Cours Thème VII "Systèmes linéaires" 2- Outil d'étude d'un système analogique linéaire

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Brigitte Bastien
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1 Cour Thèm VII "Syèm lnér" - Oul d'éud d'un yèm nlogqu lnér quon dérnll : C + v =.. d Soluon d l'équon : Tro comlqué cr l cond mmbr n' "conn". Pour évlur l gnl v () on v ulr un nouvl oul don l rnc d rnormr l'équon dérnll n un olynôm. OBJCTIFS - Ulr un nouvl oul our réoudr un équon dérnll rlv à un yèm. - udr un yèm élcrqu drcmn n r r l'équon dérnll. - Ulr d héorèm our évlur l vlur nl l vlur nl d l or d'un yèm. - rénr un yèm à l'd d "chém bloc" dn l ormlm d Llc. - Flr "C ér" vc nré d y "rm" (Nouvll méhod) L'équon dérnll comor un conn ( = C) d oncon (gnux) qu () déndn du m ( v () ;. ). d Nou llon rnormr ou l oncon du m n oncon d'un vrbl lé "": I- POUQUOI UTILIS UN NOUVL OUTIL? (ud d'un xml) - Flr "C ér" vc nré échlon (Méhod clqu) =kω Pour l crcu c-conr, on roo d révor l orm du gnl d or v lorqu l'nré v un échlon d'mlud. On v nurllmn ulr l méhod du chr récédn : quon dérnll : v = = + v vc = C d Soluon d l'équon : v() C = A+ B. = C + v =. d vc = C =,m. mrqu : Dn c c, l'équon dérnll réou clmn cr l cond mmbr d y "conn" (échlon d non). - Flr "C ér" vc nré d y "rm" (Méhod clqu) rnon l mêm crcu m vc un nré d y "rm" v () =. =. 4. yon d révor l orm d v n réolvn l'équon dérnll (méhod du chr récédn) : v C=nF v v () ndr V S () Noon d oncon d "" n mjucul () ndr.v S () Mullcon r "" our l dérvé d. ndr rouvé dn l blu d rnormé (vor g uvn). L'équon n :.V() S + V() S = xrmon V S () : V() ( ) xrmon v () : L grh c-conr monr l vron d v () v () : + = V() S = (+ ) S L blu d rnormé (g uvn) nou ndqu qu corrond à v() =. +. (+ ) TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm Tnon n Vol V V (),,,3,4,5

2 II- LA TANSFOMATION D LAPLAC - Dénon (Pour normon) 3- Tblu d rnormé Grh d () () F() δ() A ou oncon réll du m (), on oc un oncon F() d l vrbl comlx = σ + j r l rnormon : Imulon unr δ() L [ () ] = F (P) = + () - Proréé (A connîr à vor ulr) d Γ() chlon uné Γ() Lnéré L [ α () + β () ] = α F () + β F () Dérvon. m. L [ ] = F() + ( + ) (On ur rè ouvn : ( + )=) Inégron % 63% () ( +) F() ()d = L Théorèm d l vlur nl % 37% () ou + + lm () = lm F() Théorèm d l vlur nl lm () = ( ) = lm F() Théorèm du rrd (Ulé our l lrg numérqu vc z = T ) L [ (-) ] = - F() () () () m n m + ϕ m Avc n ϕ= m m m n m m + + m + vc m < + m + ( +) vc m < TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm

3 III- TANSMITTANC ISOMOPH - Inroducon Condéron l yèm lnér c-dou (nré () or ()) : L'équon dérnll lnér régn l yèm : n n d n + + d + d n + = d d d n + + n + + b... b b b... d d d d d d cuon un rnormé d Llc d c équon : n n b S() b S() + b S() + b S() = () () + () + () n n S() ( b n ) ( n n b + b + b = () n ) n n n n S() = () b... b b b On u donc xrmr l or S() n oncon d l'nré () du ror n n qu n dénd qu du yèm. n b b + b + b n - Dénon () S() Pour un yèm lnér d'nré () d or S(), l ror T() = lé () rnmnc omorh du yèm. L rnmnc T() crcér comlèmn l yèm qu ourr êr chémé n : () Syèm T() () S() 3- Syèm du ordr Un yèm lnér du ordr d'nré () d or () rég r l'équon d() S dérnll : + () = T () vc conn d m T = lorqu () d un échlon. L rnormon d Llc donn : S() + S() = T () S() [ + ] = T() T S() = () + Dénon : L rnmnc d'un yèm lnér du ordr du y T S() T() = = () + l conn d m ( () = 63% d S ) S T l rnmnc qu ( T = lorqu () un échlon) mrqu : Ulon l héorèm d l vlur nl our monrr qu S = T. T lm () = lm S() = lm T()() = lm + o lm () = S = T vc = (échlon d'mlud ). () T + S() mrqu : L or du yèm 'évlu vc l'xron S() = T()(). TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg 3 ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm

4 4- Syèm du ordr Un yèm du ordr d'nré () d or () r rég r l'équon dérnll du ordr à cocn conn : d () d() + m + () = T () d d S Avc ulon ror, m cocn d'mormn T = lorqu () un échlon. L rnormon d Llc donn : S() + m S() + S() = T () m S() + + = T () S() T =. () m + + Dénon : L rnmnc d'un yèm lnér du ordr du y IV- XMPLS D'ÉTUD D SYSTÈMS - Syèm mécnqu du ordr Condéron l yèm lnér conué d'un rchu vc on chrgmn. L'nré du yèm l orc d nur P = m.g xrcé r l chrgmn d m m. L or du yèm l v d chu v du rchu. L rchu 'ouvr à l'nn = du lrgg (v = m/ our ). M n équon du yèm : Forc d nur : P = mg (échlon d orc : P = our ) Forc d romn : F = -v ( = cocn d romn) d z Forc = m = m = m d d P v = m d v + m = P d m v+ = P d Trnormon d Llc : m F P z S() T T() = () = m + + l ulon ror. m l cocn d'mormn (m > our un yèm bl). S T l rnmnc qu ( T = lorqu () un échlon) () T m + + S() m V() + V() = P() V() / T() = = P() m + T T() = vc T = + xron d l v v() our P() échlon d'mlud P : T P TP V() = T()P() = = + + v() = T ( / P x ) ( ) m =. TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg 4 ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm

5 xron numérqu d v() our m = 8kg = 6N.m -. : 8/6,5 v() = 8 x = 5 x 6. C + v = v + d + v + = v d +. vc = +. Grh v() : Trnormon d Llc : v (m/) 5, % 4,75 3,6 63% 95% V () V () V () + = + V() + T() = = V() ( + ) V () V () + ( + ) = xron d l non v () our v () échlon d'mlud :,5 - Syèm élcrqu du ordr,5 3 Condéron l yèm élcrqu conué d'un condnur C qu do êr chrgé à rvr un rénc. L condnur un déu d u (rénc n rllèl). L'nré du yèm l non v qu r un échlon d'mlud. L or du yèm l non v ux born du condnur. M n équon du yèm : v = + v ( ) v = + + v C v C v v + v = C + v d = + + d v v C v v = + + d C () C v V () = T()V () = + / v() = ( x ) + ( + ). vc = + xron numérqu d v () our C = µf ; = kω ; = kω = V : / ( ) v () = x 3+ v() = 8 x S 8, 7,6 5, V (V). vc 95% v (V) 63% C = = µ 3+ TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg 5 ur Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm 3 (µ)

6 3- Syèm élcromécnqu du ordr L yèm à éudr r l mour à courn connu à mn rmnn (xcon conn) vc romn néglgé. L'nré du yèm r l non d'lmnon u() (échlon d'mlud ) l or r l v d roon Ω() du mour. Idncon : L rnmnc d y Ω() T T() = = U() m + + M n équon du yèm commndé : d d quon élcrqu : u = + + L = kω+ + L d d dω JdΩ quon élcromécnqu : k = J = d k d Trnormé d Llc : quon élcrqu : U() = k Ω () + I() + LI() U() = k Ω () + ( + L) I() J quon élcromécnqu : I() = Ω () k quon générl : ( ) J non u (V) Mour CC v Ω (rd/) U() = k Ω () + + L Ω () k J LJ U() = k Ω () + + Ω() k k J LJ U() = k + + Ω() k k Ω() / k = = U() J LJ J LJ k+ + k k + + k k Ω() / k T() = = U() J LJ + + k k u L vc : T = k = k LJ cr LJ = k J J m = cr m = k L k J k m =. k k LJ C mour à courn connu nèrmn crcéré r l chém bloc c-dou : /k U() =k.ω J LJ + + k k V- UTILISATION DS THÉOÈMS - Objc Il 'g d dérmnr d roréé du gnl d or () drcmn à rr d l rnmnc T() d l'nré (). - Vlur nl Ω() On v ulr l héorèm d l vlur nl : lm () = lm S() our dérmnr l vlur d () u bou d'un m nn. TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg 6 ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm

7 xml d l chrg du condnur vc courn d u (nré échlon) V() + On déjà monré qu T() = = V() + ( ) + Pour un nré échlon d'mlud on : V() = + lm() lms() lm + = = lm () + = ( + ). ( ) (on ur lorqu C chrgé). xml du mour à courn connu n romn (nré échlon) Ω() / k On déjà dérmné : T() = =. U() J LJ + + k k /k Pour un nré échlon d'mlud on : Ω () = J LJ + + k k /k lm Ω () = lm Ω () = lm J LJ + + k k lm Ω () = (c' l régm rmnn = k.ω du mour n romn). k 3- Vlur nl On v ulr l héorèm d l vlur nl : lm () = lm S() our dérmnr l vlur d ( + ). xml du mouvmn d'un m m oum à un orc L yèm conué d'un m m ouvn délcr horzonlmn vc un cocn d romn lud (Forc d romn F = -v). L'nré du yèm l orc d rcon F lqué à l m l or l v d délcmn v. M n équon : Forc = m = m d F v = m d Trnormé d Llc : F() V() = mv() V() / T() = = = F() + m m + vluon l v à l'nn = + lorqu F un échlon d'mlud F : F / lmv() = lm V() = lm + m lm v() = F m m F x Forc F() T() V V() Morlé : L v d'un old (m m) n u vrr bruqumn d l mêm çon qu l courn élcrqu dn un bobn n u vrr bruqumn ( d dconnué). TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg 7 ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm

8 VI- MÉTHOD D'ÉTUD DS SYSTÈMS LCTIQUS 3- xml - Objc Il 'g d dérmnr l rnmnc d'un yèm élcrqu, n r r l'équon dérnll. L'dé d rvllr drcmn vc l rnormé d Llc d médnc. - Imédnc omorh L rénc Pour un rénc n convnon récur on : u =. U() = I() U() I() = Z () =. L'nducnc Pour un nducnc L n convnon récur on : d u = L d U() = LI() U() L I() = Z L () = L. L condnur Pour un condnur C n convnon récur on : du = C d I() = CU() U() = Z C () =. I() C C mrqu : L médnc comlx déjà ulé r l é on d c rculr d médnc omorh. Il u d rmlcr r j our r d médnc comlx ux médnc omorh. Invrmn, l u d rmlcr j r our r d médnc omorh ux médnc comlx. Z () = Z (j ) = Z L () = L Z L (j ) = JL C Z () = Z C (j ) = C JC. u u u L C rnon l yèm d chrg d'un condnur rénn un or courn d u rvrn l rénc d u. L'nré du yèm l non v qu r un échlon d'mlud. L or du yèm l non v ux born du condnur. Dérmnon drc d T() : Ulon l rlon du on ur : V() Z //C T() = = V() Z + Z //C TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg 8 ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm mullon r Y //C T() = = = + + C + T() = = + + C + + On rconnî lor T + Y //C Z + + C v = + C. = + v

9 4- xml So l yèm rrénn un lr -b du ordr don on vu dérmnr l V() rnmnc T() = (chém c-dou) : V() L v C v Dérmnon drc d T() : Ulon l rlon du on ur : V() ZC T() = = V() Z + Z + Z C L mullon r Y C T() = = = + Y Z + Z + C + L + C + LC ( ) ( ) C L T T() = m + + vc T = ; = LC C m =. L TS IIS ( Phyqu Alqué ) Chrn BISSIS h://cbro.r.r Pg 9 ur 9 Thèm VII- : Oul d'éud d Syèm

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