M ( ) n,p. Chapitre 15 Matrices et systèmes linéaires. I Généralités. Dans tout le chapitre K désigne le corps R ou C.

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1 PSI 1 hatre 15 Matrces et systèmes léares Das tout le chatre K désge le cors R ou I Gééraltés 1 Défto Défto : Ue matrce est u tableau d élémets de K coteat lges et coloes Notatos : U matrce A est otée A = (a ) ou A = (a, ) (quad o coat et ar le cotexte) et :, 1 1 Les a, sot aelés coeffcets de A a1,1 a1,2 a1, a 2,1 a 2,2 A = a 1, a,1 a, 1 a, O ote M ( ), K l esemble des matrces à lges et coloes sur K 2 Oératos sur les matrces a ombasos léares : S A = (a, ) et = (b, ) sot deux matrces de M ( K),, o déft : la somme de A et ar : A + = (a, + b, ) ; le rodut de A ar u scalare λ ar : ( M ( K), +,, ) 1; et 1; est u K-esace vectorel λ A = ( λ a, ) Pour doés, o aelle E, la matrce de M ( ), K e coteat que des 0, sauf au crosemet de la ème lge et ème coloe où l y a u 1 Prorété et défto : La famlle (E ), 1 1 dmeso fe est ue base de M ( K ) aelée base caoque De lus,, M ( ), K est de b Produt : S,, A = (a ) M ( K) et = (b, ) M,q ( K) sot deux matrces, o déft le rodut A = (c, ) avec : (, ) 1; 1;q,, =,k k, k= 1 c a b

2 PSI 2 Prorétés : Le rodut matrcel est bléare, c est-à-dre que : s A M,( K), l alcato M,q ( K) M,q ( K) ; M AM est léare ; s M,q ( K), l alcato M,( K) M,q ( K) ; M M est léare Le rodut matrcel est assocatf (s l y a leu) 3 Matrces coloes Matrces lges Déftos : Défto : Ue matrce coloe est ue matrce e coteat qu ue seule coloe, u élémet de M ( K),1 Ue matrce lge est ue matrce e coteat qu ue seule lge, u élémet de M ( K) 1, Soet E u K-ev de dmeso, ue base de E et (X 1,X 2,,X ) ue famlle de vecteurs de E La matrce de la famlle (X 1,X 2,,X ) das la base est la matrce de M ( K ) dot la, ème coloe cotet les coordoées de 4 Matrces carrées Déftos : X das la base Ue matrce carrée est ue matrce dot le ombre de coloes est égal au ombre de lges Notato : O ote M ( ) K l esemble des matrces carrées (au leu de M ( K ) ), ( ( K), +, ) Déftos : M est u K-esace vectorel, stable ar rodut Pour A = (a, ) M ( K ), les élémets a, sot aelés élémets ou coeffcets dagoaux de A Ue matrce dagoale est ue matrce carrée dot tous les coeffcets sot uls horms les élémets dagoaux (qu euvet être uls) Ue matrce tragulare suéreure est ue matrce carrée A = (a, ) M ( K ) dot tous les coeffcets e dessous la dagoale sot uls, sot >, a, = 0 Ue matrce tragulare féreure est ue matrce carrée A = (a, ) M ( K ) dot tous les coeffcets au dessus de la dagoale sot uls, sot <, a, = 0 Notatos : Ue matrce dagoale d élémets dagoaux a 1,a 2,,a est otée dag(a 1,a 2,,a ) O ote D ( K ), su f T ( K ) et T ( K ) les esembles des matrces dagoales, tragulares suéreures et féreures resectvemet ( D ( K), +, ), su f ( T ( K), +, ) et ( ( K), +, ) rodut De lus, dm D ( K ) =, T sot des sous-esaces vectorels de M ( ) K, stables ar su f ( + 1) dm T ( K) = dm T ( K ) = 2

3 PSI 3 5 Trasosto Déftos : S A = (a, ) M,( K ), la matrce trasosée de A, otée t A ou T A, est la matrce (a, ) de M ( K ), Prorétés : L alcato de M ( K ) das, M ( ), K qu à A assoce sa trasosée est volutve et léare S Déftos : Sot A M,( K ) et M,q ( K ), alors t (A) t t = A A M ( K ) O s que A est symétrque s t A = A et atsymétrque s t A = A Notato : O ote resectvemet S ( K ) et A ( ) K, les esembles des matrces symétrques et atsymétrques de M ( K ) Les esembles S ( K ) et A ( K ) sot des sev sulémetares de M ( ) K de dmesos resectves ( + 1) 2 et ( 1) 2 II Matrces et alcatos léares 1 Isomorhsme etre M K LK (, K ) et ( ), Sot LK K et otos (e 1,e 2,,e ) et (f 1,f 2,,f ) les bases caoques de u (, ) K et K A toute alcato léare u de ème coordoée de l mage de caoques de K et ue uque alcato léare de L alcato de et Déftos : Sot K das K, o eut assocer ue matrce,, A = (a ) M ( K ) où a, est la e ar u das (f 1,f 2,,f ) O dt que A est la matrce de u das les bases K Récroquemet, à toute matrce K et K LK (, K ) das ( ), K est u somorhsme (dt caoque) A M,( K ), o eut assocer comme c-dessus M K qu à u assoce sa matrce das les bases caoques de A M,( K ) O aelle oyau de A, oté ker A, et mage de A, oté Im A, le oyau et l mage (resectvemet) de l alcato léare de LK (, K ) caoquemet assocée à A K 2 Isomorhsme etre L (E, F) et M ( K ), O eut gééralser la rorété c-dessus S E et F sot deux K -ev de dmesos resectves et, = (e 1,e 2,,e ) ue base de E, = (f 1,f 2,,f ) ue base de F et u L (E, F), alors 1,, o eut écrre u(e ) = a1, f1 + a 2, f a, f As, o eut assocer à u ue matrce A = (a, ) M,( K )

4 PSI 4 Il est clar que la matrce A déed des bases choses, elle est aelée matrce de u das les bases et, otée M, (u) La ème coloe de M, (u) est costtuée des coordoées das la base de l mage ar u du ème vecteur de la base L alcato u M, (u) est u somorhsme de L (E, F) das M ( K ), 3 Ecrture matrcelle de l effet d ue alcato léare sur u vecteur Soet E et F deux K -ev de dmesos resectves et, = (e 1,e 2,,e ) ue base de E, = (f 1,f 2,,f ) ue base de F, u L (E, F) et A = M, (u) = (a, ) x E, o a x = x1e1 + x 2e x e, e otat Et : x1 x2 X = et Y les vecteurs coloes assocés à x et u(x) : x a1,1x1 + a1,2x a1,x a 2,1x1 + a 2,2x a 2,x Y = a,1x1 + a,2x a,x Y = AX 4 Matrce d ue forme léare Soet E u K-ev de dmeso, = (e 1,e 2,,e ) ue base de E, ϕ L(E, K ) ue forme léare sur E O vu que qu alors, l exste scalares a 1,a 2,,a tels que x = x1e1 + x 2e x e E, o a : ( ) ϕ (x) = a x + a x + + a x = a a a La matrce de ϕ das la base est alors la matrce lge ( a a a ) 1 2 x1 x2 x As, les matrces lges s detfet aux formes léares sur E, mu d ue base O eut alors défr la matrce d ue famlle fe de formes léares, das ue base doée S ( ϕ1, ϕ2,, ϕ ) sot formes léares sur E, alors la matrce de cette famlle das ue base doée de E set la matrce de M ( K ) dot les lges sot les matrces des, ϕ 5 Matrce d u edomorhsme Il exste u somorhsme caoque de LK ( ) sur M ( K ) S E est u K -ev de dmeso, = (e 1,e 2,,e ) ue base de E et u L (E), alors o ote M (u) la matrce de u das la base La ème coloe de M (u) est costtuée des coordoées das la base de l mage ar u du ème vecteur de la base L alcato u M (u) est u somorhsme de L (E) das M ( K )

5 PSI 5 6 Produt de matrces et comosto Soet E, F et G tros K-ev de dmesos fes, u L (E, F) et v L (F,G) S, ' et " sot des bases resectves de E, F et G, o a : M (v u) = M (v) M (u), " ', ", ' III Matrces carrées versbles 1 Le groue léare GL ( K ) Défto : Ue matrce Prorété et défto : S Défto : A M ( K ) est versble s l exste M ( K ) telle que A = A = I A M ( K ) est versble, alors la matrce de la défto récédete est uque Elle est aelée verse de A,, otée 1 A L esemble des matrces versbles de M ( ) K est aelé groue léare, oté 2 Matrces versbles et automorhsmes Prorétés : Soet E u K-ev de dmeso et ue base quelcoque de E GL ( K ) A M ( K ) est versble ss l edomorhsme de E assocé à A das est bectf Sot u L (E) u GL(E) ss M (u) GL ( K ) Et das cas, o a M (u ) = 1 1 M (u) S A M ( K ) est tragulare suéreure, alors A est versble s et seulemet s tous ses coeffcets dagoaux sot o uls Prorétés : A M ( K ) est versble s et seulemet s l exste A M ( K ) est versble s et seulemet s l exste M ( K ) telle que M ( K ) telle que A = I A = I 3 Oératos ( GL ( ), ) K est u groue (o commutatf) D où le om «groue» léare 2 De lus, (A, ) GL ( K ), (A) = A Sot A M ( K ) A est versble t A est versble Et das ce cas, o = t 1 t 1 ( A) (A )

6 PSI 6 orollare : S A M ( K ) est tragulare féreure, alors A est versble s et seulemet s tous ses coeffcets dagoaux sot o uls IV hagemet de base 1 Matrces de assage Soet E u K-ev de dmeso, = (e 1,e 2,,e ) et ' = (f 1,f 2,,f ) deux bases de E Alors, 1,, o a f = a1, e1 + a 2, e a, e (les a, état les coordoées de f das ) Défto : Les relatos récédetes défsset ue matrce (a, ) M ( K ) aelée matrce de assage de la base Prorétés : à la base ' Relato de hasles : ' P GL ( K ) et ' " " P P' = P ' 1 (P ) = P ' 2 Effet d u chagemet de base a Effet sur les coordoées d u vecteur : Soet E u K-ev de dmeso, = (e 1,e 2,,e ) et ' = (f 1,f 2,,f ) deux bases de E et x E S (x 1, x 2,, x ) et (x ' 1, x ' 2,, x ' ) sot les coordoées de x das et ' resectvemet, o a : X = PX ' avec x1 x2 X =, x x ' 1 x ' 2 X ' = x ' et P ' = P b Effet sur la matrce d ue alcato léare : Soet E et F deux K-ev de dmesos resectves et, et et u L (E, F) ' deux bases de E, et ' deux bases de F, O ote A = M, (u) M, ( K ), = M ', ' (u) M, ( K ), = 1 Q AP M K et ' P = P ( ) ' Q = P ( ) M K Remarque : Das ce cas, o dt que les matrces A et sot équvaletes as artculer : S ϕ est ue forme léare sur E, de matrces lges L et L' das et récédetes, ϕ (x) = LX = L'X ' doc LPX ' = L 'X ' et : L' = LP ', o a, x E avec les otatos

7 PSI 7 c Effet sur la matrce d u edomorhsme : Soet E u K-ev de dmeso, et ' deux bases de E et u L (E) S o ote A = M (u) ( ) = M (u) M ( K ) et M K, ' ' P = P ( ) M K, alors : = 1 P AP Défto : Soet A et deux matrces de M ( ) K O dt que A et sot semblables, s l exste que 1 = P AP P GL ( K ) telle (A, P) M ( K) GL ( K ) et k N, = 1 k 1 k (P AP) P A P V Oératos élémetares sur les matrces 1 Déftos Sot A M,( K ) Notos L 1,L 2,, L les lges de A et 1, 2,, ses coloes Déftos : O aelle oératos (ou maulatos) élémetares sur les lges de A les maulatos suvates : - multlcato d ue lge L ar u scalare α o ul (codage : L α L ) ; - addto d u multle d ue lge α L à ue autre, L (codage : L L + α L ) ; - échage de deux lges L et L (codage : L L ) O aelle oératos (ou maulatos) élémetares sur les coloes de A les maulatos smlares sur les coloes (codées : α, + α et ) 2 Iterrétato e termes de roduts matrcels S A = (a, ) M,( K ) Et : Multler la ème lge L de A ar α 0 (oérato : L α L ) revet à trasformer A e D ( α )A D ( α ) = I + ( α 1)E avec, Addtoer T, ( )A α L à la ème lge L de A (oérato : L L + α L ) revet à trasformer A e T ( α ) = I + α E α avec,, Echager les ème et ème lges L et avec X, = I E, E, + E, + E, Multler ue coloe Aouter L de A (oérato : L L ) revet à trasformer A e X, A de A ar α 0 (oérato : α ) revet à trasformer A e AD ( α ) α à la ème coloe de A (oérato : + α ) revet à trasformer A e AT, ( α ) Echager les coloes et de A (oérato : ) revet à trasformer A e AX,

8 PSI 8 Déftos et rorétés : Les matrces du tye D ( α ) = I + ( α 1)E, avec α scalare o ul sot aelées matrces de dlatato 1 1 Elles sot versbles, d verse D = I + 1 E, α α Les matrces du tye T, ( α ) = I + α E, avec et α scalare o ul sot aelées matrces de trasvecto Elles sot versbles, d verse T, ( α ) = I α E, Les matrces du tye X, = I E, E, + E, + E, sot aelées matrces de trasosto Elles sot versbles, d verse elles-mêmes Effectuer ue oérato élémetare sur les lges (res sur les coloes) revet à multler A à gauche (res à drote) ar ue matrce d oérato élémetare (versble) Déftos : Deux matrces A et A ' sot dtes équvaletes ar lges s elles se déduset l ue de l autre ar ue sute d oératos élémetares sur les lges O ote alors A ~ A ' Deux matrces A et A ' sot dtes équvaletes ar coloes s elles se déduset l ue de l autre ar ue sute d oératos élémetares sur les coloes O ote alors A ~ A ' Deux matrces A et sot équvaletes ar lges (res ar coloes) s et seulemet s l exste ue matrce E, rodut de matrces d oératos élémetares telle que = EA (res = AE ) 3 Echeloemet et algorthme du vot de Gauss-Jorda a Matrces écheloées : Déftos : Ue matrce est dte écheloée ar lges s elle vérfe les deux rorétés suvates : S ue lge est ulle, toutes les lges suvates le sot auss ; A artr de la deuxème lge, das chaque lge o ulle, le remer coeffcet o ul à artr de la gauche est stué à drote du remer coeffcet o ul de la lge récédete O aelle vot le remer coeffcet o ul de chaque lge o ulle Ue matrce écheloée e lges est dte écheloée rédute ar lges s elle est ulle ou s tous ses vots sot égaux à 1 et sot les seuls élémets o uls de leur coloe b Algorthme du vot de Gauss-Jorda : Théorème et défto : Toute matrce o ulle est équvalete ar lges à ue uque matrce écheloée rédute ar lges Autremet dt, our toute matrce A M,( K ), l exste ue matrce E GL ( K ), rodut de matrces d oératos élémetares sur les lges et ue uque matrce écheloée rédute ar lges R M, ( K ) telles que A = ER La sute d oératos élémetares sur les lges ermettat de asser de A à R est aelée algorthme du vot de Gauss-Jorda orollare : Sot A M ( K ) O eut trasformer A e ue matrce tragulare suéreure ar ue successo d oératos élémetares sur les lges uquemet L

9 PSI 9 4 Alcato à l verso d ue matrce carrée Sot A M ( K ) A est versble VI Rag d ue matrce 1 Défto Défto : A ~ I Sot A M,( K ) Le rag de A, oté rg(a), est le rag de l alcato assocée à A Prorétés : Soet E et F deux K-ev de bases resectves et S 1 2 r L u (, ) (x, x,, x ) est ue famlle de E, o a rg(x, x,, x ) rg( M (x, x,, x )) S u (E, F) 2 Rag et versblté Sot Sot L, o a rg(u) rg ( M, (u)) = A M ( K ) A est versble s et seulemet s rg(a) = A GL ( K ) M M,( K ), o a rg(am) = rg(m) M M, ( K ), o a rg(ma) = rg(m) orollare : = 1 2 r 1 2 r Deux matrces équvaletes ar lges ou ar coloes ot le même rag 3 aractérsato a Rag d ue matrce écheloée : Le rag d ue matrce écheloée ar lges est égal au ombre de ses vots b Rag d ue matrce quelcoque : LK K caoquemet Le rag d ue matrce A M,( K ) est égal au ombre de vots de la matrce obteue e trasformat A e ue matrce écheloée ar lges ar ue successo d oératos élémetares sur les lges c Autre méthode de caractérsato : Notato : Les eters et état fxés, our tout eter r féreur à et, o ote J,,r la matrce ( α, ) de M ( ), K défe ar, α 1 s = r = 0 das tous les autres cas

10 PSI 10 Théorème : Sot orollares : Sot A M,( K ) A est de rag r s et seulemet s l exste 2 M,K O a rg(a) (A, ) ( ) telles que = UAV Sot A M,( K ) O a t rg( A) = rg(a) A = UJ,,rV U GL ( K ) et V GL ( K ) telles que : = rg() s et seulemet s l exste U GL ( K ) et V GL ( K ) VII Systèmes léares 1 Déftos et terrétatos Déftos : Ue équato léare à coues est ue équato de la forme : a1x1 + a 2x a x = b1 U système léare à coues et équatos est u système de la forme : a1,1x1 + a1,2x a1,x = b1 a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 2,1 1 2,2 2 2, 2,1 1,2 2, où les x 1 sot les coues et les a, et b sot des scalares fxés Le système (léare) homogèe assocé est le système : Ue soluto d u système léare est u -ulet de a1,1x1 + a1,2x a1,x = 0 a 2,1x1 + a 2,2x a 2,x = 0 a,1x1 + a,2x a,x = 0 Résoudre le système est chercher l esemble de ses solutos Iterrétato matrcelle : K qu vérfe le système Pour u système léare (S) tel que c-dessus, s o ose A = (a, ) M,( K) et = (b ) M,1( K ), le système se récrt : AX = où l coue est X M,1( K ) ( ( ) M,1 K état c detfé à Déftos : K ) Avec les otatos c-dessus, A est la matrce assocée à (S), est aelé le secod membre du système Le système homogèe assocé, AX 0 =, est dt sas secod membre La matrce A à laquelle o raoute our derère coloe est aelée matrce augmetée, otée (A )

11 PSI 11 Iterrétato vectorelle : S o ote 1, 2,, les vecteurs coloes de A, alors le système s écrt : x11 + x x = Iterrétato e termes d alcatos léares : S o aelle u l alcato léare de K das K caoquemet assocée à A, et b le vecteur de coordoées (b 1, b 2,,b ) das la base caoque de K, alors le système se récrt : u(x) = b avec x vecteur cou de K (cf les équatos léares vues das le chatre d algèbre) 2 Oératos élémetares sur les lges, systèmes équvalets K de Les oératos élémetares sur les lges d u système sot défes et otées de la même maère que les oératos élémetares sur les lges d ue matrce : multlcato d ue lge addto d u multle d ue lge échage de deux lges Défto : L ar u scalare α o ul (codage : L L L et α ) ; α L à ue autre, L (codage : L L + α L ) ; L (codage : L L ) Deux systèmes sot dts équvalets s o eut asser de l u à l autre ar ue sute fe d oératos élémetares sur les lges Deux systèmes équvalets ot le même esemble de solutos 3 Résoluto a Systèmes écheloés, coues rcales et secodares : Déftos : O dt qu u système est écheloé s sa matrce assocée est écheloée ar lges Das u tel système, le remer coeffcet o ul d ue lge est ecore aelé vot Das u système écheloé, les coues que multlet les vots sot aelées coues rcales les autres coues sot aelées coues secodares ou aramètres Tout système est équvalet à u système écheloé b Systèmes comatbles et comatbles : Déftos : O dt qu u système écheloé est comatble s l cotet ue lge sas coue résetat ue égalté fausse O dt qu u système est comatble s l est équvalet à u système écheloé comatble Das le cas cotrare, o dt que le système est comatble Prorétés : U système léare est comatble s et seulemet s l admet as de soluto U système léare est comatble s et seulemet s l admet au mos ue soluto

12 PSI 12 c Rag d u système : Défto : Le rag d u système léare (S) est le rag de la matrce A assocée au système Prorétés : Deux systèmes équvalets ot même rag Le rag d u système écheloé est égal au ombre de ses vots Le rag d u système est égal au ombre d coues rcales Le ombre de aramètres est égal au ombre d coues mos so rag d Esemble des solutos d u système : Sot (S) u système léare à coues et équatos de rag r et (S o ) le système homogèe assocé L esemble F des solutos de (S o ) est u sous-esace vectorel de K de dmeso r L esemble F des solutos de (S) est sot vde, sot de la forme F = xo + F = { xo + x \ x F} où x o est ue soluto artculère de (S) 4 Systèmes de ramer Prorété et défto : Avec les otatos récédetes, s r = =, alors le système (S) admet ue uque soluto et das ce cas o dt que c est u système de ramer

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