Régimes transitoires

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1 ÉLECTOCINÉTIQUE chapre 3 égmes ransores En régme connu, les composanes capacves e nducves d un crcu son analogues respecvemen à un crcu ouver e à un cour-crcu. Elles n on donc aucun nérê. Cependan, s un paramère du crcu change, en parculer s l y a une modfcaon de la enson ou du couran délvré par une source, l exse un laps de emps relavemen cour pendan lequel les courans e les ensons dans le crcu évoluen jusqu à une nouvelle valeur; c es le régme ransore. Duran le régme ransore, les capacés e les nducances emmagasnen ou resuen de l énerge; elles on alors un comporemen qu présene un nérê pour la consrucon de dsposfs élecronques, desnés par exemple à la réalsaon d opéraons mahémaques. On éude donc dans ce chapre l évoluon des paramères élecrques d un crcu, sue à la modfcaon d un sgnal élecrque à l enrée, jusqu à un nouveau régme permanen. On se lme aux crcus du premer ordre, c es-à-dre régs par une équaon dfférenelle BCPST1 du premer Fénelon ordre. Ncolas Clan 2007 Plan du chapre. 1. Crcu C 1.1 éponse d un crcu C à un échelon de enson 1.2 Décharge du condensaeur : régme lbre 2. Crcu L 2.1 éponse d un crcu L à un échelon de enson 2.2 égme lbre cerans dros réservés

2 1 Crcu C 1.1 éponse d un crcu C à un échelon de enson Échelon de enson. On appelle échelon de enson une enson e () qu, à un nsan donné qu on prend souven égal à l orgne des emps = 0, passe d une valeur 0 à une valeur 0. Il s ag donc d une foncon de la forme : e () = { 0 s < 0 s 0 (1) e () 0 Ncolas Clan Éablssemen de l équaon dfférenelle. On consdère une assocaon en sére d un condensaeur déal e d une réssance, almenés par une source de enson déale qu délvre un échelon de enson. Le condensaeur es nalemen déchargé : q = 0 à < 0. On cherche la varaon emporelle de la enson u C aux bornes de la capacé. u e () 0 cerans dros réservés C +q u C K À < 0, le généraeur délvre une enson nulle. En oure, la enson aux bornes du condensaeur es nulle, pusque sa charge es nulle : u C = 0 à < 0 (2) On se place manenan à 0. La enson délvrée par la source es e () =. La lo des malles s écr : e () = = u C + u = q + (3) C On peu en dédure une équaon dfférenelle en q : e () = = q C + dq d (4) Comme q = C u C, on en dédu mmédaemen l équaon dfférenelle vérfée par u C : BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 2

3 e () = = u C + C du C d (5) Il s ag d une équaon dfférenelle du premer ordre à coeffcens consans, de la varable u C. On appelle consane de emps du crcu la grandeur : τ = C (6) Cee grandeur es ben homogène à un emps. L équaon dfférenelle s écr fnalemen : τ du C d + u C = (7) ésoluon de l équaon dfférenelle. La soluon complèe de l équaon dfférenelle es la somme de deux ermes : la soluon de l équaon homogène, c es-à-dre elle que le second membre so nul, une soluon parculère. L équaon homogène s écr : Ncolas Clan 2007 τ du C d + u C = 0 du C = d u C τ (8) Sa soluon u 1 es de la forme : ( u 1 = A exp ) τ (9) où A es une consane. Il fau rouver une soluon parculère u 2, quelle qu elle so. La plus smple es celle qu correspond au régme permanen, so : cerans dros réservés du 2 d = 0 u 2 = (10) La soluon complèe es donc de la forme : u C () = A exp ( τ ) + (11) Il rese à déermner la valeur de la consane d négraon A. Pour cela, on ulse une condon à la lme. On sa qu à < 0, la enson aux bornes du condensaeur es nulle d après (2) ; que peu-on en dédure pour ce qu es de la enson à l nsan = 0? BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 3

4 1.1.4 Connué de la charge e de la enson. D un pon de vue physque, la charge appara aux armaures du condensaeur de façon progressve, au fur e à mesure que les élecrons arrven. En conséquence, la charge ne vare pas brusquemen au nveau des armaures, e cela même s on fa passer nsananémen l nensé du couran d une valeur nulle dans le crcu à une valeur non nulle, par exemple en ferman un nerrupeur. On peu parvenr à la même concluson en rasonnan sur l énerge sockée par le condensaeur. S q passa nsananémen d une valeur nulle à une valeur non nulle, cec sgnfera que l énerge sockée (W C = q 2 /2C) passera d une valeur nulle à une valeur non nulle en un emps nul, auremen d d que la pussance reçue à ce nsan sera nfne, ce qu es mpossble. varaon dsconnue de 0 q varaon q connue de q Ncolas Clan 2007 IMPOSSIBLE 0 0 En concluson : oue dsconnué de la charge q d un condensaeur, cerans dros réservés donc de la enson u ne à peu ses bornes, pas êre vendu es mpossble Tenson aux bornes du condensaeur. Il y a connué de la enson aux bornes du condensaeur, donc à l nsan = 0 où l échelon de enson se produ, celle-c es encore égale à sa valeur à < 0, so u C (=0) = 0. En reporan cee condon dans (11), on oben : 0 = A + A = (12) Fnalemen, la enson aux bornes du condensaeur vare au cours du emps selon la relaon : u C () = (1 e /τ) avec τ = C (13) La charge évolue en foncon du emps selon une lo analogue : q () = C u C () = C (1 e /τ) (14) La charge, nalemen nulle, augmene jusqu à une valeur non nulle. On réalse donc la charge du condensaeur. BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 4

5 1.1.6 égme ransore e régme permanen. L allure de la enson aux bornes du condensaeur en foncon du emps es la suvane : Il y a connué de la enson à l nsan nal. La enson e la charge enden vers une valeur fnale consane : Ncolas Clan 2007 u C () 0 (15) q () 0 (16) Le régme ransore, pendan lequel la enson u C vare, évolue donc vers un régme permanen ou régme saonnare (ndépendan du emps), pour lequel la enson u C deven consane, avec une valeur mposée par la source de enson. On peu remarquer que la valeur de u C pour un emps nfn correspond à la soluon parculère u 2. Cec es aendu, pusque la soluon parculère a éé cherchée cerans consane, dros réservés ce qu correspond précsémen à une soluon en régme permanen. On peu rerouver la valeur de u C en régme permanen d une aure manère. Lorsqu on arrve en régme permanen, le condensaeur déal se compore comme un nerrupeur ouver; le crcu se rédu alors à : u u = 0 C +q u C = 0 u C Le crcu éan ouver, aucun couran ne crcule; la enson aux bornes de la réssance es donc nulle, e de manère évdene : u C = Inensé dans le crcu. L nensé qu crcule se dédu drecemen de l expresson de la charge donnée par (14) : () = dq d = C τ e /τ () = e /τ (17) BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 5

6 On remarque d une par que l nensé à l nsan nal es : 0 = (18) Il y a donc une dsconnué de l nensé dans le crcu. BCPST1 ÀFénelon ce nsan, la enson aux bornes du condensaeur éan encore nulle, le couran es mposé par la réssance. Ncolas Clan D aure 2007par, lorsqu on parven au régme connu, le couran end vers une valeur nulle : () 0 (19) 1.2 Décharge du condensaeur : régme lbre Évoluon de la enson. Une fos le régme permanen aen, donc lorsque cerans u C dros () réservés, on bascule l nerrupeur. Le crcu se rédu alors au condensaeur e à la réssance. u C +q u C K Par commodé, on chos une nouvelle orgne des emps, à l nsan où on bascule l nerrupeur. À ce nsan, la charge du condensaeur es donnée par (16) : q 0 = C (20) Gardons le même sens pour le couran dans le crcu. La lo des malles s écr : u C + u = 0 u C + = 0 u C + C du C d = 0 (21) Il s ag encore d une équaon dfférenelle du premer ordre à coeffcens consans, mas avec un second membre nul. On peu la résoudre drecemen en négran enre deux bornes. À la nouvelle orgne des emps BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 6

7 = 0, u C = ; à un nsan quelconque, la enson aux bornes du condensaeur a une valeur quelconque. Après séparaon des varables, on a donc : du C = d uc u C C = d τ du C d = u C 0 τ ln u C = τ (22) La enson décro donc exponenellemen avec une consane de emps denque à celle de la charge : u C () = e /τ avec τ = C (23) La charge es proporonnelle à la enson : q () = C e /τ (24) La enson aux bornes du condensaeur, de même que la charge, varen duran le régme ransore, e enden oues les deux, après un emps rès long, vers un régme permanen pour lequel leur valeur es consane, en l occurrence nulle. On es donc dans une phase de décharge du condensaeur : u C () (25) q () BCPST1 Fénelon (26) Ncolas Clan 2007 cerans dros réservés Le couran s oben par dérvaon : () = d d = C τ e /τ () = e /τ (27) Il es manenan négaf, ce qu sgnfe qu l crcule en sens nverse de celu chos. Pendan la décharge, le couran crcule en sens nverse à celu qu l ava lors de la charge. BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 7

8 Le couran présene une dsconnué lors du passage du régme de charge au régme de décharge. Il end à s annuler après un emps rès long : () 0 (28) Ncolas Clan 2007 cerans dros réservés BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 8

9 2 Crcu L 2.1 éponse d un crcu L à un échelon de enson. Le problème es denque à celu du crcu C, en remplaçan le condensaeur déal par une bobne déale d nducance L. u e () 0 L u L K Éablssemen de l équaon dfférenelle. À l nsan = 0, la enson délvrée par le généraeur passe d une valeur nulle à la valeur e () =. Pour < 0, aucun couran ne crcule dans le crcu. Pour 0, la lo des malles s écr : e () = u L + u = L d + (29) d Ncolas Clan 2007 En nrodusan la consane de emps du crcu : τ = L (30) l équaon dfférenelle vérfée par le couran es du premer ordre à coeffcens consans : τ d d + = cerans dros réservés (31) Soluon de l équaon dfférenelle. La soluon 1 de l équaon homogène es : τ d 1 d + 1 = 0 1 = Ae /τ (32) Une soluon parculère 2 correspond au couran en régme permanen : d 2 d = 0 2 = (33) La soluon complèe de (31) es de la forme : () = = Ae /τ + (34) La consane d négraon A se déermne à l ade d une condon à la lme. On sa que le couran es nul pour < 0. Que peu-on en dédure à l nsan = 0? BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 9

10 2.1.3 Connué de l nensé. Supposons qu on soumee une bobne à une dfférence de poenel, qu on fa passer nsananémen d une valeur nulle à une valeur non nulle. Le couran qu raverse la bobne ne peu en revanche pas passer d une valeur nulle à une valeur non nulle de façon nsananée. En effe, cela sgnfera que l énerge sockée (W L = L 2 /2) passera d une valeur nulle à une valeur non nulle en un emps nul, donc que la pussance reçue à ce nsan sera nfne. Cec es évdemmen mpossble. u varaon dsconnue de u 0 varaon connue de IMPOSSIBLE 0 0 Ncolas Clan 2007 En concluson : oue dsconnué de l nensé à ravers une bobne es mpossble. Cee propréé des bobnes es mse à prof dans la proecon de cerans crcus ou de ceranes pares d un crcu. cerans dros réservés Un composan sensble aux brusques varaons de couran ne peu pas es proégé êre vendu plaçan en amon une bobne, qu régule la varaon de couran dans le crcu qu la su Inensé raversan la bobne. Le couran raversan une bobne ne pouvan présener de dsconnué, () vare connûmen, en parculer à = 0. À cee dae, l a donc la même valeur qu à < 0, so (=0) = 0. En nrodusan cee condon dans (34), on a : 0 = A + (35) Fnalemen, le couran évolue selon la relaon : () = (1 e /τ ) avec τ = L (36) Lorsqu on aend un emps rès long, le couran end vers une valeur consane, c es-à-dre que le régme ransore évolue vers un régme permanen : () = (37) BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 10

11 On remarque que cee valeur correspond à la soluon parculère 2 de l équaon dfférenelle. Cec es logque pusque cee valeur parculère a éé cherchée consane, ce qu correspond ben à une soluon en régme permanen. On peu rerouver la valeur de en consdéran le crcu équvalen en régme permanen. En effe, en régme permanen, la bobne se compore comme un BCPST1 fl nfnmen Fénelonconduceur. Le crcu se rédu alors à une réssance almenée par la enson ; par applcaon Ncolas rvale Clan de 2007 la lo de Poulle, le couran es = /. u u L u L cerans dros réservés Évoluon de la enson aux bornes de la bobne. La enson aux bornes de la bobne es faclemen obenue à parr de l nensé : u L () = L d () d = L τ e /τ u L () = e /τ (38) BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 11

12 La enson aux bornes de la bobne présene une dsconnué à l nsan nal. En oure, elle end vers une valeur nulle en régme permanen. 2.2 égme lbre. Lorsqu on es arrvé en régme permanen, on bascule l nerrupeur; le crcu se rédu à la réssance en sére avec la bobne. On chos comme nouvelle orgne des emps le momen où l nerrupeur es aconné. u L u L K Conservons le même sens pour le couran. L équaon dfférenelle peu êre obenue à parr de la lo des malles comme précédemmen. On peu égalemen fare un rasonnemen énergéque. S es le couran qu crcule dans le crcu, la pussance reçue par la bobne es : De même, la pussance reçue par la réssance es : P L = uncolas L = Clan L d 2007 d (39) P = u = 2 (40) Aenon aux sgnes! On a monré que la pussance reçue par un dpôle es : P = u AB AB, so P = u en convenon récepeur. Par conservaon de l énerge, l énerge oalecerans reçue par dros le réservés ccu es nulle, pusqu l n y a aucun généraeur d énerge, so : P + P L = 0 (41) Cee conservaon de l énerge peu s nerpréer dfféremmen. La pussance P reçue par la réssance es en fa fourne par la bobne, qu, au cours de sa décharge, resue l énerge emmagasnée lors de sa charge. Or, la pussance fourne par la bobne es l opposée de la pussance reçue, so P L. On a donc : P = P L, ce qu es évdemmen denque à (41). emplaçons les deux ermes par leurs expressons e smplfons : L d d + 2 = 0 L d d + = 0 τ d d + = 0 (42) Après séparaon des varables, négrons enre l nsan nal (nouvelle orgne des emps) pour laquelle () = du fa de la connué du couran dans le crcu, e un nsan quelconque pour lequel le couran vau une valeur quelconque () : d () = d τ d = d 0 τ ln () = τ (43) Le couran sub une décrossance exponenelle : BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 12

13 () = e /τ avec τ = L (44) Le crcu évolue vers un nouveau régme permanen Ncolas pour Clan lequel 2007le couran es nul, pusque : () 0 (45) La enson, orenée dans le même sens que précédemmen, es alors : u L () = L d () d = L e /τ u L () = e /τ (46) τ cerans dros réservés On observe une dsconnué de u L lorsque l nerrupeur es bascule. Elle change de sens, e end vers 0 en régme permanen. BCPST1 Ncolas Clan sepembre 2007 Élecrocnéque chapre 3 : régmes ransores page 13

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