Les torseurs. 1 Définition. 2 Notation. 3 Opérations sur les torseurs. Lycée Leconte de Lisle

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1 Lcée Leconte de Lisle Les torseurs Définition n considère un champ de vecteurs, noté, qui à tout point associe le vecteur. Les propositions suivantes sont alors équivalentes : Le champ de vecteurs est équiprojectif. Il eiste un unique vecteur tel que :, : = + () Le champ de vecteurs est un torseur ; de résultante :, de moment au point :. et sont appelés les éléments de réduction du torseur au point. emarques : le champ des vecteurs vitesse dans un solide est un torseur (appelé torseur cinématique) :! Ω / tq., : le champ des vecteurs accélération dans un solide n est pas un torseur : V ( /) = V ( /)+ Ω /, : Γ( /) = Γ( /)+ d Ω / dt... + Ω / ( Ω / ) otation n note un torseur définit en par le couple de vecteurs et : T = = coordonnées de dans coordonnées de dans Propriété : le moment d un torseur peut être déterminé en tout point. n a donc :, : T = 3 pérations sur les torseurs = (avec : = + ) Automoment d un torseur : on appelle automoment d un torseur le produit scalaire de ses éléments de réduction. L automoment d un torseur est un invariant scalaire. V5 /6

2 Lcée Leconte de Lisle Soit deu torseurs : Égalité de deu torseurs : Somme de deu torseurs : T = } {T = } } {T = {T ssi } } {T + {T = omoment de deu torseurs : =, : et = } {T = en un point P quelconque on a : + = P = P + P + P Le comoment de deu torseurs est un invariant scalaire. P } } {T {T = = P + P chacune des opérations précédentes nécessite de déterminer les moments résultants des deu torseurs en un même point. elui-ci peut, bien-sûr, être choisi librement. P 4 Torseurs particuliers Torseur nul : un torseur est dit nul s il eiste un point où ses éléments de réduction sont nuls. Ils le sont alors en tout point. P : = Glisseur : un torseur est un glisseur s il eiste un point où son moment est nul. P tq. : G = Torseur couple : on appelle torseur couple un torseur dont la résultante est nulle. Le moment d un tel torseur est indépendant du point où il est déterminé. P : = emarque : l automoment de ces différents torseurs est nul. P P, P V5 /6

3 Lcée Leconte de Lisle 5 Ae central d un torseur Définition : on appelle ae central d un torseur, s il eiste, le lieu des points I où le moment est colinéaire à la résultante du torseur. Si l on considère un torseur : l ae central de Propriétés : T = T est donc l ensemble des points I tels que : I = λ avec L ae central d un torseur { est } une droite dont le vecteur directeur est la résultante du torseur. L ensemble des points I de l ae central de T peut être obtenu par : : I = + µ µ I Le moment du torseur est le même en tout point de son ae central. i.e. : λ! tq. I, n appelle λ le pas du torseur. Et l on à : : λ = Le moment du torseur est minimal sur l ae central (voir figure ). emarques : Le moment sur l ae central d un glisseur est nul. L ae central n est pas défini ni pour un torseur nul, ni pour un torseur couple. I = λ. I = λ I A = I + IA A Figure Torseur; champ de vecteurs V9A 3/6

4 V9A 4/6 Désignation Schéma (normalisation AF) aractéristiques de la liaison D 3D géométriques Encastrement Pivot Glissière aucune ae (, ) direction {V / } ω I liaison sans frottement X L I = X (, ) I (, ) I = v L Lcée Leconte de Lisle Hélicoïdale pas à droite ae (, ) ω I p π ω I (, ) X (, ) I = p π X : «centre» de la liaison : points où le torseur s écrit sous forme canonique I : points où le moment est identique à celui au point Table Liaisons normalisées I =

5 V9A 5/6 Désignation Schéma (normalisation AF) aractéristiques de la liaison D 3D géométriques Pivot glissant otule ou Sphérique à doigt otule ou Sphérique ae (, centre ) doigt d ae (, ) rainure dans un plan de normale centre {V / } ω v I (, ) ω ω ω ω ω liaison sans frottement (, ) I = = I = X L I = = X Lcée Leconte de Lisle Appui plan normale ω v v I (, ) L I (, ) : «centre» de la liaison : points où le torseur s écrit sous forme canonique I : points où le moment est identique à celui au point Table Liaisons normalisées

6 V9A 6/6 Désignation Schéma (normalisation AF) aractéristiques de la liaison D 3D géométriques Linéaire annulaire ou Sphère-clindre Linéaire rectiligne Ponctuelle ou Sphère-plan centre direction droite de contact (, ) normale au plan point de contact normale au plan {V / } ω ω ω ω ω ω ω ω v v v I = v v I = liaison sans frottement I = = (,, ) (, ) I (, ) X I (, ) : «centre» de la liaison : points où le torseur s écrit sous forme canonique I : points où le moment est identique à celui au point Lcée Leconte de Lisle Schémas D : ancienne norme Liaison pivot Liaison hélicoïdale Liaison ponctuelle pas à droite (p>) pas à gauche (p<) Table 3 Liaisons normalisées