BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. 18 Décembre 2014 SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES. Série ES. Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7

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1 LURÉT GÉNÉRL 8 écembre 204 MTÉMTIQUS Série S urée de l épreuve : 3 heures oefficient : 7 e sujet comporte pages (y compris celle-ci) numérotées de à SPÉILITÉ L emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur. Le candidat doit traiter les quatre exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

2 xercice Les parties et sont indépendantes. Les places d une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d une comédie à grand succès. ans cette salle, les hommes représentent 2 % des spectateurs, les femmes 2 des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants. des hommes et 30 % des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. À la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle. On appelle : l évènement : «la personne interrogée est un homme» l évènement : «la personne interrogée est une femme» l évènement : «la personne interrogée est un enfant» V l évènement : «la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection» V l évènement : «la personne interrogée n avait jamais vu le film avant cette projection». La notation p() désigne la probabilité de l évènement. La notation p () désigne la probabilité de l évènement sachant que est réalisé. Partie. À l aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure. 0,2 2. a) xprimer à l aide d une phrase l évènement V. b) onner p (V) et en déduire p( V). 3. La probabilité que l évènement V soit réalisé est égale à 0,34. a) éterminer p ( V ). b) éterminer la probabilité que si l on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection. 4. On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l interrogation au hasard d un spectateur à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité arrondie à 0 3 près, qu au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection? À la fin de l année, une étude nationale a été réalisée sur le nombre de fois qu un spectateur sortant de la salle est allé voir ce film. Le tableau ci-dessous, pour lequel il manque une valeur notée q représente la loi de probabilité du nombre de fois que le spectateur est allé voir ce film. Nombre de fois probabilité 0, 0, 0, 0,0 q 0,0. éterminer q. 2. n déduire l espérance mathématique, arrondie à l unité de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu. 2

3 xercice 2 On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 2 ; ], et on donne sa courbe représentative f dans un repère orthogonal (O, ı, j), figure ci-dessous # j 3 2 # ı On sait que la courbe f passe par les points ( 2 ; 0,), (0; 2), (2; 4,), (4,; 2), (7,; 0) et ( ; 0,7). Les tangentes à la courbe f aux points,,, et sont représentées sur la figure. On utilisera les informations de l énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions. Pour chacune des questions, une seule des réponses, ou est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. ucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte point. Une réponse inexacte enlève 0,2 point. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à O.. f (0) est égal à : : 2 : 2 : 4 2. f (x) est strictement positif sur l intervalle : : ]0 ; [ : ]0; 7,[ : ] 2 ; 2[ 3. Une équation de la tangente à la courbe f au point est : : y = x+6, : y = x 6, : y = 2x+ 4. Une fonction ayant pour dérivée f sur l intervalle [ 2 ; ] : : admet un maximum en x = 2. : est strictement croissante sur l intervalle [ 2 ; 7,]. : est strictement décroissante sur l intervalle ]2 ; [.. Sur l intervalle [ 2 ; ], l équation exp[f(x)] = : : admet une solution. : admet deux solutions. : n admet aucune solution. 3

4 xercice 3 Partie On considère la fonction définie sur l intervalle [; 60] par : (x) = e0,x +20. x. On désigne par la dérivée de la fonction. Montrer que, pour tout x [ ; 60], (x) = 0,xe0,x e 0,x 20 x On considère la fonction f définie sur [; 60] par f(x) = 0,xe 0,x e 0,x 20. a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [; 60]. b) Montrer que l équation f(x) = 0 possède une unique solution α dans [; 60]. c) onner un encadrement à l unité de α. d) n déduire le tableau de signes de f(x) sur [; 60]. 3. n déduire le tableau de variations de sur [; 60]. 4. n utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : a) (x) = 2. b) (x) =. Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l intervalle [; 60]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction définie dans la partie. éterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. xercice 4 rédiger sur une copie différente. Lors d une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes,,,,,, G et, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe G ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d autoroute par une arête) : G 4

5 Partie. éterminer, en justifiant, si le graphe G est : a) complet; b) connexe. 2. a) Justifier qu il est possible d organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d autoroute. b) iter un trajet de ce type. 3. On appelle M la matrice d adjacence associée au graphe G (les sommets étant pris dans l ordre alphabétique). a) éterminer la matrice M. b) On donne la matrice M 3 = éterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant à. Préciser ces chemins. es contraintes d organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville après la ville. Le graphe G est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d autoroute G éterminer, en utilisant l algorithme de ijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de à. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.