Etude de risque pour un portefeuille d assurance récolte

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1 Eude de risque pour un porefeuille d assurance récole Hervé ODJO GROUPAMA Direcion ACTUARIAT Groupe 2, Bd Malesherbes Paris Tél : 33 ( Viviane RITZ GROUPAMA Direcion ACTUARIAT Groupe 2, Bd Malesherbes Paris Tél : 33 ( Résumé Ce papier présene une éude du risque pour un porefeuille d assurance récole couvran les peres de rendemen des agriculeurs, consécuives à des événemens naurels (grêle, gel, sécheresse, empêe,. L objecif de cee éude es de simuler la foncion de disribuion de la charge de sinisres en enan compe des dépendances enre les culures, les zones géographiques e les agriculeurs. Ce papier raie égalemen la réassurance e le besoin en capial pour le porefeuille. En guise d illusraion, le modèle es appliqué sur le porefeuille «Ferme France» consiué de l ensemble des exploiaions de la France Méropoliaine. Mos Clés Evénemens naurels, culures, exploiaions, agriculeurs, rendemens, dépendance, copula, réassurance, mesures de risque, besoin en capial.

2 . Inroducion Dans ce papier, nous présenons un modèle économique permean d éudier le risque lié à la souscripion d un porefeuille d assurance récole. L objecif de ce modèle es : de simuler la charge de sinisre agrégée sur ce porefeuille en enan compe des dépendances enre les agriculeurs, d éudier l impac de la réassurance sur le porefeuille, d appliquer différens ypes de mesures de risque sur la charge de sinisre, d éudier le besoin en fonds propres généré par ce porefeuille. Dans la première parie de ce papier, nous présenons la problémaique liée à l éude du risque pour un porefeuille mulirisque climaique. Nous y expliquons le foncionnemen de la police d assurance, e les caracérisiques du risque d un el porefeuille. Dans la deuxième parie, nous exposons le modèle acuariel uilisé pour éudier le risque e présenons un algorihme de simulaion de la charge agrégée de sinisres. Dans la roisième parie, nous présenons quelques applicaions possibles (éude de la réassurance, du besoin en capial,. La quarième parie es consacrée à une applicaion praique du modèle sur le porefeuille «Ferme France» composé de l ensemble des agriculeurs de la France méropoliaine. 2

3 2.. La problémaique 2. Descripion du problème e noaions Les agriculeurs son soumis à une variéé de risques pouvan affecer leur revenu sur une période donnée (ici une année, don l un des plus imporans es la baisse de leur producion sur cee période. Dans la suie de ce papier, nous considérons un assureur ayan un porefeuille d assurance couvran ce risque e don les assurés son réparis sur différenes zones géographiques. La survenance d un événemen climaique (grêle, gel, empêe, sécheresse, ou d une succession d événemens climaiques peu affecer plusieurs zones géographiques e donc la plupar des agriculeurs ayan leur aciviés dans ces zones géographiques. En foncion de l inensié de ces événemens e de leur éendue, ces sinisres peuven enraîner des difficulés financières pour l assureur considéré. L objecif de ce papier e de proposer un modèle économique permean d éudier le risque, pour un assureur, lié à ce porefeuille d assurance. L objecif du modèle économique éudié dans ce papier es d esimer la foncion de disribuion de la charge de sinisres agrégée de l assureur sur un porefeuille d assurance récole couvran les peres de rendemen des agriculeurs. Pour consruire cee foncion de disribuion, deux ypes de modèles peuven êre développés : Les modèles scienifiques (modèles basés sur des données géologiques, mééorologiques e sur les caracérisiques physiques des différenes culures considérées Les modèles acuariels (modèles probabilises e saisiques ou les paramères son esimés à parir de données hisoriques Le modèle proposé ici fai parie de la deuxième caégorie de modèles Le foncionnemen de la police d assurance Les polices d assurance considérées couvren les agriculeurs conre une pere de rendemen (producion par unié de surface consécuive à la survenance d événemens climaiques. L assureur inervien dès que le rendemen d un agriculeur donné es inférieur au rendemen de référence, diminué d une franchise, exprimée en pourcenage du rendemen de référence. Les rendemens de référence, le aux de franchise e le prix de référence son définis à l avance dans le conra d assurance. Cee police ne couvre pas les variaions des prix. 3

4 Les agriculeurs pouvan praiquer plusieurs culures différenes, deux formes de conras d assurance on éé considérées : une couverure par culure une couverure par exploiaion A. L assurance par culure L assurance par culure couvre pour un agriculeur, la pere de rendemen sur chaque culure de manière «indépendane». Il inervien dès que pour une culure donnée, le rendemen es inférieur au rendemen de référence diminué de la franchise. Il n y a pas de compensaion enre les différenes culures ; chaque culure es considérée de façon séparée. De plus, les niveaux de franchise son fixés par culure. Pour illusrer le foncionnemen de cee assurance, supposons pour simplifier que le aux de franchise α soi le même pour oues les culures (par exemple 20%. Considérons un agriculeur praiquan 4 culures. Le graphique suivan présene, pour chaque culure, le rappor enre le rendemen de la période couvere e le rendemen de référence. Graphique : Foncionnemen de la police par culure Rendemen / Rendemen de référence Indemnisaion 00% -α 0% C C2 C3 C4 L indemnisaion de l assuré es effecuée culure par culure. D après ce graphique, seule la culure C3 es indemnisée. Son indemnisaion ne ien pas compe des rendemens des aures culures. Pour ce ype d assurance, la prime payée par l assuré ne doi pas dépendre des niveaux de dépendance enre les culures au sein de l exploiaion. B. L assurance par exploiaion L assurance par exploiaion, quan à elle, couvre l agriculeur conre la pere du rendemen oal de son exploiaion. Cee approche ien compe des compensaions possibles enre les différenes culures de l exploiaion e des corrélaions enre les rendemens. Dans le cas de la police par exploiaion, il serai difficile de parler de rendemen. On parlera pluô de rendemen monéaire sur l exploiaion. En effe, les différenes culures produies par un 4

5 même agriculeur ne son pas valorisées au même prix e n on pas la même pondéraion dans la pere oale sur l exploiaion. Ici, la franchise es égale à la somme des valeurs monéaires des franchises par culure. Ceci es illusré par les formules suivanes : Considérons un agriculeur praiquan q culures (q=, 2, 3,. Noons pour j q : R, le rendemen de la jème culure j V, la surface culivée pour la jème culure j P, le prix assuré pour la jème culure j α, le aux de franchise pour la culure j j Le rendemen monéaire pour la culure j es donné par : RM j = P j Vj R j Le rendemen monéaire de référence pour la culure j es donné par : RM = P V R ref, j j j ref, j Le monan de la franchise pour la culure j es égal à : FM = P V α R j j j j ref, j Le rendemen monéaire oal sur l exploiaion es : RM = q j= RM j Le rendemen monéaire de référence sur l exploiaion es : RM ref = RM ref, q j= j Le monan oal de la franchise pour l exploiaion es : FM = q j= FM j Pour ce ype d assurance, il y a sinisre lorsque le rendemen monéaire sur l exploiaion es inférieur au rendemen monéaire de référence déducion faie de la franchise oale : RM < RM FM ref La baisse de rendemen sur ceraines culures peu êre compensée par des rendemens élevés sur d aures culures. Pour ce ype d assurance, la prime payée par l assuré devrai dépendre foremen du niveau de dépendance enre les culures au sein de l exploiaion de l agriculeur. 5

6 Le foncionnemen de la police es illusré par le graphique suivan : Graphique 2 : Foncionnemen de la police par exploiaion Toal Exploiaion 00% Cas 0% 00% Toal Exploiaion 0% C C2 C3 C4 Cas 2 00% Toal Exploiaion Indemnisaion 0% To al Exploi a ion Cas : Même si dans l approche par culure l agriculeur es indemnisé pour la culure C3, il es possible que dans l approche par exploiaion, la compensaion enre les culure enraîne que le rendemen monéaire oal soi supérieur au rendemen monéaire de référence déducion faie de la franchise oale ( RM RM FM. Dans ce cas l assuré n es pas indemnisé. ref Cas 2 : Il es possible que même après la compensaion enre les culures, le rendemen monéaire oal soi inférieur au rendemen monéaire de référence déducion faie de la franchise oale ( RM < RMref FM. Dans ce cas, l assuré es indemnisé. Dans l approche par exploiaion, l assuré es indemnisé moins souven (avec un niveau d indemnisaion plus bas que dans le cas de l assurance par culure. Avec un même niveau de franchise sur oues les culures, les deux polices son équivalenes dans le cas de la dépendance parfaie posiive enre les différenes culures. Tou au long de ce aricle, seule la première approche (assurance par culure es considérée dans le cadre du modèle économique. 6

7 2.3. Le risque lié au porefeuille d assurance Nous considérons un porefeuille d assurance composé d agriculeurs réparis sur plusieurs zones géographiques e praiquan plusieurs ypes de culures. A ire d exemple, les cares suivanes monren pour une culure donnée, la répariion par région adminisraive en France Méropoliaine : du nombre d agriculeurs, de la surface oale culivée Graphique 3 : Nombre d agriculeurs produisan le maïs par région adminisraive 2,540,20 4,457,563,464 2,26 3, ,534 0,05 8,3 2,987,86 0,75 96,580 8,373 20,77 4, Nombre oal d agriculeurs : Source : Saisiques Agrese 7

8 Graphique 4 : Surface oale culivée en maïs par région adminisraive (en milliers d ha Surface oale culivée France : 667 ha Source : Saisiques Agrese Le principal risque pour l assureur sur ce porefeuille provien de la dépendance enre les rendemens des différenes culures praiquées sur les différenes zones géographiques. En effe, la survenance d un événemen climaique (par exemple une empêe ou une sécheresse peu affecer plusieurs zones géographiques e/ou plusieurs culures à la fois. Lorsqu un événemen ouche une zone géographique e en foncion de son ampleur, il es suscepible de oucher plusieurs polices de cee zone géographique. A ire d exemple, le graphique suivan monre l impac de la sécheresse 2003 sur les rendemens du maïs par région adminisraive. 8

9 Graphique 5 : Répariion des baisses de rendemen du maïs consécuives à la sécheresse 2003 (Baisse exprimée en pourcenage du rendemen espéré France - Régions par Baisse rendemen 32% à 43% (6 25% à 32% (3 6% à 25% (6 2% à 6% (7 Source : Saisiques Agrese Ce graphique monre bien que la plupar des régions produisan du maïs en France Méropoliaines on éé ouchée par la sécheresse Ainsi, plusieurs ypes de dépendances doiven êre prises en compe dans le modèle économique. Il s agi de : la dépendance enre deux agriculeurs praiquan la même culure sur la même zone géographique, la dépendance enre deux culures différenes (pour deux agriculeurs différens ou pour le même agriculeur sur la même zone géographique, la dépendance enre deux agriculeurs praiquan la même culure sur deux zones géographiques différenes, la dépendance enre deux agriculeurs praiquan deux culures différenes sur deux zones géographiques différenes. 9

10 2.4. Noaions Tou au long de ce papier, l indice c sera uilisé pour les culures l indice r, pour les zones géographiques l indice, pour les périodes (le emps l indice i, pour les agriculeurs Nous noons : Θ, l ensemble des culures assurées Ω, l ensemble des zones géographiques (par exemple les régions adminisraives, le nombre oal d agriculeurs dans la zone géographique r ayan la culure c pour N r,c, la période,, le nombre d agriculeurs dans le porefeuille de l assureur pour la zone N r,c, géographique r ayan la culure c pendan la période. Ce nombre de polices peu êre déerminé par un faceur (compris enre 0 e muliplié par le nombre oal d agriculeurs praiquan la culure c dans la région r. Ce faceur es généralemen défini par le business plan de l assureur e peu êre soi aléaoire, ou soi déerminise. Nous le considérons ici comme éan déerminise : Nr,c, = kr,c, Nr,c,, kr,c, [ 0, ],, la variable aléaoire représenan le rendemen de la culure c dans la zone R r,c, géographique r pour la période. Pour chaque agriculeur i, i dans la zone géographique r, soien : N r, c, R r,c, i,, son rendemen pour cee culure pendan la période R r,c, i,, ref, son rendemen de référence de la période,, le aux de franchise choisi à l agriculeur i α r, c, i, V r,c, i,, la surface culivée pour cee culure pendan la période, le prix de référence, pour la période, de la culure c produie dans la zone P r,c, géographique r. Ce prix es le même pour ous les agriculeurs. 0

11 3. Le modèle économique 3.. Inroducion Nous cherchons à consruire un modèle permean d esimer la foncion de disribuion de la charge agrégée de sinisres. Compe enu des différenes formes de dépendance à prendre en compe, nous avons reenu une approche par simulaion de Mone Carlo. Le modèle doi aussi enir compe du fai que les franchises peuven êre différenes en foncion des culures e des agriculeurs. Il doi donc permere de simuler les sinisres au niveau individuel de l agriculeur. La charge agrégée de sinisres sur le porefeuille es la somme des sinisres individuels sur ous les agriculeurs e sur oues les culures du porefeuille de l assureur. S = N r, c, c Θ r Ω i= S r, c, i, C es une somme de variables aléaoires dépendanes enre elles. L esimaion de la foncion de disribuion de la charge agrégée des sinisres nécessie de consruire la foncion de de l ensemble des S r, c, i, disribuion joine du veceur des sinisres ( c Θ, r Ω, i N r,c, agriculeurs du porefeuille. Dans les paragraphes suivans, nous proposons une méhode pour simuler cee disribuion joine La charge individuelle de sinisres Dans ce paragraphe, nous nous plaçons dans le cadre d une culure donnée. La charge de sinisres d un agriculeur i sur la période considérée (généralemen une année es une variable aléaoire qui dépend : de son rendemen sur cee période (qui es une variable aléaoire des caracérisiques du conra (rendemen de référence, surfaces assurées, aux de franchise, du prix assuré Pour un agriculeur i praiquan la culure c dans la zone géographique r, il y a sinisre dès que le rendemen sur la période couvere es inférieur au rendemen de référence (déducion faie de la franchise. Dans le cas conraire, il n y a pas d indemnisaion. Si R r,c,i, ( αr,c,i, R r,c,i,, ref, alors il n y a pas d indemnisaion. Le monan du sinisre S r,c,i, = 0 Si R r,c,i, < ( αr,c,i, R r,c,i,, ref, alors l assureur doi indemniser l agriculeur ; le monan du sinisre Sr,c,i, = Pr,c, Vr,c,i, ( αr,c,i, R r,c,i,,ref R r,c,i, (

12 La variable aléaoire monan du sinisre pour l agriculeur i s écri donc : S r,c,i, = P r,c, V r,c,i, Max ( αr,c,i, R r,c,i,,ref Rr,c,i, ; 0 Cee formule monre que pour une culure donnée, la variable caracérisique du risque pour chaque agriculeur es son rendemen (producion oale / la surface culivée. C es une variable aléaoire, que nous pouvons considérer comme coninue. Pour un agriculeur i donné, l esimaion de la foncion de disribuion des sinisres nécessie de connaîre la disribuion complèe des rendemens individuels. Soi F r, c, i,, la foncion de répariion du rendemen de l agriculeur i praiquan la culure c dans la région r : F x = P R x r,c,i, ( { r,c,i, } Cee foncion de disribuion doi êre cohérene avec celle uilisée dans le modèle de arificaion. Elle peu êre esimée à parir des données individuelles des agriculeurs La charge oale de sinisre sur le porefeuille Pour esimer la charge oale de sinisres sur le porefeuille, nous avons besoin de la disribuion joine du veceur des rendemens individuels (disribuion marginale + srucure de dépendance. Cee disribuion joine combinée avec les caracérisiques du porefeuille décri le risque global pour l assureur. Compe enu du nombre rès élevé de combinaisons agriculeurs/culures (pouvan êre supérieur à , il ne serai pas judicieux de modéliser direcemen la srucure de dépendance enre les agriculeurs. Nous avons donc reenu de modéliser la dépendance enre les différens agriculeurs à parir des rendemens régionaux. L approche reenue revien à décomposer le risque de l assureur en deux composanes : le risque sysémaique, le risque spécifique de chaque agriculeur. Lorsqu une zone géographique es ouchée par un événemen climaique, ce dernier peu enraîner la baisse du rendemen d une grande parie, voire de l ensemble des agriculeurs de cee zone géographique, e donc le rendemen global (régional de la zone géographique considérée. Ceci consiue un risque sysémaique pour un assureur qui souscri dans cee zone géographique. Nous considérons que ce risque sysémaique es complèemen décri par la variable aléaoire rendemen régional. Par ailleurs, éan donnée la survenance d un événemen climaique, les agriculeurs individuels ne son pas forcémen affecés de la même manière : ceci consiue le risque spécifique de chaque agriculeur. Le rendemen d un agriculeur individuel donné condiionnel au rendemen régional caracérise ce risque spécifique. 2

13 Nous proposons dans la suie : de modéliser dans un premier emps le veceur des rendemens régionaux (pour les différens ypes de culures en enan compe des dépendance enre les culures e les régions, de modéliser ensuie pour chaque culure, les rendemens individuels des agriculeurs dans les différenes régions. A. Modélisaion des rendemens régionaux L objecif de cee parie es d éudier la disribuion joine du veceur des rendemens. Pour une culure c e une région r données, le rendemen régional régionaux ( R r, c, c Θ, r Ω es égal à la producion oale de la région pendan la période considérée, rapporée à la surface culivée. En héorie, la disribuion du rendemen régional peu êre déduie de celles des rendemens individuels. Il peu s écrire comme la moyenne pondérée par les surfaces des rendemens individuels des agriculeurs praiquan cee culure dans la région considérée. R r,c, = N r,c, i= V r,c,i, N r,c, i= V r,c,i, R r,c,i, N r,c, avec ηr,c,i, =. i= = N r,c, i= η r,c,i, R r,c,i, Dans le cas où ous les agriculeurs praiquan cee culure c dans la région on ous la même surface, le rendemen régional correspond à la moyenne arihméique des rendemens individuels : N r,c, Rr,c, = R N r,c, i= r,c,i, Puisque les rendemens individuels son des variables aléaoires dépendanes, pour effecuer l esimaion de la foncion de disribuion de, il serai nécessaire de disposer de la R r,c, disribuion joine des rendemens individuels de ous les agriculeurs de la région (disribuion marginale + srucure de dépendance. Touefois, nous n uiliserons pas cee approche car la srucure de dépendance enre les agriculeurs individuels es rop complexe à éudier direcemen. Nous allons éudier direcemen la disribuion du veceur des rendemens régionaux. Dans la sui une suie, nous supposons que le veceur des rendemens régionaux ( R r, c, c Θ, r Ω disribuion joine G que nous supposerons coninue. Nous noerons G r,c,, les foncions de disribuion marginale de : G x = P R x. G r,c, ( { r,c, } 3

14 Pour éudier cee disribuion joine, nous uiliserons la héorie des copulas. C es un ouil saisique rès performan pour éudier des formes de dépendance rès variées enre plusieurs variables aléaoires (dépendances linéaires, dépendances non linéaires, dépendances de queue,. Il exise déjà une bibliographie rès vase sur le suje. Dans ce aricle, nous ne présenons pas de façon déaillée la héorie des copulas. Nous nous conenons de présener les principes généraux sur les copulas ainsi que les copulas que nous avons reenus dans le cadre de l éude. Définiion : Définiion d un copula Un copula es une foncion de répariion n-dimensionnelle sur l hypercube marginales son uniformes sur [ 0,]. [ 0,] n, don les Théorème : Théorème de SKLAR Soi H une foncion de répariion n-dimensionnelle ayan pour foncions de répariion marginales H, L,H n, alors il exise un copula (n-copula C el que pour ou x = x, L, x n R ( n, H ( x,, x C( H ( x, L,H ( x L n = n n ( Dans le cas où les foncions de répariion marginales unique. H, L,H n son coninues, alors C es Ce héorème perme de séparer oue disribuion mulidimensionnelle en deux paries : les disribuions marginales le copula, qui décri complèemen la srucure de dépendance enre les différenes composanes Ean donnés les foncions de répariion marginales e le copula, il es possible de reconsiuer la foncion de répariion joine H. 4

15 H ( x H 2 ( x 2 Copula Disribuion joine C( u, L,u n H( x, L, x n H n( x n Définiion 2 : Foncion inverse généralisé Si F es une foncion de répariion à une dimension. La foncion inverse généralisée de F es définie par : [ ] pour ou 0,. { } ( = inf x R F( x F > Corollaire Si H es une foncion de répariion n-dimensionnelle ayan pour foncions de répariion marginales H, L,H n e C un copula vérifian (, alors pour ou veceur ( u,, u [ ] n n 0, u = L, C peu s écrire sous la forme : où i ( (, L,u = H H ( u, L,H ( u C u H représene la foncion inverse généralisée de H pour i n. n i n n Ce corollaire au héorème perme de consruire des familles de copulas à parir des foncions de répariion à n-dimensionnelles (par copulas gaussiens, copulas de Suden,. 5

16 Propriéé inéressane des copulas Les copulas présenen la propriéé inéressane décri dans le héorème suivan : Théorème 2 : Invariance par ransformaion sricemen croissane Si T, L, T n n foncions sricemen croissanes, alors le veceur X,, L adme le même copula que le veceur ( X n. ( T (, T n ( X, L X n On pourra rouver la preuve de ce héorème dans [4] Embrechs e al (999. Quelques exemples de copulas Il exise plusieurs familles de copulas. Ci-dessous quelques exemples de copulas uilisés en assurance. Nous les présenons uniquemen dans le cas bivarié : Copula indépendan : ( u, v u v C = (indépendance Copula comonoone : ( u, v min( u, v C = (dépendance parfaie posiive Copula ani-monoone : C( u, v max( u + v, 0 = (dépendance parfaie négaive - uniquemen en dimension 2 Copulas ellipiques Les copulas ellipiques son consruis à parir des disribuions ellipiques (voir définiion dans [4] Embrechs e al (999. Les deux familles de copulas ellipiques les plus renconrées dans la praique son : - Les copulas gaussiens (normaux Ils son consruis à parir de disribuions normales mulivariées (Cf. Corollaire ( [ ]( u, v [ ( 2 ] ( u, ( v ρ = Φ ρ Φ Φ C Ga où Φ désigne la foncion de répariion d une disribuion normale cenrée réduie Ga Φ désigne la foncion de répariion d une disribuion normale bivariée de [ ρ] marginales cenrées réduies e de marice de corrélaion [ ρ ] Les copulas gaussiens ne permeen pas de modéliser des dépendances de queue. 6

17 - Les copulas de Suden (-copula Comme les copulas gaussiens, les copulas de Suden son consruis à parir des disribuions de Suden mulivariées. ( [ ]( ( 2 ( ( ρ u, v υ [ ρ] υ u, υ v C υ, =, où υ désigne la foncion de répariion d une disribuion de Suden à υ degrés de liberé, ( 2 υ, [ ρ] désigne la foncion de répariion de répariion joine d une disribuion joine (bivariée de Suden à υ degrés de liberé e de marice de corrélaion [] ρ. Les copulas de Suden permeen de modéliser des dépendances de queue. Copulas archimédiens Les copulas archimédiens s écriven sous la forme : C [ ] ( u, v = ϕ ( ϕ( u + ϕ( v où ϕ es une foncion coninue sricemen décroissane de [, ] [ 0, ϕ( = 0. ϕ es appelée le généraeur du copula C, [ ] ϕ es la foncion inverse généralisée de ϕ 0 ] elle que Le ableau suivan présene les copulas archimédiens les plus uilisés dans la praique. 7

18 Tableau : Exemples de copulas archimédiens Famille Généraeur Formule du copula Caracérisiques Frank a e g ϕ( = ln ( a = e + u g Dépendance v C F u, v ln symérique a g Pas de dépendance az a 0 gz = e de queue Gumbel a ϕ( = ( ln ( a a (( ( ( ( Dépendance ln u + ln v a a > ( CGu u, v = e asymérique Dépendance de queue à droie. Clayon ϕ( = a Dépendance a a C C u, v = u + v asymérique Dépendance de a > queue à gauche HRT (Heavy Copula non Survival copula du copula de Propriéés inverses Righ Tail archimédien Clayon au copula de C u, v = C u, v Clayon HRT ( ( C Famille de copulas uilisées En général, les copulas archimédiens permeen de modéliser des srucures de dépendance rès variées, noammen en dimension 2. Cependan, l inconvénien de cee famille de copulas es que leur exension au cas mulivarié (n>2 n es pas oujours possible. De plus, lorsque cee exension es possible, les srucures de dépendance modélisées son rès resreines. Dans le cadre de ce modèle, nous avons donc choisi d uiliser uniquemen des copulas qui peuven êre facilemen éendus aux cas mulivariés avec un nombre de composanes qui peu êre assez élevé : nombre de zones géographiques (régions adminisraive x nombre moyen de culures par zone géographique. La famille de copulas qui nous semble la plus appropriée es la famille de copulas ellipiques (uniquemen les copulas gaussiens e les copulas de Suden. 8

19 B. Modélisaion des rendemens individuels L approche uilisée pour éudier les rendemens individuels s apparene foremen à une approche bayésienne. Elle repose sur les hypohèses suivanes : Les hypohèses du modèle H : Condiionnellemen au veceur des rendemens régionaux ( R r, c, c Θ, r Ω, les rendemens individuels des agriculeurs son indépendans. En d aures ermes, considérons un agriculeur i (resp. j praiquan la culure c (resp. c dans la région r (resp. r. Cee hypohèse enraîne donc que les rendemens condiionnels R (,c,i, r,c, c Θ, r Ω r R e R ( Θ Ω r,c, j, R r,c, son indépendans. c, r Une conséquence de l hypohèse H es : Hbis : Pour une culure c dans une région r, les rendemens des agriculeurs condiionnels au rendemen régional son indépendans enre eux ; en d aures ermes, les variables aléaoires condiionnelles R r,c,i, R r,c, son indépendanes enre elles. i N r,c, H2 : o Les foncions de disribuions des rendemens régionaux appariennen à une même famille de disribuions héoriques o Les foncions de disribuion des rendemens individuels condiionnels aux rendemens régionaux appariennen à une même famille de disribuions héoriques Afin de simplifier la présenaion du modèle, nous accepons une hypohèse addiionnelle : H3 : Pour une culure donnée dans une zone géographique donnée, condiionnellemen au rendemen régional, o ous les agriculeurs on la même espérance de rendemen égal au rendemen régional o ous les agriculeurs on la même variance de rendemen Cee dernière hypohèse n enraîne aucune resricion sur le modèle. Elle peu facilemen êre assouplie. 9

20 Quelques remarques sur les hypohèses Remarque : L hypohèse H3 a pour conséquence que : o E Rr, c,i, R r, c, = Rr, c, E[ Rr, c,i, ] = E[ R r, c, ]. Pour chaque culure c, ous les agriculeurs de la région r on la même espérance de rendemen égale au rendemen régional. Var Rr, c, i, = Var R r, c, j, pour ou i, j o [ ] [ ] Remarque 2 L hypohèse Hbis a pour conséquence que : o La dépendance enre deux agriculeurs praiquan la même culure dans la même région es complèemen décrie par la variable rendemen régional R r,c,. A ire d exemple, on peu monrer sans grande difficulé que les hypohèses H3 e Hbis enraîne que la covariance enre les rendemens des deux agriculeurs es égale à la variance du rendemen régional : Cov ( R ( r,c,i,, Rr,c, j, Var Rr,c, pour i j =. De plus on peu monrer que dans le cas où le coefficien de corrélaion ( ρ > 0 enre deux agriculeurs différens es le même quels que soien les agriculeurs, ce coefficien de corrélaion linéaire es égal au rappor enre la variance du rendemen régional e la variance du rendemen individuel. En effe, compe enu de l égalié des variances individuelles, Cov ( Rr,c,i,, Rr,c,j, = ρ Var[ R r,c,i, ] Var [ Rr,c,j, ] = ρ Var[ R r,c,i, ] ρ = Var Var [ Rr,c, ] [ Rr,c,i, ] Ean donnée la variance du rendemen régional, la formule précédene monre que le coefficien de corrélaion linéaire es inversemen proporionnel à la variance individuelle. Donc, plus cee variance individuelle es élevée, plus le coefficien de corrélaion es faible e inversemen. Remarque 3 L hypohèse H enraîne que : - La dépendance enre deux agriculeurs praiquan deux culures différenes dans la même région ou dans deux régions différenes es décrie par la dépendance enre les rendemens régionaux 20

21 - La dépendance enre les agriculeurs praiquan la même culure dans deux régions différenes es aussi décrie par la dépendance enre les rendemens régionaux On peu monrer que les hypohèses H e H3 enraînen que la covariance enre ces deux agriculeurs es égale à la covariance enre les rendemens régionaux. En d aures ermes pour deux agriculeurs i e j, praiquan respecivemen les culures c e c dans deux régions r e r, 2 2 ( Rr,c,i,, Rr,c, j, Cov( R r,c,, R r,c, Cov = Le modèle A parir du veceur des rendemens régionaux, des disribuions condiionnelles des rendemens individuels (condiionnellemen aux rendemens régionaux e des hypohèses faies ci-dessus, il devien possible de simuler les rendemens individuels des agriculeurs. Ces rendemens son simulés en uilisan une approche qui s apparene foremen à une approche bayésienne : * Pour chaque agriculeur individuel, soi F r,c,, la foncion de disribuion de la variable condiionnelle R (,c,i, r,c, c Θ, r Ω r R. Sous les hypohèses ci-dessus, le rendemen * individuel es une variable aléaoire suivan la disribuion F r,c, don l espérance mahémaique es une variable aléaoire égale au rendemen régional :. R r,c, A parir de la foncion de disribuion joine du veceur des rendemens régionaux e de la foncion de disribuion des rendemens individuels condiionnels aux rendemens régionaux, on peu donc : simuler les rendemens individuels, appliquer les condiions des conras, simuler pour chaque agriculeur la charge de sinisres, simuler la charge oale de sinisres sur le porefeuille, esimer, la foncion de disribuion de la charge de sinisres oale de l assureur. Dans le paragraphe suivan, nous proposons un algorihme pour simuler cee charge de sinisres agrégée Simulaion de la charge de sinisre agrégée du porefeuille La charge agrégée des sinisres sur le porefeuille es la somme des sinisres individuels sur ou le porefeuille. C es une somme d un nombre rès imporans (nombre d agriculeurs dans le porefeuille de variables aléaoires dépendanes. Pour esimer sa disribuion, nous avons reenu d uiliser une approche par simulaion de Mone Carlo. 2

22 La simulaion se décompose en deux paries : La simulaion des rendemens régionaux La simulaion des rendemens individuels e le calcul des sinisres Ci-dessous un algorihme de simulaion de la foncion de disribuion de cee charge de sinisres : Algorihme Pour simulaion = à Nombre de simulaions Généraion du veceur des rendemens par région/culure Pour zone géographique = à Ω Pour culure = à Θ Générer la composane du copula C uilisé pour décrire la srucure de dépendance enre les rendemens régionaux Générer ensuie le rendemen régional (par exemple par inversion R r,c, de la foncion de disribuion marginale du rendemen régional Fin Pour Fin Pour Généraion des rendemens individuels e calcul des sinisres par agriculeur Pour zone géographique = à Ω Pour culure = à Θ Pour Agriculeur = à N r, c, Déerminer les paramères de la disribuion des rendemens individuels éan donné le rendemen régional simulé cidessus Fin Pour Fin Pour Fin Pour Générer le rendemen individuel à parir de la disribuion * d espérance le rendemen régional simulé F r,c, Appliquer la franchise : calculer max α r R R ;0 (,c,i, r,c,i,,ref r,c,i, Calculer le monan des sinisres P r,c, V r,c,i, max ( αr,c,i, R r,c,i,,ref Rr,c,i, ;0 Calculer évenuellemen un nombre de sinisres (= si monan différen de 0 e =0 sinon Fin Pour Sommer les monans sinisres sur ous les agriculeurs Sommer les nombres de sinisres sur ous les agriculeurs 22

23 4.. Foncionnemen du modèle 4. Mise en oeuvre du modèle Le modèle acuariel présené dans ce papier a éé implémené dans un logiciel de simulaion. Les données de marché, les paramères saisiques esimés à parir des données de marché, ainsi que le business plan son uilisés pour paramérer le modèle. Le modèle procède ensuie à la simulaion de la charge de sinisre agrégée e donc de consruire sa foncion de disribuion. Cee foncion de disribuion peu ensuie êre uilisée pour plusieurs applicaions don l applicaion de la réassurance, l applicaion des mesures de risque, l éude du besoin en capial, Le graphique suivan résume le foncionnemen de ce modèle. Graphique 6 : Schéma de foncionnemen du modèle Le modèle acuariel Données de marché Esimaions saisiques Business Plan Paramères saisiques 99-99,9% 90-99% 0-90% 0-0% Moyenne Impac of Reinsurance Applicaions Risk measures Var, Tvar, ES Economic capial 23

24 4.2. Quelques applicaions Le modèle économique présené ci-dessus peu êre uilisé pour éudier : les besoins de réassurance du porefeuille le besoin en capial engendré par le porefeuille A. Eude de la réassurance En général, il exise plusieurs classificaions des couverures de réassurance. Les plus fréquenes dans la liéraure son : Obligaoires / Faculaives Proporionnelles / Non Proporionnelles Cependan, il exise une aure classificaion qui peu êre praique du poin de vue de la modélisaion : les couverures globales les couverures locales Les couverures globales Une couverure de réassurance es die globale, lorsque le résula annuel de la couverure peu s écrire comme une foncion du résula annuel de l assureur sur les risques couvers. Les deux principaux exemples de couverures globales son les raiés Quoa Share e les raiés Sop Loss. Les couverures locales Une couverure de réassurance es die locale, lorsque le résula annuel de cee couverure ne s écri pas comme une foncion du résula annuel de l assureur sur les risques couvers. Les deux principaux ypes de couverures locales son les raiés Excess of Loss (XS e les raiés Surplus. Dans le cas du produi d assurance récole, les couverures locales ne son pas rès adapées. En effe, Les sommes assurées éan assez homogènes, un raié Surplus ne serai pas approprié. Les sinisres par police n éan pas rès élevés, un raié XS par risque ne serai pas adapé. Puisqu il es difficile de définir ce que représene un seul événemen, il ne serai pas aisé d appliquer un raié en XS par événemen Seules les couverures globales (Quoa Share ou Sop Loss peuven êre uilisées sur ce porefeuille. Dans la suie, nous illusrons le foncionnemen de la réassurance Sop Loss sur ce porefeuille. 24

25 Impac de la réassurance Sop Loss En général, le foncionnemen d une couverure Sop Loss es exprimé en foncion du raio S/P (Sinisres / Primes. Cependan, elle peu aussi êre exprimée direcemen en ermes de monan oal des sinisres. Cee couverure peu donc s appliquer sur la charge agrégée de sinisres S du porefeuille. Considérons par exemple la couverure Sop Loss illimiée avec une priorié P. La charge de sinisres nee de réassurance s écri de la façon suivane : S ( n Le graphique ci-dessous monre les foncions de disribuion respecives de S e de. ( ( n = min S, P Graphique 7 : Foncions de disribuion des charges de sinisres brue e nee de réassurance sop loss S 25

26 La prime pure Sop Loss es donnée par ( + E S P E[ max( S P,0] = e peu êre déduie de la courbe de la foncion de répariion de la charge de sinisre brue de réassurance comme ci-dessous : Graphique 8 : Prime Sop Loss L aire C représene la prime Sop Loss pour un niveau de priorié égal à p. B. Eude du besoin en capial A parir de la foncion de disribuion de la charge de sinisre nee de réassurance, e éan donnés : Les primes brues Les primes de réassurance Les frais Les produis financiers Le aux d impôs il es possible de consruire la foncion de disribuion du résula après impôs X du porefeuille pendan la période considérée. L applicaion des mesures de risque comme la Value a Risk (VaR, la Tail Value a Risk (TVaR ou l Expeced Shorfall (ES sur cee variable perme d esimer le besoin en capial économique sur le porefeuille. 26

27 Définiion 3 : Pour un seuil de probabilié ( 0, ( X Var α, es définie par l équaion suivane : Définiion 4 : La Tail Value a Risk du résula TVaR α donné, la Value a Risk du résula, noée α P { X < Varα ( X } = α ( X, noée TVaR α X, es défini par : ( ( X = E X X < Var α X X Ces deux mesures de risque peuven êre uilisées pour déerminer le besoin en fonds propres du porefeuille considéré isolémen. Le choix de l une ou l aure mesure dépend des objecifs poursuivis (piloage, solvabilié,. Définiion 5 : L Expeced Shorfall du résula ( X, noée ES α X, es définie par : ES α ( X = E X Varα ( X X < Varα ( X = TVaR α ( X Varα ( X Cee mesure de risque peu êre uilisée au niveau d un Groupe vis-à-vis de ses filiales ou par les auoriés de conrôle des sociéés d assurance. 27

28 5. Exemple 5.. Les données uilisées Ce modèle a éé appliqué sur la ferme France, composée de l ensemble des agriculeurs de la France méropoliaine. Les culures considérées son classées en rois grandes caégories (filières suivanes : Les grandes culures (Blé dur, blé endre, maïs, pois, colza, pommes de erre, Les fruis (pommes, poires, pêches, abrico, Les vignes Les données de marché uilisées par le modèle on éé consiuées à parir des saisiques Agrese du SCEES. Il s agi des nombres d agriculeurs par zone géographique / culure, des surfaces culivées, Les zones géographiques considérées ici son les régions adminisraives Quelques paramères imporans du modèle Les paramères saisiques Les paramères saisiques les plus imporans du modèle son : Les espérances mahémaiques des rendemens régionaux par culure Les coefficiens de variaion des rendemens régionaux par culure Les coefficiens de variaion des rendemens individuels par région/culure Les coefficiens d asymérie (skewness des rendemens régionaux par culure Les coefficiens d asymérie des rendemens individuels par région/culure Les marices de corrélaion e des aures mesures de dépendance enre les rendemens régionaux par culure Les données de marché Nombre d agriculeurs par région/culure Surfaces culivées par région/culure Les paramères liés au porefeuille : le business plan Les pars de marché par culure e par région Dans ce exemple, nous considérons la ferme France composée de l ensemble des agriculeurs en France méropoliaine. La par de marché considérée es donc de 00% pour ous les ypes de culures considérées e pour oues les régions adminisraives. Les aux de franchise Nous avons considéré un aux de franchise uniforme pour ous les agriculeurs e égal à 20%. 28

29 5.3. Les résulas Les simulaions on éé effecuées en considéran rois siuaions : la srucure de dépendance es décrie par un copula de Suden (avec 3 degrés de liberé, la srucure de dépendance es décrie par un copula de Suden (avec 0 degrés de liberé, la srucure de dépendance es décrie par un copula normal. Nous présenerons dans la suie : Le déail des résulas uniquemen dans le cas du copula de Suden avec 3 degrés de liberé Un ableau résumé présenan une comparaison des VaR, pour cerains niveaux de probabilié, enre les différens copulas uilisés Résulas Copula de Suden 3 degrés de liberé Foncions de disribuion des sinisres sur 0 années Monan des sinisres en M 4,500 Disribuion des sinisres - Ferme FRANCE Franchise = 20% Copula de Suden degré de liberé = 3 4,000 3,500 3,000 2,500 2,000, ,9% 90-99% 0-90% 0-0% Moyenne, Année Année 2 Année 3 Année 4 Année 5 Année 6 Année 7 Année 8 Année 9 Année 0 29

30 Disribuion des sinisres, mesures de risque e primes sop loss Année Monans en milliers d' Probabiliés Value a risque (monan des sinisres Sinisres / Primes Pures Sinisres / Capiaux Assurés Prime Sop Loss Prime Sop Loss / Prime pure Tail Value a Risk Expeced Shorfall Moyenne 893,682 00% 4.49% 0.0% 459,699 5% 2.3% 44, % 950, , % 552,63 62% 2.78% 362, %,005, , % 629,67 70% 3.6% 304, %,064, , % 703,234 79% 3.53% 256, %,3, , % 784,53 88% 3.94% 22, %,208, , % 878,397 98% 4.4% 70, %,303, , % 997,523 2% 5.0% 28, %,425, , %,073,96 20% 5.39% 07, %,504, , %,6,54 30% 5.83% 87, %,60,35 439, %,288,093 44% 6.47% 65, %,727, , %,458,526 63% 7.32% 44, %,907, , %,50,993 68% 7.54% 40, %,955,52 453, %,556,780 74% 7.82% 36,5 4.05% 2,008,664 45, %,62,723 80% 8.0% 3, % 2,069, , %,680,788 88% 8.44% 27, % 2,39, , %,77,504 98% 8.90% 22, % 2,222, , %,862, % 9.35% 8, % 2,325,6 462, %,986, % 9.97% 4,252.59% 2,46, , % 2,77, % 0.94% 9,608.08% 2,658, , % 2,506,96 28% 2.59% 4, % 2,992, , % 2,879, % 4.46% 2, % 3,300,99 42, % 3,607, % 8.% % 3,82,096 23,78 30

31 Le ableau précéden fourni la disribuion de la charge de sinisres e du raio sinisres / primes (S/P du porefeuille. Il peu donc êre uilisé pour définir les besoins de réassurance pour le porefeuille. Il fourni aussi une esimaion de la prime de réassurance sop loss pour différens niveaux de priorié. A ire d exemple, pour une priorié de 30% (sinisre sur primes pures, la prime de réassurance (hors chargemens esimée par de modèle es d environ 0% de la prime pure. En absence de réassurance, e hormis la prise en compe des chargemens sur les primes, des frais, des produis financiers,, le besoin en fonds propres esimé pour ce porefeuille pour un niveau de probabilié de % serai d environ :.6 milliards d euros ( lorsque la VaR es uilisée, 2. milliards d euros ( lorsque la TVaR es uilisée. Tableau résumé des VaR e des TVaR pour différens copulas éudiés Tableau des Value a Risk Monans en milliers d Copula uilisé Probabiliés 20% 0% 5% % 0.50% 0.0% Suden 3 degrés de liberé,6,54,458,526,77,504 2,506,96 2,879,527 3,607,378 Suden 0 degrés de liberé,070,87,4,407,673,595 2,290,48 2,544,70 3,038,96 Normal,87,02,463,037,74,563 2,289,896 2,488,274 2,94,553 Tableau des Tail Value a Risk Monans en milliers d Copula uilisé Probabiliés 20% 0% 5% % 0.50% 0.0% Suden 3 degrés de liberé,60,35,907,434 2,222,035 2,992,996 3,300,99 3,82,096 Suden 0 degrés de liberé,534,934,795,84 2,07,0 2,67,507 2,926,637 3,574,472 Normal,568,759,823,754 2,068,480 2,590,37 2,802,782 3,424,650 Ces ableaux monren bien que pour les mêmes niveaux de dépendance e pour des probabiliés faibles, les copulas de Suden son plus dangereux que le copula normal. En effe, comme indiqué précédemmen les copulas de Suden admeen des dépendances de queue alors que les copulas normaux ne l admeen pas. Cependan pour des degrés de liberé rès élevés, les résulas obenus avec le copula de Suden son rès proches de ceux obenus avec le copula normal. 3

32 Bibliographie [] Arzner, P., F. Delbaen, J.M. Eber and D. Heah (999, Coheren measure of risk. Mahemaical Finance [2] Cadoux, D., J.M. Loizeau (2004, Dépendance au sein d un porefeuille d assurance non-vie : cas praique d applicaion de la héorie des copules à la déerminaion du besoin en fonds propres. Mémoire CEA / Insiu des Acuaires. [3] Demara, S., A. J. McNeil (2004, The -Copula and Relaed Copulas, [4] Embrechs, P., A. J. McNeil and D. Sraumann (999, Correlaion and dependency in risk managemen: properies and pifalls, [5] Embrechs, P., A. J. McNeil, F. Lindskog (200, Modelling Dependence wih Copulas and Applicaions o Risk Managemen, [6] Embrechs, P., R. Frey, A. J. McNeil (2005, Quaniaive Risk Managemen: Concep, Techniques, Tools, Princeon Series in Finance [7] Fonenau, F. (200, Impac de la corrélaion des risques individuels sur le développemen de l assurance récole, Rappor de sage 2 ème année ENSAE [8] Menard, C., Dépué du Finisère (2004, Gesion des risques climaiques en agriculure, Engager une nouvelle dynamique, Assemblée Naionale [9] Parra, C. and J.L. Besson (2004, Assurance Non Vie, Modélisaion, Simulaion. Paris : Economica [0] Yu, M., (2004, Modélisaion d un porefeuille d accepaions en réassurance : Dépendances mulivariées e héorie des copulas, Mémoire de fin d éude d Acuaria (Magisère d Acuaria ULP Srasbourg. 32

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