«Spéculateurs hétérogènes et volatilité excessive dans le prix du pétrole : une approche dynamique non linéaire»

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1 «Spéculateurs hétérogènes et volatilité excessive dans le prix du pétrole : une approche dynamique non linéaire» Sadek MELHEM Mahmoud MELHEM DR n

2 Spéculateurs hétérogènes et volatilité Excessive dans le prix du pétrole : une approche dynamique non linéaire Sadek MELHEM 1 Mahmoud MELHEM 2 Mai 2012 Résumé Dans le cadre de ce papier, afin d identifier la source de la volatilité excessive, nous avons examiné le rôle des spéculateurs hétérogènes sur la dynamique du prix spot du pétrole. A ce titre, nous avons fait appel à la théorie des agents hétérogènes afin d expliquer les anomalies observées. Cette théorie a mis en exergue la nécessité de spécifier de façon endogène les processus d interaction des agents. De plus, l existence d une part d aléa dans ces processus nous a mené à recourir également à des processus stochastiques afin de modéliser la volatilité excessive. L intérêt d utiliser de tels processus réside dans leur aptitude à étudier des systèmes chaotiques à haute dimension. Ainsi, nous avons fait appel aux modèles combinés de processus chaotiques stochastiques (Mackey Glass A-FIGARCH), qui prend en considération la dynamique contenue à la fois dans la moyenne et dans la variance. Nos résultats ont montré que les activités spéculatives des spéculateurs hétérogènes sont à l origine de la dynamique non linéaire ainsi que de la volatilité excessive du prix du pétrole. MOTS-CLES: Spéculateurs Hétérogènes, Dynamique non linéaire, Chaos stochastique, Mackey Glass A-FIGARCH, Marché pétrolier. 1- Introduction La prévision du prix du pétrole demeure un grand défi pour les économistes ainsi que pour les économètres. Le prix du pétrole est caractérisé sans aucun doute par des mouvements très volatiles et imprévisibles. La volatilité du prix spot du pétrole brut, particulièrement depuis , soulève de nombreuses questions quant à la détermination du prix du pétrole et au jeu complexe des interdépendances entre les marchés physiques et les marchés financiers. La complexité des interactions entre les spéculateurs hétérogènes limite toute explication univoque de la forte variation des prix du pétrole. Afin d appréhender le fonctionnement du marché pétrolier et en particulier la manière dont s opère la détermination des prix, plusieurs études ont fait appel à la force physique traditionnelle pour expliquer les comportements des prix sur les marchés. Ils ont observé que les fondamentaux n ont pas la force suffisante pour prendre pleinement en compte la variation des prix pendant ces dernières années. Ils ont mis cependant en évidence l existence de spéculations sur les marchés. Dans ce contexte, Greenspan (2006) a montré que les spéculateurs influents de manière grave sur la trajectoire du prix. Dao et al. (2005) ont observé que les activités spéculatives sur le marché conduisent à une grande volatilité des prix. De leur coté, Collins et al. (2006) se sont interrogé sur l incapacité des fondamentaux à expliquer la forte volatilité inhérente au prix, ils en sont venus à la conclusion selon laquelle, la spéculation serait essentiellement responsable de la hausse de volatilité. Le récent accroissement de la volatilité des prix a suscité l intérêt pour la modélisation des prix par le biais de dynamiques non linéaires. L apport majeur de ces nouvelle méthodologies 1 LAMETA, University of Montpellier 1, LAMETA, Montpellier, France. Sadek.melhem@lameta.univmontp1.fr 2 University of kilaw, kuwait-doha city-block2, Kuwait, melhemmahmoud@hotmail.com 1

3 réside dans leur capacité à traiter de façon suffisante les anomalies que l on peut observer sur le marché, notamment le phénomène de spéculation, qui peut provenir de sources diverses et variées. Bien que les travaux de recherche sur la détection de la source de la non linéarité soient inépuisables et les controverses qu ils suscitent soient sans fin, les ressources bibliographiques en notre disposition montrent que le thème relatif à l apparition des activités spéculatives et son rôle sur l évolution des prix n'a pas été suffisamment traité. Le paradigme méthodologique de la prévision des prix se concentre autour de trois écoles d analyses principales : stochastique, déterministe et chaotique stochastique. Considérant la difficulté de distinguer un processus stochastique d un processus déterministe en présence du bruit fort, et étant donné l incapacité d une seule famille de processus à détecter la dynamique complexe, nous faisons appel à des processus combinés de chaos stochastique qui constituent essentiellement l intérêt de la troisième école de pensée. Après avoir vérifié la présence de structures non linéaire dans la série des rentabilités, nous devons identifier la nature des processus générateurs, ce qui nous permettrait de proposer des outils plus sophistiqué afin de prévoir le prix spot du pétrole. Ainsi, nous vérifierons si les interactions des spéculateurs hétérogènes sont à l origine du phénomène de volatilité sur les marchés. Pour atteindre ce but, ce papier constitue une étude de la structure des rentabilités en prenant en compte les activités spéculatives des agents hétérogènes ainsi que les fluctuations causées par des chocs exogènes. L avantage de cette démarche réside dans le fait qu elle nous permet de prendre en considération à la fois la dynamique non linéaire et la présence d une persistance des chocs dans le processus de la volatilité avec du changement structurel. Ce traitement envisage une grande importance pour comprendre et prévoir le prix. 2- La dynamique du prix du pétrole : une approche par la finance comportementale avec agents hétérogènes La théorie traditionnelle de la spéculation considère que la fonction économique de la spéculation est d atténuer les fluctuations de prix dues à des changements dans l offre et la demande. Elle suppose que les spéculateurs sont des agents dotés d une faculté de prévoyance supérieure à la moyenne, qui interviennent comme acheteurs à chaque fois qu il y a un excès provisoire de l offre sur la demande et qui ce faisant tempère la baisse du prix ; ils interviennent comme vendeurs à chaque fois qu il a une insuffisance de l offre et ce faisant tempèrent la hausse du prix 3. Lorsque les spéculateurs sont irrationnels, et lorsque des bulles spéculatives se forment, la volatilité des prix va l accroître. Ces phénomènes menant à une déstabilisation du marché posent la question de la rationalité des marchés et leurs efficiences. La présence de spéculateurs sur le marché est un indicateur qui vise à mettre en évidence le caractère non efficient du marché. Cela suggère aussi que les agents ne se comportent pas de façon rationnelle contrairement aux assertions de l hypothèse de l efficience du marché. Afin d étudier l impact de spéculation sur la volatilité des prix du pétrole, Collins et al. (2006) ont fait appel à la force physique traditionnelle pour expliquer les comportements des prix sur les marchés. Ils ont observé que les fondamentaux n ont pas la force suffisante pour prendre pleinement en compte la tendance des prix pendant ces dernières années. Ils ont mis en évidence qu il existe des spéculations sur les marchés. Dans leurs recommandations au sénat américain, Collins et al. (2006) ont montré que la spéculation a fortement augmenté dans les marchés pétroliers pendant cette dernière décennie. Elle est induite par des traders de court terme qui influent brutalement sur les comportements des prix spot et aboutit à la perte des signaux fondamentaux du marché. Cette conclusion conforte celle d Ellen et Zwinkels (2010), 3 Kaldor (1987), «Spéculation et stabilité économique», in Economie et Instabilité, Economica. 2

4 qui ont mis en évidence que la large volatilité existante sur le marché est due à des comportements spéculatifs. Plusieurs études ont montré que la spéculation est en effet une cause essentielle de la flambée des prix du pétrole (Pirog, 2008 ; Kraugman, 2008 ; Kaufman et al et Fattouh, 2010). Selon Greenspan (2006), la crainte de la position future peut créer une demande additionnelle du pétrole, qui provoquera une augmentation des prix puisque l offre est rigide à court terme. La spéculation apporte de la liquidité sur le marché des futures, mais par contre elle peut détruire les signaux envoyés par le marché physique est peut conduire à des volatilités excessives des prix (Sornette et al., 2009). La spéculation est aussi liée à la faiblesse du dollar : les investisseurs achèteraient massivement des contrats à terme pétroliers pour se couvrir face à la baisse du dollar. Le pétrole serait devenu une valeur refuge (Xinhua, 2008). En outre, il existe un autre facteur qui conduit à une spéculation spectaculaire : c est le facteur de la peur représenté par les menaces terroristes potentielles ou l instabilité politique. Par exemple, une instabilité politique surtout dans le golfe persique provoque une crainte de rupture de ravitaillement du pétrole sur le marché international à court terme (Pirrong, 2008). Un autre facteur à l origine de la spéculation réside dans les bulles saisonnières. Les saisons les plus connues sont la saison de froid et la saison de voyage. Comme les variations climatiques saisonnières sont imprévisibles, la prévision de la demande s avère presque impossible. Ainsi, un choc de demande provoqué par une vague de froid peut augmenter les prix du pétrole. En conséquence, quand la saison prend fin le prix du pétrole effectue un retour vers son état d équilibre. La répétition de ce même effet chaque année constitue une bulle saisonnière cyclique (Hamilton, 2006). Nombreuses sont les raisons qui favorisent les activités spéculatives sur les marché pétrolier. L examen des diverses suppositions et autres argumentations sur le sujet permet une meilleure compréhension de ce phénomène qu est la spéculation. En effet, les anomalies qui provoquent les activités spéculatives, et qui de ce fait perturbent le marché financier, tendent à se reproduire de façon plus fréquente que l on veut bien le croire. Ces activités sont alimentées par la présence de spéculateurs sur le marché, certains caractérisés par l irrationalité individuelle, d autres par de l irrationalité collective, mais aussi par l existence de diverses stratégies de trading spécifiques à chacun des type d agents. Ainsi, du fait de la multiplicité des types des spéculateurs sur le marché, ainsi que du fait de l hétérogénéité de leur anticipations, nous avons fait appel à la théorie des agents hétérogènes afin d expliquer la dynamique produite par l interaction de ces agents (Ellen et Zwinkels, 2010). Dans une économie où il existe des ressources non-renouvelables, le pétrole avec de l offre fixe est un candidat potentiel pour une bulle spéculative. Vu la stabilité de l offre, la demande semble être plus flexible à court terme. L offre qui dépend du prix et du temps est supposée inélastique à court terme. Dans ce cas, l évolution du prix peut exprimer par: = (,) () (1) Comme du côté de l offre, il existe deux types d agents du côté de la demande sur les marchés. Nous avons vu qu il existe deux types d investisseurs du côté de l offre sont : les producteurs qui vendent le pétrole directement aux consommateurs, et les propriétaires des gisements qui achètent le pétrole afin de stocker et revendre lorsque les prix augmentent, ce sont les spéculateurs. Du coté de la demande, nous observons deux types d investisseurs sont : les investisseurs qui dépendent sur les fondamentaux économiques du marché dans leurs comportements, nous disons ce sont les agents rationnels, et les investisseurs naïfs ou irrationnels qui dépendent de l historique du prix du pétrole dans leurs comportements (Brock et Hommes, 1998). Ces deux types d agents ont été distingués par Frankel et Froot (1987), 3

5 dans le modèle des agents hétérogènes, et qu ils sont appelé : les fondamentalistes et les chartistes, respectivement. Les interactions entre les deux groupes des agents, ou entre les spéculateurs du même groupe rend le prix plus volatile. A cet égard, nous allons évaluer les effets de la présence des spéculateurs hétérogènes sur les prix. Pour atteindre l efficacité recherchée, nous allons faire appel au modèle proposé par Ellen et Zwinkels, (2010), qui a été a l origine de Reitz et Westerhoff (2007) ; Reitz et Slopek (2009). Ce genre du modèle peut aider à mieux expliquer la dynamique de prix du pétrole Les spéculateurs Supposons que le prix est déterminé dans un ordre axé sur un marché régi par des agents hétérogènes, le changement de prix en temps + 1 peut exprimer par l excès de demande des chartistes et des fondamentalistes plus les bruits, il s écrit : +1 = + ( + ) + +1 (2) P est le prix à l instant t, est un coefficient représente la réaction positive déterminé par le market marker. ( ) sont l excès de demande des spéculateurs fondamentalistes et chartistes, respectivement. Le changement du prix dépend sur l instabilité de la demande à la fois les fondamentalistes et les chartistes, parce que le market maker ne peut pas distinguer entre les deux. La demande du pétrole des fondamentalistes basée sur la différence entre le prix à l instant t et le prix anticipé en + 1. = [ ( +1 ) ] (3) Où est un paramètre de réaction positive des fondamentalistes, E est un opérateur d anticipation. La demande des fondamentalistes augmente lorsqu ils anticipent que le prix futur sera plus élevé que le prix courant et vice versa. Les fondamentalistes font leurs anticipations en basant sur les fondamentaux sur le marché. C'est-à-dire que le prix reflète toujours sa valeur intrinsèque, et qui revient vers sa moyenne à long terme. Par conséquent, les fondamentalistes prévoient si le prix anticipé est surévalué, donc le prix va baisser à long terme. Contrairement, si les prix anticipés sont sous évalué, donc le prix va augmenter à long terme. Le prix anticipé peut s écrire : ( +1 ) = + 1 ( ) ( ) (4) Où est le prix fondamental à long terme à l instant t. L équation (4) montre que les mouvements des prix anticipés par les fondamentalistes sont causés par la déviation de prix de sa valeur intrinsèque. La distinction entre les deux situations surévalué et sous-évalué peut exprimer : ( ) + =( ) si ( ) 0 et zéro sinon. ( ) =( ) si ( ) < 0 et zéro sinon. La réaction des fondamentalistes à la surévaluation (sous-évaluation) est présentée par le paramètre 1 [ 1,0] ( 2 [ 1, 0]), qui est négatif. Lorsque 1 est égale à 2, la réponse à la sur évaluation et à la sous évaluation est symétrique. Ce genre de modulation implique plus de flexibilité sur les comportements des fondamentalistes et répond sur plusieurs arguments. Kahneman et Tversky (1979) montre que les investisseurs réagissent différemment au profit et à la perte potentielle, relativement à l aversion au risque. Par conséquent, le trader répond plus à la sous-évaluation qu à la surévaluation. C'est-à-dire, que 4

6 le trader semble plus hésitant pour vendre dans le cas surévalué qu à acheter dans le cas sousévalué (Canoles et al., 1998). Le second groupe est les chartistes. Ce sont des spéculateurs qui forment leurs anticipations en basant sur l analyse technique ou sur l historique des prix. Comme les fondamentalistes, la demande des chartistes est conditionnellement linéaire du changement des prix anticipés. = [ ( +1 ) ] (5) Où représente la réaction positive des chartistes. Ce qui implique que la demande augmente lorsque les chartistes anticipent que le prix en + 1 sera plus élevé que le prix courant en. L analyse technique contient plusieurs formes différentes. Par exemple, dans le modèle de Brock et al. (1992), nous trouvons deux caractéristiques importantes concernant les anticipations des chartistes. La première est que les chartistes basent leurs anticipations sur l historique du prix sans prendre en compte l information qui provient de façon exogène sur le marché. La seconde caractéristique est que les chartistes anticipent les prix futurs à partir de la tendance courante sans prendre en compte le niveau de la valeur fondamentale des prix. Cependant, l anticipation future des chartistes peut se définir : ( +1 ) = + 1 ( 1 ) ( 1 ) (6) A partir de l équation (6), nous distinguons deux types de la tendance : la tendance à la hausse (prix passé haut) et la tendance à la baisse (prix passé bas). Ceux tendance peut exprimer par : ( 1 ) + =( 1 ) si ( 1 ) 0 et zéro sinon. ( 1 ) =( 1 ) si ( 1 ) < 0 et zéro sinon. Selon cette modélisation, les traders qui font appel l analyse technique anticipent que le mouvement de la tendance continue dans la même direction, si les deux paramètres 1 et 2 soient positifs. Les coefficients négatifs des paramètres impliqueraient un comportement opposé. Si 1 > 2 signifie que les chartistes réagissent plus à l augmentation des prix. Contrairement, Si 1 < 2 cela signifie que les chartistes sont plus désireux à vendre lorsque la tendance à la baisse qu acheter lorsque la tendance à la hausse. Cependant, les fondamentalistes et les chartistes obtiennent des stratégies différentes selon lesquels les agents peuvent évaluer et anticiper sur le marché. Les agents basent leurs anticipations sur la stratégie la plus performante. De Jong et al. (2009a, b) ont montré que les agents mesurent la performance des leurs stratégies en basant sur la précision de l anticipation précédente. Donc, l arbitrage du temps est la pierre angulaire dans la mesure de la performance des stratégies. Les agents alors choisissent la stratégie qui possède le minimum d erreur de prévision au carré au temps passé > 0, qui peut exprimer par : = =1 [ 1 ( ) ] 2 (7) = =1 [ 1 ( ) ] 2 (8) Où et sont les performances conditionnelles des stratégies fondamentalistes et des stratégies chartistes, respectivement. La part des fondamentalistes sur le marché dépend de la performance relative des leurs stratégies comparée avec celle des chartistes. La règle de changement de stratégie de trading est définie par : = (9) 5

7 Où < 0, 1 > représente la part des fondamentalistes du marché, tels que 1 est la part des chartistes du marché en temps. L importance de l équation (9) est qu il concentre plutôt sur la performance relative que sur la performance absolue comme dans le modèle de Brock et Hommes (1998). L intérêt de cette modélisation réside dans le fait que sa performance relative puisse contenir deux limites naturelles ±1, ce qui permet d estimer facilement le paramètre. De plus, la mesure de la performance est normalisée, il sera possible de comparer la magnitude de paramètre entre les différentes marchés et au cours du temps. Le paramètre représente l intensité de choix et est un indicateur selon lequel nous pouvons savoir si la performance déterminée de certaines stratégies est bien adoptée. Avec > 0, la stratégie en temps possède la meilleure performance et il est favorable d appliquer en + 1. En outre, si = 0 ça signifie que les agents ne répondent pas aux différentes niveaux de la performance des stratégies, où = 1/2. De plus, l intensité de choix peut également vu comme une mesure de l état du biais, c'est-à-dire, mesure la fidélité des spéculateurs avec ses stratégies d anticipation bien que les autres stratégies semblent être plus attractives L offre et la demande Dans le cas du marché financier, le modèle des agents hétérogènes ne suppose l existence d investisseurs que du côté de la demande. A l opposé, dans le marché pétrolier, Ellen et Zwinkels (2010) ont montré qu il existe une part d investissement du côté de l offre. Comme nous avons vu précédemment, l offre comme la demande jouent un rôle très important dans la formation de prix du pétrole. Cependant, pour étudier l interaction entre les investisseurs des deux côtés, et ses impacts sur le marché, nous allons rajouter l offre et la demande réelle dans la partie d investissement du modèle. La demande réelle du pétrole consiste en une composante exogène, qui ne dépend pas du prix, et une partie endogène qui est une fonction négative de prix du pétrole. La demande réelle se définit par la fonction de la demande linéaire : = (10) Où est la demande exogène du pétrole, et est un paramètre qui représente la sensibilité de prix à la demande. De même, l offre (,) est supposée d être la fonction linéaire de prix, qui se définie par : = (11) Selon lequel est l offre exogène du pétrole, et est la sensibilité de prix à l offre. En plus, l offre est une fonction positive de prix. La demande totale du pétrole consiste la demande réelle et la demande pondérée des chartistes et des fondamentalistes, qui peut exprimer par l équation suivante : = + +(1 ) (12) L offre totale du pétrole sur le marché consiste d une partie à consommer directement et une partie à stocker et vendre ultérieurement (stock à spéculer), qui se définit par l équation suivante : = + (13) Donc, le prix anticipé en + 1est une fonction de l interaction entre l offre et la demande sur le marché plus le terme d erreur : 6

8 +1 = + + = +[ ] + (14) Où est un paramètre d ajustement des prix. Si > 0 l impact sur le marché vient de la part des demandeurs, et l interaction entre les investisseurs de la coté de demande influent sur la trajectoire des prix. En outre, si < 0, l impact sur le marché vient de la part des offreurs, c'est-à-dire, que l interaction entre les investisseurs du côté de l offre influence la trajectoire des prix. Selon Jovanovic, la partie de l offre ne sera jamais à vendre, ou plutôt elle rentre au marché à la date précise. Nous allons cependant considérer que la deuxième partie de l offre représente l offre sur le marché, et la supposer stable à court terme. Par conséquent, nous allons considérer que le prix final est la fonction de l excès de la demande plus le terme d erreur, qui s écrit : +1 = + + ( 1 ( ) ( ) ) +(1 )( 1 ( 1 ) ( 1 ) ) + (15) Avec =( ), =( ), 1 = 1 représente l impact des fondamentalistes lorsque le prix est surévalué, 2 = 2 est l impact des fondamentalistes lorsque le prix est sous-évalué. 1 = 1 représente l impact de chartistes lorsqu il existe un tendance positive de prix, 2 = 2 est l impact des chartistes lorsqu il existe un tendance négative de prix. Nous avons ainsi présentée une approche des agents hétérogènes qui rassemble les croyances et l interaction entre les investisseurs hétérogènes, et leur relation avec les consommateurs réels et les fournisseurs du pétrole. L intérêt de ce type du modèle est une essaye à expliquer les comportements complexe des investisseurs hétérogènes qui engendrent une dynamique non linéaire que nous supposons qui est à l origine de la volatilité excessive. Cela signifie que les volatilités dans le marché pétrolier sont dues aux erreurs d interprétation des nouvelles informations commises par les noise traders, qui amplifient le bruit dû aux informations exogènes incorporées dans le prix. Le phénomène d agrégation de la volatilité est donc dû, selon Ellen et Zwenkls (2010), à la présence des noise traders et la dynamique complexes qui sont incorporées dans les prix sont dues alors aux interactions entre les forces endogènes exogènes sur le marché. A cette fin, nous allons proposer, dans le cadre de la section prochaine, des modélisations économétriques afin détecter les anomalies observées sur les marché pétrolier. 3- Dynamique non linéaire du prix spot du pétrole : Modèle MG-A- FIGARCH Afin d étudier l impact des activités spéculatives des investisseurs hétérogènes sur le prix spot du pétrole, nous faisons appel aux processus mixte du type chaotique stochastique. Pour atteindre cet objectif, nous proposons une modélisation qui s appui sur la famille de modèles issus de celle qui a été proposé à l origine par Mackey et Glass (1977). Il s agit du modèle Mackey Glass A-FIGARCH qui de part sa prise en compte des erreurs hétéroscédastiques, ainsi que des ruptures structurelles s avère le modèle le plus adapté Le modèle empirique Dans un marché, les interactions entre les forces endogènes et exogènes produisent des dynamiques complexes qui sont incorporées dans les prix. Les fluctuations de nature 7

9 chaotique sont donc le résultat des chocs endogènes. D autre part, chaque observation contient une erreur qu on appelle bruit blanc dynamique (Smith, 1992). Il s agit alors d un système chaotique stochastique. Les propriétés des processus chaotiques restent invariantes, même en présence de bruit blanc, à condition que le bruit ne soit pas très élevé (Simiu et Frey, 1996). Par contre, lorsque la variance du bruit est très élevée, la distinction entre les deux processus se révélera de plus en plus difficile (Schittenkopf et al., 1999). Nous ne pouvons pas déterminer un niveau de bruit à partir duquel le système devient stochastique, car les différents systèmes chaotiques n évoluent pas de la même façon en présence de bruit chaotique (Guégan et Nguyen, 1998). De plus, Hommes (2000) a souligné qu il ne faut pas négliger le bruit dans la modélisation des rentabilités financieres. Parce que l incertitude joue un rôle crucial dans le marché. Dans le même ordre d idée, Chan et Tong (1994) ont montré que la combinaison entre les processus non linéaire dynamique et de bruit dynamique sera plus adéquate afin de modéliser les rentabilités qu un simple processus stochastique. Ce résultat confirme celui de Wu et al. (2007) qui a noté que les processus générateurs des séries temporelles ne sont uniquement chaotiques que très rarement ; les solutions devraient être plutôt chaotiques stochastiques. L avantage d utiliser une telle modélisation réside dans la non linéarité dans la moyenne et dans la variance. Afin de détecter des dépendances non linéaires dans la moyenne et dans la variance, nous proposons un modèle chaotique stochastique. L hétérogénéité des agents incorpore du bruit de nature endogène qui est engendré par l action des noises traders dans le marché amplifiant le bruit exogène déjà existant. Ainsi, les erreurs de notre processus de chaos stochastique sont hétéroscédastiques. Le modèle proposé pour modéliser le non linéarité en moyenne et en variance est la version stochastique de l équation différentielle de Mackey Glass (1997) en temps discret. Pour la partie hétéroscédastique, nous utilisons un processus de la famille des modèles ARCH. Il s agit d un modèle non linéaire mixte nous l appelons : Mackey Glass A- FIGARCH. Le modèle chaotique de MG se caractérise par des dimensions qui tendent vers l infini grâce au paramètre (delay), qui permet d avoir les mêmes propriétés que les séries réelles pour différentes valeurs des ses paramètres. Le modèle A-FIGARCH est un processus de la volatilité à mémoire longue. Ces processus prennent en compte à la fois le mémoire longue et le changement structurel dans les processus de la variance conditionnelle. Le modèle Mackey-Glass-A-FIGARCH (p, d, q, k) peut s écrire : = (16) Où sont des paramètres à estimer, est le retard et c est une constante positive sélectionnés par le critère SIC et AIC. Le choix de c et est crucial pour déterminer la dimension du système. ~(0, 2 ) avec 2 est le variance conditionnelle. Baillie et Morana (2009) on proposé un modèle qui détermine la mémoire longue dans les volatilités en présence du changement structurel (A-FIGARCH). Rappelons que le processus FIGARCH (p, d, q) qui s écrit : (1 ()) 2 = 0 +[1 () Φ()(1 ) ] 2 (17) Selon la forme flexible de la constante d Andersen et Bollerslev (1997), Le processus A- FIGARCH(q, d, q, k) de Baillie et Morana (2009) peut être dérivé du processus FIGARCH(p, d, q) en spécifiant le terme de constante 0 comme étant une fonction du temps, qui s écrit : Où [1 ()]( 2 ) =[1 () Φ()(1 ) 2 ] (18) = 0 + sin 2 cos ( 2 =1 ) (19) 8

10 Ce processus réduit le modèle FIGARCH en fixant =[1 (1)] 1. La forme flexible de la constante est une approche efficiente pour modéliser le changement structurel sans avoir besoin de pré-tester la localisation du point de rupture. Donc, la variance conditionnelle du processus A-FIGARCH(p, d, q, k) se définie par: 2 = +() 2 (20) Pour assurer la positivité de la variance conditionnelle à tout instant t, certaines conditions doivent être remplies, à savoir > 0 et > 0, où 0 Φ + et 0 1 2Φ. La forme flexible de constante implique que le processus A-FIGARCH n est pas strictement stationnaire ni ergodique. Généralement, nous trouvons la mémoire longue dans la variance conditionnelle du processus (18) décroissant à un taux hyperbolique lorsque 0 <1. La modélisation conjointe de la mémoire longue et des ruptures structurelles montre que l estimation du paramètre de la mémoire longue d du modèle A-FIAGRCH est plus performante et moins biaisée que celui du modèle FIGARCH. Le modèle A-FIGARCH présente un critère RMSE plus petit que celui du FIGARCH, ce qui reflète une meilleure performance au niveau de la persistance du paramètre d. De plus, l application du modèle A- FIGARCH sur une série où il n y a pas de ruptures structurelles ne présente aucun impact sur le coefficient du paramètre de la mémoire longue (Bailli et Morana, 2009). Par contre, négliger l éventuelle présence de ruptures dans la série conduit non seulement à un biais dans l estimation du paramètre fractionnelle d mais aussi dans l estimation des paramètres de l équation de la variance conditionnelle et Φ, cas dans lequel le dégrée de persistance des paramètres s en retrouve plus faible. Par conséquent, la performance du paramètre d augmente avec le degré de persistance des chocs de la volatilité dans la série globale. Le grand intérêt du modèle Mackey Glass A-FIGARCH pour les applications en finance réside dans sa capacité à fournir des explications plus recherchées des anomalies observées dans la série des rentabilités. Afin de tester l efficacité de notre modèle à détecter de dépendance non linéaire, nous l estimons sur les séries des prix du pétrole. Pour cette fin, nous allons d abord présenter les données Les évidences empiriques Nous utilisons les données journalières du prix du pétrole d WTI (West Texas Intermediate), coté sur le New York Mercantile Exchange (NYMEX), entre Janvier 1986 et Mars 2010, (Sources : Agence d'énergie internationale, Nombre d observations 6138, graphique 3.1 (bleu)). Le prix réel du pétrole est le prix du pétrole en dollar rapporté à l indice des prix à la consommation Américain. La série des prix du pétrole se caractérise à la fois par des variations très importantes et par une forte volatilité. Il serait cependant plus exact de parler de variation de prix de grande ampleur sur une période donnée, et non de volatilité au sens statistique ou financier du terme (graphique 1 (rouge)). Par conséquent, afin de comprendre la structure de la série temporelle des prix, nous allons, dans un premier temps, calculer les statistiques descriptives. 9

11 Graphique 1 : Evolution et la volatilité des cours du pétrole brut WTI (OIL) depuis Janvier Les propriétés statistiques des séries Afin d appréhender la structure de la série du prix du pétrole, nous faisons appel aux statistiques descriptives de cette série. Pour cela, et en vue de procéder à une interprétation sans ambigüité et sans biais de la mémoire longue et du phénomène de la non linéarité, nous devons stationnariser la dite série (LOIL, en logarithme). En plus, l examen des distributions de la série considérée est une étape nécessaire dans l étude de la modélisation non linéaire. En effet, les distributions marginales des processus non linéaires sont typiquement non gaussiennes. Il s agit pat conséquent d une seconde hypothèse à vérifier Le test de racine unitaire Afin de tester la non stationnarité des séries, et en s appuyant sur les composantes structurelles inhérentes à la série de pétrole (LOIL), nous allons appliquer le test de racine unitaire non linéaire de Kapetanios et al. (2003), prenant en compte les changements structurels multiples détectés de façon endogène. KSS (2002) ont fourni un test de racine unitaire qui détecte la présence de la non stationnarité linéaire face à la stationnarité non linéaire globale. Le but du test est d atteindre l état d équilibre non linéaire à long terme (les processus mean-reversion non linéaires). KSS ont utilisé des processus autorégressifs polynomiaux et exponentiels (ESTAR) qui possèdent une puissance accrue par rapport aux tests standards. En effet, le fait de négliger l effet STAR non linéaire peut biaiser les résultats à long terme. On considère le modèle ESTAR qui s écrit: 2 yt yt 1yt11 exp ytd t (21) 2 Où t ~ iid (0, ), et sont des paramètres inconnus. représente la vitesse de transaction d un état à un autre. On suppose que 0, et d 1 est le paramètre de retards, où d 1,2,..., dmax. La positivité de détermine la vitesse du retour vers la moyenne. y t est un processus stochastique centré. Dans le cadre où y t est un processus à racine unitaire, il faut que 0 4. Donc l hypothèse nulle de racine unitaire linéaire implique que 0 et 0 face à l alternative telle que 0 et 0. Sous l hypothèse alternative, y t est un processus stationnaire non linéaire global 2 0. Dans la pratique, la meilleure date d est sélectionnée telle que d 1 (comme préconisé par leurs auteurs Michael et al, 1997). 4 KSS ont appliqués le même contexte déjà utilisé par Blake et Fomby (1997) et Michael et al. (1997). 10

12 Ainsi, avec 0 et d 1 le modèle ESTAR est devenu : y t 2 t1 t yt 1 1 exp y (22) Nous nous retrouvons donc avec les hypothèses H 0 : 0 et l alternative H 1 : 0. Sous l hypothèse nulle n est pas identifiée. Cependant, KSS dans l eleboration de leur test statistique ont utilisé l approximation exponentielle d ordre 1 à l origine proposé par Luukkonon et al. (1988), et dérivé de l expansion de Taylor d ordre 1. Cette extension permet ainsi de tester la présence de racine unitaire dans le cas de corrélation sérielle des erreurs. Le modèle s écrit : y t p j1 On obtient le T-statistique pour 0 face à 0. y 1 y (23) j t 3 t1 t t ˆ NL / s. e.( ˆ) (24) Où ˆ est l estimateur OLS et le s. e.( ˆ ) représente l écart-type de ˆ. L application du test de KSS (2002) à la série du pétrole en logarithme (LOIL) conduit à conclure à la présence d une racine unitaire linéaire en niveau (tableau 1). L hypothèse nulle de racine unitaire a été acceptée à seuil de 5%. Donc, l hypothèse alternative de stationnarité non linéaire globale a été rejetée. Par conséquent, la stationnarisation de la série du pétrole, se fait par le biais du filtre aux différences premières DLOIL t ln( OIL) t ln( OIL) t1, et nous obtenons la série des rentabilités (figure 2). Les résultats de cette nouvelle application du test sur les rentabilités montrent que cette série est stationnaire, ce qui est une condition sine qua none à toute analyse sans ambigüité relative aux dynamiques chaotiques et composantes de mémoire longue. Tableau 1 : Le test de racine unitaire de KSS (2002) CV LOIL * *l hypothèse nulle acceptée au niveau significatif de 1%. Graphique 2 : les séries des rentabilités DLOIL. 11

13 Statistiques descriptives Le graphique (3) donne les statistiques descriptives de la série des rentabilités DLOIL, ainsi que la valeur de la statistique du test de normalité de Jarque-Berra. Rappelons que pour une loi normale le coefficient de Skewness est nul et celui de Kurtosis vaut 3. Cette loi est caractérisée par sa symétrie par rapport à la moyenne ainsi que par la faible probabilité des points extrêmes. Sous l hypothèse nulle de normalité, la statistique de J&B suit une loi de Khi-deux à deux degrés de liberté. A cet égard, l on observe une Leptokurticité de la fonction de distribution. Le coefficient d asymétrie normale ou Skewness est différent de zéro ; ce qui indique que l asymétrie de la distribution de la série est différente de celle de la loi normale. Cette asymétrie peut être révélatrice de la présence des structures non linéaires dans le processus générateur de la série des rentabilités. Le diagnostic de normalité de la distribution des rendements est effectué par le biais de l analyse conjointe des coefficients d asymétrie et d aplatissement. Ce diagnostique est aussi synthétisé par le biais de la statistique JB, combinaison linéaire des deux précédente, et celle-ci conclue à la nature non normale de la distribution de la série des rendements. Graphique 3 : statistiques descriptives de la série DLOIL Le test de l hétéroscédasticité Afin de tester l homoscédasticité du processus générateur des rendements du DLOIL, on utilise le test ARCH basé sur le principe du multiplicateur de Lagrange. Ce test qui a été introduit par Engle (1982), consiste en une régression des carrés des résidus sur une constante et sur p carrés des résidus retardés : e cte e e... e. A t 1 t1 2 t2 p t p partir des résidus de la régression, la statistique du test TR 2 est calculée où T est le nombre d observations, R 2 est le coefficient obtenu à partir de la régression. Nous testons l hypothèse nulle de l homoscédasticité H... 0, contre 0 : 1 2 p l alternative H 1 où la série est hétéroscédastique. Sous l hypothèse nulle, la statistique du multiplicateur de Lagrange suit asymptotiquement une loi 2 ( p). Elle sera rejetée si la statistique TR 2 dépasse la valeur critique du test. Le tableau 2 montre le résultat de l application du test ARCH à la série de rendements du DLOIL est hétéroscédastique. Tableau 2 : le test ARCH LM de l hétéroscédasticité Test Obs*R-squared p-value ARCH-LM * *Résultat acceptée au seuil significatif de 1% t 12

14 Le test d auto corrélation Afin de tester la présence de corrélation sérielle dans la série des rentabilités DLOIL, nous avons appliqué le test de Ljung-Box (1978) : 2 () () =( + 2) =1 (25) Où T est le nombre d observations de la série, q est le nombre de retards et () est l estimation du coefficient d auto corrélation d ordre k. Sous l hypothèse nulle d absence de corrélation sérielle, la statistique LB(q) suit une loi de Khi-deux à q-1 degrés de liberté. La mise en œuvre de la statistique de Ljung-Box montre que la série des rentabilités présentent des auto corrélations significatives (tableau 3). Tableau 3 : le test de Ljung-Box sur la série des rentabilités Coefficient (36) p-value DLOIL * * le résultat est accepté au seuil significatif de 1% Le test d estimation des processus à mémoire longue La méthode de Geweke et Porter-Hudak (GPH) utilisent un modèle de régression basé sur la forme de la densité spectrale d une série à mémoire longue autour de basses fréquences. () =1 2 () (26) Où () est la densité spectrale du processus stationnaire = (1 ). Si l on prend l algorithme de l expression (26), nous obtenons : () = (0) () (0) (27) En utilisant le périodogramme ( ) (estimateur non biaisé de la densité spectrale), nous pouvons effectuer la régression suivante : Ou = (0) ( ) ( ) + ( ) (0) (28) () = (29) Pour les différentes fréquences ( = 2 ), avec T est le nombre d observations et = 0,, 1. Lorsque est proche de zéro, le terme ( ) devient négligeable. Le terme peut être considéré comme un résidu, pour une série stationnaire, les ordonnées du périodogramme sont i.i.d. De ce fait, l équation (29) peut être simplement estimée par les MCO, ce qui fournit un estimateur du paramètre d intégration fractionnaire d. la fonction g(t) correspondant aux ordonnées du périodogramme soit être telle que : (0) 13

15 () lim() = lim = 0 (30) GPH proposent de choisir () =, 0 < < 1. L ordre optimal de g(t) est plutôt 0.8. ils montrent alors que l estimateur de d suit la loi normale : ~, 2 () 6 =1 ( ) 2 1 (31) Où est la moyenne des. Robinson (1995) a montré que l estimation des paramètres était améliorée si l on retire les premières fréquences. Au total, on retiendra les fréquences pout tout i compris entre 0.1 et 0.5. Nous pouvons, dans les conditions supposées sur effectuer des tests d hypothèse sur étant donné que ( 0 )/( 0 ) 0.5 est distribué selon la loi normale standard où () est obtenu à travers la formule des MCO mais en supposant la variance du résidu égale à 2 /6, et 0 est la valeur théorique du coefficient d intégration fractionnaire d. cette possibilité de test a rendu populaire la technique de GPH. Elle est toutefois très sensible à la normalité du résidu de la régression précédente. Le périodogramme n est pas un estimateur convergeant de la densité spectrale, bien qu il soit asymptotiquement sans biais. En lissant le périodogramme, on réduit sa variance ce qui donne un estimateur plus consistent. Reizen (2006) propose d utiliser la fenêtre de Parzen, car elle donne des estimations toujours positives de la densité spectacle ce qui est nécessaire pour pouvoir calculer le logarithme. Le Périodogramme s écrit : = 1 () 2 = () ()cos ( () ) (32) Où g(t) est le point de troncature, choisi pour que ()/ 0 et k est la fenêtre de Parzen : () = (33) 2(1 ) 3 1/2 1 Les résultats de l application des méthodes de GPH, Parzen et Robensen sont reportés dans le tableau 4. Nous remarquons que la série du prix du pétrole est caractérisée par la présence d'une mémoire courte car les rapports de Student sont inférieurs à la valeur critique au seuil de 5%. Par conséquent les prix spot du pétrole sont imprévisibles à long terme, cela signifie que le prix ne possède pas de structure linéaire significative. Tableau 4 : Tests semi paramétrique du mémoire longue sur la série des rentabilités DLOIL Ordonnées 0.8 GPH Parzen GSE Statistique [0.92] * [0.11] * [0.82] * * Hypothèse de mémoire longue rejeté. GSE: Robinson's Gaussien Semi-parametric Estimator. Une source possible de la mémoire longue peut résider dans la non linéarité du processus stochastiques. En particulier, il convient de prendre garde de la fonction d autocorrélation dont nous savons qu elle constitue un outil d analyse de dynamique linéaire. La persistance de fonction d autocorrélation, caractéristique des processus à mémoire longue, pourrait 14

16 refléter une dynamique non linéaire à mémoire courte. Davydoff (1969) a montré que la fonction d autocorrélation affiche de la persistance fractionnaire. De même, Guégan (2003) a conclu, dans le cadre du test de la possible présence d une mémoire longue dans les processus chaotique, qu il était possible de détecter cette mémoire longue par le biais de la fonction d autocorrélation. Afin de détecter la présence d une mémoire longue dans la variance conditionnelle de la série des rentabilités du prix du pétrole, nous procédons comme la suggéré par Guégan (2003). Pour cela, nous appliquons la fonction d autocorrélation sur la variance conditionnelle du modèle GARCH (1, 3). Le principe de la procédure consiste à tester si la série constituée par la variance de la série des rentabilités se présente comme une fonction linéaire du temps. L idée sous-jacente est la mise en évidence d une éventuelle mémoire persistante à long terme, des chocs que peut subir la composante volatile de notre série. Rappelons que la persistance à long terme des chocs sur la variance conditionnelle d une série temporelle se manifeste par une décroissance hyperbolique de sa fonction d autocorrélation. Le cas contraire (mémoire courte) se caractérise par une décroissance très rapide du corrélogramme. La fonction d autocorrélation de la variance des résidus générés par le modèle GARCH (1, 3) représentée figure (4) décroit lentement vers zéro et présente de facto un comportement de mémoire longue. Pour confirmer ces résultats, nous avons appliqué les tests de GPH, Parzen et GSE sur la variance de la série des rentabilités. Les résultats reportés dans le tableau 5 ont ainsi confirmé la présence d une mémoire longue dans la variance conditionnelle de la série des rentabilités DLOIL. Il est donc possible d envisager une prévision à long terme du prix de pétrole. Graphique 4 : La fonction d autocorrélation de la variance d un modèle GARCH (1,3) Tableau 5 : Test du mémoire longue sur la variance modèle GARCH (1, 3) du série DLOIL Ordonnées 0.8 GPH Parzen GSE Statistique [2.32] * [1.96] * [1.89] ** * et ** l hypothèse de mémoire longue est acceptée à seuil significatif de 5% et 10%, respectivement Les test de la présence de chaos Pour éliminer la possibilité que la structure linéaire puisse être responsable du rejet du chaos, nous devons tester si la structure des rentabilités est linéaire ou non linéaire. La distribution sous jacente de la série des rentabilités présente des asymétries (test de JB). Une telle propriété est typique des évolutions dont la dynamique est retracée par des processus non linéaire. Cependant, nous voulons savoir si le constat d asymétrie peut expliquer par le fait que la série de rentabilité obéit à des évolutions non linéaires. Pour répondre a cette question, nous faisons appel au test de Tsay (1986). Le test de Tsay (1986) 15

17 Ce test est une généralisation du test de Keenan (1985). Il s agit d un test de type multiplicateur de Lagrange dont la statistique est basée sur l estimation du modèle contraint seulement. La procédure du test est décrite ci-après: 1. On choisit le modèle AR(p) estimée le plus significative sur le série. Ensuite, on régresse la série sur le vecteur d information = (1, 1,, ) qui contient une constante et des retards, et on calcule les résidus. 2. On régresse ensuite le vecteur = ( 1, 1 2,, 1, 2, 2 3,, 1,, ) sur le vecteur d information on récupère les résidus. 3. Enfin, on régresse les résidus sur les résidus, puis on calcule les résidus. Sous l hypothèse nulle de linéarité (la série est un processus AR(p)), la statistique du test : = ( )( ) 1 ( )/ 2 /( 1) (34) Suit la loi (, 1/2( + 3) 1), où = 1/2( + 1) et T est le nombre d observations. L estimateur de Tsay vérifie si l estimation du vecteur a un pouvoir explicatif par rapport au modèle linéaire. Les résultats du test a été présenté dans le tableau 6. Nous avons utilisé le programme Toolkit de Patterson et Ashley (2001) pour calculer le p-value. Afin de tester la fiabilité de ce test, nous utilisons avec la loi asymptotique, la loi bootstrap 5. Une des caractéristiques majeures du bootstrap est qu il permet très souvent d obtenir une meilleure approximation de la vraie loi de la statistique que celle donnée par la loi asymptotique. Cependant, Le résultat de l application de test de Tsay nous amène à rejeter largement l hypothèse nulle de linéarité pour la série des rentabilités. Le p-value de la loi bootstrap est identique à celle de la loi asymptotique. Par conséquence, la série des rentabilités DLOIL est dominée par une structure non linéaire. Après avoir exclu la possibilité que la structure linéaire puisse biaiser les statistiques du chaos, nous procédons aux tests de détection de chaos. La raison de procéder à cette quantification du chaos est de pouvoir distinguer un comportement chaotique d'un comportement aléatoire. Si nous mettons en évidence la présence de chaos, alors nous pourrons nous servir des résultats pour tenter de proposer dans une recherche future une interprétation et une modélisation de l'évolution du système que nous étudions. Il existe plusieurs méthodes qui permettent de déterminer si des systèmes non linéaires sont chaotiques ou non. Pour tester le chaos, il faut que l hypothèse selon laquelle la distribution n est pas i.i.d soit remplie. Afin de vérifier cette condition, nous faisons appel au test de BDS. Pour cela, nous testons d abord la présence des ruptures structurelles dans la série des rentabilités. Si le rôle de ces ruptures dans l existence de la non linéarité est vérifié, nous allons tenir en compte dans la modélisation finale du prix. Tableau 6 : le test de Tsay (1986) Test Coefficient p-value Bootstrap * Asymétrique * 5 Il faut que le nombre de données soit suffisamment important pour que le test ne donne pas un résultat faussé. 16

18 *Résultats acceptée à seuil significatif de 1%. Le retards p=6 a été choisi selon le critère d AIC Le test de détection du changement structurel L évolution du prix du pétrole au cours des dix dernières années se caractérise à la fois par de grandes variations et par une forte volatilité. Il serait plus exact de parler de variation de prix de grande ampleur sur une période donnée, et non de volatilité au sens statistique ou financier du terme. Selon le graphique 5, nous observons qu il existe vraisemblablement quatre ou cinq ruptures structurelles dans la série des rentabilités DLOIL. Pour vérifier la présence de ces ruptures, nous fait appel au test de Bai et Perron (2003) de ruptures structurelles multiples. Les résultats du test sont reportés sur le tableau 7, et qui sont significatifs au seuil de 5%. La taille du test séquentiel ( + 1 ) utilisé est au seuil de 5%. Le test a identifié quatre vraies ruptures et la cinquième rupture est erronée. Les quatre ruptures identifiées correspondent à la guerre du Kuwait de 1991, la crise asiatique de , le 11 septembre 2001 et la crise mobilière et financière de L avantage de l identification des ces ruptures est de les prendre en compte dans la modélisation de la série des rentabilités. La présence de changements structurels dans une série peut être l une des raisons du rejet de l hypothèse nulle i.i.d, d où l importance de les traiter. Graphique 5 : les ruptures structurelles dans la série des rentabilités DLOIL Tableau 7 : Les estimations du test Bai et Perron (2003) avec 5 ruptures structurelles Spécification { = 1} = 1 p=0 h = 120 = 0.15 = Tests (1) (2) (3) (4) (5) UDmax Date Dec :90-Feb:91 Apr-Jul :98 Sep-Nov:01 Mar-May:2005 Sep:08-Jan:09 T-Stat 25.3 * 24.4 * * * * * CV * les tests sont significatifs au seuil de 5% Le test de BDS Afin de déterminer si un système est animé par une dynamique non linéaire, nous pouvons recourir à des tests statistiques, comme le test BDS qui permet de tester l hypothèse de série indépendamment et identiquement distribuée (iid), et de détecter des dépendances de type non linéaires. Ce que ce test a été introduit par Brock et al. (1996). Sous l hypothèse nulle, la 17

19 distribution statistique suit une loi normale centrée et réduite. Rappelons nous qu en fixant m et, la statistique de BDS s écrit : W m m 1 m m C ( ) C ( ) / ( ) ( ) T (35) m Où est l écart type de.. Il faut noter que les choix de m et sont importants par rapport aux propriétés d un petit échantillon pour les statistiques de BDS. Afin d utiliser le test de BDS, et après avoir stationnariser la série du pétrole, il faut éliminer toute forme de dépendance linéaire des données. Il est possible d éliminer cette dépendance linéaire en préfiltrant les données et d effectuer le test BDS sur les résidus d un processus AR(p) (Brooks et Henry, 2000) estimé sur la série initiale rendue stationnaire. Si l hypothèse nulle de la statistique de BDS est rejetée, alors la série présente une structure de dépendance non linéaire. Tableau 8 : les statistiques de BDS Test sur les rentabilité initiale Test sur les résidus d un AR(1) / m Z-Statistique T-statistique Z-Statistique T-statistique * * * * * * * * * * Brock et Sayers (1988) a montré que la distribution asymptotique du test ne change pas lorsqu on l applique sur les résidus d un modèle linéaire. Ainsi, pour savoir si la structure linéaire a une influence sur le test de BDS, nous allons appliquer ce test sur les résidus de modèle AR(p) des rentabilités et sur la série des rentabilités initiales. Les résultats d estimation sont présentés dans le tableau 8. Nous constatons que les statistiques sont similaires à celle appliquées sur les rentabilités initiales. Par conséquent, la structure linéaire, s elle existe, ne présente aucun impact sur la statistique de BDS. Cependant, L application de ce test sur la série du pétrole DLOIL a permis de rejeter l hypothèse nulle de processus générateurs i.i.d. Les statistiques sont largement supérieures à la valeur théorique de Nous constatons ainsi que la présence d une structure non linéaire est la cause du rejet de l hypothèse nulle du test. Cette non linéarité confirme le phénomène d asymétrie détecté par le test de Jarques-Berra. Nous sommes alors amenés à s interroger sur la nature de non linéarité présente sur les marchés : stochastique ou déterministe. Pour cela, nous avons besoin de tests supplémentaires pour identifier la nature de cette non linéarité. Pour atteindre cette objectif, nous étudions les propriétés des séries DLOIL, et en particulier celles de leurs attracteurs, à l aide de la théorie du chaos Le test de dimension de corrélation Nous calculons la valeur de la dimension de corrélation, qui a été introduite par Grassberger et Procaccia (1983) et présenté en deuxième chapitre, de la série des rentabilités DLOIL pour des dimensions de reconstruction de l attracteur, m, compris entre 2 et 20. Rappelons-nous que la méthode de dimension de corrélation constitue un outil puissant selon lequel nous pouvons distinguer entre les processus stochastique et les processus déterministes. Dans le cas où la série est constituée de variables purement 18

20 aléatoires, ces variables ont une dimension infinie lim = =, ne se stabilise pas lorsque m augmente. La dimension de corrélation estimée doit croitre monotonement avec la dimension de plongement. Dans le cas contraire où la série générée par un système déterministe, se stabilise à un certain niveau lorsque m augmente. Cependant, la nature finie de la dimension ainsi explicitée par les résultats du test, ne constitue pas en soi un résultat concluant permettant de trancher de façon certaine sur le caractère chaotique ou non de la série des rentabilités. Il s agit là plutôt d un signal indiquant la plus grande vraisemblance de la nature chaotique du processus générateur de données. Les résultats de l estimation de dimension de corrélation de la série des rentabilités DLOIL sont reportés dans le tableau 8. De toute évidence, les résultats montrent que la dimension de corrélation estimée croit avec la dimension de plongement m et ne converge pas vers sa valeur stable. Ainsi, la condition de stabilité des processus chaotique n est pas vérifiée. Nous remarquons que l estimateur de dimension de corrélation est élevé. Ca signifie qu il n y a aucune différence dans le comportement de l estimateur de dimension de corrélation entre le processus chaotique à dimension faible et les processus purement stochastique. Au vu des résultats dans le tableau 9, l instabilité de la dimension de corrélation montre que le processus générateur de la série est de nature purement stochastique ou chaotique stochastique avec un bruit à variance élevée. Par conséquent, l insuffisance de ce test pour détecter clairement le chaos nous oblige de compléter ces résultats par le test de L exposant de Lyapunov. Table 9 : Les résultats de dimension de corrélation sur la série des rentabilités (DLOIL) m L exposant de Lyapunov Les exposants de Lyapunov mesurent le taux moyen de séparation, sur l attracteur, de deux trajectoires initialement très proches. L ensemble de ces exposants s appelle le spectre de Lyapunov, et l étude de ce spectre nous permet de classer les différents attracteurs: un attracteur est dit chaotique si au moins un des exposants de Lyapunov est positif. Il existe plusieurs méthodes de calcul de ces exposants. La plus célèbre est la méthode de Wolf et al. (1985). Plus récemment (2004), Linton et Shintani ont élaboré une méthode à base de réseaux neuronaux. Nous verrons par la suite qu il est indispensable d avoir des méthodes très fines et statistiquement robustes de calcul de ces exposants, pour pouvoir conclure à la présence de chaos. Dans le cadre de notre étude, nous intéressons à détecter le chaos au sens propre. Pour tester les comportements chaotiques d une série temporelle, nous utilisons le test statistique suivant : dans le cas unidimensionnel, nous testons l hypothèse nulle H 0 : 0 contre un alternative 0. Le plus grand exposant de Lyapunov stochastique nous montre si le bruit dynamique est ou n est pas amplifié localement. Il parait dans la plupart de cas, et en présence des bruits forts, le signe de l exposant de Lyapunov stochastique coïncide avec celui de la dynamique déterministe inobservable (Moritz, 2001). Pour éviter que nos résultats soient biaisés par la présence de bruit, nous allons appliquer l algorithme de Linton et Shintani (2004) basé sur les réseaux des neurones. 19

21 Nous utilisons l exposant de Lyapunov de système (1). Cependant, le plus grand l exposant de Lyapunov 1 a été souvent le plus intéressant dans les littératures. Pour cela, nous allons nous concentrer sur l exposant 1. Notons que l exposant, varie dans un intervalle 2, constitue des informations importantes concernant la stabilité du système, la direction de divergence de l attracteur (voir Nychka et al., 1992), et les types des attracteurs non chaotiques (voir Dechert et Gencay, 1992). Les conditions nécessaires pour valider la présence de l exposant de Lyapunov ont été largement présentés dans les littérature (voir Nychka et al., 1992). Le tableau 10 présente les résultats des tests de sensibilité aux conditions initiales des exposants de Lyapunov, effectués sur la série des rentabilités du prix spot du pétrole DLOIL. On y lit la valeur de l'exposant de Lyapunov calculée pour les dimensions de reconstruction de l'attracteur allant de 1 à 5 ainsi que les probabilités critiques de risque de première espèce. Et ce, dans le cas de l échantillon complet (Full), sur un sous échantillon de la période (ES), et enfin sur des blocs de sous-échantillons (block). La longueur et le nombre de blocs utilisés pour l estimation des ces exposants sont respectivement 50 et 55. Le nombre d unités cachées r, nécessaire aux estimations, est sélectionné sur la base de la minimisation du critère BIC. Il en ressort qu au vu de la grille de lecture proposée, le plus grand exposant de Lyapunov ainsi obtenu n est pas significativement positif. L hypothèse nulle de positivité est ainsi rejetée avec 5% de risque de première espèce. Nous observons également le même résultat dans le cadre des estimations effectuées sur les sous échantillons (ES) et les blocs (blocks). La négativité de l exposant de Lyapunov suggère non seulement la présence d une structure stochastique, mais aussi d une structure périodique ou chaotique stochastique avec du bruit fort. Cela signifie que dans le cas du bruit très élevé, la négativité de l exposant de Lyapunov indique la présence d une structure mixte des processus, comme c est le cas pour un processus purement stochastique ou périodique. Le critère qui nous permet de distinguer les processus entre eux est basé sur le fait qu en cas d une présence d une structure mixte, l exposant de Lyapunov doit être proche de zéro. Toutefois, nous devons interpréter avec beaucoup de prudence les résultats issus de la méthode des exposants de Lyapunov, car le niveau de bruit et la sensibilité du système aux perturbations exogènes jouent un rôle crucial. Afin de résoudre cette problématique, nous allons mesurer la volatilité de la série des rentabilités actuelles et la comparer avec celle de la série transformée en valeur absolue. Pour atteindre cet objectif, nous allons procéder à la transformation des rentabilités en valeur absolue 1 6, ensuite nous arbitrerons entre les deux séries en nous basant sur la fonction d autocorrélation : nous sélectionnerons la série ayant le coefficient l autocorrélation le plus élevé. Selon le tableau 10, nous observons que la fonction d autocorrélation pour la série transformée est plus élevée que pour la série initiale des rentabilités. De plus, nous observons que l exposant de Lyapunov de la série transformée est plus grand que celui de la série initiale des rentabilités. Cela signifie que la série transformée exhibe une faible stabilité dans la volatilité comparativement à la série des rentabilités initiale. Cependant, afin d estimer l exposant de Lyapunov, la façon selon laquelle le bruit s amplifie dans le système après transformation des données joue un rôle très important. En définitive, ces résultats confortent le rejet de l hypothèse nulle de positivité de l exposant de Lyapunov, selon laquelle la série des rentabilités n est pas uniquement générée par des processus déterministes mais également par une structure mixte de processus chaotiques de haute dimension. Les résultats obtenus en appliquant l algorithme de Linton et Shintani (2004) nous conduisent à conclure en faveur de l hypothèse du chaos stochastique. 6 Ding et al. (1993) ont montré que la série transformée en valeur absolue où k=1, contient l autocorrélation le plus élevée parmi toutes les séries transformées. Pour cela, nous transformons notre série où k=1. 20

22 Table 10: les exposantes de Lyapunov sur la série des rentabilités DLOIL Lag(d) = Full (0.00) * (0.00) * (0.01) * (0.02) * (0.01) * Block (0.00) * (0.00) * (0.01) * (0.03) * (0.01) * ES (0.00) * (0.00) * (0.01) * (0.03) * (0.01) * -8.22(3) -8.14(3) -7.95(4) -7.96(3) -8.07(3) = 1 Full (0.00) * (0.00) * (0.00) * (0.02) * (0.01) * Block (0.00) * (0.00) * (0.00) * (0.03) * (0.01) * ES (0.00) * (0.00) * (0.00) * (0.03) * (0.01) * -9.88(4) -9.24(4) -9.75(4) -9.12(3) -9.07(3) (1) (2) (0.007) * (0.00) * (0.00) * (0.00) * * les résultats sont acceptés à seuil significatif de 5%. Pour chaque retards, les nombres des unités cachés () est choisi par les critères minimum de BIC qui définie par :(,) = 2 +/[1 +( + 2)]. 3- Estimation et prévision des rentabilités de prix spot du pétrole DLOIL 3.1- Estimation du modèle Mackey Glass A-FIGARCH (p, d, q, k) L analyse de la structure de la série des rentabilités du prix spot du pétrole a permis la mise en évidence de la présence d une composante hétéroscédastique, d une structure de dépendance sérielle, d une persistance des chocs sur la variance conditionnelle, d une déviation par rapport à la distribution gaussienne, ainsi qu une structure fortement non linéaire en moyenne et en variance conditionnelle. Etant donné son évolution temporelle, la série des rentabilités est caractérisée à la fois par de grandes variations et par une forte volatilité. La forte volatilité a souvent été liée à des transformations structurelles majeures ou à des chocs. Ces changements peuvent être la cause du rejet l hypothèse nulle i.i.d. Cependant, il sera très utile de prendre en compte les ruptures structurelles dans la modélisation de la série des rentabilités du prix spot du pétrole DLOIL. Le test de BDS a également été appliqué à notre série des rentabilités de prix spot du pétrole, et il eu a résulté que cette dernier était affecté d une dépendance non linéaire (rejet de l hypothèse nulle de i.i.d). La nature de cette non linéarité a, par la suite, été déterminée par le biais du test de la détection de chaos, et ces résultats ont conclu en faveur d une nature mixte du processus générateur des données est les processus chaotique stochastique qui prend en compte la présence d une mémoire longue avec des ruptures structurelles dans les 21

23 processus de la volatilité. La modélisation conjointe de la mémoire longue et des ruptures structurelles montre que l estimation du paramètre de mémoire longue d du modèle A- FIAGARCH est plus performante et moins biaisée par rapport à celle du processus FIGARCH. En effet, la négligence de l éventuelle présence de ruptures dans la série conduit non seulement à un biais dans l estimation du paramètre fractionnaire d mais aussi dans l estimation des paramètres de l équation de la variance conditionnelle et Φ, cas dans lequel le dégré de persistance des paramètres s en retrouve plus faible. Par conséquent, il convient dès lors d envisager une modélisation, où la non linéarité apparaisse dans la moyenne et dans la variance conditionnelle de la série des rentabilités. Par conséquent, nous privilégions une modélisation de la série des rentabilités par un modèle Mackey Glass-A-FIGARCH (p, d, q, k). Rappelons que si 0 < 1 alors les chocs de volatilité décroissent hyperboliquement, si = 1 les chocs sont infiniment persistants et enfin si > 1 alors la variance conditionnelle est explosive. Dans le cadre d estimer et d analyser les résultats de notre modèle, nous supposons le terme contient deux composantes. Une composante endogène qui en résulte de l interaction des agents hétérogènes qui se trouve à la base du phénomène d agrégation de la volatilité. Et une autre exogène tels que des informations inattendue, aléatoires, dont l impact sur le prix est amplifié par les noise traders. La sélection des paramètre du modèle de Mackey Glass sont cruciales pour la dimension du modèle. En se basant sur les critères d AIC et BIC, les valeurs des paramètres retenus pour la série des rentabilités DLOIL sont = 2 et le = 1. Les résultats de l estimation du modèle MG-A-FIGARCH(p, d, q, k) sur la série des rentabilités sont reportés dans le tableau 11. A partir de ce tableau, nous remarquons : Tableau 11: Les résultats de l estimation du modèle de MG-A-FIGARCH (1,d,1,5) sur la série des rentabilités DLOIL Coefficient DLOIL p-value Coeff p-value ** *** ** ** ** *** * *** Φ * ** * ** *** ** *, ** et *** les résultats acceptés au seuil significatif de 1%, 5% et 10% respectivement. - Nous avons retenu un modèle MG-A-FIGARCH (1, d, 1, 5), avec cinq ruptures structurelles. - La significativité des paramètres et du modèle de Mackey Glass signifie que la dynamique détectée dans la structure du prix est chaotique. Ce résultat est compatible avec l interprétation théorique où l interaction des agents hétérogènes sur le marché peut conduire à une dynamique déterministe. Pratiquement, nous pouvons interpréter la significativité des paramètres par la présence de la spéculation sur le marché qui est créatrice la volatilité intrinsèque ainsi de la non linéarité sur le marché. 22

24 - La variance conditionnelle s avère particulièrement bien spécifiée car les paramètres 0, Φ,,, et sont largement significatifs pour la séries des rentabilités DLOIL. En particulier, le modèle A-FIGARCH a bien rendu compte des phénomène d agrégation (paramètre Φ), de dépendance temporelle de la volatilité (paramètre ), de la persistance des chocs de la volatilité (paramètre ) et du changement structurel (paramètres et ). - Nous avons estimé les paramètres de spécification du modèle A-FIGARCH (1, d, 1, 5) 7. La sélection des retards dans les modèles basés sur le critère d information AIC. Les résultats des estimations qui sont récapitulés dans le tableau (12), qui sont significatifs au seuil de 1%, 5% et 10% respectivement. Ces résultats montrent que la série des rentabilités DLOIL présente une dépendance de long terme dans leurs volatilités conditionnelles. Le paramètre d intégration fractionnaire = est significatif et positif dans l équation de la variance conditionnelle. Nous somme en présence d un phénomène de persistance de la volatilité des prix spot du pétrole. - La mémoire longue spécifiée dans le modèle a mis en évidence la stabilité dans la variance. Ces résultats sont compatibles avec l idée selon laquelle la mémoire longue et les ruptures structurelles constituent des composantes que l on peut facilement confondre. L omission de la prise en compte du changement structurel conduit à biais sur l estimation du paramètre d. De plus, la mémoire longue détectée, par le modèle FIGARCH, pourrait n être que le reflet d une mauvaise spécification des processus au sens où les changements des régimes n ont pas été modélisés. Par conséquent, Ce phénomène a d importantes conséquences en ce qui concerne la prévision à court et à long terme. - La significativité des paramètres du changement de régime suggère l existence d une non linéarité en variance. Cette non linéarité peut être imputable aux ruptures structurelles qui à leur tour peuvent être associées à une hausse de la volatilité, ce qui est conforme à la conclusion tirée quant à la présence d une mémoire longue. - Les processus MG-A-FIGARCH sont particulièrement pertinents pour la modélisation de la série des rentabilités DLOIL présentant une dynamique non linéaire et une dépendance temporelle dans la volatilité à long terme en présence du changement structurel. L avantage des modèles MG-A-FIGARCH est de prévoir en présence d une dynamique non linéaire en moyenne et en variance. L intérêt d utiliser le modèle Mackey Glass provient du fait qu il s agit d un modèle chaotique dont la dimension tend vers l infini permet la détection d une dynamique complexe. En plus, l intérêt du modèle A-FIGARCH est qu ils permet de cerner des dynamiques de court et de long terme de la volatilité et d inclure le phénomène de regroupement de volatilité dans l analyse. Afin de vérifié la validité et l efficacité du processus MG-A-FIGARCH(1, d, 1, 5) à modéliser la série des rentabilités DLOIL, nous appliquons quelques tests de diagnostic sur les résidus standardisés de ce modèle. Selon les résultats reportés dans le tableau 12, nous observons que : - Les résidus de la série des rentabilités ne présent aucune autocorrélation, ce qui signifie que le modèle MG-A-FIGARCH estimé a bien corrigé la série de toute dépendance restante. Les résidus sont également homoscédastiques et ne présentent aucune mémoire longue. De plus, le modèle MG-A-FIGARCH a réduit significativement la statistique de JB bien que les résidus ne suivent pas la loi normale. Ce résultat peut être justifié par le fait que, dans le cas pratique, le vrai modèle qui explique toutes les anomalies demeure inconnu. 7 L estimation des paramètres 0, et sont référés à la spécification exponentiel. Pour plus du détail, voir Engle et Rangel (2008). 23

25 - L application du test de BDS confirme le caractère limité des tests traditionnels lorsqu ils sont appliqués à la série présente de dépendance non linéaire. La statistique du test montre que les résidus ne présent pas de dépendance non linéaire. De plus, le test de Linton et Shintani (2004) pour le chaos montre que les résidus ne présentent aucune structure déterministe. - Les résidus standardisés des modèles MG-A-FIGARCH se constituent de deux parties différentes : un bruit blanc plus une structure inconnue que nous ne pouvons pas identifier pour des plusieurs raisons : il s agirait là, soit d une nouvelle structure que nous ne connaissons pas, soit, d une structure que les outils dont nous disposons ne sont pas en mesure de détecter, et qui peut provenir d une mauvaise spécification du modèle. Tableau 12 : Les statistiques sur les résidus du modèle MG-A-FIGARCH(1, d, 1, 5) Q(6) ARCH-LM (6) JB GPH RDLOIL p-value (0.197) (0.319) (0.004) * (0.422) (0.89) m BDS-Stat p-value (0.34) (0.40) (0.66) (0.81) (0.80) L analyse et la puissance des modèles MG-A-FIGARCH dans la prévision de la série des rentabilités du prix spot du pétrole. Afin d examiner la possibilité de prévision l évolution future de la série des rentabilités à partir des rentabilités passées, il convient dans un premier temps d analyser et tester la puissance du modèle MG-A-FIGARCH quant à sa capacité à appréhender l information historique, et prendre en compte cette dernière dans la détermination des prix futures. Cette prise en compte de l information historique dans les niveaux contemporains de prix est rendue d autant plus nécessaire que la composante volatile de la série présente un comportement de mémoire longue. Dans cette perspective, nous allons déterminer si la puissance des prévisions du processus MG-A-FIGARCH est supérieure à celles issues des modèles des mêmes familles comme MG-FIGARCH, MG-GARCH et STAR-GARCH. La comparaison sera basée sur les critères de la racine de l erreur quadratique moyenne (RMSE) et de la racine de la moyenne des erreurs de prévision au carré (RMSFE) : = 1 2, = =1 = 1 ( 2 2 ) 2 =1 (36) Où 2 est la variance conditionnel estimée et 2 est la variance conditionnel actuelle. Le RMSE est très utile pour comparer plusieurs estimateurs, notamment lorsque l'un d'eux est biaisé. Si les deux estimateurs à comparer sont sans biais, l'estimateur le plus efficace est simplement celui qui a la variance la plus petite. Le RMSFE est une mesure de la volatilité de l erreur de prévision. Les modèles estimées ex ante génèrent des prévisions pour trois horizons différentes : 500, 1000 et 1500 observation, respectivement. Pour chaque horizon de prévision estimée, nous retenons les critères RMSE et RMSFE du modèle MG-A-FIGARCH afin de comparer avec les autres modèles. Par conséquent, les analyses de prévisions reportées 24

26 dans le tableau 13 sont suffisamment décisives. Nous observons que le modèle MG-A- FIGARCH exhibe la valeur le plus petite des critères de RMSE et RMSFE comparativement aux autres modèles, ceci quelque soit l horizon de la prévision. Cela signifie que ce modèle possède la meilleure performance en comparant avec des autres modèles. Les résultats empiriques nous ont amené à conclure que la série des rentabilités présente une structure chaotique déterministe perturbée par un bruit hétéroscédastique. L estimation de notre modèle MG-A-FIGARCH s est révélée adéquate pour la série des rentabilités du prix spot du pétrole. Les résultats des estimations montrent que la grande partie de la volatilité vient de sa structure déterministe, ce qui est exprimé par la significativité des paramètres du modèle MG. De plus, Le mémoire longue spécifiée dans le modèle a mis en évidence la stabilité dans la variance. Mais, la présence du changement de régimes suggère l existence d une non linéarité en variance. Cette non linéarité peut être imputable aux ruptures structurelles qui à leur tour peuvent être associées à une hausse de la volatilité, ce qui est conforme à la conclusion tirée quant à la présence d une mémoire longue. Par conséquent, notre modèle suggère que l hétérogénéité des agents et leur impact non linéaire de trading peuvent être responsables de la volatilité excessive dans les prix spot du pétrole. Autrement dit, les activités spéculatives sur le marché sont responsables de la volatilité excessive qui est devenue croissante au fil du temps. Finalement, vu l importance d effectuer des anticipations à long terme, MG-A-FIGARCH possède une capacité prédictive supérieurs à celles des modèles présentés ci-après (tableau 13). Tableau 13 : Résultats des méthodes de prévision pour la série DLOIL = = = MG-A-FIGARCH (1, d, 1, 5) * STAR-GARCH (1,1) MG-FIGARCH (1, d, 1) * MG-GARCH (1, 1) = = = MG-A-FIGARCH (1, d, 1, 5) * STAR-GARCH (1,1) MG-FIGARCH (1, d, 1) * MG-GARCH (1, 1) Conclusion Dans le cadre de cet article, nous avons étudié l hypothèse selon lequel les activités spéculatives des agents hétérogènes sont la source principale de la volatilité du prix spot du pétrole. Notre attention portera en particulier sur le rôle des spéculateurs hétérogènes dans la dynamique non linéaire de ce prix. A cette fin, nous avons déterminé les processus sous jacent à la série des rentabilités du prix du pétrole et identifié la nature de la volatilité afin de modéliser les sources de volatilité excessive que nous venons de postuler. Les résultats empiriques nous ont amené à conclure que la série des rentabilités présente une structure chaotique déterministe perturbée par un bruit hétéroscédastique. En s appuyant sur les analyses des fondamentalistes et des chartistes, nous avons proposée une modélisation 25

27 innovatrice qui prend en compte les interactions des agents hétérogènes qui sont créatrice de volatilité intrinsèque. Ce modèle est le MG-A-FIGARCH qui est la caractéristique des systèmes complexes gouvernés par les lois du chaos de haute dimension. L estimation de modèle MG-A-FIGARCH s est révélée adéquate pour la série des rentabilités du prix spot du pétrole. Les résultats des estimations montrent que la grande partie de la volatilité vient de sa structure déterministe, ce qui est exprimé par la significativité des paramètres du modèle MG. De plus, Le mémoire longue spécifiée dans le modèle a mis en évidence la stabilité dans la variance. Mais, la présence du changement de régimes suggère l existence d une non linéarité en variance. Cette non linéarité peut être imputable aux ruptures structurelles qui à leur tour peuvent être associées à une hausse de la volatilité, ce qui est conforme à la conclusion tirée quant à la présence d une mémoire longue. Par conséquent, notre modèle suggère que l hétérogénéité des agents et l impact non linéaire de leur transaction peuvent être responsables de la volatilité excessive périodique dans les prix spot du pétrole. Références 1. ANDERSEN, T. et BOLLERSLEV, T. (1997), «Heterogeneous information arrivals and return volatility dynamics : uncovering the long run in high frequency returns, Journal of finance, Vol. 52, pp BAI, J. et PERRON (2003), «Computation and analysis of multiple structural change models», Journal of Applied Econometrics, Vol. 18, pp BAILLIE R. et MORANA, C. (2009), «Modelling long memory and structural breaks in conditional variance: an adaptive FIGARCH approach», Journal of Economics dynamics and control, Vol. 33, pp BROCK A. et HOMMES C.H., (1998), «Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model», Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 22, pp BROCK B. et SAYERS C.L., (1988), «is the business cycle characterized by dynamic chaos», Journal of Monetary Economics, Vol.22, pp BROCK W.A., HSIEH D. et LEBARON B., (1992), «Nonlinear Dynamics, Chaos, and Instability: Statistical Theory and Economic Evidence», MIT Press. 7. BROCK, W.A., DECHERT, W., SCHEINKMAN, and LEBARON, B (1996), «A test for independence based on the correlation dimension», Econometrics Reviews, Vol. 15, pp BROOKS C. et HENRY O.T. (2000), «can portmanteau non linearity tests serve as general misspecification test? Evidence from symmetric and asymmetric GARCH models», Econometrics letters, Vol. 67, pp CANOLES, W.B., THOMPSON, S.R., IRWIN, S.H. et France, V.G. (1998), «An analysis of the profiles and motivations of habitual commodity speculators», Journal of Futures Markets Vol. 18, pp CHAN K.S et TONG H., (1994), «A note on noise chaos», Journal of the Royal Statistical Society B, Vol. 56 (2), pp COLLINS et al. (2006), «The role of market speculation in rising oil and gas prices: A need to put the cop back on the beat», working paper, 109 th congress, 2 nd session. 12. DAO, T., NICHOLSON, P, OULIARIS S. et SAMIEI, H., (2005), «Recent developments in commodity markets», IMF World Economic Outlook September 2005, pp DAVIDOFF, E.B. (1969), «Variations in year-class strength and estimates of the catchability coefficient of yellow fin tuna», Thunnus albacares, in the eastern Pacific Ocean, Vol. 14, N DECHERT, W.D. et GENCAY, R. (1990), «Estimating Lyapunov exponents with multilayer feedforward network learning», Working Paper, Department of economics, University of Houston. 15. DEJONG, E., VERSCHOOR, W.F.C., ZWINKELSs, R.C.J., (2009a), «Behavioral heterogeneity and shiftcontagion: evidence from the Asian crisis», Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 33 (11), pp DEJONG, E., VERSCHOOR, W.F.C., ZWINKELSs, R.C.J., (2009b), «Behavioral heterogeneity and shift contagion: evidence from the Asia crisis», Journal of Economic Dynamics and Control. Vol. 33 (11), pp ELLEN, Z. et ZWINKELS, R. (2010), «Oil price dynamics: A behavioral finance approach with heterogeneous agents», Energy Economics, EnEECO-01912, ENGEL R., (1982), «Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation», Econometrica, Vol. 50 (4), pp FATTOUH, B. (2010), «the dynamics of crude oil prices differentials», Energy Economics, Vol. 32, pp

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30 DR n : DR n : DR n : DR n : DR n : DR n : DR n : Julia de FRUTOS, Katrin ERDLENBRUCH, Mabel TIDBALL «Shocks in groundwater resource management» Vanja WESTERBERG, Jette Bredahl JACOBSEN, Robert LIFRAN «The case for offshore wind farms, artificial reefs and sustainable tourism in the French Mediterranean» Thierry BLAYAC, Patrice BOUGETTE, Christian MONTET «How Consumer Information Curtails Market Power in the Funeral Industry» Sadek MELHEM, Mahmoud MELHEM «Comments on Re-examining the source of Heteroskedasticity: The paradigm of noisy chaotic models» Raouf BOUCEKKINE, Aude POMMERET, Fabien PRIEUR «Optimal Regime Switching and Threshold Effects : Theory and Application to a Resource Extraction Problem under Irreversibility» Raouf BOUCEKKINE, Aude POMMERET, Fabien PRIEUR «On the Timing and Optimality of Capital Controls: Public Expenditures, Debt Dynamics and Welfare» Sadek MELHEM, Mahmoud MELHEM «Spéculateurs hétérogènes et volatilité excessive dans le prix du pétrole : une approche dynamique non linéaire»

31 Contact : Stéphane MUSSARD : mussard@lameta.univ-montp1.fr

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