Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

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1 Matrices Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K tout tableau rectangulaire d éléments de K comportant n lignes et p colonnes : a, a,2 a,j a,p a 2, a 2,2 a 2,j a 2,p A a i, a i,2 a i,j a i,p a n, a n,2 a n,j a n,p a i,j est le coefficient situé à l intersection de la ième ligne et jème colonne On note A (a i,j i n On dit aussi que A est une matrice (n, p ou une matrice de taille (ou type (n, p 2 L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients dans K se note M n,p (K Si n p on dit que la matrice est carrée et on note M n,n (K M n (K 3 Un élément de M,p (K (resp M n, (K s appelle une matrice ligne ( (resp colonne : 4 La matrice nulle de M n,p (K, que l on note 0 n,p,(ou 0 quand il n y a pas d ambiguité est la matrice où tous les coefficients sont nuls Exemple : A 7 est une matrice à lignes et colonnes Préciser a,4, a 2,3, a 3, Que vaut a 4,2? Deux matrice A et B sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients On note alors A B 2 L espace vectoriel M n,p (K 2 Addition de matrices Soit A (a i,j i n et B (b i,j i n deux matrices de M n,p (K On appelle somme de A et B la matrice de M n,p (K notée A + B définie par A + B (c i,j i n où c i,j a i,j + b i,j pour tout i [, n] et j [, p] Exemple : On somme coefficient par coefficient!

2 22 Multiplication par un scalaire Soit A (a i,j i n une matrice de M n,p (K et λ un élément de K On appelle produit de A par λ la matrice de M n,p (K notée λ A définie par Exemple ( : 3 λ A (λa i,j i n ( 3 3 On multiplie chaque coefficient par λ! Propriétés immédiates Soit A, B, C trois éléments de M n,p (K et λ, µ deux nombres réels A + B B + A ; 0 n,p + A A A + 0 n,p ; A + ( A A A 0 n,p ( A + A 2 (λ + µa λa + µa ; λ(a + B λa + λb ; λ(µa (λµa 3 λa 0 n,p λ 0 ou A 0 n,p On en déduit au niveau du calcul que pour ces opérations tout se passe comme dans K : par exemple, l équation A + X B d inconnue X a une unique solution X B A On verra dans le prochain chapitre d algèbre, que les propriétés de l addition de matrices et celles de la multiplication par un scalaire pourront se résumer par : Théorème L ensemble M n,p (K muni de l addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel 3 Produit de matrices Soit A (a i,j i n une matrice de M n,p (K et B (b i,j i p j m une matrice de M p,m (K On appelle produit de A par B la matrice de M n,m (K notée AB ou A B définie par AB A B (c i,j i n où c i,j a i, b,j +a i,2 b 2,j ++a i,p b p,j j m p a i,k b k,j pour tout i [, n] et j [, p] k Schéma : a i, a i,2 a i,p b,j b 2,j c i,j Exemple b p,j Remarque : L ordre d écriture du produit est important car même si les deux produits AB et BA sont possibles, en général AB BA : Par exemple, avec A ( 0 et B ( 0 2 (, on a AB 0 ( 0 ( 2

3 ( 0 et BA ( 0 ( 2 le produit des matrices n est donc pas commutatif Remarque 2 : Attention, contrairement à ce qui se passe dans K, on peut avoir A 0, B 0 mais AB 0 : ( ( ( ( Par exemple, avec A et B, AB et BA A Propriétés Soit A, B et C des matrices de tailles adéquates et λ K Alors ABC A(BC (ABC λab (λab A(λB λ(ab (A + BC AC + BC et C(A + B CA + CB (distributivité 4 Transposée de matrices Soit A (a i,j i n t A et définie par : une matrice de M n,p (K On appelle transposée de A la matrice de M p,n (K notée t A (c i,j i p où c i,j a j,i pour tout i [, n] et j [, p] j n En d autres termes, t A est la matrice obtenue à partir de A par symétrie, en échangeant les lignes et les colonnes ( 4 Exemple : Soit A Alors t A Propriétés Soit A, B deux matrices de M n,p (K et λ un nombre réel Alors : t (A + B t A + t B t (λa λ t A t ( t A A t (AB t B t A 2 Matrices carrées 2 Matrices carrées particulières On appelle diagonale d une matrice carré A (a i,,j i n les coefficients (a i,i i n j n 2 Une matrice diagonale d ordre n est une matrice de la forme a, a n,n remarque : les coefficients a i,i peuvent être nuls 3 La matrice identité de M n (K, notée I n est la matrice 0 0 I n 0 Elle vérifie : A M n (K, I n A A I n A

4 Exemple : Avec I et A 4 vérifier que AI 3 A I 3 A 0 4 Une matrice triangulaire supérieure (a i,j (resp inférieure est une matrice telle que i > j a i,j 0 (resp i < j a i,j 0 Elle est donc de la forme a, a,2 a,n a,n a, a 2,2 a 2, a 2,2 0 0 (resp a 3,2 an,n a n,n an,n 0 0 a n,n a n,n a n,n a n,n a n,n 5 Une matrice A est symétrique si (i, j [, n], a i,j a j,i Autrement dit si t A A Elle est dite antisymétrique si t A A Remarque On peut facilement montrer que le produit de deux matrices diagonales (resp triangulaires est une matrice diagonale (resp triangulaire 22 Puissances de matrices Soit A M n (K et k un entier On pose A 0 I n et si k, A k A } A {{ A } k fois Exemple : ( 2 ( ( ( ( ( 2 ( Soit D M n (K une matrice diagonale d éléments diagonaux d,, d n Montrer que pour tout p N, D p est encore une matrice diagonale, d éléments diagonaux d p,, dp n preuve par récurrence dans le cas n 3 Soit A M n (K et q, m deux entiers positifs Alors on a A q A m A q+m Remarque Attention! (AB k ABABABAB A k B k AAABBB a priori Mais si AB BA, alors (AB k A k B k Soit A et B M n (K On dit que A et B commutent si AB BA Exemple : pour toute matrice A M n (K, A commute avec I n Théorème Formule du binôme de Newton Soient A et B deux matrices qui commutent Alors pour tout entier n, on a (A + B n n A k B n k k0 ( n k Remarque En particulier, si les matrices commutent, l identité remarquable (A + B 2 A 2 + 2Ab + B 2 est vraie On peut facilement montrer que l autre identité est vraie aussi car alors (A B(A+B A 2 BA+AB B 2 A 2 AB + AB B 2 A 2 B 2 4

5 23 Matrices inversibles Soit A M n (K A est inversible s il existe une matrice B M n (K telle que AB I n et BA I n La matrice B, unique, { est alors appelée inverse de A et est notée A : AA elle vérifie le système I n A A I n L ensemble des matrices inversibles de M n (K est noté GL n (K Théorème (admis Soit A M n (K Si il existe B M n (K telle que AB I n alors A est inversible d inverse B En particulier BA I n Si il existe B M n (K telle que BA I n alors A est inversible d inverse B En particulier AB I n En pratique il suffira donc de trouver B vérifiant l une des deux égalités de la définition Exemples : I n I n I n donc I n est inversible et I n I n Qu en est-il de 0 n? Méthode pour trouver l inverse d une matrice à l aide d un polynôme annulateur Exemple : Soit A M n (K telle que A 2 + 3A + 2I n 0 Montrer que A est inversible et déterminer son inverse Soient A, B deux matrices inversibles de M n (K Alors A est inversible et (A A t A GL n (K et ( t A t (A AB GL n (K et (AB B A En particulier, (preuve par récurrence pour tout entier p, A p est inversible et (A p (A p On note alors cette matrice A p Démonstration Comme A est inversible, on a AA I et A A I donc A inversible d inverse A d après la définition (ou utiliser une seule équation et citer la proposition ci-dessus D où (A A 2 On a AA I n d où par transposition, t (AA t I n càd t (A t A I n D après la proposition ci-dessus, on obtient que t A est inversible d inverse t (A : d où ( t A t (A 3 On vérifie : (AB(B A A(BB A AA I d où AB est inversible d inverse B A Soit A, B deux matrices non nulles de M n (K Si AB 0 n alors ni A ni B ne sont inversibles preuve par l absurde: Supposons que A est inversible Alors A existe, d où AB 0 n A AB A 0 n B 0 contradiction Donc A n est pas inversible De même, B n est pas inversible Règles de Calcul Soit A, B deux matrices de M n (K et soit C GL n (K donc C est inversible AC B A BC et CA B A C B AC BC A B et CA CB A B preuve : AC B ACC BC (mult à droite par C inversible AI n BC A BC ACC A d où A BC De même pour le deuxième (on multipliera à gauche par C 5

6 Attention : si C n est ( plus inversible ( tout peut arriver (! ( 3 0 Par exemple, si A, B et C alors AC BC pourtant A B! Systèmes linéaires et Matrices 3x +y z +t Soit (S le système x +z t 3 2x +2y +3z +2t 0 x 3 Posons les matrices A 0, X y z et Y t Un calcul matriciel simple montre que le système (S est vérifié ssi AX Y Donc la détermination des solutions (x, y, z, t du système (S équivaut à la détermination de la matrice colonne X La matrice A est appelée matrice associée au système (S Théorème Soit A M n (K et soit Y M n, (K une matrice quelconque fixée La matrice A est inversible ssi le système associé (S : AX Y est un système de Cramer Et dans ce cas, l unique solution du système AX Y est X A Y Remarque : Un système est de Cramer ssi son système homogène associé l est Donc si on veut montrer l inversibilité ou la non-inversibilité d une matrice SANS obtenir l éventuelle matrice inverse, il suffit de montrer que le système AX 0 est de Cramer (C est-à-dire prendre Y 0 Deux rédactions possibles On effectue la méthode du pivot sur le système associé 2 On effectue la triangularisation sur la matrice (on peut définir comme pour les systèmes, les opérations élémentaires sur les lignes des matrices, puis (si besoin on passe au système associé pour les remontées successives 2 0 Exemples : Montrer que la matrice B 2 0 n est pas inversible Montrer que la matrice A est inversible, et calculer son inverse 5 3 Cas particuliers des matrices triangulaires : Corollaire Une matrice triangulaire (ou diagonale est inversible ssi tous les termes de sa diagonale sont non-nuls En effet, dans le cas d une matrice triangulaire (ce qui correspond à un système triangulaire, les coefficients diagonaux sont les pivots : et un système est de Cramer ssi tous ses pivots sont non nuls! Dans le cas d une matrice diagonale inversible, on obtient D en prenant les inverses des termes diagonaux de D 2 exemple : D 0 0 Montrer que D est inversible et déterminer D 3 Attention : dans le cas d une matrice T triangulaire quelconque, ne pas inventer de formule pour T! Revenir au système pour faire les remontées successives : 6

7 2 exemple : T Montrer que T est inversible et déterminer T Exemple fondamental ( : les matrices (2, 2 a b Une matrice M est inversible ssi ad bc 0 et dans ce cas, A c d ad bc Démonstration Cas ad bc 0 : Soit vérifier que la matrice A proposée vérifie A A I Soit poser le système associé : réaliser que a et c ne peuvent pas être simultanément nuls (puisque ad bc 0 pour choisir la bonne ligne pivot Cas ad bc 0 : 4 cas à distinguer (a, b (0, 0, (a, c (0, 0 ( d b c a 7

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