Dès que l ordre de cette équation différentielle dépasse 2, la résolution en devient fort compliquée.

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1 Inroducion Éan donné un circui linéaire, foncionnan en régime quelconque, les seuls moyens don nous disosons jusqu à résen, our en faire l éude son : - es lois des nœuds e des mailles. - es relaions couran-ension our les diôles consiuifs. eur uilisaion nous erme d abouir à une (ou lusieurs) équaion(s) différenielle(s) linéaire(s), lian les signaux d enrée e de sorie, selon e() une relaion du ye : Circui ds d2s de d2e a s a a 2... b e b b... d d2 2 d d2 Dès que l ordre de cee équaion différenielle déasse 2, la résoluion en devien for comliquée. s() a méhode exosée dans ce chaire, faisan ael à la ransformaion de alace, erme de connaîre la réonse d un circui linéaire à une solliciaion quelconque en évian de résoudre de elles équaions différenielles. Averissemen : es noions mahémaiques abordées ici on avan ou un bu raique. n ariculier, nous ne nous aarderons as sur l éude de elle ou elle limie, ou sur la convergence de elle ou elle inégrale e leceur curieux consulera avec rofi un des nombreux ouvrages mahémaiques sur ce suje.. Transformaion de alace. Foncions causales. Une foncion f du ems es die causale si f() es nulle our oue dae <. Nous dirons que f() aaraî à la dae. () a foncion causale élémenaire es la foncion échelon unié, noée (), définie ar : () si < () si () erme de rendre causale oue foncion du ems : Soi la ension consane 2V ; () corresond ainsi à une ension nulle our < uis égale à 2V our. sin () De la même façon, sin () corresond à une foncion sinusoïdale du ems, de ulsaion, e aaraissan à la dae choisie our origine.

2 Foncion échelon unié reardée : ( - ) C es la foncion échelon aaraissan à la dae. (-) Combinaisons de foncions causales. Il es ossible de définir de nombreuses foncions causales à arir de foncions élémenaires : a ension v() ci-conre es nommée «créneau causal» On eu la considérer comme la somme d une ension échelon de haueur 2V, aaraissan à la dae origine, e d une ension échelon de haueur (-2V), aaraissan à,5s. Nous écrirons ainsi : v() 2 () - 2 (,5) De la même façon, la ension v () de la figure de droie eu êre vue comme la somme d une rame causale, de ene V/s aaraissan à la dae (v ()) e d une rame causale de ene (-)V/s, aaraissan à la dae s ( v 2 (- ) (-)) Finalemen, v () v v 2 () (- ) (-) 2 v() (V),5 v () (V) (s) (s).2 Définiion de la ransformaion Soi f() une foncion du ems causale, coninue e dérivable our >. On aelle ransformée de alace de f(), la foncion F() de la variable comlexe, définie ar : F () f () e d emarque : Aure noaion F() (f()) F() es aelée ransformée f() - (F()) f() es aelée originale. emarque 2 : exisence de F() suose que l inégrale de définiion soi convergene ; ce sera oujours le cas our les foncions uiles à l éude des circuis linéaires. xemle : Transformée d une ension échelon de haueur. U () e d U () e u () xemle 2 : Transformée d une rame causale de ene a. u 2 () our < e u 2 () a our > U2 () a e d nous inégrons ar aries : Soien u a e dv e - d ; il vien du ad e v e e a e a e ainsi U 2() a d 2 a e finalemen U 2() 2 a u 2 () s

3 xemle 3 : Transformée d une «imulsion» exonenielle. u 3 () our < e u 3 () e -/ our > τ U τ 3() e e d e τ τ U3() τ τ u 3 ().3 Quelques roriéés a luar des roriéés son données ici sans démonsraion : Consuler un ouvrage de mahémaiques!.3. inéarié. Soien 2 foncions du ems causales f () e f 2 (), ainsi que 2 consanes a e b Si F () e F 2 () désignen resecivemen les ransformées de f () e f 2 (), la foncion g() a f () b f 2 () adme our ransformée G() a F () b F 2 () xemle : Éablissons les exressions des ransformées de sin () e de cos (). Nous uilisons la relaion e j cos jsin (e j ( jω) ) jω e e e d jω jω Mulilions cee exression ar la quanié conjuguée : (e j ω ) (cos jsin) j 2 ω2 2 ω2 D où on eu irer : (cos) 2 ω2 e (sin) 2 ω ω2 sin.() cos.() 2/.3.2 Théorème du reard (ou ransformée d une ranslaée). Soi f(), foncion causale du ems, don la ransformée es F(). Soi f( ) la foncion reardée d une durée. (a foncion f() a en fai subi une ranslaion dans le ems). f f() f(-) echerchons la ransformée de la ranslaée (f(-)). (f(-) ) f ( θ) e d f ( θ) e d θ car f(-) es nulle enre e si f() es causale! Posons - ; alors d d e les bornes d inégraion en deviennen e. (f( ) ) θ f ( )' e (' θ) d' e f ( )' e ' d' e finalemen : (f( - ) ) e - (f() ) Une ranslaion de (-) dans l esace corresond à la mulilicaion ar e - dans l esace

4 xemle : Transformée d une ension en forme de créneau. Soi la ension causale v() ci-conre. v() our < e > ; v() our < < v() Nous avons décomosé récédemmen v() en la somme d un échelon de haueur aaraissan à e d un échelon de haueur ( ) aaraissan à la dae, soi v() () - ( ) Il vien immédiaemen : V() eθ ( eθ) (s) xemle 2 : Transformée de «l imulsion de Dirac». Cee foncion es la limie du créneau ci-conre (haueur e largeur ), vérifian, lorsque Il s agi d une imulsion de haueur infinimen grande, de largeur infinimen faible, e don la surface balayée es uniaire. On la nomme e on la rerésene ar une flèche avec l annoaion, comme ci-conre à droie ; ce désigne la surface de l imulsion e non sa haueur. Ce «obje» mahémaique n a bien sur aucun sens hysique, mais il joue un rôle imoran dans l éude des circuis ar la méhode de alace. -/2 /2 (s) Nous ouvons écrire : si e δ() d (s) Alors () (()) δ( ) e d δ() e d uisque () es nulle en dehors de ce inervalle. Or, enre - e, e - es consane e vau, e vau égalemen. D où () (() ).3.3 Transformée d une foncion causale amorie (exoneniellemen). Soi la foncion du ems f() causale, don la ransformée es F(). a foncion f () e -a f() corresond à un amorissemen exoneniel de f() ; la consane de ems éan /a, nous ouvons admere la «disariion» (annulaion) de f au bou d une durée 5 5/a. On eu écrire (f ()) e -a f() d où : (e -a f() ) F( a) e a f () e d f () e ( a) d a ransformée de e -a f() es de même forme que la ransformée F() de f(), mais en y effecuan le changemen de variable a. Une mulilicaion ar e -a dans l esace corresond à une ranslaion de a dans l esace

5 xemle : Transformée d une sinusoïde amorie. f Soi la foncion f () e -a sin () (cf. ci-conre) ω n se raelan que (sin) 2 ω2 On éabli aisémen (e -a sin) ω ( a) 2 ω2 e -a -e -a (s).3.4 Transformée de la dérivée d une foncion causale. Soi la foncion f() causale, admean F() comme ransformée. df On recherche la ransformée de, soi df df ( ) d e d df e d d Inégrons ar aries : u e - du - e - d dv df v f df d où : ( ) [ f () e ] f () e d f () F( d ) e ainsi : df ( ) F() f() d e cas le lus inéressan es celui des foncions causales nulles en (condiions iniiales nulles) : Pour une foncion causale du ems, nulle en, la dérivaion dans l esace corresond à une mulilicaion de la ransformée ar dans l esace. xemle : ésoluion d une équaion différenielle. d2s ds Soi un circui linéaire, régi ar l équaion : 3 2s() 5e(), avec les condiions iniiales d2 d suivanes : s() e e() nulles our. Écrivons la ransformée de alace de cee combinaison linéaire de foncions : Si () e S() désignen resecivemen les ransformées de e() e de s(), 2 5 S() 3. S() 2.S() 5.(), ce qui amène à S() () Connaissan e() e ainsi (), on déermine aisémen S() ; il rese à «remoner» à l originale s() ar inversion de la ransformée. (Voir lus loin).3.5 Transformée de la rimiive d une foncion causale. Soi f() causale, don la ransformée es F() F() Nous admeons la roriéé : ( f (u)du) Dans la mesure où une foncion causale f adme une ransformée F(), l inégraion dans l esace corresond à une division de la ransformée ar dans l esace..3.6 Théorème de la valeur finale. Nous admeons la relaion suivane : lim f () lim F().3.7 Théorème de la valeur iniiale. Nous admeons la relaion suivane : lim f () lim F() (si ces limies exisen e son finies) (si cee limie exise e es finie)

6 .4 Inversion (eour à la foncion originale ) e roblème consise à rouver la foncion originale f() à arir de sa ransformée F(). a foncion f() ainsi déerminée ne sera définie que our. Habiuellemen, nous ne renconrons que des ransformées se résenan sous forme d un raor de 2 olynômes N() en, de ye F (). D() Physiquemen le degré de D() es suérieur ou égal au degré de N() : Il es alors ossible de décomoser F() en élémens simles. Pour un olynôme D(), de degré d, il exise d racines qui son, soi oues disinces, soi don ceraines son d ordre mulile. xemle : D () de degré 2 s écri D () ( ).( 2) ; D () ossède 2 racines disinces, - e 2-2. D 2 () 2 2 de degré 2 s écri D 2 () ( ) 2 ; D 2 () ossède racine double -. Si D() ossède des racines réelles disinces,, 2, 3, on écrira : N() A B C F() ( ).( 2).( 3) 2 3 où A, B, C son des consanes (indéendanes de ) ; on les déermine de la façon suivane : A lim ( ).F(), B lim ( 2).F(), 2 Si D() ossède des racines réelles don une es d ordre mulile, on écrira ar exemle : N() A A2 B C F() ( ) 2.( 2).( 3) ( ) où A, A 2, B, C son des consanes ar raor à. Nous aurons A lim ( ) 2.F(), ec Si D() ossède un ou lusieurs coules de racines comlexes conjuguées, on ne cherchera as à décomoser en élémens du er ordre, mais on conservera des rinômes en 2 dans l exression de D() ; on consulera alors une able de ransformées. Une fois la décomosiion de F() en élémens simles erminée, on ourra aisémen «remoner» à l originale f() ; en se raelan que l originale de es e -a, e que celle de es la consane, on mera f() sous a forme d une combinaison linéaire d exonenielles décroissanes du ems e de consanes. xemle : echercher l originale de U() 2 A B U() ; ( ).( 2) 2 on déermine aisémen A - e B 3 3 d où U(). 2 Finalemen, u() (-e - 3.e -2 ) ()

7 xemle 2: echercher l originale de U() A B C U().( ) 2 ( ) 2 on déermine A, B - e C -; d où U() ( ) 2 Finalemen : u() (.e - e - ) ().(2 2 ) 2. Calcul Oéraionnel (ou symbolique) Voyons mainenan commen uiliser la ransformaion de alace our l éude des circuis linéaires foncionnan en régime quelconque. 2. Schéma oéraionnel ; imédances oéraionnelles. Pour un diôle linéaire quelconque, nous ouvons écrire une relaion u() f(i()) enre les grandeurs insananées u() e i(). Que devien cee relaion lorsqu on considère les ransformées U() e I() de u() e de i()? Pour une résisance : i() u().i() U().I() I() u() U() Pour une inducance : i() u() di u () U()..I().i() d I() U().i() Pour une caacié : i() C u() du i () C I() C..U() C.u() d es schémas de droie, raduisan la ransformée de alace de la relaion u() f(i()) son aelés schémas oéraionnels. Dans le cas où les condiions iniiales son nulles (i() ou u() son nuls), on eu écrire, enre les ransformées U() e I(), une relaion de ye U() Z().I() (ou I() Y().U()) U() I() Z () es nommée imédance oéraionnelle ; ( Y () es l admiance oéraionnelle) I() Z() U() Il vien ainsi : ésisance Z() Y() / Inducace Z() Y() / Caacié Z() / C Y() C emarque : Dans le cas ariculier du régime sinusoïdal ermanen, nous rerouverons les écriures habiuelles (Z ; Z jl ; Z C /jc ) en remlaçan la variable de alace ar la variable comlexe j. I() Cu() /C U()

8 2.2 Transmiance oéraionnelle ou isomorhe. Soi un circui linéaire, soumis à une solliciaion quelconque e(), aaraissan à une dae origine. Ce circui es régi ar une équaion différenielle linéaire du ye : ds d2s de d2e a s a a 2... b e b b... d d2 2 d d2 er cas : Toues les grandeurs son nulles our <. e() Circui linéaire s() a ransformée de alace de l équaion ci-dessus es : a S() a S() a 2 2 S() b () b () b 2 2 ()... Soi: e ainsi S().( a a a 2 2 ) ().( b b b 2 2 ) S() b b b22 () a a a22 Physiquemen, s() es uniquemen du à l aariion de e(). e raor oéraionnelle (ou isomorhe) du circui. T () S() () b b b22 a a a22 S() () désigne la ransmiance a ransmiance oéraionnelle d un circui linéaire aaraî comme le raor de 2 olynômes en. es cœfficiens des différens ermes de ces olynômes son les coefficiens de l équaion différenielle qui régi le foncionnemen du circui. 2 ème cas : e signal de sorie n es as nul à. Comme e() n aaraî qu à cee dae, la valeur iniiale de s() es due à une grandeur élecrique inerne au circui, grandeur non nulle à l origine du ems. Puisque s(), la ransformaion de alace aliquée à l équaion différenielle ci-dessus fai aaraîre un erme consan dans le membre de gauche. Physiquemen, nous aurons ainsi la suerosiion d un régime libre, du à s(), e d un régime forcé, du à e(). e régime libre va s amorir e disaraîre au bou d un cerain ems (hénomène ransioire), alors que le régime forcé va erdurer : Ce régime forcé corresond au régime ermanen de foncionnemen. Conséquence : a ransmiance oéraionnelle, elle que nous l avons définie, n a de sens que our le régime ermanen. (ou forcé ar la grandeur d enrée) elaion avec la ransmiance comlexe ( ou harmonique, ou isochrone ) T(j). Nous nous laçons en signaux sinusoïdaux éablis. (régime ermanen) Si à u() U2sin, on associe U [ U ; ] U j, on raelle qu à u du / d, on associe U ju. Écrivons l équaion différenielle du circui en noaion comlexe : a S a js a 2 (j) 2 b b j b 2 (j) 2 S b b( jω) b2( jω) 2 d où: T ( jω) a a( jω) a2( jω) 2 Nous ouvons consaer que l analogie es oale enre T() e T(j), si on associe j à. a ransmiance comlexe T(j) es un cas ariculier de la ransmiance oéraionnelle T(), our lequel j. Pour le régime sinusoïdal éabli, j, e seulemen dans ce cas!

9 Imorance de la réonse imulsionnelle. Suosons un circui linéaire aaqué ar une imulsion de Dirac (), don la ransformée es (). S() Sa ransmiance oéraionnelle T() s idenifie alors à S(). () D où la relaion imorane : a ransmiance oéraionnelle d un circui n es aure que la ransformée de alace de sa réonse à une imulsion de Dirac. Pôles e zéros. Posons a ransmiance T() éan un raor de 2 olynômes en, ceux ci ossèden des racines. N() T () ; es racines de N() ( soluions de N() ) son nommées les zéros de T() D() es racines de D() ( soluions de D() ) son nommées les ôles de T(). Soien z, z 2, z 3 les zéros de T() e, 2, 3 les ôles de T(). ( z).( z2).( z3)... T()eu ainsi s écrire : T() K. où K es une consane. ( ).( 2).( 3)... a connaissance des ôles d une ransmiance oéraionnelle erme de réciser une caracérisique imorane d un circui linéaire : Sa sabilié. Nous ouvons définir la sabilié d un circui linéaire de la façon suivane : Éan donné un circui linéaire iniialemen au reos, il sera qualifié de sable si, arès êre soumis à une imulsion de Dirac à une dae origine, il revien au reos au bou d une durée finie. Si le circui es insable, une elle solliciaion le fera, soi enrer en sauraion, soi enrer en oscillaion quasi ermanene. ( z).( z2).( z3)... Pour () (), S() T() K. ( ).( 2).( 3)... Soi, arès décomosiion en élémens simles : A B C S () 2 3 remonons à l originale s() : comme l originale de es e -a, a s() A.e B.e 2 C.e 3 a sabilié de nore circui exige que lim s() - Si les ôles i son réels, ils doiven êre négaifs, - Si les ôles i son comlexes, leur arie réelle doi êre négaive. Un circui linéaire es qualifié de sable si les ôles de sa ransmiance oéraionnelle son à arie réelle négaive

10 2.3 Quelques exemles. xemle : e condensaeur C es iniialemen chargé sous la ension ; l inerrueur es ouver our <, uis fermé à. Éudions l évoluion du couran i() à comer de. u C () C i() Définissons d abord le schéma oéraionnel de ce circui, our > : Il vien I() C C.U C (), avec U C ().I() D où I().( C) C C Soi encore I() C C don l originale es : i() e C /C / C i() I() U C () xemle 2 : On envisage la même siuaion iniiale que dans l exemle récéden mais la décharge s effecue dans une bobine d inducance e de résisance négligeable. u C () C i() A arir du schéma oéraionnel équivalen, nous ouvons écrire : I() C C.U C () avec U C ().I() (i() ) d où I().( C 2 ) C soi encore: osons I() 2 C ω 2 C ; alors C ω I() 2 ω2 don l originale es : i() C sin ω (n réalié, la bobine es ourvue d une ceraine résisance, qui va rovoquer un amorissemen lus ou moins raide de ce couran au cours du ems). /C i() (C/) -(C/) C I() U C () 2/

11 xemle 3 : Calculons la ransmiance oéraionnelle du classique circui C rerésené ci-conre. C T() C C2 C 2 C Choisissons : kω ; mh ; C nf ; il vien alors : es ôles de T() son e es ôles de T() son réels négaifs : e circui es donc sable. C T() u 2 6 C u S nvisageons une aaque imulsionnelle : u () (), soi U () nous aurons : S() T().() 2 6 Soi, arès décomosiion en élémens simles : S() don l originale es : s() 29 (e -27 e ) Qu en es-il du comoremen de nore circui en régime sinusoïdal ermanen? emlaçons ar j dans l exression de la ransmiance : T( jω ) jcω Nous reconnaissons une réonse asse-bas du second ordre, de ulsaion rore ω ( Cjω) 2, e d amorissemen C C m. (Soi resecivemen 362 rad/s e m,58 avec les valeurs numériques choisies ) 2