Table des matières. Cours PCSI ( ) Les matrices Lycée Baimbridge

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1 Table des matières Introduction...2 I- Opérations sur les matrices s et ensembles de matrices Structure d'espace vectoriel de Mnp(K)...4 a- Somme de deux matrices de même dimension...4 b- Multiplication d'une matrice par un scalaire...6 c- Structure d'espace vectoriel Le produit de deux matrices...7 a- Multiplication d'une matrice par un vecteur colonne...7 b- Multiplication de deux matrices...8 c- Propriétés du produit Structure d'anneau de Mn(K)...9 a- Structure d'anneau non commutatif, non intègre...9 b- Puissance d'une matrice et binôme de Newton pour des matrices qui commutent...12 II- Matrices carrées inversibles s et exemples Le groupe linéaire...15 III- Transposition et exemples Structure d'espace vectoriel des matrices symétriques et antisymétriques...18 Conclusion : /19

2 Introduction «Les matrices : des tableaux de nombres pour représenter le monde» Tangente hors série n 44. Économie, électronique, astronomie, graphisme, jeux. Chiffrement des données, l'infographie, l'imagerie médicale, la résolution d'équations linéaires simultanées, mécanique quantique (structure de l'atome), équilibre des corps rigides en physique, théorie des graphes, théorie des jeux, réseaux électriques. Démographie évolution d'une population. Les Chinois connaissaient les carrés magiques avant Jésus-Christ. Généralité de l'algèbre : extension des lois de composition interne à d'autres objets que des nombres. À l'origine matrice et déterminant liés. Gauss utilise une substitution linéaire. Terme «déterminant» dû à Cauchy. James Sylvester ( ) emploie le terme matrice en 1850, dans son article «On a New Class of Theorems». Membre de la Royal Society, American Journal of Mathematics. Arthur Cayley ( «A memoir on the theory of Matrices». Chaque année 40% quitte la capitale et 20% du reste de l'île vient dans la capitale. U n = ( x n y n) U n+1 = A U 0,6 0,2 n Avec A=( 0,4 0,8). U = n An U 0. lim n A =(1 n ) 3 À 2 l'équilibre. 2/19

3 I- Opérations sur les matrices Dans tout le cours K désigne R ou C. 1- s et ensembles de matrices. d'une matrice. Soit (n, p) N N. Une matrice A de n lignes et p colonnes à coefficients dans K est une famille d'éléments de K indexée par 1, n 1, p. A=(a ij ) 1 i n. 1 j p Notation matricielle : A=(a 1,1 a 1,2... a 1, p a 2,1 a 2,2... a 2, p a n,1 a n,2... a n, p) Remarque : a i, j est le terme situé à la i ème ligne et à la j ième colonne. Notation : M n, p ( K) est l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K. Cas particuliers : p=1 : matrice colonne. La matrice peut être identifiée dans ce cas à un vecteur de K n. C'est une n -liste d'éléments de K, ou un n-uplet d'éléments de K. n=1 : matrice ligne. Vecteurs colonnes, vecteurs lignes d'une matrice. n= p : matrice carrée d'ordre n. M n (K) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n. Parmi les matrices carrées on a : Une matrice diagonale est une matrice carrée telle que tous ses coefficients situés hors de la diagonale sont nuls. i j a i, j =0. D n ( K) 3/19

4 : Les matrices triangulaires supérieures d'ordre n sont les matrices carrées d'ordre n qui vérifient : i> j a i, j =0. L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note : T n ( K) : Les matrices triangulaires inférieures d'ordre n sont les matrices carrées d'ordre n qui vérifient : i< j a i, j =0 Exemples : Matrice nulle. O n, p. (i, j), a i, j =0 Matrice identité : I n =δ i, j. i j a i, j =0 et i, 1 i n,a i,i =1 (E k,l ) i, j =δ k, i δ l, j : un 1 à la k ème ligne et l ième colonne et des 0 partout ailleurs. 2- Structure d'espace vectoriel de M np (K) a- Somme de deux matrices de même dimension. Soient (A, B) (M n, p (K)) 2, la matrice A+ B M n, p (K ) est définie par : (A+B) i, j =a i, j +b i, j Remarque : on ne peut additionner que des matrices de même taille. Exemples : 4/19

5 Propriétés (1) L'addition est associative : A+(B+C)=( A+B)+C L'addition est commutative. A+ B=B+ A L'addition possède un élément neutre : O n, p : A+O n, p =O n, p + A=A Tout élément admet un symétrique. La symétrique de A est la matrice (A)=(a i, j ). A+(A)=( A)+ A=O n, p. (M n, p ( K),+) est un groupe commutatif. Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne : (a,b) G 2 :a b G associative. (a,b,c) G 3,a (b c)=(a b) c qui possède un élément neutre e. a G, a e=e a=a. tel que tout élément admette un symétrique. a G, a 1 G :a a 1 =a 1 a=e 5/19

6 b- Multiplication d'une matrice par un scalaire. Soient λ un scalaire (λ K) et A M n, p ( K). La matrice λ A M n, p (K) est définie par : (λ A) i, j =λ a i, j Exemples : Propriétés (2) (α+β) A=α A+β A α ( A+B)=α A+α B 1 A=A α (β A)=(α β) A On a aussi : 0 A=O n, p et α O n, p =O n, p c- Structure d'espace vectoriel. Propriété : (M n, p ( K),+,.) est un K espace vectoriel. : Soient K un corps commutatif et E un ensemble muni d'une loi de composition interne + et d'une loi de composition externe. K E E. On dit que le triplet (E,+,.) est un espace vectoriel si : (E,+) est un groupe abélien. Si la loi externe. vérifie les 4 propriétés suivantes : (λ,µ) K 2 et (u,v) E 2 : (1) λ ( u+v)=λ u+λ v (distributivité scalaire) (2) (λ+µ). u=λ. u+µ. u (distributivité vectorielle) (3) (λ µ) u=λ (µ u) (associativité) (4) 1 u=u (axiome de l'identité) 6/19

7 Remarques : Les éléments de K sont les scalaires (d'où le terme produit scalaire) et ceux de E les vecteurs. On dit que E est un K espace vectoriel. Propriétés : 0 u=0 λ 0 E =0 E λ u=0 λ=0ou u=0 E (1) u=u (λµ) u=λ uµ u λ (uv)=λ u λ v n u= u+u+...+u n fois 3- Le produit de deux matrices. a- Multiplication d'une matrice par un vecteur colonne. Soit : A=(a i, j ) M n, p (K ) et X M p,1, alors Y =A X M n,1 est défini par : p i, 1 i n: y i = a i, j x j. j=1 Exemples. Application : traduction matricielle d'un système linéaire : AX =B Propriétés : A 0 p,1 =O n,1 O n, p X =O n,1 I n X = X 7/19

8 Démonstration : p i, 1 i n: y i = j=1 Propriétés : linéarité. p a i, j x j = δ i, j x j. Et δ i, j 0 quand j=i. y i =δ i,i x i =x i. j=1 A (λ 1 X 1 +λ 2 X 2 )=λ 1 A X 1 +λ 2 X 2 (λ 1 A 1 +λ 2 A 2 ) X =λ 1 A 1 X 1 +λ 2 A 2 X 2 b- Multiplication de deux matrices. Remarque : Pour effectuer A B, il faut que le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B. La j ième colonne de AB est le produit de A par la j ième colonne de B. La i ème ligne de AB est le produit de la i ème ligne de A par B. Soient : A M n, p et B M p,q. Alors C= A B est définie par : Exemples : p c i, j = k=1 a i,k b k, j 8/19

9 c- Propriétés du produit. Pourvu que les opérations puissent être définies : Associatif : A ( B C)=( A B) C Distributif par rapport à l'addition. A (B+C)=A B+ A C (A+B) C= A C+ A C I n A=A A I n =A. λ (A B)=( λ A) B=A (λ B) A O=O et O A=O Démonstration : p c i, j = k=1 C= A B B=I p p a i,k b k, j = a i, k δ k, j et δ k, j 0 k= j. Et : c i, j =a i, j δ j, j =a i, j. k=1 4- Structure d'anneau de M n (K) a- Structure d'anneau non commutatif, non intègre. Dans M n (K) la multiplication est une loi de composition interne. : Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + et qui vérifient. (A,+) est un groupe abélien. est associative. possède un élément neutre. est distributive par rapport à +. Propriété : (M n (K ),+, ) est un anneau. 9/19

10 Propriété : il n'est pas commutatif. En général : A B B A. Exemples : A=( ) ( ; B= ) ( ) ( ) ( = ) ( et ) ( ) ( = ) Remarque : en général A B B A, mais certaines matrices commutent. Les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices. (Ce sont les seules matrices qui vérifient cette propriété). Propriété : Ce n'est pas un anneau intègre. On peut avoir A O et B O et : A B=O Exemples : matrices diagonales, matrices nilpotentes, matrice de rang 1 de taille 2. ( ) ( ) ( = ) Matrice nilpotente. A=( ) =( Et A ) Propriété : les matrices diagonales, triangulaires supérieures, et inférieures forment des sousanneaux de M n, p ( K).(stable par l'addition, stable par multiplication) :(*) A' est un sous-anneau de (A,+,x) si : A' est un sous-groupe (A,+) Stable par x. qui contient l'élément neutre 1. 10/19

11 Propriété le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale et les diagonales se multiplient terme à terme. Démonstration : Soient A= Diag(α 1,α 2,.,α n ) et B=Diag(β 1,β 2,.,β n ) deux matrices diagonales, C= A B=(c ij ). On a : c i, j = n k=1 a i,k b k, j. Montrons que les termes qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls : Si i j a i,k 0 k=i et lorsque k=i alors k j et b k, j =0. a i,k 0 b k, j =0 Et i j c i, j =0. Montrons que les diagonales se multiplient terme à terme. n c i, i = a i, k b k, i k=1 éventuellement le terme qui correspond à k=i. Et a i,k 0 k=i. Dans la somme tous les termes sont nuls sauf Propriété : c i, i =a i,i b i,i Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure, et les diagonales se multiplie terme à terme. Démonstration : Soient (A, B) (T n (K)) 2. A et B sont deux matrices triangulaires supérieures. Montrons que C= A B est une matrice triangulaire supérieure, c'est à dire que : i> j c i, j =0. Soient 1 i n et 1 j n tels que : i> j, montrons que c i, j =0. 11/19

12 n c i, j = k=1 a i,k b k, j. k<i a i, k =0 a i, k b k, j =0. i k j<k b k, j =0 a i, k b k, j =0. On a démontré que : i> j c i, j =0. C= A B est une matrice triangulaire supérieure. Montrons que les diagonales se multiplient terme à terme. n c i, i = a i, k b k, i k<i a i, k =0 Et k>i b k,i =0. k=1 Le seul terme de la somme correspond à k=i et : c i, i =a i,i b i,i. Exemples : b- Puissance d'une matrice et binôme de Newton pour des matrices qui commutent. A 0 =I n, et on définit par récurrence : A k = A A k1 =A k1 A (car le produit est associatif). Remarques : - (k,k ') N 2, A k et A k ' commutent. (A k )( A k ' )=(A k ' )( A k )=A k+k ' - S'il existe k 0 tel que : A k =0, A une matrice nilpotente. On peut avoir A k =0 avec A une matrice non nulle. Propriétés : k N, I n k = I n et (λ A) n =λ n A Cas des matrices diagonales : Diag(λ 1,λ 2,.,λ n ) k =Diag(λ 1 k,λ 2 k,.,λ n k ). Remarque : en général on n'a pas de formule directe pour calculer la puissance d'une matrice. Méthode classique, on diagonalise la matrice (voir algèbre linéaire). 12/19

13 Théorème ; formule du binôme de Newton pour des matrices qui commutent. Si A et B commutent : A B=B A, alors : p N,( A+B) p = Démonstration : p k=0 ( p k) Ak B pk. Par récurrence, comme pour (a,b) C 2, car les règles de calcul sont les mêmes. Remarque : I n commutent avec toutes les matrices. Théorème : A M n ( K),( I n +A) p = p k=0 ( p k) Ak (très utile si A est nilpotente) Si A et B commutent : A B=B A, alors :. A p B p =( AB)( p1k) A k B. k=0 p1 Remarque : A p+1 B p+1 =( AB)( pk) A k B. k=0 p Théorème : A M n ( K), (I n A)(I n + A+...+ A p )=I n A p+1 13/19

14 II- Matrices carrées inversibles 1- s et exemples Remarque : dans M n (K) toutes les matrices non nulles ne sont pas inversibles, contrairement aux ensembles de nombres. (structure de corps). Une matrice carrée A M n (K) est inversible s'il existe A ' M n (K) qui vérifie : A A'=A ' A=I n Si elle existe A ' est unique. C'est l'inverse de A noté : A '= A 1. Remarque : on démontrera qu'une seule condition suffit. Démonstration de l'unicité. On suppose qu'il existe 2 matrices qui vérifie : A A'=A ' A=I n et A A' '= A' ' A=I n (A ' A) A ' '=I n A' '= A' ' et : (A ' A) A ' '=A '(A A ' ')= A' I n =A ' et A '= A' '. Exemples : I n 1 = I n La matrice nulle n'est pas inversible. Si une matrice a une ligne nulle ou une colonne nulle, elle n'est pas inversible. Avoir des lignes et des colonnes non nulles est une condition nécessaire pour être inversible, mais pas suffisante. S'il existe B non nulle tel que A B=0 ou B A=0 alors A n'est pas inversible. Inverse d'une matrice diagonale qui a tous ses termes diagonaux non nuls, d'une matrice scalaire. D= Diag(λ 1,.,λ n ) Avec i, 1 i n, λ i 0. D 1 = Diag( 1 λ 1,., 1 λ n). On peut vérifier que le produit donne I n. Remarque : une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si tous les termes de la diagonale sont non nuls. Dans ce cas, l'inverse est une matrice triangulaire supérieure et les termes de la diagonales sont les inverses des termes de la diagonales de la matrice initiale. 14/19

15 Remarque : on aura une caractérisation des matrices inversibles par un déterminant non nul. 2- Le groupe linéaire. L'ensemble des matrices inversibles d'ordre n est le groupe linéaire d'ordre n noté : GL n (K). Propriétés : I n Gl n (K) (A, B) GL n (K) 2 A B Gl n ( K) et (A B) 1 =B 1 A 1. A Gl n ( K) A 1 Gl n (K) et (A 1 ) 1 =A. Propriété : (Gl n ( K), ) est un groupe. Corollaire : A GL n (K) p N, A p GL n (K)et(A p ) 1 =( A 1 ) p Théorème : Si A GL n (K), alors : AX =B admet une solution unique qui est : X =A 1 B. Remarque : les matrice inversibles sont régulières :Si A GL n (K), AB=AC B=C. Cette propriété n'est vraie que si la matrice est inversible. 15/19

16 Théorème : La matrice A=( a b c d) Dans ce cas : A 1 = adbc( 1 d b c a ) est inversible si et seulement si : ad bc 0. Démonstration : Soit B=( d b c a ). On vérifie que : A B=B A=(adbc) I n. Si (adbc) 0 et A est inversible et A 1 = ( 1 adbc) B. Si ad bc=0, alors A B=0. Si A est la matrice nulle, alors elle n'est pas inversible. Si A est non nulle, B non nulle telle que A B=0, donc A est non inversible. On a prouvé : ad bc=0 A Gl n (K). La contraposée donne : A Gl n ( K) adbc 0. Remarque : méthode. Pour prouver que P 1 et P 2 sont équivalentes, on peut prouver que : Exemple : P 1 P 2 et non P 1 non P 2 A=( ) =2 donc A est inversible et : A 1 = (2)( ) = 1 2( ) 16/19

17 III- Transposition 1- et exemples Soit A M n, p ( K), la matrice transposée de A, notée que : t A est la matrice de M p,n ( K) telle ( t A) i, j =(A) j,i Remarque : pour passer de A à sa transposée, les lignes de A deviennent les colonnes de la transposée. On peut aussi utiliser : les colonnes de A deviennent les lignes de la transposée. Si A n'est pas une matrice carrée, A et sa transposée n'ont pas la même taille. Exemples : A=( ) t ( A)=( ) Propriété : t ( t A)=A Propriété : linéarité de la transposée. t (α A+β B)=α t A+β t B Propriété : t ( A B)= t B t A Propriété : Si A GL n (K),alors t A GL n (K) et ( t A) 1 = t ( A 1 ) Démonstration : A A 1 =I n t ( A A 1 )= t I n t ( A 1 ) t A= I n De même : A 1 A=I n t ( A 1 A)= t I n t A( A 1 )= I n On a démontré que : t A est inversible et ( t A) 1 = t ( A 1 ). t A t (A 1 )= t ( A 1 ) t A= I n. 17/19

18 2- Structure d'espace vectoriel des matrices symétriques et antisymétriques. s : A M n (K) est symétrique si t A=A A M n (K) est antisymétrique si t A=A. Exemples : A=( ) ( est symétrique. B= ) est antisymétrique. Propriété : une matrice antisymétrique a sa diagonale nulle. Propriété Les ensembles des matrices symétriques S n ( A) et antisymétriques A n ( K) d'ordre n sont des sous-espaces vectoriels de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n. Un sous-espace vectoriel est une partie d'un espace vectoriel non vide et stable par combinaisons linéaires. Propriété Toute matrice se décompose de façon unique comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. A= A+t A + A t A 2 2 Démonstration : unicité car la seule matrice qui est à la fois symétrique et antisymétrique est la matrice nulle. 18/19

19 Conclusion : Les notions de matrices diagonales, scalaires, triangulaire supérieures (ou inférieures), puissances, inversibles, symétriques, antisymétrique ne sont valables que pour des matrices carrées. Les matrices forment un nouvel ensemble. Les règles de calcul sont «pratiquement» les mêmes que pour les ensembles de nombres. M n, p ( K) est un anneau. La multiplication n'est pas commutative. La formule du binôme de Newton reste valable, pour deux matrices qui commutent. Le produit de deux matrices non nulles peut être nulle. On peut avoir : AB=AC et B C, si la matrice A n'est pas inversible. 19/19

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