grandeur de la fréquence de coupure du filtre. 4) Indiquer un montage simple permettant d obtenir un signal dont le spectre est celui de ou v t et l amplitude est proportionnelle à V VOL. s ( t ) T /////////////////////////////////////////////////////////////////////// Figures 2 v E L 1 L 2 v 1 v v E L 1 L 2 figure 1 figure 2 antenne oscillateur fréquence f 1 variable oscillateur fréquence f 2 fixe k filtre passe-bas s figure x P s sh s sh 3 P 4 s figure 4 figure 5 pé ψ page 4/5 Devoir n 1

5 2 1 s 1 vt figure 6 vv ❶ v v ❷ ❸ 3 1 vd D v vd' 3 v 1 vm figure 7 vm vi ( t ) vp FILTE vvol figure 8 vm ( t ) V AT T 2T t V AT θ figure 9 pé ψ page 5/5 Devoir n 1

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