Systèmes de coordonnées

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1 29 septembre 2009

2 Définition Dans( le plan ) muni d un repère orthonormal O ; i, j les coordonnées polaires d un point M(x, y) sont les nombres ρ et θ tels que : { ρ = ( OM θ = i, ) OM Théorème Si x 0 alors { x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) avec ρ = ( y x 2 + y 2 et θ = arctan x) Remarque arctan représente la fonction arctangente (réciproque de la fonction tangente).

3 Théorème Si x 0 alors { x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) avec ρ = ( y x 2 + y 2 et θ = arctan x) Méthode 6 Dans un plan muni d un repère orthonormal M(4, 3). Déterminer ses coordonnées polaires. ( ) O; i, j, on a le point

4 Théorème Si x 0 alors { x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) avec ρ = ( y x 2 + y 2 et θ = arctan x) Méthode 6 Dans un plan muni d un repère orthonormal M(4, 3). Déterminer ses coordonnées polaires. ρ = = 25 = 5 et θ = arctan ( ) O; i, j, on a le point ( ) 3 36, 87 4

5 Définition Dans l espace ( muni d un repère orthonormal direct O; i, j, ) k les coordonnées cylindriques d un point M(x, y, z) s obtiennent par association des coordonnées polaires dans ( le plan) muni du repère orthonormal O; i, j et de la côte z du point M. On obtient alors le triplet (ρ,θ, z). Le point M est ( le projeté orthogonal de M sur le plan O; i, ) j.

6 Méthode 7 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct point A(3; 1; 2). Déterminer les coordonnées cylindriques de A. ( O; i, j, ) k, on a le

7 Méthode 7 Dans l espace muni d un repère orthonormal direct point A(3; 1; 2). Déterminer les coordonnées cylindriques de A. ρ = = ( ) 10 1 θ = arctan 18, z = 2 ( O; i, j, ) k, on a le

8 Définition Désolé, cette définition jusqu à la remarque est hors programme!

9 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(2; 10 ; 5), B(1; 40 ; 3) et C(4; 20 ; 2). 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points.

10 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(2; 10 ; 5), B(1; 40 ; 3) et C(4; 20 ; 2). 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points. Pour A : x A = ρ A cos(θ A ) = 2 cos(10) 1, 97 y A = ρ A sin(θ A ) = 2 sin(10) 0, 347 z A = 5

11 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(2; 10 ; 5), B(1; 40 ; 3) et C(4; 20 ; 2). 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points. Pour A : x A = ρ A cos(θ A ) = 2 cos(10) 1, 97 y A = ρ A sin(θ A ) = 2 sin(10) 0, 347 z A = 5 Pour B : x B = ρ B cos(θ B ) = cos(40) 0, 766 y B = ρ B sin(θ B ) = sin(40) 0, 643 z B = 3

12 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(2; 10 ; 5), B(1; 40 ; 3) et C(4; 20 ; 2). 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points. Pour A : x A = ρ A cos(θ A ) = 2 cos(10) 1, 97 y A = ρ A sin(θ A ) = 2 sin(10) 0, 347 z A = 5 Pour B : x B = ρ B cos(θ B ) = cos(40) 0, 766 y B = ρ B sin(θ B ) = sin(40) 0, 643 z B = 3 Pour C : x C = ρ C cos(θ C ) = 4 cos(20) 3, 759 y C = ρ C sin(θ C ) = 4 sin(20) 1, 368 z C = 2

13 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC.

14 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC. Pour cela, il faut utiliser le produit scalaire : BA. BC :

15 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC. Pour cela, il faut utiliser le produit scalaire : BA. BC : 1, 97 0, 766 BA 0, 347 0, 643 d où 1, 204 BA 0,

16 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC. Pour cela, il faut utiliser le produit scalaire : BA. BC : 1, 97 0, 766 BA 0, 347 0, 643 d où 1, 204 BA 0, , 759 0, 766 BC 1, 368 0, 643 d où 2, 993 BC 0,

17 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC. Pour cela, il faut utiliser le produit scalaire : BA. BC : 1, 97 0, 766 BA 0, 347 0, 643 d où 1, 204 BA 0, , 759 0, 766 BC 1, 368 0, 643 d où 2, 993 BC 0, BA = 1, ( 0, 296) , 353

18 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC. Pour cela, il faut utiliser le produit scalaire : BA. BC : 1, 97 0, 766 BA 0, 347 0, 643 d où 1, 204 BA 0, , 759 0, 766 BC 1, 368 0, 643 d où 2, 993 BC 0, BA = 1, ( 0, 296) , 353 BC = 2, , ( 1) 2 3, 238

19 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC. Pour cela, il faut utiliser le produit scalaire : BA. BC : 1, 97 0, 766 BA 0, 347 0, 643 d où 1, 204 BA 0, , 759 0, 766 BC 1, 368 0, 643 d où 2, 993 BC 0, BA = 1, ( 0, 296) , 353 BC = 2, , ( 1) 2 3, 238 BA. BC = 1, 204 2, 993+(, 296) 0, ( 1) 1, 389

20 Méthode 9 Soit les points A, B et C de coordonnées cartésiennes A(1, 97; 0, 347; 5), B(0, 766; 0, 643; 3) et C(3, 759; 1, 368; 2). 2. Déterminer une mesure de l angle ÂBC. Pour cela, il faut utiliser le produit scalaire : BA. BC : 1, 97 0, 766 BA 0, 347 0, 643 d où 1, 204 BA 0, , 759 0, 766 BC 1, 368 0, 643 d où 2, 993 BC 0, BA = 1, ( 0, 296) , 353 BC = 2, , ( 1) 2 3, 238 BA. BC = 1, 204 2, ( 993+(, 296) ) 0, ( 1) 1, 389 D où ÂBC = cos 1 1, , 486 2, 353 3, 238

21 EXERCICES

22 Exercice 8 ( Dans un plan muni d un repère orthonormal O; i, ) j, soit le point M de coordonnées (x, y). Déterminer les coordonnées polaires de M dans les cas suivants : 1. M( 1; 1) 2. M(0; 2) 3. M(1; 2)

23 Exercice 8 ( Dans un plan muni d un repère orthonormal O; i, ) j, soit le point M de coordonnées (x, y). Déterminer les coordonnées polaires de M dans les cas suivants : 1. M( 1; 1) 2. M(0; 2) 3. M(1; 2) 1. M( 2; 135 ) 2. M(2; 90 ) 3. M( 5; 63, 43 )

24 Exercice 9 Dans un plan muni d un repère polaire (O;ρ;θ). Déterminer les coordonnées cartésiennes (x, y) de ce point dans les cas suivants : 1. M(1; 30 ) 2. M(3; 50 ) 3. M(2; 45 )

25 Exercice 9 Dans un plan muni d un repère polaire (O;ρ;θ). Déterminer les coordonnées cartésiennes (x, y) de ce point dans les cas suivants : 1. M(1; 30 ) 2. M(3; 50 ) 3. M(2; 45 ) 1. M( 3 2 ; 1 2 ) 2. M(1, 928; 2, 298) 3. M( 2; 2 )

26 Exercice 10 Dans l espace muni d un repère sphérique (O;ρ;θ;ϕ). Déterminer les coordonnées cartésiennes (x, y, z) du point M. 1. M(2; 20 ; 40 ) 2. M(2; 30 ; 30 ) Hors programme

27 Exercice 11 Soient les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(3; 25 ; 2), B(5; 150 ; 1) et C(1; 0 ; 1). 1 Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points. 2 Déterminer une mesure de l angle ÂBC.

28 Exercice 11 Soient les points A, B et C de coordonnées cylindriques A(3; 25 ; 2), B(5; 150 ; 1) et C(1; 0 ; 1). 1 Déterminer les coordonnées cartésiennes des trois points. 2 Déterminer une mesure de l angle ÂBC. 1. A(2, 719; 1, 269; 2) B( 4, 33; 2, 5; 1) C(1; 0; 1) 2. ÂBC = 14, 75

29 Exercice 12 Dans l espace muni d un repère sphérique, on a les points A(3; 40 ; 50 ) et B(2; 20 ; 60 ). 1 Déterminer les coordonnées cartésiennes de A et B. 2 Calculer le produit scalaire OA. OB. 3 En déduire la valeur de l angle ÂOB. Hors programme

30 Exercice 13 Soient les points A et B de coordonnées sphériques A(3; 50 ; 35 ) et B(2; 10 ; 20 ). 1 Déterminer les coordonnées sphériques du point I, milieu de [AB]. 2 Calculer la distance AB. Hors programme

31 Exercice 14 Soient les points A et B de coordonnées cylindriques A(2; 20 ; 3) et B(1; 120 ; 1). 1 Déterminer les coordonnées cylindriques du point I, milieu de [AB]. 2 Calculer la distance AB.

32 Exercice 14 Soient les points A et B de coordonnées cylindriques A(2; 20 ; 3) et B(1; 120 ; 1). 1 Déterminer les coordonnées cylindriques du point I, milieu de [AB]. 2 Calculer la distance AB. 1. I(0, 6895; 0, 775; 1) 2. AB = 4, 657

sin ( π + x ) = sin x sin ( π 2 + x ) = cos x

sin ( π + x ) = sin x sin ( π 2 + x ) = cos x CH3 Géométrie : Trigonométrie 3 ème Maths Novembre 009 A. LAATAOUI 1 ) COSINUS ET SINUS D UN REEL Sauf contre indication, l unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d un repère orthonormé

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