EC 4 Circuits linéaires du second ordre en régime transitoire

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1 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire PSI I Réponse d un circui RL série à un échelon de ension 1. ircui R L i() u G () +q ¹ 1 u R () u L () u () On ferme l inerrupeur K à = 0, le condensaeur éan déchargé e l inensié nulle.. Équaion différenielle en u () On applique la loi des mailles : u G () u R () u L () u () = 0 avec u G () =, u R () = Ri(), u L () = L di() e i() = du () soi u L () = L d u () d où R du () + L d u () + u () = d u () + R L du () + u () L = L Équaion différenielle du deuxième ordre linéaire à cœfficiens consans (qui doiven êre ous du même signe pour que le sysème soi sable) e avec second membre. Le circui es donc d ordre deux. 3. Reour sur la mécanique ee équaion ressemble foremen à celle que nous avons vue en mécanique pour l oscillaeur harmonique. Si on reprend le bilan de force pour l oscillaeur harmonique e que l on rajoue une force de froemen visqueux ( F = λ v), alors l équaion du mouvemen s écri : m a = Σ F mẍ = λẋ k(x l 0 ) m d x + λdx + kx = kl 0 4. Mise sous forme canonique On rerouve donc une équaion analogue en mécanique. On rouve le même ype d équaion dans d aures domaines de la physique e, pour faire des analogies enre ces différenes disciplines, on la me sous forme canonique : d α + ω 0 dα Q + ω 0α = quelque chose 1

2 4 avec ici, pour un RL série : ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire d u () + ω 0 du () +ω Q 0u () = ω0 avec ω 0 = 1 e Q = Lω 0 L R = 1 = 1 L Rω 0 R ω 0 es la pulsaion propre du circui (en radian par seconde; rad.s 1 ) e Q le faceur de qualié, nombre sans dimension. ou encore ü + τ u + ω 0u () = ω 0 avec τ = Q ω 0 le emps de relaxaion du circui. Dans le cas mécanique, on avai : w 0 = k m w 0 Q = λ m 5. Résoluion de l équaion différenielle : charge du condensaeur Méhode de résoluion Pour la résoluion d une elle équaion différenielle : 1. On rouve une soluion pariculière sol P. On résou l équaion homogène associée (c es à dire avec le second membre =0) ü + ω 0 Q u + ω 0u () = 0 3. La soluion générale es la somme de la soluion pariculière e de la soluion de l équaion homogène : sol = sol P + sol H 4. On rouve les consanes d inégraion à l aide des relaions de coninuié. Remarques qualiaives Même sans résoudre l équaion, plusieurs choses son à savoir : 1. La soluion es sable si les coefficiens son de même signe.. Le comporemen qualiaif va dépendre de la valeur de Q (a) Q < 1 : Régime apériodique (b) Q > 1 : Régime pseudo-périodique (c) Q = 1 : Régime criique Régime apériodique : Q < 1 es à dire pour 1 L > 1 R > L = R R la résisance criique du circui. On pose (jusificaion en cours de mahs) : z 1 = ω 0 Q ( ) 1 1 = ω 0 Q + 4Q 1 < 0 e z = ω 0 + Q On pose aussi : τ 1 = 1 z 1 e τ = 1 z, la soluion sol H es de la forme Ae τ 1 + Be τ ( ) 1 1 = ω 0 Q 4Q 1 < 0 On voi que τ 1 e τ son homogènes à des durées. Pour avoir la soluion complèe, on a besoin d une soluion pariculière. On la cherche sous la forme d une consane. Si on pose sol P = K alors ω 0 K = ω 0 K = PSI Page /??

3 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire D où la soluion complèe : u () = + Ae τ 1 + Be τ Déerminaion des consanes : il y a deux consanes à déerminer car l équaion différenielle es du second ordre. oninuié de la ension aux bornes du condensaeur u () : à = 0, u () = 0 = + A + B oninuié de l inensié du couran dans la bobine : i = du () = ( A τ 1 e τ 1 + B τ e τ ) e à = 0 +, i = 0 = ( A τ 1 + B τ ) A = τ 1B τ A = τ 1 τ τ 1 e B = τ τ τ 1 e finalemen : [ u () = 1+ τ 1 e τ 1 τ e τ τ 1 τ τ 1 ] τ ; i() = du () = u R() R e u L () = L di() q() ou u () i() ou u R () 0 τ 1 τ 0 τ 1 τ u L () τ 0 τ 1 oninuié de u () (donc de q()) e de i() (donc de u R ()) e disconinuié de u L (). Régime criique : Q = 1 es le cas où la résisance R du circui es égale à la résisance criique R = L. La soluion de l équaion homogène es alors de la forme : A(1 + B)e τ PSI Page 3/??

4 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire avec A une consane de la dimension d une ension e B une consane de la dimension de l inverse d un emps. D où la soluion complèe : u () = + A(1 + B)e τ On uilisera les condiions de coninuié pour déerminer A e B : oninuié de la ension aux bornes du condensaeur u () : à = 0, u () = 0 = + A A = oninuié de l inensié du couran dans la bobine : i = du () = (ABe τ A(1 + τ B)e τ ) e à = 0, i = 0 B = 1 u () = [1 (1 + τ τ )e τ ] e i() = L e τ u () i() 0 τ 0 τ Même forme mais reour plus rapide à un régime permanen. Régime pseudo-périodique : Q > 1 es à dire pour R < R = L la résisance criique du circui. On pose ω = ω > 0 homogène à une pulsaion, c es la pseudo-pulsaion. T = π es 4Q ω la pseudo-période du phénomène. On pose aussi τ = Q ω 0, homogène à une durée, c es le emps de relaxaion qui caracérise la durée des phénomènes ransioires. sol H peu s écrire sous une forme réelle : e τ (A cos ω + B sin ω) La soluion complèe es : u () = + e τ (A cos ω + B sin ω) Déerminaion des consanes : oninuié de la ension aux bornes du condensaeur u () : à = 0, u () = 0 = + A A = PSI Page 4/??

5 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire oninuié de l inensié du couran dans la bobine : i = du () = (e τ [(ωb A ) cos ω+( ωa τ B) sin ω)] e à = 0, τ i = 0 = (ωb A τ ) B = τω e finalemen : u () = [1 e 1 τ (cos ω + ωτ sin ω)] e on monre que i = du () = ω 0 ω e τ sin ω u () 0 T T τ 3T 4T i() ω 0 ω 0 T T 3T 4T ω 0 ω Remarques : es grandeurs oscillen à l inérieur d une enveloppe exponenielle ±e τ fau racer au préalable. = ±e ω 0 Q La pseudo pulsaion ω es inférieure à ω 0 e par conséquen, la pseudo-période es supérieure à la pulsaion propre T 0 = π ω 0. T 0 T = 1 1 4Q On considère généralemen que pour Q assez grand, Q correspond environ au nombre d oscillaions discernables. qu il PSI Page 5/??

6 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire Régime harmonique Q On a alors le cas idéal où R = 0, il n y a pas d amorissemen, c es le cas pariculier Q 1 pour lequel la parie réelle des racines es nulles. L équaion différenielle sans second membre prend alors la forme : ü + ω0 u () = 0 soi e les soluions son de la forme : soi la soluion générale : ü = ω 0 u () u () = A cos ω 0 + B sin ω 0 u () = + A cos ω 0 + B sin ω 0 Déerminaion des consanes : oninuié de la ension aux bornes du condensaeur u () : à = 0, u () = 0 = + A oninuié de l inensié du couran dans la bobine : i = du () = ( ω 0 A sin ω 0 + ω 0 B cos ω 0 )] e à = 0, i = 0 = (ω 0 B) d où A = B = 0 u () = (1 cos ω) e i = ω 0 sin ω 0 u () 0 T 0 T 0 3T 0 4T 0 i() ω 0 T 0 T 0 3T 0 4T 0 0 ω 0 Remarques : On es dans le cas Q 1 τ e il n y a pas de décroissance e T = T 0. Dans la réalié, le cas R es impossible à obenir car le circui conien forcémen des élémens résisifs qui dissipen de l énergie sous forme de chaleur. On peu néanmoins obenir R = 0 en ajouan un circui conenan un AO qui simule une résisance négaive (voir TP). PSI Page 6/??

7 4 II Réponse libre du circui RL série ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire Si on se place mainenan dans le cas suivan : u R () ¹ R L i u G () = 0 pour > 0 +q 1 u L () u () Avec le condensaeur chargé à l insan iniial (u (0 ) = ) e on bascule K à = 0, on obien les graphes suivans pour u ()(). u () 0 T T 3T 4T Le régime criique es celui pour lequel on aein le plus rapidemen le régime permanen 1. Inéressan si on veu limier la durée du régime ransioire (amorisseurs d auomobiles). 1. Je sais que ce n es pas ce que vous voyez en SI e cela dépend de la définiion exace que l on prend plus «plus rapidemen» e de la olérance que l on se donne pour dire si le régime permanen es aein, mais qualiaivemen, les régimes pour lesquels le reour es le plus rapide, quelque soi la définiion, corresponden à un faceur de qualié proche de 1. PSI Page 7/??

8 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire III as d un circui RL parallèle 1. ircui e condiions iniiales i i R +q u R L avec par exemple u (0 ) = : condensaeur chargé.. Équaion différenielle en u () D après la loi des nœuds, avec i () =. du(), i R () = u() e u() = L di L() R. du() + u() R + 1 L ou encore, sous forme canonique, i + i R + i L = 0 i L () = 1 L u(). = 0. d u() i L u(). soi + 1 du() + u() R L = 0 d u() + 1 du() + u() R L = 0 d u() + ω 0 du() + ω u() 0 Q p L = 0 3. omparaison avec le RL série On rerouve la même équaion canonique donc le même ype de soluions selon la valeur des Q p e des condiions iniiales. On a la même fréquence propre ω 0 mais avec cee fois ω 0 = 1 Q p R Q p = Rω 0 = R L Q parallèle = 1 Q série c es à dire l inverse de Q série. Le faceur de qualié augmene quand R augmene. es cohéren car on rerouve bien un circui L série quand R end vers l infini, c es à dire en remplaçan le résisor par un inerrupeur ouver. PSI Page 8/??

9 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire Table des maières PSI Lycée Poincaré

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