On conclut : B 1. mpsi. 3 Calculer le déterminant suivant : 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0. Indication : Si A et C sont des matrices carrées, alors : A B

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1 Khôlles MPSI Calcul matriciel - Déterminant Sujet A mpsi Correction Calculer A 100, avec A = On a A = = I + 4J avec J = On a J 2 = A 100 = (I + 4J) = I + 400J = Calculer l inverse de la matrice carrée suivante : B = 2 1 Par la méthode du pivot : on opère sur les lignes d une matrice de blocs B et I n pour transformer B en I n On sait qu alors le bloc I n sera transformé en B L 2 L 2 2L 1 L 3 L 3 + L 1 L 3 L 3 + L 2 L 2 L 2 L 3 L 3 L 1 L 1 L 3 L 2 L 2 L On conclut : B 1 0 = Calculer le déterminant suivant : a = 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 Indication : Si A et C sont des matrices carrées, alors : A B = det A det C 0 C Les opérations élémentaires : L 3 L 3 a 2 L 1 L 2 et L 4 L 4 b 2 L 1 L 2 nous donnent : a = 2 b a 2 c 2 a 2 b c 2 b 2 a 2 2 b 2 Si l on pose : et A = C = alors, on a : B = ( 1 ) 1 a 2 b 2 2 a 2 c 2 a 2 b 2 c 2 b 2 a 2 2 b 2 A B = = det A det C = det C 0 C

2 Comme det C = (c 2 a 2 b 2 ) 2 4 a 2 b 2 = ( c 2 a 2 b 2 2 a b ) ( c 2 a 2 b a b ) = ( c 2 (a + b) 2) ( c 2 (a b) 2) = (c + a + b) (c a b) (c + a b) (c a + b), Avec une écriture plus symétrique, on a donc : = (c + a + b) (b + c a) (c + a b) (a + b c) 4 Tridiagonal Soient a,b,c des réels et n le déterminant de la matrice n n suivant : a b 0 0 c a b n = 0 0 b 0 0 c a On va procéder par récurrence double Précisément, on va prouver par récurrence sur n 1 l hypothèse H n suivante : H n : n = (n + 1)an (n + 2)an+1 2 n et n+1 = 2 n+1 Puisque 1 = a et 2 = a 2 bc = 3a2 4, H 1 est vraie Supposons l hypothèse vraie au rang n et prouvons-la au rang n + 1 On a directement n+1 = (n+2)an+1 De plus, 2 n+1 (n + 2)an+2 n+2 = a n+1 bc n = Ceci prouve H n+2 a2 2 n+1 4 (n + 1)an (n + 3)an+2 = 2 n 2 n+2 1 Démontrer que, pour tout n 1, on a n+2 = a n+1 bc n On développe le déterminant par rapport à la première colonne On trouve : b 0 c a b 0 n+2 = a n+1 c 0 c a b 0 0 On développe encore le second déterminant par rapport à la première ligne, et on trouve le résultat demandé : n+2 = a n+1 bc n 2 On suppose que a 2 = 4bc Démontrer que, pour tout n 1, on a n = (n + 1)an 2 n

3 Khôlles MPSI Calcul matriciel - Déterminant Sujet B mpsi Correction 1 Calculer n en fonction de n 1 Indication : Développer par rapport à la première colonne pour obtenir n 1 et un autre déterminant facile à calculer en développant par rapport à sa première ligne En développant par rapport à la première colonne on trouve la relation suivante : 1 Pour s échauffer Calculer le déterminant suivant : 1 1 Notons D le déterminant que l on cherche à calculer En enlevant la première ligne à toutes les autres, on trouve que D = n 1 a 0 n = a n 1 + ( 1) n 1 (n 1) a a 1 Notons δ ce dernier déterminant (dont la matrice est de taille n 1 n 1) On le calcule en développant par rapport à la première ligne a 0 0 δ = ( 1) n 2 0 a (n 1) = ( 1) n 2 (n 1)a n a On a une matrice triangulaire supérieure, et donc D = 8 Donc 2 Soit E un Ê-espace vectoriel et f L(E) tel que f 2 = Id E Que dire de la dimension de E? On a d une part det(f 2 ) = det(f) det(f) = ( det(f) ) 2 D autre part, on a det( Id E ) = ( 1) n où n = dim(e) Ainsi, ( 1) n doit être le carré d un réel Ceci n est possible que si n est pair 2 Soit a un réel On note n le déterminant suivant : a 0 0 n 1 0 a n = a 1 n a n = a n 1 a n 2 (n 1) 2 n 1 2 Démontrer que : n 2 n = a n a n 2 Prouvons la formule n 1 n = a n a n 2 i 2 par récurrence sur n 2 a 1 Initialisation Pour n = 2, 2 = 1 a = a2 1 donc la formule est vraie i 2

4 Hérédité Supposons la formule vraie vraie au rang n 1, c est-à-dire n 2 n 1 = a n 1 a n 3 i 2 Calculons n : n = a n 1 a n 2 (n 1) 2 par la première question n 2 = a (a n 1 a n 3 i 2) a n 2 (n 1) 2 par l hypothèse de récurrence n 2 = a n a n 2 n 1 = a n a n 2 i 2 i 2 a n 2 (n 1) 2 La formule est donc vraie au rang n Conclusion Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier n / /3, / , / , / /3, / / / / / / Résoudre l équation X 2 = A où A = Indication : Une matrice X solution commute avec A Une matrice X solution commute avec A, en effet AX = X 3 = XA En étudiant l équation AX = XA coefficients par coefficients, on observe que X est de la forme a 0 x 0 b y 0 0 c Pour une telle matrice, l équation X 2 = A équivaut au système : a 2 = 1 b 2 = 4 c 2 = 16 Les solutions sont donc (a + c)x = 1 (b + c)y = 2

5 Calculer l inverse de la matrice carrée suivante : B = 2 1 Par la méthode du pivot : on opère sur les lignes d une matrice de blocs B et I n pour transformer B en I n On sait qu alors le bloc I n sera transformé en B L 2 L 2 2L 1 L 3 L 3 + L 1 L 3 L 3 + L 2 L 2 L 2 L 3 L 3 L 1 L 1 L 3 L 2 L 2 L 3 0 On conclut : B 1 =

6 Khôlles MPSI Calcul matriciel - Déterminant Sujet C mpsi Correction 1 Calculer les déterminants suivant : a 1 a 2 a n a a) 1 a 1 (0) b) a 2 a 1 a 1 a 1 (0) a + b a a a a + b c) a a a a + b a) On retire la première colonne à toutes les autres colonnes a 1 a 2 a n a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a n a 1 a 1 = 1 a 1 a = 1 0 a 2 a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a On développe par rapport à la dernière ligne : a 2 a 1 a n a 1 1 = ( 1) n 1 0 a 1 = ( 1) n 1 a 1 (a 2 a 1 ) n a 2 a 1 Où l on a reconnu le déterminant d un matrice triangulaire supérieure Donc 1 = a 1 (a 1 a 2 ) n 1 b) On va transformer la matrice correspondante en une matrice triangulaire supérieure, on commence par remplacer la ligne L 2 par L 2 L 1 (on ne note que les coefficients non nuls) : 2 = = Puis on remplace la ligne L 3 par L 3 L 2 (attention il s agit de la nouvelle ligne L 2 ) et on continue ainsi de suite jusqu à L n 1 L n 1 L n 2 (n est la taille de la matrice sous-jacente) : = 0 = = ( 1) n On fait attention pour le dernier remplacement L n L n L n 1 légèrement différent et qui conduit au déterminant d une matrice triangulaire : = = 1 ( 1) n 1 ( 1) n 0 1 ( 1) n En conclusion 2 = { 0 si n est pair 2 si n est impair c) On retire la colonne C 1 aux autres colonnes C i pour faire apparaître des 0 : a + b a a a + b b b a b 0 0 a a + b 3 = = a 0 a a a a + b b 0 a 0 0 b On remplace ensuite L 1 par L 1 + L 2 + L L n (ou ce qui revient au même : faites les opérations L 1 L 1 + L 2 puis L 1 L 1 + L 3, chacune de ces opérations fait apparaître un 0 sur la première ligne) pour obtenir une matrice triangulaire inférieure : na + b 0 0 a b = a 0 = (na + b)b n 1 b 0 a 0 0 b

7 2 Étudier, suivant la Ê valeur du paramètre a ou m Ê, l inversibilité des matrices suivantes : a m m m 2 m 1 a m 1 2m 1 m A = et B = 2 m 0 1 a 1 0 m m a 1 m 3m 1 0 Indication : Il suffit de calculer le déterminant Il faut le calculer de façon suffisamment intelligente pour qu il apparaisse immédiatement sous forme factorisée Par exemple, pour la première matrice, commencer par tout ajouter sur la première colonne a a 1 0 det(a) = 0 1 a a a a 2 a 1 0 = a 2 1 a 1 a a a 1 0 = (a 2) 1 1 a a a + 1 = (a 2) 1 0 a 0 1 a + 1 a + 1 = (a 2) 0 a a + 1 a + = (a 2)a 1 a + 1 = a(a 2) ( (a + 1) 2 1 ) = a 2 (a 2)(a + 2) La matrice A est donc inversible si et seulement si a / {0,2, 2} Pour la matrice B, on procède de la même façon, en commençant par mettre m 2 m = m(m 1) en facteur sur la dernière colonne 0 m m 1 1 m 1 2m det(b) = m(m 1) 0 m m 0 1 m 3m m m 1 1 m 1 2m = m(m 1) (L4 L2 L4) 0 m m m 1 m m 1 = m(m 1) m m 0 1 m 1 m m 1 = m 2 (m 1) 0 1 m 1 m 0 1 = m 2 (m 1) (C2 C1 C2) 1 m 1 1 = m (m 1) m 1 1 = m 2 (m 1) 2 La matrice est inversible si et seulement si m / {0,1} 3 Soient A,B M n (K) vérifiant AB = A + B Montrer que A et B commutent Indication : Factoriser I n A B + AB = I n On a (I n A) (I n B) = I n A B + AB = I n On en déduit que (I n A) est inversible et que (I n B) est son inverse (I n B) (I n A) = I n = BA = A + B = AB et on peut conclure que A et B commutent 1 4 Calculer l inverse de la matrice carrée suivante : C =

8 Par la méthode du pivot : on opère sur les lignes d une matrice de blocs C et I n pour transformer C en I n On sait qu alors le bloc I n sera transformé en C L 2 L 2 2L 1 L 3 L 3 2L 1 L 2 L 3 L 3 L 2 L 2 L 2 L 3 L 3 2L 2 L 1 L 1 L 2 L 2 L 2 + L On conclut : C 1 =

9 Khôlles MPSI Calcul matriciel - Déterminant Bonus mpsi Correction Ceci achève la preuve de l hypothèse de récurrence, et donc du résultat 1 Soient x 1,,x n,y 1,,y n des complexes Déterminer la valeur du déterminant suivant : 1 + x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 y n x 2 y + x 2 y 2 x 2 y n = x n y x n y n Indication : Commencer par de petites valeurs de n pour trouver une formule, puis la prouver par récurrence Notons n ce déterminant On va prouver par récurrence sur n que n = 1 + x 1 y 1 + +x n y n La formule est vraie au rang 1, supposons-la vraie au rang n 1 et prouvons-la au rang n Par multilinéarité du déterminant, on a : 1 + x 1 y 1 x 1 y x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 y n x 2 y + x 2 y 2 0 x 2 y + x 2 y 2 x 2 y n n = + x n y 1 1 x n y 1 x n y n En développant suivant la dernière colonne, on trouve que le premier déterminant vaut n 1 Pour le second, on peut factoriser par x n dans la dernière ligne et par y n dans la dernière colonne On trouve que : 1 + x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 x 2 y + x 2 y 2 x 2 n = n 1 + x n y n y 1 y n On effectue alors C 1 y 1 C n C 1, C 2 y 2 C n C 2, et on trouve 1 0 x x 2 n = n 1 + x n y n = n 1 + x n y n 0 1

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