Calcul des prédicats

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1 MAGISTERE MATH.-INFO. ( ) Logique E. Bouscaren Calcul des prédicats Notes complémentaires (1) 1 Syntaxe 1.1 Langages Un langage (ou un type de similarité) égalitaire L est défini par les données suivantes : Un ensemble R de symboles de relation, ou symboles de prédicat. A chaque symbole R R est associé un entier n 1, appelé son arité. On dit que R est un symbole de relation n-aire, ou à n arguments. On distingue un symbole binaire particulier, que l on note R =. Un ensemble F de symboles de fonction. A chaque symbole f F est associé un entier n 1, appelé son arité. On dit que f est un symbole de fonction n-aire, ou à n arguments. Un ensemble C de symboles de constantes. On considère les mots (suites finies) dans le vocabulaire formé des symboles de R, F, C, des parenthèses {(} et {)}, de la virgule {, } et des symboles logiques suivants : Les connecteurs propositionnels, et ; le quantificateurs, qui se lit il existe, et est appelé le quantificateur existentiel, et le quantificateur, qui se lit pour tout et est appelé le quantificateur universel; un ensemble dénombrable V = {v 0,..., v n,...} de variables. 1.2 Termes L ensemble des termes du langage L, noté T, est, par définition, le plus petit ensemble de mots (suites finies) écrits avec le vocabulaire V F C {(} {)} {, } tel que : Chaque variable est un terme. Chaque constante est un terme. Si f est un symbole de fonction d arité n, et si t 1,..., t n sont des termes, alors f(t 1,..., t n ) est un terme. La longueur d un terme est, par définition, le nombre de symboles de ce terme. Lemme 1 (Lecture unique) Chaque terme est, soit une variable, soit un symbole de constante, soit de la forme f(t 1,..., t n ) où f est un symbole de fonction d arité n, et t 1,..., t n sont des termes. Cette écriture est unique. 1

2 Existence : immédiate, par récurrence sur la longueur du terme. Unicité : on utilise le Lemme 2 Si t est un terme, alors ts 1... s k n en est pas un, quels que soient k > 0 et les symboles s 1,..., s k (variables, symboles de constante, symboles de fonction, parenthèses ou virgule). Preuve par récurrence sur la longueur du terme : c est évident si t est une variable x ou un symbole de constante, car un terme de longueur > 1 doit commencer par un symbole de fonction. Supposons que t = f(t 1,..., t n ), et que t = ts 1... s k soit un terme. Alors t est un terme qui commence par le symbole f, donc t = f(t 1,..., t n). On ne peut avoir t i = t i pour chaque i (1 i n), puisque t t. Soit j le premier entier n tel que t j t j. On a donc f(t 1,..., t j 1 = f(t 1... t j 1, ; et donc t j... t n )s 1... s k = t j... t n). Comme t j t j, on voit que, ou bien t j = t j s 1... s l, ou bien t j = t js 1... s l, s 1,..., s l étant des symboles. Ceci contredit l hypothèse de récurrence, puisque t j est plus court que t (et donc, dans le deuxième cas, t j est aussi plus court que t). On désignera par t[v 1,..., v k ] un terme dont les variables se trouvent dans l ensemble {v 1,..., v k }. Un terme sans variable est appelé un terme clos. Pour qu il existe un terme clos, il faut et il suffit qu il y ait au moins un symbole de constante dans L. Le lemme de lecture unique nous permet de définir des fonctions par induction sur l ensemble des termes. Exemple: Substitutions dans un terme. Une substitution est une application σ : T T telle que σ(f(t 1,..., t n )) = f(σ(t 1 ),..., σ(t n )) quels que soient le symbole de fonction f d arité n, et les termes t 1,..., t n et telle que σ(c) = c pour tout symbole de constante c. La donnée d une substitution équivaut à celle d une fonction σ 0 : V T. En effet, il existe alors un unique prolongement à T, et un seul, qui est une substitution. 1.3 Formules du premier ordre Une formule atomique du langage L est une suite de symboles de la forme R(t 1,..., t n ), où R est un symbole de prédicat d arité n, et t i T pour 1 i n. Lorsque R est un symbole de relation d arité 2, la formule atomique R(t, u) est parfois écrite tru. C est toujours le cas lorsque R est le symbole R =. L ensemble des formules du langage L est le plus petit ensemble de mots qui contient les formules atomiques et qui est clos par les opérations suivantes: Si F, G sont des formules, alors F, (F G), (F G) sont des formules. Si F est une formule et v une variable, alors vf et vf sont des formules. Une occurrence de la variable v dans la formule F, est, par définition, une apparition de v dans la suite finie F. 2

3 On définit quand une occurence de la variable v dans la formule F est libre par induction sur F, de la façon suivante : Si F est une formule atomique, chaque occurrence de v dans F est libre. Si F est de la forme G (respectivement (G H)) ou (G H)), une occurence de v dans F est libre si c est une occurence libre de v dans G (respectivement si c est une occurence libre de v dans G ou une occurence libre de v dans H). Si F est de la forme wg ou wg, il y a deux cas : si w v, les occurrences libres de v dans F sont les occurrences libres de v dans G; si w = v, alors v n a aucune occurrence libre dans F. Une variable v est dite libre dans la formule F si elle a au moins une occurrence libre dans F. Si la variable v apparait dans F et n est pas libre, on dira qu elle est liée. Une formule est dite close si elle n a aucune variable libre. Les formules closes seront aussi appellées des énoncés. On définit par induction les sous-formules d une formule: si F est une formule atomique, G est une sous-formule de F ssi F = G, si F = H, G est une sous-formule de F ssi G est une sous-formule de H ou G = F, si F = (H 1 H 2 ), G est une sous-formule de F ssi G est une sous-formule de H 1 ou G est une sous-formule de H 2 ou G = F, si F = (H 1 H 2 ), G est une sous-formule de F ssi G est une sous-formule de H 1 ou G est une sous-formule de H 2 ou G = F, si F = v H, G est une sous-formule de F ssi G est une sous-formule de H ou G = F. si F = v H, G est une sous-formule de F ssi G est une sous-formule de H ou G = F. On dira qu une variable v est ambigue dans la formule F si v est libre dans F mais apparait comme variable liée dans une sous-formule de F. Une formule est dite propre si elle n a pas de variables ambigues. On utilisera la notation F [v 0,..., v k ] pour désigner une formule F dont toutes les variables libres se trouvent parmi l ensemble fini de variables {v 0,..., v k }. On a bien sûr un théorème de lecture unique pour les formules de L et on peut donc définir des fonctions par induction. 2 Sémantique 2.1 Interprétation et satisfaction L-structures Étant donné un langage L (égalitaire), on définit la notion de L-structure (égalitaire). Une L-structure (égalitaire) M est constituée des données suivantes : Un ensemble non vide M, ensemble de base de la structure M. Pour chaque symbole de relation R de L, d arité n R, une partie R M de M n R ; R M est donc une relation n R -aire sur l ensemble M, appelée l interprétation du symbole R dans 3

4 M. Dans une structure égalitaire la relation R = est toujours interprétée par la diagonale dans M 2, c est-à-dire par la relation d égalité dans M. Pour chaque symbole de fonction f de L, d arité n f, une fonction f M : M n f M. Pour chaque symbole de constante c de L, un élément c M de M. On écrira M =< M; R M, f M, c M ; R R, f F, c C >. Exemples: 1. L = {R} avec R un symbole de relation d arité 2. Alors =< Z; > est une L-structure dans la quelle la relation R est interprétée par la relation d ordre habituelle. Si M 2 =< Z; p >, alors M 2 est une autre L-structure dans laquelle R est interprétée par la relation de congruence modulo p. 2. L = {f 1, f 2, c} avec f 1 un symbole de fonction d arité 2, f 2 un symbole de fonction d arité 1, et c un symbole de constante. =< Z; +,, 0 > est une L-structure dans la quelle f 1 est l addition, f 2 (x) = x et c = 0. M 2 =< R \ {0};., 1, 1 > est une L-structure dans la quelle f 1 est interprétée par la multiplication, f 2 par la fonction x 1 et la constante c par 1. Ce langage est celui qu on utilise pour parler des groupes. 3. L = {f 1, f 2, f 3, c 1, c 2 } avec f 1 un symbole de fonction d arité 2, f 2 un symbole de fonction d arité 1, f 3 un symbole de fonction d arité 2, c 1 et c 2 deux symboles de constantes. =< Z; +,,., 0, 1 > est une L-structure dans laquelle f 1 est l addition, f 2 (x) = x, f 3 est interprétée par la multiplication, c 1 = 0 et c 2 = 1. Ce langage est celui qu on utilise pour parler des anneaux Morphismes Soient L un langage, M et N deux L-structures et h une application de M dans N. L application h est un L-homomorphisme de M dans N si h vérifie: (1) pour tout symbole c de constante de L, h(c M ) = c N, (2) pour tout symbole f de fonction de L, d arité k, pour tout (m 1,..., m k ) M k, h(f M (m 1,..., m k )) = f N (h(m 1 ),..., h(m k )) (c est-à-dire h f M = f N h), (3) pour tout symbole R de relation de L, d arité k, pour tout (m 1,..., m k ) M k, si R M (m 1,..., m k ) R M, alors (h(m 1 ),..., h(m k )) R N. L application h est un L-plongement de M dans N si h est un L-homomorphisme et satisfait en plus que pour tout symbole R de relation de L, d arité k, pour tout (m 1,..., m k ) M k, (m 1,..., m k ) R M, si et seulement si (h(m 1 ),..., h(m k )) R N. En particulier, dans le cas de langages et de structures égalitaires, un L-plongement est injectif. Un L-plongement surjectif est appelé un L-isomorphisme. Un L-isomorphisme de M dans M est appelé un L-automorphisme de M. Remarque: un L-homomorphisme injectif n est pas forcément un L-plongement. C est le cas si le langage L ne comprend pas de symbole de relation autre que l égalité, mais si on considère le langage L d une relation binaire, et les deux L-structures = < Z, 6 > 4

5 et M 2 =< Z, 3 >, où n est la congruence modulo n, alors l identité est un L- homomorphisme bijectif de dans M 2 mais n est pas un L-plongement Valeur ou interprétation des termes Soit M une L-structure, M =< M,... >. Pour chaque n 0, à chaque terme t de L, dont les variables sont parmi {v 0,..., v n }, on associe sa valeur ou son interprétation en (a 0,..., a n ) M n+1, notée t M [v 0 a 0,..., v n a n ]. Elle est définie par induction sur la longueur de t : Si t est une variable v i, t M [v 0 a 0,..., v n a n ] = a i. Si t est un symbole de constante c de L, t M [v 0 a 0,..., v n a n ] = c M. Si t = f(t 1,..., t k ), alors t M [v 0 a 0,..., v n a n ] = f M (t [v 0 a 0,..., v n a n ],..., t M k [v 0 a 0,..., v n a n ]) Satisfaction des formules Soit F [v 0,..., v n ] une formule ayant ses variables libres parmi {v 0,..., v n }. On définit, pour tout n, pour toute L-structure M, pour tout n+1-uple d éléments de M, (a 0,..., a n ), par induction sur la hauteur de F, les expressions synonymes M satisfait F [v 0 a 0,..., v n a n ], ou encore F est vraie dans M pour (a 0,..., a n ), notée M = F [v 0 a 0,..., v n a n ]: Si F est la formule atomique R(t 1,..., t k ) (R est un symbole de relation k-aire, t 1,..., t k sont des termes), alors M = F [v 0 a 0,..., v n a n ] si et seulement si (t [v 0 a 0,..., v n a n ],..., t M k [v 0 a 0,..., v n a n ]) appartient au sous-ensemble de M k qui est l interprétation du symbole R, R M. Si F est G, alors M = F [v 0 a 0,..., v n a n ] si et seulement si M ne satisfait pas G[v 0 a 0,..., v n a n ]. Si F est (G H) alors M = F [v 0 a 0,..., v n a n ] si et seulement si M = G[v 0 a 0,..., v n a n ] et M = H[v 0 a 0,..., v n a n ]. Si F est (G H) alors M = F [v 0 a 0,..., v n a n ] si et seulement si M = G[v 0 a 0,..., v n a n ] ou M = H[v 0 a 0,..., v n a n ]. Si F est w G, M = F [v 0 a 0,..., v n a n ] si et seulement s il existe b M tel que M = G[v 0 a 0,..., v n a n, w b]. Si F est w G, alors M = F si et seulement si, pour tout b M, M = G[v 0 a 0,..., v n a n, w b]. On remarque que les deux définitions au-dessus n ont d intêret que si effectivement la variable w apparait librement dans la formule G mais que dans les autres cas elle ne pose pas de problèmes: si w n apparait pas du tout dans G, alors M = G[v 0 a 0,..., v n 5

6 a n, w b] ssi M = G[v 0 a 0,..., v n a n ]. Si w apparaît dans G comme variable liée, il en est de même. Plus généralement on vérifie que si les variables libres de F sont parmi {v 0,..., v k }, pour k < n, alors M = F [v 0 a 0,..., v k a k,..., v n a n ] si et seulement si M = F [v 0 a 0,..., v k a k ]. En particulier, si F est une formule close, c est à dire sans aucune variable libre, alors la valeur de vérité de F dans M ne dépend pas du n-uple auquel on l applique: la formule est toujours soit vraie, soit fausse dans M. Donc on écrira simplement M = F et on dira que M est un modèle de F. Une formule close F du langage L est dite universellement valide si elle est satisfaite par toute L-structure. Connecteurs supplémentaires: On utilisera les notations suivantes, si F, G sont des formules: (F G) pour la formule ( F G) (F G) pour la formule ((F G) (G F )) Équivalence, conséquence sémantique Deux formules F [v 0,..., v n ] et G[v 0,..., v n ] sont dites équivalentes si la formule v 0... v n (F G) est universellement valide. Cela revient à dire que, dans toute L-structure M, pour tout n + 1-uple (a 0,..., a n ) M n, on a que M = F [v 0 a 0,..., v n a n ] si et seulement si M = G[v 0 a 0,..., v n a n ]. Soit Σ un ensemble d énoncés de L. On dit qu une L-structure M est un modèle de Σ si M est modèle de chaque énoncé F de l ensemble Σ. On dit que un énoncé F est conséquence sémantique (ou, plus simplement, conséquence) de Σ si tout modèle de Σ satisfait F. La notation est Σ F. Un énoncé F est universellement valide si et seulement si il est conséquence de, donc noté F. 3 Quelques lemmes grammaticaux 3.1 Substitutions dans une formule Soit σ : V T une substitution. On a vu que σ s étend en une application, notée aussi σ de T dans T (1.2). On définit alors une application de F (L) dans F (L) (F (L) étant l ensemble des formules du langage L), que nous noterons encore σ; σ(f ) est définie par induction: Si F est une formule atomique R(t 1,..., t n ), alors σ(f ) est la formule R(σ(t 1 ),..., σ(t n )). Si F = G (respectivement (G H), (G H)), alors F = σ(g) (respectivement (σ(g) σ(h)), (σ(g) σ(h)) ). Si F = v G, (respectivement F = v G) alors σ(f ) est la formule v σ (G)) (respectivement σ(f ) est la formule v σ (G)), où σ : V T est la substitution définie par σ (w) = σ(w) pour toute variable w v, et σ (v) = v. 6

7 Lorsque σ est la substitution [t 1 /v 1,..., t k /v k ], la formule σ(f ) est notée F [t 1 /v 1,..., t k /v k ]. C est donc la formule obtenue en remplaçant simultanément dans F, chaque occurrence libre de la variable v i par le terme t i (1 i k). Par exemple, ( v 1 (v 1 v 2 v 1 v 3 ) v 1 + v 2 v 1 + v 3 )[t 1 /v 1, t 2 /v 2, t 3 /v 3 ] est la formule ( v 1 (v 1 t 2 v 1 t 3 ) t 1 + t 2 t 1 + t 3 ). Malheureusement, cette opération de substitution dans les formules n a pas toujours le comportement attendu, à cause du phénomène dit de capture des variables. C est pourquoi on impose habituellement la restriction suivante : la substitution [t 1 /v 1,..., t k /v k ] ne sera effectuée dans une formule F que si aucune variable liée dans F n apparaît dans les termes t 1,..., t k. En particulier, lorsque t 1,..., t k sont des termes clos, la substitution [t 1 /v 1,..., t k /v k ] peut toujours être effectuée. La raison de cette restriction est sémantique et non syntaxique : sans cette restriction, le sens de la formule obtenue par substitution peut ne pas être celui qu on attend. Par exemple, si F est la formule y(x y), la signification de F est x est le plus petit élément ; on voudrait donc que la signification de F [t/x] soit t est le plus petit élément. Or F [y/x] est y(y y) dont le sens n est pas y est le plus petit élément. Cette restriction n est, en fait, pas bien grave. En effet, pour pouvoir effectuer, dans F, la substitution [t 1 /v 1,..., t k /v k ], il suffit de changer le nom des variables liées de F (voir proposition 5 un peu plus loin). Cette opération transforme F en une formule qui a le même sens. Dans l exemple précédent, on remplace la formule F = y(x y) par la formule F = z(x z), obtenue en changeant la variable liée y en z dans F. Alors F [y/x] est z(y z), qui a bien la signification voulue. 3.2 Quelques équivalences On peut vérifier: Proposition 3 v(f G) équivaut à ( v F v G) et v(f G) équivaut à ( v F v G) quelles que soient les formules F, G. Qv (F G) équivaut à (Qv F G) si la variable v n est pas libre dans G; quand Q est soit, soit, et est soit, soit. Proposition 4 v w F équivaut à w v F ; v w F équivaut à v w F ; v F équivaut à v F. La proposition suivante va nous permettre de supposer que l on ne considère que des formules propres, c est à dire sans variable ambigue et permettre aussi de changer le nom de variables liées quand cela pose un problème pour effectuer une substitution. On rappelle que si la variable v est libre dans F alors F [w/v] est le résultat de la substitution de toutes les occurences libres de v dans F par la variable w. Proposition 5 (Changement de nom d une variable liée) Si la variable w n apparaît pas dans la formule F, alors v F équivaut à w F [w/v], et v F équivaut à w F [w/v]. 7

8 Lemme 6 Soit F une formule, et G une sous-formule de F. Si G est une formule équivalente à G, alors la formule F qui est la formule F dans laquelle on a remplacé la formule G par la formule G, est équivalente à F. Maintenant, soit F une formule et soit z une variable apparaissant liée dans une sousformule G de F. Alors si v est une variable qui n apparait pas du tout dans F, et si F est la formule dans laquelle on a remplacé, dans la sous-formule G la variable z par la variable v, alors F et F sont équivalentes. On en déduit que si v 1,..., v n sont des variables apparaissant liées dans F et si z 1,..., z n sont de nouvelles variables n apparaissant pas dans F alors, la formule F, dans laquelle on a remplacé chaque occurence de v i par z i est équivalente à F. On en déduit: Corollaire 7 Soit F une formule, alors il existe une formule propre G telle que F et G sont équivalentes. Preuve par induction du corollaire: Si F est une formule atomique, alors F est propre puisque toutes les occurences des variables dans F sont libres. Si F = G, alors, soit, par induction H une formule propre équivalente à G. Alors F et H sont équivalentes et H est propre. Si F = (G H); tout d abord par induction soient G et H des formules propres équivalentes respectivement à G et H. Soient v 1,..., v n les variables apparaissant liées dans G et ayant au moins une occurence dans H (si il y en a). On choisit alors de nouvelles variables z 1,..., z n n apparaissant ni dans G ni dans H et on remplace G par la formule équivalente G dans laquelle on a remplacé v i par z i. On fait ensuite de même pour les variables liées de H. Si F = v G, et si G est propre, alors F est propre. Idem pour F = (G H) et F = v G. On peut également montrer: Proposition 8 Soit F une formule, alors il existe une formule G équivalente à F qui est sous forme prénexe, c est-à-dire telle que G = Q 1 v 1 Q 2 v 2... Q n v n H, où H est une formule sans quantificateurs et Q i v i est soit v i soit v i. 8