Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Applications à l approximation des fonctions

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1 3 Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Applications à l approximation des fonctions 3. Espaces préhilbertiens On rappelle qu une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel E est une application ϕ : E E R x, y) ϕ x, y) telle que pour tout x dans E l application y ϕ x, y) est linéaire et pour tout y dans E l application x ϕ x, y) est linéaire. On dit que ϕ est : symétrique si ϕ x, y) = ϕ y, x) pour tous x, y dans E ; positive si ϕ x, x) pour tout x dans E ; définie si pour x dans E l égalité ϕ x, x) = équivaut à x =. Définition 3. Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel E est une forme bilinéaire symétrique définie positive. On note en général un tel produit scalaire. x, y) x y Définition 3. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel réel muni d un produit scalaire. Exercice 3. Soient E un espace vectoriel réel de dimension n, e i ) i n une base de E et ω = n ω k e k fixé dans E. À tout couple x, y) de vecteurs de E, on associe le réel : x y = ω k x k y k. 843

2 844 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Montrer que l application est un produit scalaire sur E si, et seulement si, toutes les composantes de ω sont strictement positives. Pour E = R n et ω k = pour tout k compris entre et n, le produit scalaire obtenu est le produit scalaire canonique de R n. Solution 3. L application définit une forme bilinéaire symétrique sur E pour tout ω E. Si est un produit scalaire, on a alors ω k = e k e k > pour tout k compris entre et n. Réciproquement si tous les ω k sont strictement positifs, on a x x = n ω k x k pour tout x E et x x = équivaut à ω k x k = pour tout k compris entre et n, ce qui équivaut à x k = pour tout k, soit à x =. En conclusion, définit un produit scalaire sur E si, et seulement si, tous les ω k sont strictement positifs. Exercice 3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b, c, d pour que l application : x, y) x y = ax y + bx y + cx y + dx y définisse un produit scalaire sur E = R. ) a b Solution 3. Pour tous réels a, b, c, d, cette application est bilinéaire de matrice A = c d dans la base canonique de R. Elle est symétrique si, et seulement si, cette matrice A est symétrique, ce qui équivaut à b = c. Pour b = c, est bilinéaire symétrique et pour tout x R, on a : x x = ax + bx x + dx Si on a un produit scalaire, alors a = e e >, d = e e > et pour tout vecteur x = e + te, où t est un réel quelconque, on a x x = a + bt + dt >, ce qui équivaut à δ = b ad <. Réciproquement si b = c, a >, d > et b ad < alors est bilinéaire symétrique et pour tout x E, on a : x x = ax + bx x + dx = a x + b a x x + d ) a x = a x + b ) ) a x ad b + x a avec x x = si, et seulement si, x + b a x = et x =, ce qui équivaut à x =. Donc est un produit scalaire si, et seulement si, b = c, a >, d > et b ad <. Exercice 3.3 Soient n un entier naturel non nul, x,, x n des réels deux à deux distincts et ω R n+. À quelle condition, nécessaire et suffisante, sur ω l application : ϕ : P, Q) ω i P x i ) Q x i ) définit-elle un produit scalaire sur l espace vectoriel R n [x]?

3 Espaces préhilbertiens 845 Solution 3.3 L application ϕ définit une forme bilinéaire symétrique sur R n [x] pour tout ω R n. Si ϕ est un produit scalaire, en désignant par L i ) i n la base de Lagrange de R n [x] définie par : L i x) = n k i x x k x i x k i n) L i est le polynôme de degré n qui vaut en x i et en x k pour k i), on a alors ω j = ϕ L j, L j ) > pour tout j compris entre et n. Réciproquement si tous les ω j sont strictement positifs, on a ϕ P, P ) = n ω i P x i ) pour tout x R n et ϕ P, P ) = équivaut à ω i P x i ) = pour tout i, ce qui équivaut à P x i ) = pour tout i compris entre et n soit à P = P est un polynôme dans R n [x] qui a n+ racines distinctes, c est donc le polynôme nul). En conclusion, ϕ définit un produit scalaire sur R n [x] si, et seulement si, tous les ω i sont strictement positifs. Exercice 3.4 n étant un entier naturel non nul, on note P n l ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n, c est-à-dire l ensemble des fonctions de R dans R la forme : P : x P x) = a + a k cos kx) + b k sin kx)).. Montrer que P n est un espace vectoriel et préciser sa dimension.. Montrer que si P P n s annule en n+ points deux à deux distincts dans [ π, π[, alors P = utiliser les expressions complexes des fonctions cos et sin). 3. Montrer que si x,, x n sont des réels deux à deux distincts dans [ π, π[, alors l application : ϕ : P, Q) définit un produit scalaire sur l espace vectoriel P n. Solution 3.4 P x i ) Q x i ). Il est clair que P n est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des applications de R dans R. En notant respectivement c k et s k les fonctions x cos kx) pour k et x sin kx) pour k, P n est engendré par la famille B n = {c k k n} {s k k n}, c est donc un espace vectoriel de dimension au plus égale à n +. Montrons que cette famille de fonctions est libre. Pour ce faire, on procède par récurrence sur n. Pour n =, si a + a cos x) + b sin x) =, en évaluant cette fonction en, π et π successivement, on aboutit au système linéaire : a + a = a + b = a a = qui équivaut à a = b = b =. La famille {c, c, s } est donc libre. Supposons le résultat acquis au rang n. Si P = a + n a k c k + b k s k ) =, en i=

4 846 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale dérivant deux fois, on a : Il en résulte que : P = k a k c k + b k s k ) = n n P + P = n a + n k ) a k c k + b k s k ) = et l hypothèse de récurrence nous dit que n a =, n k ) a k = et n k ) b k pour tout k compris entre et n, ce qui équivaut à dire que a = et a k = b k = pour tout k compris entre et n puisque n k. Il reste alors a n c n + b n s n =, ce qui implique a n =, en évaluant en x = et b n =. La famille B n est donc libre. On verra un peu plus loin que cette famille est orthogonale pour un produit scalaire naturel sur P n, formée de fonctions non nulles, et en conséquence libre.. Posant z = e ix pour tout réel x, on a : P x) = a + ) z a k + z k z k z k k + b k i a k z k + z ) ib k k z k z )) k = a + a k ib k ) z k + a k + ib k ) z ) k ou encore : = a + z n P x) = a z n + ak ib k ) z n+k + a k + ib k ) z n k) = Q z) Il en résulte que si P s annule en n + points deux à deux distincts, x,, x n, dans [ π, π[, alors le polynôme complexe Q C n [z] s annule en n + points distincts du cercle unité, e ix,, e ix n, ce qui revient à dire que c est le polynôme nul et P =. 3. On vérifie facilement que ϕ est une forme bilinéaire symétrique et positive. L égalité ϕ P, P ) = entraîne que P P n s annule en n + points deux à deux distincts dans [ π, π[ et en conséquence P =. Exercice 3.5 Montrer que, pour toute fonction α C [a, b], R +), l application : ϕ : f, g) b a f t) g t) α t) dt définit un produit scalaire sur l espace vectoriel E = C [a, b], R). Solution 3.5 Avec la structure de corps commutatif de R et la linéarité et positivité de l intégrale, on déduit que ϕ est une forme bilinéaire symétrique positive sur E. Sachant que l intégrale sur [a, b] d une fonction continue et à valeurs positives est nulle si, et seulement si, cette fonction est nulle, on déduit que ϕ est une forme définie. Donc ϕ est un produit scalaire sur E.

5 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski 847 Plus généralement, on se donne une fonction α définie sur un intervalle réel ouvert I = ]a, b[, avec a < b +, continue à valeurs réelles strictement positives, et on note : { b } E = f C I) f x) α x) dx < + En utilisant l inégalité : fg f + g ), on vérifie que E est un espace vectoriel et que l application définit un produit scalaire sur E. f, g) b Exercice 3.6 Montrer que l application : a f, g) a f x) g x) α x) dx π π f t) g t) dt définit un produit scalaire sur l espace vectoriel F des fonctions définies sur R à valeurs réelles, continues et périodiques de période π. Solution 3.6 Ce sont les mêmes arguments qu à l exercice précédent compte tenu qu une fonction de F est nulle si, et seulement si, elle est nulle sur [ π, π]. 3. Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski E, ) désigne un espace préhilbertien et on note pour tout x dans E, x = x x. Théorème 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y dans E on a : x y x y l égalité étant réalisée si, et seulement si, x et y sont liés. Démonstration. Si x = ou x et y = λx avec λ R, on a alors l égalité pour tout y E. On suppose donc que x est non nul et y non lié à x. La fonction polynomiale P définie par : P t) = y + tx = x t + x y t + y est alors à valeurs strictement positives, le coefficient de t étant non nul, il en résulte que son discriminant est strictement négatif, soit : x y x y < ce qui équivaut à x y < x y. On peut déduire de cette inégalité quelques inégalités intéressantes sur les réels ou sur les fonctions continues voir le paragraphe 35.). Une conséquence importante de l inégalité de Cauchy-Schwarz est l inégalité triangulaire de Minkowski.

6 848 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Théorème 3. Inégalité de Minkowski) Pour tous x, y dans E on a : x + y x + y l égalité étant réalisée si, et seulement si, x = ou x et y = λx avec λ on dit que x et y sont positivement liés). Démonstration. Si x =, on a alors l égalité pour tout y E. Si x et y = λx avec λ R, on a : x + y = + λ x + λ ) x = x + y l égalité étant réalisée pour λ. Pour λ <, l inégalité est stricte puisque dans ce cas + λ < + λ = λ. On suppose que x est non nul et y non lié à x. On a : et avec l inégalité de Cauchy-Schwarz : x + y = x + x y + y x + y < x + x y + y = x + y ) ce qui équivaut à x + y < x + y. De l inégalité de Minkowski, on déduit que l application x x = x x définit une norme sur E. De cette inégalité, on déduit l inégalité équivalente suivante : x, y) E, x y x + y Par récurrence, on montre facilement que pour tous vecteurs x,, x p, on a : x + + x p x + + x p. Les deux égalités qui suivent sont utiles en pratique. Théorème 3.3 Pour tous x, y dans E on a : x y = x + y x y ) = x + y x y ), 4 x + y + x y = x + y ). La deuxième identité est l égalité du parallélogramme. Elle est caractéristique des normes déduites d un produit scalaire voir le théorème 35.3). Exercice 3.7 Montrer que pour tout entier n et tout n-uplet x,, x n ) de vecteurs de E, on a : ε {,} n ε x + + ε n x n = n x + + x n ) identité généralisée du parallélogramme).

7 Orthogonalité 849 Solution 3.7 On procède par récurrence sur n. Pour n =, c est l égalité du parallélogramme classique. Supposons le résultat acquis pour n. Pour x,, x n, x n+ dans E et ε {, } n, on a : ε x + + ε n x n + x n+ + ε x + + ε n x n x n+ = ε x + + ε n x n + x n+ ) donc : ε {,} n+ n+ n+ ε k x k = ε k x k ε,ε n+ ) {,} n {,} = ε k x k + x n+ + ε k x k x n+ ε {,} n = ε k x k + x n+ ε {,} n = ε k x k + n x n+ ε {,} n n+ = n+ x k 3.3 Orthogonalité L inégalité de Cauchy-Schwarz nous dit que pour tous vecteurs x et y non nuls dans E, on a : x y x y ce qui implique qu il existe un unique réel θ dans [, π] tel que : x y = cos θ) x y Le réel θ est la mesure dans [, π] de l angle géométrique que font les vecteurs x et y dans E {}. Pour θ {, π}, on a x y = x y, ce qui équivaut à dire que les vecteurs x et y sont liés. Pour θ = π, on a x y =. Définition 3.3 On dit que deux vecteurs x et y appartenant à E sont orthogonaux si x y =. Théorème 3.4 Pythagore) Les vecteurs x et y sont orthogonaux dans E si, et seulement si : x + y = x + y

8 85 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale De manière générale, on a : x + y = x + cos θ) x y + y On vérifie facilement par récurrence sur p, que si x,, x p sont deux à deux orthogonaux, on a alors : p p x k = x k Définition 3.4 L orthogonal d une partie non vide X de E est l ensemble : X = {y E x X, x y = }. Il est facile de vérifier que X est un sous espace vectoriel de E. Définition 3.5 On appelle famille orthogonale dans E toute famille e i ) i I de vecteurs de E telle que e i e j = pour tous i j dans I. Si de plus e i = pour tout i I, on dit alors que cette famille est orthonormée ou orthonormale. Théorème 3.5 Une famille orthogonale de vecteurs non nuls de E est libre. Démonstration. Si e i ) i I est une telle famille et si j J λ j e j = où J est une partie finie de I on a alors pour tout k J : = λ j e j e k = λ k e k, j J avec e k = et nécessairement λ k =. Exemple 3. Sur R n [x] muni du produit scalaire P, Q) P Q = P x k ) Q x k ), où x k ) k n est une suite de réels deux à deux distincts, la base de Lagrange correspondante est orthonormée voir l exercice 3.3). Exercice 3.8 Montrer que, sur l espace vectoriel F des fonctions réelles, continues et πpériodiques muni du produit scalaire : la famille { π, π cos nt), f, g) π π f x) g x) dx, π sin mt) n, m) N N } est orthonormée.

9 Le procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt 85 Solution 3.8 Pour n m dans N, on a : π π cos nt) cos mt) dt = pour n m dans N, on a : π π sin nt) sin mt) dt = et pour n, m) N N, on a : π π Pour n =, on a : cos nt) sin mt) dt = donc = et pour n : π π π π π π π π π π cos n + m) t) + cos n m) t)) dt =, cos n m) t) cos n + m) t)) dt = sin n + m) t) sin n m) t)) dt =. π π cos nt) dt = sin nt) dt = π donc cos nt) π = π sin nt) =. dt = π π π π π cos nt) + ) dt = π cos nt)) dt = π 3.4 Le procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt Théorème 3.6 orthonormalisation de Gram-Schmidt) Pour toute famille libre x i ) i p dans E, il existe une unique famille orthonormée e i ) i p dans E telle que : { Vect {e,, e k {,, p}, k } = Vect {x,, x k } x k e k > Démonstration. On procède par récurrence sur p. Pour p =, on a nécessairement e = λ x avec λ R et = e = λ x, donc λ = x ce qui donne deux solutions pour λ. La condition supplémentaire x e > entraîne λ > et on obtient ainsi l unique solution e = x x. Supposons p et construite la famille orthonormée e i ) i p vérifiant les conditions : k {,, p }, { Vect {e,, e k } = Vect {x,, x k } x k e k > Si ) e,, e p, e p est une solution à notre problème on a alors nécessairement e k = e k pour tout k compris entre et p unicité pour le cas p ). La condition Vect {e,, e p } = Vect {x,, x p } entraîne : p e p = λ j e j + λ p x p j=

10 85 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Avec les conditions d orthogonalité : on déduit que : et : j {,, p }, e p e j = λ j + λ p x p e j = j p ) ) p e p = λ p x p x p e j e j = λ p y p j= Du fait que x p / Vect {x,, x p } = Vect {e,, e p } on déduit que y p et la condition e p = donne : λ p = y p La condition supplémentaire : ) p < x p e p = e p λ j e j e p = λ p λ p entraîne λ p >. Ce qui donne en définitive une unique solution pour e p. La construction d une famille orthonormée e i ) i p peut se faire en utilisant l algorithme suivant : f = x, e = f f f k = x k k j= j= x k e j e j, e k = f k f k, k =,, p) Le calcul de f k peut être simplifié en écrivant que : k f k = f k x k x k e j e j j= k = f k x k = x k x k e j e j x k j= k = x k x k e j j= f k est orthogonal à e j pour j k ). Les x k e j étant déjà calculés pour obtenir f k ), il suffit donc de calculer x k. En fait le calcul de f k x k est souvent plus rapide. Dans la base x i ) i p chaque vecteur e k s écrit e k = k µ j x j, avec µ k = f k >. Corollaire 3. Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie ou infinie dénombrable de E, alors il existe une base orthonormée pour F. Démonstration. On raisonne par récurrence en utilisant le théorème de Gram-Schmidt. Si E est un espace euclidien de dimension finie et B = e i ) i n une base orthonormée de E, alors tout vecteur x E s écrit : x = x e k e k = x k e k j=

11 Le procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt 853 et on a pour tous vecteurs x, y dans E, en notant X la matrice de x dans la base B : x y = x e k y e k = x k y k = t XY et : x = x e k = x k. Ces égalités sont des cas particuliers des égalités de Parseval valables de manière plus générale dans les espaces de Hilbert. Exercice 3.9 Montrer que l application : P, Q) P Q = t) P t) Q t) dt définit un produit scalaire sur R [x]. Donner une base orthonormée. Solution 3.9 La fonction t t étant à valeurs strictement positives sur ], [, il est facile de vérifier que est un produit scalaire. En utilisant l algorithme de Gram-Schmidt, on définit la base orthonormée P i ) i par : Q =, Q = t) dt =, P = Q = x x P P = x 3 Q = Q x = 4 9, P = 3 x Q = x x P P x P P = x 8 5 x + 5 Q = Q x = , P = 4 5x 8x + ) Une base orthonormée de R [x] est donc :, 3 6 x, 5x 8x + )) 4 Exercice 3. Montrer que l application P, Q) P t) Q t) dt définit un produit scalaire sur R [x]. Donner la matrice dans la base canonique et déterminer une base orthonormée. Solution 3. On sait déjà que est un produit scalaire. En utilisant l algorithme de Gram-Schmidt, on définit la base orthonormée P i ) i par : Q =, Q = dt =, P = Q = x x P P = x Q = Q x = 3, P = 3 x Q = x x P P x P P = x 3 Q = Q x = 8 45, P = 3 x ) 4 3

12 854 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Une base orthonormée de R [x] est donc : 3, x, 3 x ) ) 4 3 Exercice 3. On note le produit scalaire défini sur R [X] par :. Montrer que : P, Q) P Q = n N, + t n t dt = P t) Q t) dt t n)! π n n!). En utilisant le procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt, déduire de la base canonique, X, X ) de R [X], une base orthonormée de R [X]. Solution 3.. Pour tout entier naturel n, on note : T n = t n t dt La fonction à intégrer est positive et équivalente au voisinage de à la fonction elle est donc intégrable sur [, ]. On a : T = dt = arcsin ) = π t et pour n, une intégration par parties donne : T n = t n t n ) = n ) t dt = n ) x n t dt t t On a donc la relation de récurrence : t ) dx = n ) T n T n ) n, T n = n n T n et avec la valeurs initiale T, on déduit que : T n = n n 3 n n ) 3 π 4 = n n n n 3 n n n ) n ) 3 π 4 = n)! π n n!) t,

13 Le procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt 855. On pose Q = et on a Donc : Q = dt = dt = π t t P = Q Q = π Puis Q X) = X λp où λ est tel que P Q =, ce qui donne : par parité. On a Q X) = X et : Donc : Q = λ = P X = t dt = t t dt = t t P = Q Q = π X t dt = π = π Puis Q X) = X λp µp où λ, µ sont tels que P Q = P Q =, ce qui donne : λ = P X = t dt = π π π t π = et : µ = P X t 3 = π dt = t π par parité. On a Q X) = X λp = X = X π et : Donc : Q = Q X λp = Q X t 4 = dt t = 4! 4 π π = π 8 t t dt P = Q Q = X ) π Conclusion, une base orthonormée de R [X] est donnée par : P, P, P ) =, π π X, X )) π Exercice 3. Pour tout entier n positif ou nul, on note π n x) = x ) n et R n = π n) n. On munit E = R [x] du produit scalaire défini par : P, Q) E, P Q = P x) Q x) dx

14 856 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale. Montrer que R n est un polynôme de degré n de la parité de n.. Calculer, pour n, les coefficients de x n et x n dans R n. 3. Montrer que, pour n, pour tout entier k compris entre et n et tout P R [x], on a : π k) n t) P t) dt = π k ) n t) P t) dt 4. Montrer que, pour n et tout polynôme P R n [x], on a R n P =. 5. En déduire que la famille R n ) n N est orthogonale dans E. 6. Calculer R n, pour tout entier n positif ou nul. Les polynômes P n = R n R n sont les polynômes de Legendre normalisés. Solution 3.. Pour n = on a R = π =. Pour n le polynôme : π n x) = ) n k Cnx k k est de degré n et sa dérivée d ordre n : R n x) = ) n k C k k)! n n k n)! xk n k n est un polynôme de degré n. Le polynôme π n est pair donc sa dérivée d ordre n, R n est de la parité de n.. Le coefficient dominant de R n est β n n) R n est de la parité de n. = n)! n! et le coefficient de x n est nul du fait que 3. Une intégration par parties donne, pour tout entier k compris entre et n et tout P R [x] : [ ] π k) n t) P t) dt = π k ) n t) P t) π k ) n t) P t) dt Et utilisant le fait que et sont racines d ordre n du polynôme π n x) = x ) n x + ) n, on a π k ) n ±) =, de sorte que : π k) n t) P t) dt = 4. En effectuant n intégrations par parties, on obtient : π n) n t) P t) dt = ) n π k ) n t) P t) dt π n t) P n) t) dt Pour P R n [X], on a P n) = et : R n P = π n) n P = π n P n) =

15 Meilleure approximation dans un espace préhilbertien Chaque polynôme R k étant de degré k, on déduit de la question précédente que R n R m = pour n < m et par symétrie R n R m = pour n m dans N. La famille {R n n N} est donc orthogonal dans R [x]. 6. En utilisant 4. on a : où : Pour n, on a : R n = I n = π n) n t) R n t) dt = ) n = ) n β n) n n! I n = π n t) dt = π n t) R n n) t) dt π n t) dt = n)! ) n I n t ) n dt t ) n t ) dt = t ) n t tdt In et une intégration par parties donne : t ) n t tdt = [t t ) ] n n = n I n soit la relation de récurrence : I n = n I n I n soit I n = n n + I n. Il en résulte que : et : soit R n = n n! n +. t ) n dt n I n = ) n n) n )) n + ) n ) I = ) n n n!) n + )! R n = n)! n n!) n + )! = n + n n!) 3.5 Meilleure approximation dans un espace préhilbertien Théorème 3.7 projection orthogonale) Soit F un sous espace vectoriel de dimension finie de E. Pour tout vecteur x E, il existe un unique vecteur y dans F tel que : x y = d x, F ) = inf x z z F Ce vecteur est également l unique vecteur appartenant à F tel que x y F. Son expression dans une base orthonormée e i ) i n de F est donnée par : y = x e k e k

16 858 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale et on a : x y = x y = x x e k 3.) Démonstration. Soit e i ) i n une base orthonormée de F le théorème de Gram Schmidt nous assure l existence d une telle base). Pour x dans E, on définit le vecteur y F par : y = x e k e k On a alors x y e j = pour tout j {,, n}, c est-à-dire que x y F. Le théorème de Pythagore donne alors, pour tout z F : x z = x y) + y z) = x y + y z x y et on a bien x y = d x, F ). S il existe un autre vecteur u F tel que x u = d x, F ) = δ, de : δ = x u = x y + y u = δ + y u on déduit alors que y u = et y = u. On sait déjà que le vecteur y F est tel que x y F. Supposons qu il existe un autre vecteur u F tel que x u F, pour tout z F, on a alors : x z = x u) + u z) = x u + u z x u donc x u = d x, F ) et u = y d après ce qui précède. La dernière égalité se déduit de : x = x y) + y = x y + y Remarque 3. Il est parfois commode d exprimer le résultat précédent sous la forme : x E, inf y,,y n) R n où e i ) i n est un système orthonormé. x y k e k = x x e k, Si x est un vecteur de E, alors le vecteur y de F qui lui est associé dans le théorème précédent est la meilleure approximation de x dans F. En considérant la caractérisation géométrique x y F, on dit aussi que y est la projection orthogonale de x sur F. On note y = p F x) et on dit que l application p F est la projection orthogonale de E sur F. On a donc : y = p F x)) y F et x y F ) y F et x y = d x, F ))

17 Meilleure approximation dans un espace préhilbertien 859 et dans une base orthonormée de F, une expression de p F est : x E, p F x) = x e k e k. L égalité p F x) = x équivaut à dire que x F et p F x) = équivaut à dire que x F. Dans le cas où E est de dimension finie et F = E, p F est l application identité. De l inégalité 3.), on déduit que pour tout vecteur x E, on a : p F x) = x e k x. Cette inégalité est l inégalité de Bessel. Si F = {}, on peut définir p F et c est l application nulle. On suppose donc, a priori, F non réduit à {}. Exemple 3. Si D = Ra est une droite vectorielle, une base orthonormée de D est et pour tout x E, on a p D x) = x a a a. ) a a Exemple 3.3 Sur l espace vectoriel F des fonctions continues et π-périodiques muni du produit scalaire : f, g) f g = π π f x) g x) dx la meilleure approximation, pour la norme déduite de ce produit scalaire, d une fonction f F par un polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à n est donnée par : S n f) = f c π c π + = π f c c + π f c k π ck π + f c k c k + π f f s k s k où c k : x cos kx) pour k et s k : x sin kx) pour k. Soit : S n f) x) = a f) + a k f) cos kx) + s k π sk π b k f) sin kx) où les a k f) et b k f) sont les coefficients de Fourier trigonométriques de f définis par : a k f) = π π π f t) cos kt) dt et b k f) = π π π f t) sin kt) dt L opérateur de projection orthogonale de F sur P n est l opérateur de Fourier. La série : a f) + a n f) cos nx) + b n f) sin nx)) est la série de Fourier de f.

18 86 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Si e i ) i n est une base non nécessairement orthonormée) de F, alors la projection orthogonale d un vecteur x de E sur F est le vecteur y = compris entre et n, sont solutions du système linéaire : soit : n j= x y e i = i n), e i e j y j = x e i i n). j= y j e j, où les composantes y j, pour j Ce système est appelé système d équations normales. Du théorème de projection orthogonale, on déduit le résultat suivant qui justifie l existence du supplémentaire orthogonal d un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Corollaire 3. Pour tout sous espace vectoriel F de dimension finie de E on a E = F F. Démonstration. Pour tout x F F, on a x = x x = et x =. Donc F F = {}. Soit x E et y F sa projection orthogonale dans F. On a x y F et x = y + x y) F + F. D où l égalité E = F F. Dans le cas où E est de dimension finie, on a dim F ) = dim E) dim F ), donc dim F ) ) = dim F ) et avec l inclusion F F ), on déduit qu on a l égalité F ) = F. Remarque 3. Pour F de dimension infinie, on a toujours F F = {} mais pas nécessairement E = F F. On considère par exemple l espace vectoriel E = C [, ], R) muni du produit scalaire f g = déduit que F = {} et pourtant on a E F F. f t) g t) dt. Pour F = R [x], du théorème de Weierstrass on Exercice 3.3 On munit l espace vectoriel R [x] du produit scalaire : P, Q) P Q = + P t) Q t) e t dt.. Justifier la convergence des intégrales P Q pour tous P, Q dans R [x] et le fait qu on a bien un produit scalaire.. Construire une base orthonormée de R 3 [x]. 3. Soit P = + x + x 3. Déterminer Q R [x] tel que P Q soit minimal. Solution 3.3. On vérifie par récurrence que : k N, + t k e t dt = k! et de ce résultat on déduit que l application est bien définie sur R [x]. On vérifie ensuite facilement que c est un produit scalaire.

19 Meilleure approximation dans un espace préhilbertien 86. En utilisant le procédé de Gram-Schmidt sur la base, x, x, x 3 ) de R 3 [x], on a : Q =, Q =, P = Q Q = P = x x P P = x, Q =, P = Q Q = x Q = x x P P x P P = x 4x + Q = 4, P = Q Q = x 4x + ) Q 3 = x 3 x 3 P P x 3 P P x 3 P P = x 3 9x + 8x 6 Q 3 = 36, P 3 = Q 3 Q 3 = 6 x3 9x + 8x 6) 3. Le polynôme Q est la projection orthogonale de P sur F = R [x] donnée par : Q = P P k P k. Le calcul des P P k peut être évité en remarquant que dans la base orthonormée P, P, P, P 3 ) de E = R 3 [x], on a : P = 3 P P k P k = Q + P P 3 P 3 le coefficient P P 3 s obtenant en identifiant les coefficients de x 3 dans cette égalité P est de degré au plus), soit : P P 3 = 6. On a donc : et : Exercice 3.4 Calculer Q = P P P 3 P 3 = 9x 7x + 7 d P, R [x]) = P Q = P P 3 = 6. inf x ax b) dx. a,b) R Solution 3.4 En munissant l espace E = C [, ]) du produit scalaire : on a : M = f, g = f x) g x) dx inf x ax b ) dx = inf f Q a,b) R Q R [x] où f x) = x. Le théorème de projection orthogonale donne : M = f P = f P

20 86 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale où P est la projection orthogonale de f sur R [x], soit P = f, P P + f, P P où P, P ) est une base orthonormée de R [x]. Le procédé de Gram-Schmidt donne : P x) =, P x) = 3 x et on a : f, P =, f, P = 3 donc : P x) = 3 et : M = 5 9 = 8 45 En utilisant la base canonique, x) de R [x], le système d équations normales est : { y + x y = x x y + x x y = x x soit : y = 3 3 y = ce qui donne y = 3 et y =, soit P = 3 et M = f P = Exercice 3.5 Calculer inf a,b) R x ln x) ax b) dx. Solution 3.5 On munit l espace vectoriel E = C [, ]) du produit scalaire : f, g) f g = f x) g x) dx et on note f la fonction définie sur [, ] par : { x ln x) si x ], ] f x) = si x =. Avec lim x x ln x) =, on déduit que f E. Avec ces notations il s agit donc de calculer : δ = d f, F ) = inf f ax bx a,b) R où F = Vect {x, x }. On sait que si P, P ) est une base orthonormée de F, alors : δ = f f P P f P P = f f P f P

21 Meilleure approximation dans un espace préhilbertien 863 Une telle base orthonormée s obtient avec le procédé de Gram-Schmidt : { P = 3x, P = 5 4x 3x). Puis avec : n N, f x n = f = x ln x) dx = 7, on obtient : 3 f P = 9 5 f P = et : δ = 4 3 = 3 43 La projection orthogonale de f sur F étant donnée par : x n+ ln x) dx = n + ) P = f P P + f P P = 5 3 x 9 x On peut aussi déterminer cette projection orthogonale P = ax + bx en utilisant le système d équations normales : { f P x =, soit : f P x =, 3a + 4b = 4 3, 4a + 5b = 5 4, ce qui donne a = 5 3 et b = 9. Le minimum cherché est alors : δ = f P = = 43. Théorème 3.8 Si F est un sous espace vectoriel de dimension finie de E, alors la projection orthogonale p F de E sur F est linéaire et continue avec p F =. Démonstration. Si e i ) i n est une base orthonormée de F, on a alors : x E, p F x) = x e k e k La linéarité de p F se déduit alors facilement de cette expression. D autre part, avec : x E, p F x) = x x p F x) x et p F x) = x pour tout x F, on déduit que p F est continue avec p F =.

22 864 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Pour tout x E la fonction J définie sur E par : z E, J z) = z x est différentiable sur E. En effet, pour z, h dans E, on a : J z + h) J z) = z x h + h = J z) h) + o h ). La meilleure approximation de x dans F est donc définie par : { y F, h F, J y) h) =. Ce résultat est en fait un cas particulier du résultat suivant. Théorème 3.9 Soient E un espace vectoriel normé, F un sous-espace vectoriel de E, J une fonction convexe de E dans R différentiable en un point y F. Le vecteur y est solution du problème de minimisation : { y F J y) = inf J z) 3.) z F si, et seulement si : où J y) désigne la différentielle de J en y. { y F h F, J y) h) = 3.3) Démonstration. Supposons y solution de 3.). Pour tout h F la fonction ϕ définie par : t R, ϕ t) = J y + th) est dérivable en avec ϕ ) = J y) h) et atteint son minimum en t =, on a donc ϕ ) =, soit J y) h). On peut remarquer qu à ce stade de la démonstration la convexité de J n intervient pas. Réciproquement supposons 3.3) vérifié. Pour z F et tout réel t ], ], avec la convexité de la fonction J, on a : soit : et : J y + t z y)) J y) + t J z) J y)), t ], ], J y + t z y)) J y) t J z) J y) = J J y + t z y)) J y) y) z y) = lim J z) J y), t t c est-à-dire que J y) J z) pour tout z F et y est solution de 3.).

23 Déterminants de Gram Déterminants de Gram Définition 3.6 Soit n un entier naturel non nul. On appelle matrice de Gram d une famille x i ) i n de vecteurs de E, la matrice : x x x x x x n x x x x x x n G x,, x n ) = x n x x n x x n x n et le déterminant de cette matrice, noté g x,, x n ), est appelé déterminant de Gram de la famille x i ) i n. Remarque 3.3 Si F est un sous-espace vectoriel de E de dimension n et x i ) i n une base de F, alors la matrice G x,, x n ) est la matrice du système d équations normales qui permet de déterminer la projection orthogonale sur F d un vecteur x de E. Théorème 3. Si n est un entier naturel non nul, alors pour toute famille x i ) i n de vecteurs de E, on a : rg G x,, x n )) = rg x,, x n ). Démonstration. Si tous les vecteurs x i sont nuls, alors la matrice de Gram correspondante est la matrice nulle et le résultat est évident. On suppose donc que les x i ne sont pas tous nuls et on désigne par F le sous-espace vectoriel de E engendré par {x,, x n }. Le procédé de Gram-Schmidt nous permet de construire une base orthonormée e i ) i p de F, avec p n, et dans cette base on écrit : x i = p a ki e k i n) Pour i, j compris entre et n, on a alors : p x i x j = a ki a kj = a i,, a pi ) a j. a pj soit en notant : a a a n a a a n A = M p,n R) a p a p a pn G x,, x n ) = t AA En munissant R n et R p de leurs structures euclidiennes canoniques, on a pour tout X R n, t AAX X R n = AX AX R p = AX R p et on en déduit que ker t AA) = ker A), puis avec le théorème du rang que t AA et A ont même rang. On a donc : rg G x,, x n )) = rg A) = rg x,, x n ) puisque A est la matrice du système de vecteurs x i ) i n dans la base e i ) i p.

24 866 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Corollaire 3.3 Si n est un entier naturel non nul, alors pour toute famille x i ) i n de vecteurs de E, on a g x,, x n ) et ce système est libre si, et seulement si, g x,, x n ) >. Démonstration. On reprend les notations de la démonstration du théorème précédent. Si le système x i ) i n est lié, on a alors : rg G x,, x n )) = rg A) < n et la matrice G x,, x n ) est non inversible dans M n R), son déterminant est donc nul. Si le système x i ) i n est libre, on a alors : rg G x,, x n )) = rg A) = n et la matrice G x,, x n ) est inversible dans M n R), son déterminant est donc non nul. En considérant que la matrice G x,, x n ) = t AA est symétrique positive t AAX X R n = AX R n pour tout X R n ), on déduit que ce déterminant est strictement positif. Remarque 3.4 Dans le cas de deux vecteurs x, y non nuls dans E, on a : ) x x x y g x, y) = = x y x y x y y y et la condition g x, y) avec égalité si, et seulement si, les vecteurs x et y sont liés est tout simplement le théorème de Cauchy-Schwarz. Si x et y sont non nul, en notant θ la mesure dans [, π] de l angle que font ces vecteurs, on a : g x, y) = x y cos θ) ) = x y sin θ) et il en résulte que g x, y) x y, l égalité étant réalisée si, et seulement si, ces deux vecteurs sont orthogonaux. Le théorème qui suit généralise cette remarque en donnant une interprétation géométrique du déterminant de Gram. Si x, y sont deux vecteurs non nuls dans E, on note x, y) la mesure dans [, π] de l angle que font ces vecteurs. Théorème 3. Soient n un entier naturel supérieur ou égal à, x i ) i n une famille libre de vecteurs dans E et e i ) i n la base orthonormée de F = Vect {x,, x n } déduite par le procédé de Gram-Schmidt avec la condition x k e k > pour tout k compris entre et n. On a alors : g x,, x n ) = n cos x k, e k ) k= = sin x, x ) n x k n cos x k, e k ) k=3 n x k si n 3 Démonstration. On a vu démonstration du théorème 3.6) que : e k = y k y k k n)

25 Déterminants de Gram 867 où y = x et y k = x k k j= e i ) i n à x i ) i n est alors donnée par : et : De x k = y k e k + k déduit que : j= x k e j e j pour k compris entre et n. La matrice de passage de y. a A = y a n a n,n y n g x,, x n ) = det A) = n y k x k e j e j, pour k compris entre et n, et de l orthogonalité des e j, on y k = x k e k = x k cos x k, e k ) ce qui donne en tenant compte de y = x : Pour n 3, en écrivant que : g x,, x n ) = n cos x k, e k ) k= n x k y = x x e e = x x e avec : on obtient : et : x e = x cos x, e ) = x cos x, x ) y = x cos x, x ) ) = x sin x, x ) n n g x,, x n ) = sin x, x ) cos x k, e k ) x k k=3 Corollaire 3.4 Si n est un entier naturel supérieur ou égal à, alors pour toute famille x i ) i n de vecteurs non nuls de E, on a : g x,, x n ) n x k. La borne inférieure est atteinte si, et seulement si, la famille x i ) i n est liée et la borne supérieure est atteinte si, et seulement si, la famille x i ) i n est orthogonale. Démonstration. Si la famille x i ) i n est liée, on a alors g x,, x n ) =.

26 868 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale On suppose donc cette famille libre et dans ce cas, on a g x,, x n ) > et le théorème précédent nous dit que g x,, x n ) n x k, l égalité étant réalisée si, et seulement si, on a cos x k, e k ) = pour tout k compris entre et n, ce qui compte tenu de : k y k = cos x k, e k ) x k = x k x k e j équivaut à x k e j = pour tout j compris entre et k, soit à x k = y k = y k e k pour tout k compris entre et n et le système x i ) i n est orthogonal. Les déterminants de Gram nous permettent de donner une expression du degré d approximation d un élément x de E par des éléments d un sous-espace vectoriel F de dimension finie ainsi qu une expression de la projection orthogonale de x sur F. Précisément, on a le résultat suivant. Théorème 3. Soient F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E et x i ) i n une base de F. Pour tout x dans E, on a : g x,, x n, x) d x, F ) = g x,, x n ) et la meilleure approximation de x par des éléments de F est le vecteur j= y = j= g j,x x,, x n ) g x,, x n ) x j, où g j,x x,, x n ) est le déterminant de la matrice déduite de la matrice de Gram G x,, x n ) x x en remplaçant sa colonne numéro j par.. x n x Démonstration. En notant y la projection orthogonale de x sur F, on a : et pour tout i compris entre et n : d x, F ) = x y = x y x i x = x i x y + x i y = x i y du fait que x y F et x i F. En utilisant la linéarité du déterminant par rapport à la dernière colonne, on en déduit que : x x x x n x y. g x,, x n, x) =.... x n x x n x n x n y x x x x n d x, F ) + y = d x, F ) g x,, x n ) + g x,, x n, y) = d x, F ) g x,, x n )

27 Déterminants de Gram 869 le système {x,, x n, y} étant lié, puisque y F, on a g x,, x n, y) = ), soit : g x,, x n, x) d x, F ) = g x,, x n ) D autre part, la projection orthogonale y de x sur F s écrit y = n a j x j, les coefficients a j étant solutions du système d équations normales : G x,, x n ) a. a n = x x. x n x et en utilisant les formules de Cramer, on obtient, pour j compris entre et n : a j = g j,x x,, x n ) g x,, x n ) j= Remarque 3.5 Si la base x i ) i n est orthonormée, on a alors : donc : g x,, x n ) = n x k = d x, F ) = g x,, x n, x) et pour les coefficients a j, on retrouve a j = x j x. Exemple 3.4 On se place sur E = C [, ]) muni du produit scalaire : f, g) Pour tout entier naturel non nul n, on a : avec : d x n, R n [x]) = g, x,, x n ) =. n f x) g x) dx. g, x,, x n, x n ), g, x,, x n ) n 3 n n+ n voir le lemme 3.), ce qui peut aussi s écrire : On en déduit alors que : g, x,, x n ) = d x n, R n [x]) = n n j= = j! j= i<j n i,j n ) 3. n + j)! n!) n)! n +. j i) i + j + )

28 87 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale 3.7 Les théorèmes de Müntz Pour ce paragraphe, on se place sur E = C [, ]) muni du produit scalaire : f, g) f g = f x) g x) dx, on note la norme déduite de ce produit scalaire et la norme de la convergence uniforme sur l intervalle [, ]. On rappelle que pour tout entier naturel non nul n, on note e n la fonction x x n. Le théorème de Weierstrass nous dit que R [x] = Vect {e n n N} est dense dans E, ) et avec f f pour toute fonction f E, on déduit que R [x] est également dense dans E, ). Les théorèmes de Müntz permettent de caractériser les suites strictement croissantes de réels positifs pour lesquelles l espace vectoriel Vect { x λ n n N } est dense dans E, muni respectivement des normes et. Comme conséquence du théorème de Weierstrass on a le premier résultat de densité suivant. Théorème 3.3 Soit {θ n n N} un système libre dans E. L espace vectoriel F = Vect {θ n n N} est dense dans E, ) si, et seulement si, pour tout entier naturel p, on a : g θ,, θ n, e p ) lim n + g θ,, θ n ) =. Démonstration. En notant, pour tout entier naturel n : F n = Vect {θ k k n} on a g θ,, θ n ) > puisque le système {θ k k n} est libre et pour tout entier naturel p : g θ,, θ n, e p ) = d e p, F n ) g θ,, θ n ) Supposons que F soit dense dans E, ) et soit p un entier naturel. Pour tout réel ε strictement positif on peut alors trouver un entier n et une fonction P F n tels que e p P < ε. On a alors : d e p, F n ) = inf e p Q Q F e p P < ε n De plus pour tout entier n n, on a F n F n et donc d e p, F n ) d e p, F n ), ce qui permet de déduire que : n n, d e p, F n ) < ε On a donc ainsi montré que pour tout entier naturel p, on a : lim d e p, F n ) = n + Réciproquement si cette condition est vérifiée, avec la bilinéarité du produit scalaire et la linéarité du déterminant par rapport à la dernière colonne, on déduit que : P R [x], lim d P, F n) = n + Avec la densité de R [x] dans E, ), on déduit que pour toute fonction f E et pour tout réel ε strictement positif il existe une fonction polynomiale P telle que f P < ε. En

29 Les théorèmes de Müntz 87 désignant par n un entier naturel tel que d P, F n ) < ε et en notant P F n orthogonale de P sur F n, on a : la projection et : f P f P + P P = f P + d P, F n ) < ε d f, F n ) f P < ε En écrivant que d f, F n ) = f Q, où Q F n est la projection orthogonale de f sur F n, on a donc f Q < ε. Ce qui montre bien la densité de F dans E, ). Lemme 3. Si p est un entier naturel non nul, λ, λ,, λ p et x, x,, x p sont des réels tels que x j + λ i pour tous i, j compris entre et p, on a alors : )) x j x i ) λ j λ i ) i<j p det = x j + λ i i,j p x j + λ i ) déterminant de Cauchy ). i,j p Démonstration. S il )) existe deux indices i j tels que x j = x i [resp. λ j = λ i ], la matrice A p = a alors deux colonnes [resp. deux lignes] identiques et sont x j + λ i i,j p déterminant est nul. L égalité annoncée est donc vérifiée. On suppose que les x i, ainsi que les λ i sont deux à deux distincts et on désigne par F p la fonction rationnelle définie sur R \ { λ,, λ p } par : F p x) = p j= p x x j ). x + λ i ) Le numérateur de F p est de degré p et son dénominateur de degré p +, on a donc une décomposition en éléments simples de la forme : les coefficients α i étant donnés par : α i = En développant le déterminant : D p = F p x) = p α i x + λ i, lim x + λ i ) F p x) = x λ i p j= p j= j i λ i + x j ). λ i λ j ) x +λ x p +λ x p +λ x +λ p... x p +λ p x p +λ p F p x ) F p x p ) F p x p ),

30 87 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale suivant la dernière ligne, en tenant compte de F p x j ) = pour tout j compris entre et p, on obtient : D p = F p x p ) det A p ) D autre part, en écrivant que F p x j ) = p α i et en utilisant le fait que le déterminant x j + λ i est une forme multilinéaire alternée, on a aussi : D p = α p det A p ) On a donc F p x p ) det A p ) = α p det A p ) et : det A p ) = F p x p ) α p det A p ) = p j= x p x j ) λ p λ j ) det A p x p + λ i ) p p ) x j + λ p ) On conclut alors par récurrence sur p. Pour p =, on a : x +λ x +λ det A ) = = x x ) λ λ ) x + λ ) x + λ ) x + λ ) x + λ ) x +λ x +λ Et supposant le résultat acquis pour p, on a : det A p ) = = p x p x j ) λ p λ j ) x j x i ) λ j λ i ) j= i<j p p x p + λ i ) p x j + λ i ) x j + λ p ) i,j p j= x j x i ) λ j λ i ) x j x i ) λ j λ i ) i<j p i<j p p x p + λ i ) p = p x p + λ i ) x + λ i ) x j + λ i ) j= i,j p Dans ce qui suit, on se donne une suite strictement croissante de réels positif : λ < λ < < λ n < λ n+ < et pour tout entier naturel n, on note θ n la fonction définie par : x [, ], θ n x) = x λ n. Lemme 3. Pour tout entier naturel non nul n, on a : n j ) λ j λ i ) et pour tout entier naturel p : g θ,, θ n ) = j= n n ) λ j + λ i + ) j= d e p, Vect {θ k k n}) = n λ i p p + λ i + p +

31 Les théorèmes de Müntz 873 Démonstration. Pour tout réel positif ou nul, on note simplement x λ la fonction x x λ. Pour tous réels positifs ou nuls λ et µ, on a : et : ce qui peut aussi s écrire : On a aussi : x λ x µ = )) g θ,, θ n ) = det λ j + λ i + g θ,, θ n ) = λ + µ + i,j n = i<j n i,j n n j ) λ j λ i ) j= n n ) λ j + λ i + ) j= λ j λ i ) λ i + λ j + ) g θ,, θ n, e p ) = n j= j ) n λ j λ i ) λ i p) n n ) n λ j + λ i + ) λ j + p + ) λ i + p + ) p + ) j= soit : g θ,, θ n, e p ) = n j= j ) n λ j λ i ) λ i p) n n ) n λ j + λ i + ) λ i + p + ) p + ) j= et en notant F n = Vect {θ k k n}, on en déduit que : n g θ,, θ n, e p ) d e p, F n ) = = λ i p g θ,, θ n ) p + λ i + p + En utilisant la suite définie par λ n = n pour tout entier naturel n, on retrouve : d x n, R n [x]) = n n i n + n + i + = n!) n)! n + De ces calculs on déduit, avec les notations qui précèdent, le premier résultat de densité suivant. Théorème 3.4 L espace vectoriel F = Vect {θ n n N} est dense dans E, ) si, et seulement si : n λ i p p N, lim n + λ i + p + = Et de ce résultat on déduit le premier théorème de Müntz.

32 874 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale Théorème 3.5 Müntz) L espace vectoriel F = Vect {θ n n N} est dense dans E, ) si, et seulement si : + = +. λ n n= Démonstration. On a λ n > λ pour tout entier naturel non nul, donc λ n est bien défini pour n. Supposons F dense dans E, ), on a alors : p N, lim n + n λ i p λ i + p + = Si la suite λ n ) n N est bornée, étant croissante positive, elle converge vers un réel λ > et la série + est divergente. Si cette suite n est pas bornée, étant croissante, elle diverge vers n= λ n l infini. Si N {λ k k N}, on a alors : + n= + λ n n = + n= Dans le cas contraire il existe un entier naturel p tel que p λ k pour tout k N et avec lim n + λ n = + on déduit qu il existe un entier i tel que λ i > p pour tout i > i. De : on déduit que : lim n n + i=i + et du fait que : ) λi p ln λ i + p + cela équivaut à : i λ i p λ i + p + = + i=i + λ i + p + λ i p lim n + ) λi p ln = λ i + p + = ln p + ) λ i + p + + i=i + λ i = n p + i + λ i + p + λ i p λ i + p + = p + i + λ i Réciproquement supposons que + = +. Pour p, n dans N, on note u n,p = n λ i p n= λ n λ i + p +. Si p {λ k k N}, on a alors u n,p = à partir d un certain rang. Si p / {λ k k N}, on distingue deux cas. Si la suite λ n ) n N est bornée, alors elle converge vers un réel λ > et : lim λ i p i + λ i + p + = λ p λ + p + = µ < on peut donc trouver un entier i tel que : i i, λ i p λ i + p + µ + ε <

33 Les théorèmes de Müntz 875 et : n > i, u n,p u i,p µ + ε) n i ce qui entraîne lim u n,p =. Si la suite λ n ) n + n N n est pas bornée, elle diverge alors vers l infini et λ i p est strictement positif à partir d un rang i avec : ce qui entraîne + i=i + ) λi p ln = ln λ i + p + ) λi p ln λ i + p + p + λ i + p + ) p + i + λ i =, équivalent à lim n + u n,p =. Dans tous les cas, on a lim u n,p = pour tout entier naturel p, ce qui équivaut à la densité de F dans E, n + ). De ce théorème on déduit le résultat de densité suivant dans E muni de la norme de la convergence uniforme. Théorème 3.6 Müntz) Si avec les notations qui précèdent, on suppose de plus que λ = et λ, alors l espace vectoriel F = Vect {θ n n N} est dense dans E, ) si, et seulement si : + = +. λ n n= Démonstration. Si F est dense dans E, ), il est alors dense dans E, ) et le théorème précédent nous dit que + = +. n= λ n Réciproquement, on suppose que + = +. Pour tout entier n on a λ n > et n= λ n donc + n= λ n = +, ce qui équivaut à la densité de G = Vect { x λn n } dans E, ) on note x λ la fonction x x λ ). Pour toute fonction polynomiale P et pour tout réel ε >, on peut trouver une fonction ϕ = n a k x λk dans G telle que P ϕ < ε, où P désigne le polynôme dérivé de P. On désigne alors par θ la primitive sur [, ] de la fonction ϕ telle que ϕ ) = P ), soit : a k θ = P ) + x λ k F λ k l hypothèse λ = nous dit que F ) et pour tout réel x [, ] avec l inégalité de Cauchy- Schwarz, on a : x P x) θ x) = P t) ϕ t)) dt P ϕ x P ϕ < ε soit P θ < ε. On a donc ainsi montré que toute fonction polynomiale peut être uniformément approchée sur [, ] par des éléments de F. Avec le théorème de Weierstrass on en déduit alors que F est dense dans E, ). Exemple 3.5 Si p n ) n est la suite des nombres premiers positifs rangée dans l ordre croissant, on sait que + = + et on en déduit que l espace vectoriel Vect {, x pn n } est n= p n dense dans E, ).

34 876 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale 3.8 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval On suppose que E est de dimension infinie et on désigne par B = {e n n N} une famille orthonormée dans E le théorème de Gram-Schmidt nous permet de construire une telle famille). Définition 3.7 Pour tout x E la suite x e n ) n N est appelée suite des coefficients de Fourier de x relativement à B et la série de terme général x e n e n série de Fourier de x relativement à B. Pour tout x E et pour tout n N, on note : S n x) = x e k e k la nème somme partielle de la série de Fourier de x relativement à B. Ces définitions sont données par analogie aux coefficients et séries de Fourier trigonométriques d une fonction continue et π-périodique sur R. Théorème 3.7 Bessel) Pour tout x E, la série de terme général x e n est convergente et : + x e n x. n= Démonstration. Pour tout entier naturel n, S n x) est la projection orthogonale de x sur F n = Vect {e k k n}, donc : x e k = x x s n x) x ce qui entraîne la convergence de la série à termes positifs n N x e n avec l inégalité : + n= x e n x. En utilisant le fait que le terme général d une série convergente tend vers, on déduit le résultat suivant. Corollaire 3.5 Riemann-Lebesgue) Pour tout x E on a : lim x e n =. n + Exemple 3.6 Dans le cas des séries de Fourier trigonométriques, l inégalité de Bessel s écrit sous la forme : a f) + + an f) + b n f) ) π f t) dt, π n= où les coefficients a n f) et b n f) sont les coefficients de Fourier de la fonction f et le théorème de Riemann-Lebesgue nous dit que : Ce résultat peut aussi se montrer directement. π lim a n f) = lim b n f) =. n + n +

35 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval 877 Définition 3.8 On dit qu une famille orthonormée B = {e n n N} est totale dans E si le sous espace vectoriel de E engendré par B est dense dans E, ). Dire que la famille orthonormée B est totale dans E équivaut à dire que pour tout x dans E et pour tout réel ε > il existe un entier n N et un n + )-uplet c, c,, c n ) R n+ tels que : x c k e k < ε. Ce qui équivaut encore à dire que tout x dans E est limite d une suite d éléments de Vect B). Théorème 3.8 Avec les notations qui précédent, les propriétés suivantes sont équivalentes. i) La famille orthonormée B est totale. ii) Pour tout x dans E, on a : n N x = + n= x e n e n série convergente dans E, )). iii) Pour tous x, y dans E, on a : x e n y e n = x y égalité de Parseval). iv) Pour tout x dans E, on a : égalité de Parseval). x e n = x n N Démonstration. Pour tout entier naturel n, on note : F n = Vect {e k k n} i) = ii) On suppose que la famille B est totale. Pour x E et tout réel ε >, il existe alors un entier naturel n et un vecteur y = n c k e k F n tel que x y < ε. Pour tout entier n n, le vecteur S n x) = n x e k e k est la projection orthogonale de x sur F n et en tenant compte de F n F n, on déduit que : On a donc ainsi prouvé que x = + x e n e n. n= x S n x) = d x, F n ) x y < ε lim x S n x) =, c est à dire que dans E, ) on a l égalité n + ii) = iii) On suppose que, pour tout x E, on a x = + x e n e n dans E, ). En utilisant le fait que pour tout x E on a x n x e k e k Fn, on déduit que pour tout y E on a : x x e k e k y n= y e k e k = x y x e k y e k

36 878 Espaces préhilbertiens, projection orthogonale et avec l inégalité de Cauchy-Schwarz on a : x y x e k y e k x x e k e k y ce qui entraîne : lim n + c est-à-dire que x y = + x e n y e n. n= x y x e k y e k = iii) = iv) Il suffit de faire y = x dans ce qui précède. iv) = i) Si x = + x e n, pour tout x E, en écrivant que : n= y e k e k x x e k e k = x x e k n ) on déduit que x = lim x e k e k et la densité de Vect B) dans E. n + Exemple 3.7 Dans le cas des séries de Fourier trigonométriques, la densité de l espace vectoriel P des polynômes trigonométriques dans F, ) entraîne la densité de P dans F, ), c est-à-dire que la famille orthonormée : B = { π, π cos nt), est totale et on a l égalité de Parseval : L égalité : a f) + + n= f = a f) } sin mt) n, m) N N π an f) + b n f) ) = π + + n= π π a n f) c n + b n f) s n ) f t) dt. c n x) = cos nx) et s n x) = sin nx)) dans F, ) s exprime en disant que la série de Fourier de la fonction f F converge en moyenne quadratique. Définition 3.9 On dit qu une famille orthonormée B est maximale dans E s il n est pas possible de trouver un vecteur unitaire e E tel que B {e} soit encore une famille orthonormée dans E. Théorème 3.9 Si B = {e n n N} est une famille orthonormée maximale dans E, alors pour tout x E la condition x e n = pour tout n N équivaut à x =. Démonstration. { } Si x dans E est tel que x e n = pour tout n N, alors le système B x x est orthonormé ce qui contredit le caractère maximal de B. On a donc nécessairement x =. Ce théorème peut s exprimer en disant que si B est une famille orthonormée maximale dans E, alors tout vecteur x E est uniquement déterminé par ses coefficients de Fourier relativement à B.