z sur un plateau horizontal (Oxy) percé d un trou à y

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1 PTSI Execices - Mécanique M7 M7 Foces centales consevatives Ex-M7.1 Point matéiel tié pa une code (*) Un palet P de masse M glisse sans fottement z su un plateau hoizontal (Oxy) pecé d un tou à l oigine O. y Sa position est epéée pa les coodonnées polaies P v 0 et θ, d axe (Oz). O θ 0 P L expéimentateu lance le palet, à la distance 0 x 0 du point O, avec une vitesse initiale othoadiale v (0) = v0 e θ(t=0) (on penda θ(t = 0) = 0), et F tie su le fil de façon à appoche égulièement le palet du point O : (t) = 0 V t. On admet que la foce execée pa le fil (qui este toujous tendu) su P est T = F e. 1) Monte que la vitesse angulaie du palet s écit ω = θ 0 v 0 =. En déduie l évolution ( 0 V t) de la foce F qu il faut exece pou éalise cet objectif. Commente. ) Calcule diectement le tavail de taction founi pa cet opéateu s il fait passe la distance du mobile à l axe de la valeu 0 à la valeu 1. Retouve ce ésultat pa une méthode énegétique. Rép : 1) F = M 0 v 0 ( 0 V t) 3 ; dont T = MC e 3 = de p d avec E p = MC E p ( ) = 0 et C = 0 v 0 la constante des aies) ; ) W 0 1 ( F ) = M 0 v 0 ( ) + Cte (avec Applications diecte du cous Ex-M7. État de diffusion et état lié 1) Un électon de vitesse v 0 = m.s 1 se touve à une distance a = 10 nm d un poton. Peut-il y avoi fomation d un atome d hydogène? (état lié) (on véifiea que l énegie potentielle de gavitation est négligeable devant les autes) ) Quelle est la vitesse limite de l électon pou qu il n y ait pas d état lié possible? Données : masse de l électon : m e = kg ; masse du poton : m p = 1, kg ; 1 = u.s.i. 4πε 0 Rép. : 1) E p,élec =, J, E p,gav = J, E k = 7,.10 4 J état lié ca E m = E k + E p E p,élec < 0 ; ) v l = 1 m e. 4πε 0. qeqp a =, m.s 1 Ex-M7.3 Masse de la tee En faisant l hypothèse que la lune effectue un mouvement ciculaie autou de la tee (hypothèse justifiée ca l excenticité de la tajectoie lunaie est de 0,0549), de péiode T = 7, 3 jous et de ayon R L = km, calcule la masse de la tee en appliquant le PFD. Rép. : M T 6, kg. Ex-M7.4 Vitesse de libéation Calcule la vitesse de libéation (ou vitesse d «évasion») à la suface des astes suivants, dont les masses et les ayons espectifs sont : 1) pou la Lune : M L = 7, 4.10 kg et R L = km, ) pou Mas : M Ma = 6, kg et R Ma = km, 3) pou Mecue : M Me = 3, kg et R Me = 440 km. Rép : La vitesse de libéation est caactéisée pa une énegie mécanique (tajectoie paabolique) nulle du point matéiel de masse m étudié (dans le éféentiel «astocentique») à la suface de l aste de ayon R et de masse M : E m = 1 m.m mv l G R = 0, soit : v GM l = R. v l,l =, 4 km.s 1 ; v l,ma = 5 km.s 1 ; v l,me = 4, km.s http ://ateliepepa.ove-blog.com/ jpqadi@gmail.com

2 Execices - Mécanique PTSI Ex-M7.5 Distance minimale de passage d un astéoïde Le éféentiel géocentique R 0 = Ox 0 y 0 z 0 est supposé galiléen, et on néglige les effets gavitationnels du Soleil. Un astéoïde de masse m et de taille négligeable pa appot à la masse M T de la Tee est epéé en M 0, à une distance tès gande de la Tee où on supposea que son influence gavitationnelle est négligeable. On mesue son vecteu vitesse v 0 = v 0ex0, poté pa la doite (M 0 x 0 ) telle que la distance du cente de la Tee à (M 0 x 0 ) est b (b est le «paamète d impact»). 1) Monte que E m (M) et L O/R0 (M) se consevent. Expime les deux constantes du mouvement en fonction des données initiales. ) Expime l énegie potentielle effective E p,eff () en fonction de m, M T, et L O. 3) Détemine la distance minimale m in à laquelle l astéoïde passe du cente de la Tee et donne la condition de non collision. On utilisea tès utilement le potentiel effectif. Rép : 1) E m = 1 mv 0 ; L O/R0 (M) = OM 0 m v 0 = mbv 0 ) E p,eff = E m 1 m = L O G m.m m T ; 3) min = GM T v0 ez0 ; ( 1 + b v 4 0 G M T ) 1 Obites ciculaies Ex-M7.6 satellite Phobos et Déimos de Mas La planète Mas (masse M M = 6, kg) possède deux satellites natuels, Phobos et Déimos, considéés comme des astéoïdes en aison de leu petite taille et de leu fome iégulièe. La distance moyenne du cente de ces satellites au cente de Mas est P km pou Phobos et D km pou Déimos. 1) Calcule les vitesses de satellisation v P et v D de Phobos et Déimos. ) En déduie leus péiodes de évolution espectives T P et T D, en jous, heues, minutes, secondes. 3) Véifie que le appot T est indépendant du satellite. Quelle 3 est l expession littéale de ce appot en fonction de M M? Phobos Rép : 1) v P = 6, 67 km.s 1 ; v D = 4, 1 km.s 1 ; ) T P = s = h 7 min 15 s ; T D = s = 9 h 43 min 31 s ; 3) T P 3 = 9, s.m 3 ; T D P 3 D Képle : T = 4π a 3 GM M avec a = pou une tajectoie ciculaie. Ex-M7.7 Vitesse d un lanceu selon la latitude Les lanceus (ou fusées) sont tiés dans l espace depuis des bases situées à des latitudes λ vaiées : Cap Canaveal aux États-Unis (λ 1 = 8, 5 ), Pletsek en Russie (λ = 63 ), Baïkonou dans le Kazakhstan (λ 3 = 46, 3 ), Tanegashima au Japon (λ 4 = 30, 5 ) et Kouou en Guyane Fançaise (λ 5 = 5, ). La fusée étant fixée au sol, calcule la nome v de sa vitesse, pa appot au éféentiel géocentique R 0 = T x 0 y 0 z 0 due à la otation unifome de la Tee, de vecteu otation Ω = ω T e S N et de vitesse angulaie ω T = 7, ad.s 1 autou de son axe sud-nod. Commente. = 9, s.m 3 ; 3 e loi de Rép : v 1 = 410 m.s 1 ; v = 1 m.s 1 ; v 3 = 33 m.s 1 ; v 4 = 40 m.s 1 ; v 5 = 465 m.s 1. M7 jpqadi@gmail.com http ://ateliepepa.ove-blog.com/ 47

3 PTSI Execices - Mécanique Ex-M7.8 Étude des planètes 1) Pemièe loi de Keple : «Dans le éféentiel de Képle, une planète (point M, masse m) décit une ellipse de foye le soleil (point S, masse M S )». En choisissant coectement la diection des axes Sx et Sy, l équation polaie d une telle tajectoie est : = p 1 + e avec e = c a et p = b a a est de demi gand-axe ; b le demi petit-axe ; c = ΩS ; p le paamète et e l excenticité. L excenticité e, compise ente 0 et 1, donne une indication pécise de la fome de la tajectoie. Plus l excenticité est gande, plus l ellipse est écasée ; au contaie, une excenticité de zéo est celle d un cecle ( = a = b = p). L aphélie (A) est le point de la tajectoie le plus éloigné du soleil et le péihélie (P ) le point le plus poche. Monte que : A = a(1 + e) et P = a(1 e) A F v a e M e θ b Ω a c (R K ) y Les planètes du système solaie ayant une excenticité faible (voie tès faible), pa la suite, nous feons toujous l appoximation d un mouvement ciculaie de cente S et de ayon R pou leus tajectoies (a = b R). Planète Mecue Vénus Tee Mas Jupite Satune Uanus Excenticité 0,056 0,0068 0,0167 0,0934 0,0484 0,054 0,047 Péiode (ans) 0,41 0, ,88 11,9 9,5 84,0 ) Rappele la définition du éféentiel héliocentique. 3) En appliquant le PFD, détemine la vitesse v de la planète en fonction de G, M S et R. 4) Toisième loi de Keple : «T = Cte pou toutes les planètes» a3 4.a) Démonte que la valeu de T R 3 est identique pou toutes les planètes (edémonte la toisième loi de Keple). 4.b) Application de la toisième loi de Képle : Calcule numéiquement les valeus de R en ua (unité astonomique) pou toutes les planètes sachant que pou la tee, R 1 ua. 4.c) Aute application de la toisième loi de Keple : Sachant que 1 an = 365, 5 jous et 1 ua = 1, km, détemine la masse M S du soleil. 5) Calcule alos la valeu numéique de la vitesse v de la tee dans le éféentiel héliocentique. Ex-M7.9 Obite géostationnaie (télécommunications, télévision, météo) Un cops se touvant su une obite géostationnaie possède une péiode de évolution égale à la péiode de otation de la Tee su elle-même (4 h). Il paaît immobile pa appot à la suface de la Tee. L obite est ciculaie.le maintien nécessite des manœuves de coection d obite consommant des egols 1, leu épuisement étant la cause pincipale de fin de vie du satellite. Au 1 e janvie 005, on dénombait 1 14 objets de plus d 1 m su l obite géostationnaie. Pami eux, 346 seulement sont des satellites opéationnels! La ceintue de Van Allen est, pou simplifie, à une altitude compise ente 000 km et 000 km. Elle est constituée de paticules chagées piégées dans le champ magnétique teeste qui aveuglent les équipements des satellites. La masse de la tee est M T = kg et son ayon R T = km. 1) En appliquant le PFD, détemine le ayon R de l obite, puis son altitude h, et véifie qu il n est pas dans la ceintue de Van Allen. ) Détemine les fomules donnant la vitesse et l énegie en fonction de G, R, m sat et M T. 3) En obite, un ésevoi d appoint du satellite explose et lui pocue la vitesse v = 6 km.s Poduits initiaux, sépaés, utilisés dans un système populsif à éaction (constitués d éléments oxydant et éducteu).. James Alfed Van Allen, USA ( ) 48 http ://ateliepepa.ove-blog.com/ jpqadi@gmail.com θ S P x

4 Execices - Mécanique PTSI Est-ce suffisant pou l aache à l attaction teeste? 4) Chute du satellite 4.a) En admettant que les deux fomules établies en ) estent coectes pa la suite, détemine la loi donnant l évolution de R au cous du temps dans le cas du fottement du satellite dans l atmosphèe (de masse volumique ρ) : f = kρ v. On utilisea le théoème de l énegie mécanique. 4.b) Dans le cas d un satellite spot (m sat = tonnes) de coefficient k = 1, usi, à 8 km d altitude la masse volumique de l ai est ρ = kg.m 3. Calcule de combien de mètes le satellite chute en 1 jou. 4.c) S il évoluait à 50 km d altitude, la masse volumique de l ai seait ρ = 6, kg.m 3. Effectue le même calcul et conclue. Rép. : 1) R = km ; h = km ; ) E m = 1 G M T.m sat ( ) R ; 3) E m = m sat.(8, ) > 0 ; 4.a) R(t) = R(0).exp kρ m sat.t ; 4.b) Δz =, 5 m/jou ; 4.c) Δz = 5, 3 km/jous Ex-M7.10 La station spatiale intenationale En faisant l hypothèse que ISS a un mouvement ciculaie (excenticité = 0,00031) et une altitude de 384 km, détemine sa vitesse v ainsi que sa péiode T en fonction uniquement de R T, g 0 = G(R T ) (champ gavitationnel teeste à la suface de la Tee) et R ISS. Effectue les applications numéiques.données : R T = km Rép. : v = g0.r T R ISS et T = 4π R 3 ISS g 0 R T Appoche des obites elliptiques Ex-M7.11 Méthode du vecteu excenticité [d apès école de l ai 1987] On se popose d étudie le mouvement d un satellite autou de la Tee. La seule foce est l attaction newtonienne de la Tee F = μm e. Le satellite M de masse m est epéé pa ses coodonnées polaies et θ. 1) Établi la elation difféentielle liant la vitesse v et e θ. Cette elation s intège sous la fome v = α ( eθ + e ) où e est un vecteu constant appelé vecteu excenticité et α une constante à détemine en fonction de μ et C (où C est la constante des aies). ) Calcule le poduit scalaie v. e θ. En déduie l équation polaie de la tajectoie sous la fome : p (θ) = où e = e et θ 0 = ( e y, e ). 1 + e cos (θ θ 0 ) M7 Expime p en fonction de μ et C. 3) Monte que l on peut expime l énegie totale E sous la fome : E = k (e 1). Expime k en fonction de μ, C et m. Rép : 1) d v dt = μ d e θ C dt v = μ C ( e θ + e ) ; ) k = μ m C Autes execices Ex-M7.1 Expéience de Ruthefod L expéience de Ruthefod est l expéience histoique qui a établi le caactèe lacunaie de la matièe, l essentiel de la masse d un atome étant concentée dans un noyau tès petit devant les dimensions de l atome. On se popose d étudie la déviation angulaie φ de la tajectoie d une paticule α pa un noyau massif de masse M et de chage Ze. Une paticule α est un noyau d hélium de masse m et de chage e (ion hélion). M7 jpqadi@gmail.com http ://ateliepepa.ove-blog.com/ 49

5 PTSI Execices - Mécanique La paticule α aive avec une vitesse v 0 = v 0ex et une odonnée b loin du noyau, situé à l oigine des coodonnées. 1) En supposant la masse M suffisamment gande pou que le noyau massif este patiquement immobile, détemine deux constantes du mouvement de la paticule α. ) En déduie que le mouvement est plan, et détemine la vitesse v 1 loin du noyau massif, apès l inteaction. 3) 3.a) Monte que la composante selon e y de l accéléation de la paticule α peut s expime en fonction de θ et de θ, où et θ epésentent les coodonnées polaies de la paticule α dans le plan de la tajectoie. 3.b) Détemine la composante selon e y de v 1 et en déduie l angle de déviation φ. 4) On épète l expéience de Ruthefod en envoyant su une cible fixe dans le éféentiel du laboatoie et constitué pa une tès mince feuille d o, des hélions d énegie E 0 = 5 MeV. On supposea la masse des atomes d o gande devant la masse des hélions. On obseve une déviation des hélions atteignant 150 au maximum. 4.a) Calcule la valeu minimale b min du paamète d impact. 4.b) Calcule la plus petite distance d appoche 0 d un hélion et d un noyau d o, losque le paamète d impact a pou valeu b min. En déduie une bone supéieue de la valeu du ayon du noyau de l atome d o. Donnée : Numéo atomique de l o Z = 79. Rép : 3.b) tan φ = Ze 4πε 0 mbv0 ; 4.b) b min = 6, m ; 4.b) 0 = 4, m. Ex-M7.13 Foce centale en 1/ 3 (**, à cheche apès avoi tavaillé le este) Un point matéiel M de masse m est soumis, dans un éféentiel galiléen R, à une foce d expession F = a 3 e en coodonnées sphéiques de cente O, a étant une constante positive. À l instant initial, M est à la position M 0 telle que OM 0 = 0 ex, avec une vitesse v0 = v 0 (cos α e x + sin α e y ). 1) Monte que le mouvement est plan et détemine le plan de la tajectoie. ) Monte que la foce F est une foce consevative. En déduie l énegie potentielle E p () dont elle déive (on pende E p ( ) = 0)). Détemine l expession de l énegie potentielle effective E p,eff compte tenu des conditions initiales. 3) 0 étant donné, indique la condition su v 0 pou que le système soit dans un état de diffusion. 4) La paticule est dans un état de diffusion et α = π. a) Établi que = 0v 0 d dθ. En déduie que = 0v 0 u 1 θ avec u(θ) = (θ) et u θ = du dθ. b) Expime la consevation de l énegie mécanique en fonction de la vaiable u et de u θ. En déduie que u véifie l équation : u θ + η u = 0 avec η = 1 a m0. v 0 c) Détemine l équation polaie de la tajectoie compte tenu des conditions initiales. d) Donne l allue de la tajectoie pou η = 0, 1, θ 0 = 0 et 0 = 1 m. Solution Ex-M7.13 1) La foce ( est centale de cente de foce O. Le T.M.C. pou M évalué en O dans le éféentiel ) d L O/R (M) R s écit : = M O ( F ) = OM F = 0, soit L dt O/R (M) = Cte, d expession : R { L L O/R (M) = O/R (M 0 ) = 0 ex mv 0 (cos α e x + sin α e y ) = m 0 v 0 sin α e z OM v M/R = e ( e + θ e θ ) = m θ vez = mc ez avec C = θ = 0 v 0 sin α, la constante des aies. 50 http ://ateliepepa.ove-blog.com/ jpqadi@gmail.com

6 Execices - Mécanique PTSI Le vecteu position OM est othogonal à tout instant à L O, donc à e z, diection fixe de l espace : la tajectoie est donc plane, contenue dans le plan (Oxy) e z. ) Los d un déplacement élémentaie de M, le tavail de la foce F est : δw = a 3 ve (d e + d e ) = a 3 d = de p, avec E p = a (en choisissant l énegie potentielle nulle à l infini). ThmE m : de m = δw NC = 0, soit E m = Cte : le système est consevatif. Le système {M, m} a pou énegie mécanique : E m = E k + E p = 1 mv M/R + E p() = 1 m( + θ ) + E p () = 1 m } {{} E k, + 1 mc + E p () } {{ } E p,eff () D où E p,eff () = 1 mc + E p () = m 0 v 0 sin α a 3) L énegie potentielle s annule à l infini. Le système est donc dans un état de diffusion si son énegie mécanique est positive, ce qui se taduit pa : E m = Cte = E m (0) = 1 mv 0 a 0 a > 0 v 0 > m 0 4.a) Comme la constante des aies s écit : C = L O m = θ = 0 v 0 sin α = 0 v 0 pou α = π, on a : = d dθ θ = ( ) 0v 0 d ( ) dθ 1 Soit : = 0 v 0 u d θ Comme u θ = = 1 d d dθ,on a : dθ dθ = u θ Alos E m = E k, + E p,eff = 1 m + m 0 v 0 a = 1 m 0v0(u θ ) + m 0 v 0 a u 4.b) Puisque E m = Cte 0 = m0 v 0 u θ.u θ + (m 0 v 0 a)u.u θ en déivant pa appot à θ Comme le cas u θ = 0 ne nous intéesse pas (on étudie le mouvement de M), on obtient : ( u θ + 1 a ) m0 u = 0 u v θ + η u = 0 avec η = 1 a 0 m0 v 0 Rq : η est bien défini puisque 1 a m 0 v 0 > 0 d apès la condition su la vitesse établie en 3). 4.c) La solution généale de l équation est : u(θ) = A cos(ηθ) + B sin(ηθ) À t = 0, θ 0 = 0 (puisque OM 0 = 0 ), donc e (0) = e x, e θ (0) = e y Soit { v0 4.d) ey v 0 = (0) e + 0 θ(0) eθ = (0) e x + 0 θ(0) ey Donc : (0) = 0 = 0 v 0 u (θ 0 ) (d apès 4.a)). u(0) = 1 = A D où 0 u θ (0) = 0 = Bη Cl : u(θ) = 1 cos(ηθ) = ( 0 ) cos θ 1 a m0 v jpqadi@gmail.com http ://ateliepepa.ove-blog.com/ 51

7 PTSI Execices - Mécanique DL n o 10 Satellite géostationnaie Le mouvement des satellites atificiels de la Tee est étudié dans le éféentiel géocentiquer G supposé galiléen. Ce éféentiel a pou oigine le cente O et ses axes sont oientés dans la diection de tois étoiles éloignées fixes. Dans le éféentiel géocentique, la Tee toune autou de son axe avec une péiode de évolution T et une vitesse angulaie Ω. On désignea pa M T et R T espectivement la masse et le ayon de la Tee. G est la constante de gavitation univeselle. Données : T = s ; M T = 5, kg ; R T = km ; G = 6, N.m.kg. Un satellite atificiel M de masse m est en obite ciculaie de ayon autou de la Tee. Les fottements dus à l atmosphèe su le satellite sont négligés. 1) Monte qu un satellite atificiel en obite ciculaie autou de la Tee a nécessaiement une tajectoie plane contenant le cente O de la Tee. Méthode : Étude systématique d un poblème de mécanique : cas de mouvement à foce centale. Défini le système étudié. Choisi le éféentiel d étude. Bilan des foces appliquées au système. Le système est-il consevatif? Dit autement, les foces appliquées au système déivent-elles d énegies potentielles? Lesquelles? Le mouvement est-il à foce centale consevative? Auquel cas, l étude d un tel mouvement est systématique : Établi la consevation du moment cinétique : monte que le mouvement a lieu dans un plan fixé pa les conditions initiales su la position et la vitesse du système, et obéit à la loi des aies. Établi la consevation de l énegie mécanique. ) Démonte que le mouvement du satellite autou de la Tee est unifome et expime littéalement sa vitesse v 0. On expimea d abod v 0 en fonction de G, M T et, puis en fonction de g 0, R T et, où g 0 désigne l intensité du champ de pesanteu à la suface de la Tee. Le satellite SPOT (Satellite spécialisé dans l Obsevation de la Tee) est en obite ciculaie à l altitude h = 83 km au-dessus de la Tee. Calcule numéiquement la vitesse v 0 de SPOT su son obite. Méthode : Pécise le nombe de degés de libeté du poblème Détemination des équations du mouvement (pa pojection du PFD dans une base adaptée) Le théoème du moment cinétique ayant été utilisé en 1), on peut utilise le cacactèe vectoiel du Pincipe Fondamental de la Dynamique. Les coodonnées polaies dans le plan de la tajectoie sont adaptées au mouvement à foce centale. L oigine O est au cente de foce. Rappels : Gandeus cinématiques dans le cas généal en base polaie dans un éféentiel R : OM = e v M/R = e + θ e θ a M/R = ( θ ) e + ( θ + θ) e θ Pou une tajectoie ciculaie, les expessions pécédente se simplifient en posant = Cste : OM = e v M/R = θ e θ a M/R = θ e + θ e θ Puisque le poblème s intéesse à la vitesse v = θ du satellite, il est plus judicieux d écie : OM = e v M/R = θ e θ = v e θ a M/R = v e + dv eθ dt 3) L oigine de l énegie potentielle gavitationnelle est choisie nulle à l infini. Expime l énegie mécanique E m du satellite autou de la Tee en fonction de G, M T, et m. Quel est l effet des foces de fottements de l atmosphèe su le ayon de la tajectoie et su la vitesse du satellite? Méthode : Établi (ou eveni su) la consevation de l énegie mécanique en appliquant le Théoème de l énegie mécanique. 5 http ://ateliepepa.ove-blog.com/ jpqadi@gmail.com

8 Execices - Mécanique PTSI 4) Expime l énegie mécanique du satellite immobile à la suface de la Tee en un point de latitude λ en fonction de G, M T, m, R T, λ et de la péiode T de otation de la Tee autou de l axe Sud-Nod. Pouquoi lance-t-on péféentiellement les satellites depuis les égions de basse latitude (Kouou en Guyane fançaise : latitude 5 Nod ; Cap Canaveal en Floide : latitude 8 Nod). Les lance-t-on plutôt ves l Est ou ves l Ouest? Méthode : Le satellite est immobile su la suface de la Tee mais en otation dans le éféentiel géocentique R G. Attention : Ce éféentiel ne toune pas avec la Tee dans le éféentiel de Copenic, ca ses axes sont oientés ves des étoiles éloignées fixes. C est la Tee qui toune autou de l axe des pôles (SN) dans R G. La vitesse du satellite fixe au sol M est donc la vitesse d un point de la suface de la Tee confondu avec lui (un point coïncident) en otation autou de l axe (SN). La tajectoie du satellite est donc ciculaie de ayon R = HM qui s expime en fonction de R T et de λ, dans le plan passant pa H paallèle au plan de l Équateu. Il faut donc écie la vitesse de M en coodonnées polaies (cf. Rappels en 3) ), avec oigine en H, en faisant appaaîte Ω = θ qui est la vitesse angulaie de la Tee autou de son axe. La vitesse angulaie est associée à la péiode de évolution pa quelle elation? N obite hos du plan de l'équateu O obite dans le plan de l'équateu Un satellite atificiel de la Tee est géostationnaie s il est immobile dans le éféentiel teeste : son obite est ciculaie, il suvole constamment le même point de la suface de la Tee. Le satellite Telecom de masse m s = 1 t est en obite ciculaie dans le plan de l équateu. Il est géostationnaie. 5) Peut-on place un satellite géostationnaie en obite en dehos du plan de l équateu? 6) Calcule l altitude h G (ou distance au sol), la vitesse v G et l énegie mécanique E mg du satellite Telecom su son obite géostationnaie. Tous les satellites géostationnaies doivent-ils avoi la même masse? Méthode : Utilise la Toisième loi de Keple : loi pope aux tajectoies ciculaies ou elliptiques d astes tounant autou du même cente de foce et dont l inteaction mutuelle est négligée. L applique ici au cas de satellites en obite autou de la Tee. Cette loi est indépendante de la masse m du satellite. Elle dépend de a, ayon de la tajectoie ciculaie ou demi-gand axe de la tajectoie elliptique. Elle dépend aussi de M T, masse de la Tee associée au cente de foce O. La Tee est cici supposée à symétie sphéique : cema signifie que la épatition de sa masse ne dépend que de. Dans ce cas, la Tee se compote comme un point matéiel situé en O auquel on associe la masse totale M T. 7) Compae les temes E mg, E kg et E pg d un satellite géostationnaie avec les temes coespondants E m0, E k0 et E p0 du satellite immobile à la suface de la Tee dans le plan de l équateu. Solution DL n o 10 1) Système étudié : {M, m}, satellite de la Tee étudié le éféentiel géocentique supposé galiléen R G. Bilan des foces : la seule foce appliqué à M est la foce gavitationnelle : F ext = F = G M T m e = G M T m OM 3 Cette foce est consevative, déivant de l énegie potentielle gavitationnelle : jpqadi@gmail.com http ://ateliepepa.ove-blog.com/ 53 S W H l M

9 PTSI Execices - Mécanique E p,gav = G M T m (en choisissant l oigine de l énegie potentielle pou ). Cette foce est également centale, donc M O ( F ) = OM F = 0. le théoème du moment cinétique appliqué en O dans R G conduit donc à : ( ) d L O/RG (M) L O/RG (M) = Cste = M O ( F ) = O dt R G L O/Rg (M) T = ( OM, v M/Rg ), on en déduit que la tajectoie (constituée pa Comme t l ensemble des points M contenus dans les plans T ) est tout le temps othogonale à une diection constante qui celle de L O/Rg qu on peut libement choisi selon e z. Dès los, la tajectoie de M est contenue dans le plan (Oxy). ) Pou le point matéiel M en mouvement ciculaie dans le éféentiel géocentique, le Pincipe Fondamental de la Dynamique s écit : m a M/RG = F m( θ e + θ e θ ) = G M T m e, soit : m v = G M T m 1 v = v 0 = ctse Mouvement ciculaie unifome m dv GMT = 0 1 v 0 = dt À la suface de la Tee, si l on assimile le champ de pesanteu au champ gavitationnel : mg 0 G M T m RT, d où : GM T g 0 RT. Alos : v 0 = R T g0 = R T g0 R T + h = 7, 44 km.s 1 3) Le satellite n étant soumis qu à une foce consevative, le Théoème de l énegie mécanique s écit : O : D où : de m = δw NC = 0 E m = Cste E k = 1 mv = cste = 1 mv 0 = 1 G M T m E m = E k + E p,gav = E k = 1 G M T m E k = cste = 1 E p,gav Losque des foces de fottements (foces non consevatives qui s opposent au mouvement) appaaissent, le Théoème de la puissance mécanique s écit : de m dt = P NC/RG = f v M/RG < 0 Alos, l énegie mécanique diminue au cous du temps : le ayon de la tajectoie sea de plus en plus faible ( ) et le mouvement toubillonnaie autou du cente de foce se fea avec une vitesse... de plus en plus gande (v )! 4) Losque le satellite est posé su la Tee en un point de latitude λ, son énegie mécanique dans le éféentiel géocentique se compose : de l énegie cinétique d un point matéiel M en otation de ayon ρ = R T cos λ autou de l axe des pôles à la vitesse angulaie Ω : E k = 1 mv M/R G = 1 m(ρω), soit : E k = 1 ( ) π m T R T cos λ 54 http ://ateliepepa.ove-blog.com/ jpqadi@gmail.com

10 Execices - Mécanique PTSI de l énegie potentielle gavitationnelle qui est invesement popotionnelle à la distance dui satellite au cente de foce ( = OM = R T dans ce cas) : E p,gav = G M T m R T D où : E m = E 0 = 1 ( ) π m T R T cos λ G M T m R T On constate que cette énegie mécanique est maximale losque λ = 0, c est-à-die su l Équateu. Puisque le teme d énegie potentielle est indépendant de la latitude (on suppose la Tee pafaitement sphéique), cela veut die qu à l énegie mécanique maximale coespond une énegie cinétique maximale dans le éféentiel géocentique due à la otation de la Tee : E otation k,max = 1 m ( π T R T O, pou lance le satellite, il faut lui founi un supplément d énegie cinétique dans le éféentiel géocentique. Ce supplément sea d autant plus faible que l énegie cinétique du satellite est déjà impotante ce qui est le cas losqu on est à l Équateu. Mais pou bénéficie de cette énegie cinétique maximale à l Équateu dû à la otation de la Tee, il faut bien entendu envoye le satellite dans le sens de otation de la Tee, c est-à-die ves l Est. v sol (λ = 0) = π T R T = 0, 46 km.s 1. 5) Le plan de la tajectoie ciculaie du satellite M doit conteni le cente de foce O (cf. 1 ). Pou qu un satellite géostationnaie soit toujous au-dessus d un même point de la suface teeste, il est impéatif que le plan de sa tajectoie ciculaie soit othogonale à l axe des pôles. Cl : tous les satellites géostationnaies sont contenus dans le plan de l Équateu. 6) Un satellite géostationnaie doit toune dans le plan de l équateu (cf. 5 ) su un cecle de ayon G avec la même vitesse angulaie Ω que la Tee (de manièe à ête en pemanence π au-dessus du même point de la suface de le Tee) : v G = G Ω = G T. GMT Comme, pa ailleus, cette vitesse s écit également (cf. ) : v G =, on en déduit la toisième loi de Képle : ) G v G = GMT G = G π T T 3 G = 4π GM T Sachant que G = R T + h G, on en déduit l altitude d un satellite géostationnaie : G = ( T GM T 4π ) 1/3 = km h G = G R T = km La vitesse de otation du satellite géostationnaie est : v G = G Ω = (R T + h G ) π T = 3, 07 km.s 1 ces ésultat son indépendant de la masse du satellite géostationnaie considéé. On etienda que l altitude de l obite géostationnaie est km. L énegie mécanique du satellite TELECOM dans le éféentiel géocentique est : E mg = 1 mv G }{{} 4, J G M T m = 4, J }{{ G } 9, J jpqadi@gmail.com http ://ateliepepa.ove-blog.com/ 55

11 PTSI Execices - Mécanique ) Ces gandeus sont à compae avec les temes d énegie cinétique de otation et d énegie potentielle gavitationnelle du satellite immobile à la suface de la Tee : ) E m0 = 1 ( π m T R T G M T m = 6, J R T }{{}}{{} 0, J 6, J DL n o 11 Atome de Boh Quantification du moment cinétique En 1913, le physicien danois Niels Boh ( ) imagine un modèle «planétaie» de l atome afin d explique les aies émises pa des atomes d hydogène excités. Ce modèle, aujoud hui obsolète, ne pemit pas d explique les spectes des autes atomes. Une nouvelle physique fut nécessaie : la physique quantique. Dans le modèle de Boh, l atome d hydogène est un système à deux cops ponctuels constitué d un noyau, le poton de masse m p et chage électique +e, et d un électon M, de masse m e et de chage e. La masse du poton étant pès de 000 fois celle de l électon, le poton est considéé comme fixe dans le éféentiel d étude supposé galiléen R g (O, e x, e y, e z ) où l oigine O coespond au noyau de l atome. Données : h = 6, J.s ; ε 0 = 8, C.N 1.m ; Boh [c. 19] c = m.s 1 ; m e = 9, kg ; e = 1, C. Pemie postulat de Boh : L électon se déplace uniquement su cetaines obites ciculaies appelés états stationnaies. Ce mouvement peut ête décit pa la physique classique. D apès Boh, l électon a un mouvement ciculaie de ayon et de vitesse v autou de O. Le champ de pesanteu est négligeable à l échelle atomique et l électon n est soumis qu à la foce d inteaction électostatique : F = e 4πε 0. 1) Monte que le mouvement ciculaie de l électon autou du noyau est unifome et expime v en fonction de, e, m e et ε 0. ) Expime l énegie cinétique E k (), l énegie potentielle d inteaction électostatique E p () et l énegie (mécanique) E() de l électon : E() = E k () + E p (). Deuxième postulat de Boh d apès une idée de Planck : L électon accéléé pa le poton ne peut pas ayonne de façon continue, mais doit attende de passe d une obite pemise n à une aute obite d énegie inféieue m pou émette butalement un ayonnement sous la fome d un photon d énegie : hν n m = E n E m (avec n > m). E n et E m sont les énegies des deux états n et m, h s appelle la constante de Planck et ν n m est la féquence du ayonnement coespondant à la tansition n m. Pou quantifie l énegie de l électon, Boh ajouta un toisième postulat ou condition de quantification : les seules tajectoies ciculaies pemises sont celles pou lesquelles le moment cinétique obital est un multiple entie de la constante de Planck éduite ħ : L O (M) = nħ = n h π. 56 http ://ateliepepa.ove-blog.com/ jpqadi@gmail.com e

12 Execices - Mécanique PTSI 3) Détemine la vitesse v de l électon en fonction de, m e, h et du nombe quantique pincipal n (n entie 1). 4) Les tajectoies stables de l électon sont des cecles de ayons quantifiés pa n tel que : = n 0. Calcule (en pm) le ayon de Boh noté 0. 5) En déduie l énegie totale de l électon quantifiée sous la fome : E n = E 0 n. 6) En supposant l électon dans son état fondamental (n = 1), calcule sa vitesse v 0 et l énegie d ionisation de l atome (l expime en ev : 1 ev = 1, J). L électon est-il elativiste? 7) Détemine l expession littéale de la constante de Rydbeg R H elative à l atome d hydogène et calcule sa valeu sachant que : 1 = ν ( n m 1 = R H λ n m c m 1 ) n (avec n > m et c la vitesse de la lumièe dans le vide). Solution DL n o 11 Système étudié : {M, m, e}, électon dans le éféentiel teeste supposé galiléen R g. Bilan des foces : le poids et l inteaction électostatique execée pa le poton (O). Le poids étant négligeable devant cette denièe foce, on a : F ext = F = e e 4πε 0. Cette foce est centale, donc M O ( F ) = OM F = 0. 1) Le Pincipe Fondamental de la Dynamique appliqué à l électon donne : m e a M/Rg = e 4πε 0 e La base adaptée à une tajectoie ciculaie ( = Cste) et plane est la base polaie ( e, e θ ). e + dv eθ dt L accéléation de l électon dans cette base est : a M/Rg = θ e + θ e θ = v Le P.F.D. s écit donc : v e + dv eθ = e e dt 4πε 0, soit : En pojection selon e θ : dv dt = 0 v = θ = Cste : l électon a un mouvement ciculaie unifome autou du noyau. En pojection selon e : v = e 4πε 0 v = e 4πε0 m e ) L énegie cinétique de l électon dans R g est : E k (M) = 1 mv = e 8πε 0 = E k() Pou détemine l énegie potentielle électostatique, il faut eveni au tavail élémentaie founi pa la foce électostatique F : δw ( F ) = F d OM = e e 4πε 0 (d e + dθ e θ ) = e 4πε 0 d = de p() e D où : E p () = 4πε 0 + Cste, soit, en penant E p( ) = 0 : L énegie totale de l électon est donc : e E p () = 4πε 0 = E k() 1 E() = E k () + E p () = E k () = E p() = e 8πε 0 ( ) jpqadi@gmail.com http ://ateliepepa.ove-blog.com/ 57

13 PTSI Execices - Mécanique ) L expession du moment cinétique de l électon dans R g évalué en O est : L O/Rg (M) = OM m e v = e m e v e θ = m e v e z O, ce moment cinétique est quantifié, d expession : L O (M) = m e v = n h π, h d où la vitesse de l électon : v = n πm e 4) 1 et pemettent d écie : e v = 4πε0 m e = n h πm e Cette équation pemet d établi les ayons des tajectoies ciculaies stables de l électon autou du noyau : = n ε 0h πm e e n 0 3 On en déduit la ayon de Boh qui coespond à la tajectoie de l électon dans son état fondamental n = 1 : 3 5) ( ) E() = e 8πε 0 = e 1 πm e e 8πε 0 n ε 0 h Ainsi : 0 = n = ε 0h = 53 pm πm e e E() = E 0 n avec E 0 = m ee 4 8ε 0 h 4 6) Losque l électon est dans son état fondamental, c est-à-die dans son état de plus basse énegie (n = 1) coespondant à l obite la plus poche du noyau : E() = E 0 = 13, 6 ev Définition : L énegie d ionisation d un atome est l énegie minimale à founi à un atome gazeux X (g) dans son état fondamental pou lui aache un électon. ΔE ion Elle coespond au pocessus : X (g) X + (g) + e (g). Cette définition appliquée à l atome d hydogène : D où : H (g) }{{} État initial : n = 1 +E ion H + (g) + e (g) }{{} État final :n E ion = E(n ) E(n = 1) = E 0 = 13, 6 ev dans l état fondamental, la vitesse de l électon est, d apès et 4 : v 0 = h πm e 0 =,.10 6 m.s 1 Cette vitesse este éloignée de la vitesse de la lumièe dans le vide ( v c pas elativiste. < 0, 1) : l électon n est 7) Pou détemine la constante de Rydbeg, écivons l énegie de l électon dans les deux niveaux quantiques n et m considéés : Niveau supéieu n : E n = E 0 n Niveau inféieu m < n : E m = E 0 m < E n 58 http ://ateliepepa.ove-blog.com/ jpqadi@gmail.com

14 Execices - Mécanique PTSI Losque l atome dans le niveau d énegie supéieu n se désexcite en passant dans le niveau d énegie inféieu m, il libèe un photon d énegie hν n m telle que : Ainsi, le nombe d onde de ce photon est : D où : hν n m = E n E m = E 0 ( 1 m 1 n ) h 1 = E 0 λ n m c ( 1 m 1 n c λ n m ) R H ( 1m 1n ) R H = E 0 c = m ee 4 8ε 0 h c = 1, m 1 Rq : Le succès de la théoie de Boh vient de la coïncidence ente les valeus expéimentales de la constante de Rydbeg et la valeu calculée. Solution Ex-M3.3 Q : Masse de la tee? On tavaille dans le Réféentiel géocentique, supposé galiléen. Système S = {Lune}. Hypothèse : tajectoie ciculaie ca excenticité poche de 0. PFD : m L ( v e + dv ) eθ R dt }{{} Mvmt ciculaie = G M T.m L R e, d où v = G.MT O, pou un mouvement ciculaie : v = Rω = π.r T, donc : M T = 4π G.R3 T = 6, kg Solution Ex-M7.10 On tavaille dans le Réféentiel géocentique, supposé galiléen. Système S = {Station Spatiale Intenationale}. Hypothèse : tajectoie ciculaie ca excenticité poche de 0. PFD : m ISS ( v e + dv ) eθ R ISS dt }{{} Mvmt ciculaie = G M T.m ISS R ISS R e, d où v = G.MT R ISS Déf : le champ gavitationnel en un point M est la foce gavitationnelle que subit un point matéiel placé en M divisée pa sa masse m : F gav G(M) = m Donc, le champ gavitationnel dû à la Tee de masse M T est, à la suface de la Tee : G(R T ) = GM T R T G(R Comme G.M T = G(R T ).RT, on peut écie : v = T ).RT R ISS O, en identifiant pou un cops de masse m quelconque le champ gavitationnel dû à la Tee avec le champ de pesanteu, on a : G(R T ) = g 0 9, 8 m.s, et donc : v = g 0.RT R ISS 7, 7 km.s 1 Comme v = R ISS ω = R ISS. π pou un mouvement ciculaie, on a : T T = 4π g 0.RT.RISS 3 1 h 3 min jpqadi@gmail.com http ://ateliepepa.ove-blog.com/ 59