Chapitre IV. Equation de Laplace. IV.1 Séparation des variables en coordonnées cartésiennes dans la résolution de l équation de Laplace + + = 0 X Y Z
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- Joel Martineau
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1 Chapitre IV IV éparatio des variables e coordoées cartésiees das la résolutio de l équatio de Laplace Il faut trouver l itégrale de : Ecrivos U(x, sous fore : U U U U + + (IV) x² y² z² U (x, X(x) Y(y) Z(, (IV4) Après avoir substitué (IV4) das (IV), et divisé par U (x,, o trouve : X Y Z + + (IV5) X Y Z Posos : X Y Z α ² ; β ² ; α ² + β ² X Y Z Doc (IV) deviet : X + α ² X ; Y + β ² Y ; Z ² Z, où ² α² + β² (IV6) L itégrale sera : X e Doc, l itégrale partielle (IV4) est : iαz ; Y e iβy ; Z e z Qui déped de U ~ ( α, β)e z U e α β i z i y z (IV7) α, β et de x, z la solutio géérale de l équatio (IV) sera : yz ix α iyβ U( x, U ( α, β) e dα dβ % (IV8) est la trasforée de Fourier de U(x, par rapport à x et y ; la coordoée z est cosidérée coe u paraètre L itégrale double est calculée de 57 sur tout le pla
2 spectral (α, β) Par coséquet, l équatio pred la fore d ue trasforée iverse de Fourier : (,) (,,) (IV9) La foctio spectrale U ~ ( α, β) doit être déteriée à partir des coditios aux liites E posat z das l équatio (IV9), o obtiet : U ~ z iαξ+ iβη α, β e e U ξ, η, z dξ dη (IV4) ( ) ( ) Les équatios (IV8) et (IV4) résolvet les problèes de prologeet du chap IV Problèe de Dirichlet pour Z > E replaçat l expressio (IV4) das la relatio (IV8), o obtiet : Posos ( ξ, η) ξ η α β iα ( ξ x) + iβ ( η y) z U U d d e d d iαx iβ y Y z G( x, ; 4 e dαdβ (IV4) π ' U (x, G (x ξ, y η; U ( ξ, η) dξdη (IV4) La preière équatio otre que : G ~ ( α, β, e est la trasforée de fourrier de la foctio G (x, das le pla x, y ( ); z- est u paraètre L équatio (IV4) exprie la foctio haroique de U (x, coe ue covolutio de U(x, y) doée sur le pla z, avec G( x, Doc : Pour calculer G (x,, o utilise les coordoées polaires : O a aussi : U ( x, G ( x, U ( x, y) (IV4) x ρcosω; yρsi ω; α cosψ; β si ψ iα x + iβy iρcos( ψ ω);dαβ ddψ 58
3 L itégrale (IV4) sera : π ( z + iρ cos ψ ) G ( x, dψ e d z O trouve : z G(x, (IV44) π (x + y + z ) z La trasforée de Fourier de cette foctio par rapport à x et y est e avec doé de (IV6) ; alors : e v π e iαx+ iβi ( x zd zdy + y + z ) ] (IV45) i l o replace l expressio (IV44) das (IV4), o trouve la forule de prologeet vers le haut : où U ( x, r π zdξ dη ξ η r U (, ) (x ξ) + (y η) + z IV éparatio des variables e coordoées cylidriques L équatio de Laplace e coordoées cylidriques s écrit : (z ) (IV46) U U + + ρ ρ ρ ρ U U + ω z (IV47) O va chercher la solutio sous fore : U R ( ρ) Ω ( ω) Z ( E replaçat ce produit das l équatio (IV47), o obtiet : R R Ω Z R ρ R ρ Ω Z 59 Cette équatio coduit aux trois équatios différetielles suivates : Ω + Ω R R R Z Z ; ; + + ρ ρ où - est u etier et U ( ρ, ω, est périodique Doc : Ω e ωi,,,,,,
4 La solutio de la derière équatio pour ρ est la foctio de Bessel de preière espèce : Doc la solutio particulière est : la solutio plus géérale est : U e R J ( ρ) z+ ωi j ( ρ) ωi z e C ( ) e ( ) U ( ρ, ω, j ( ρ) d (IV48) L équatio (IV48) satisfait les coditios aux liites i U ( ρ, ω) U ( ρ, ω, ) est doée sur le pla, la relatio (IV48) deviet : ωi e U ( ρ, ω) C ( ) j ( ρ) d ( ) Aisi, la foctio est décoposée e série de Fourier, dot les coefficiets sot les trasforées de Hakel C ( ) : π ωi ( ) e dω U ( ρ, ω) j ( ρ) ρdρ π C (IV49) Les équatios (IV47) et (IV49) sot les solutios du problèe de Dirichlet pour u dei espace z Elles peuvet être utiles pour le prologeet vers le bas E posat ρ, o obtiet la forule (IV48) sous fore : Avec z U (,, C ( ) e d (IV5) C ( ) j ( ρ) ρd ρ U ( ρ, ω) dω π (IV5) π IV4 Prologeet vers le bas Les équatios (IV8) et (IV4) résolvet le problèe de plogeet vers le bas Afi de pouvoir facileet utiliser ces forules, posos z -h, où h Doc, l équatio (IV8) deviet : U ~ h xαi yβi U(x, h) ( α, β)e dαd β 6 (IV5)
5 exeple : L itégrale (IV5) possède u ses das certais cas particuliers, dot o peut citer par La trasforée de Fourier U ( α, β ) diiue e expoetielle, quad α et β augetet et cette diiutio est plus rapide que celle de certaie source de desité σ est : e h La coposate verticale du chap due à ue ζdξdηdζ g (x, y) σ( ξ, η, ζ) (IV5) / [(x ξ) + (y η) +ζ ] Cosidéros que la source est das le volue dot la sectio horizotale trasversale est (figiv9) Fig IV9 Le prologeet du corps vers le bas peut être ifii, cepedat les asses doivet être localisées à ue profodeur supérieure à h H La desité est ulle ( σ ) à l extérieur du volue désigé et est égale à σ à l itérieur Doc de l expressio (IV5), o a : D où : g σ H dξ ξ dξdη σ g (IV54) H Motros aiteat coet l expressio (IV5) diiue pour h H Das otre cas : iαξ iβ y ξdζ dηdy g% ( α, β) e dxdy σ ( ξ, η, ζ ), r ( x ξ) r + ( y η) + ζ + + 6
6 E chageat x et y respectiveet par x + ξ et y + η, o obtiet : ~ ( iαξ + iβη g α, β ) σ ( ξ, η, ζ ) e dξ dζdη e iαx+ iβy ( x ζdxdy + y + ζ ) / Le odule sera : ~ ζ πσ H g ( α, β ) πσ ζ e d e (IV55) H Doc, la foctio spectrale diiue e expoetielle et surtout quad H est iportat L équatio (IV5) s écrit doc : h xαi yβi g (x, h) e ~ g ( α, β) dαdβ, (IV56) Aisi l itégrale est calculable si : σ g (x, h) (IV57) H h Doc, le prologeet vers le bas est possible jusqu'à ue profodeur e dépassat pas la profodeur iiale de la source sous la surface z Bibliographie - Coulob J, Jobert G Traité de géophysique itere Masso et scie, Paris Murray Y, piegel R Aalyse de Fourier et applicatio aux problèes de valeurs aux liites érie chau, Edisciece, 98 - irov V Cours de athéatiques supérieures, T Mir, Moscou, 97 6
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