XIII. Matrices. 1 Opérations sur les matrices. On note K = R ou C.

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1 XIII Matrices 1 Opérations sur les matrices On note K = R ou C Définition 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels ou complexes un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes de nombres réels ou complexes : a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A = (a ij 1 i n = 1 j p a n1 a n2 a np On note a ij le coefficient de la matrice A situé sur la i-ième ligne et sur la j-ième colonne Une matrice comportant une seule ligne est appelée matrice ligne, une matrice comportant une seule colonne est appelée matrice colonne, une matrice comportant le même nombre de lignes que de colonnes est appelée matrice carrée On note M n,p (K l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K et on note M n (K l ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coefficients dans K ( Exercice 1 On considère la matrice A =, donner les coefficients a 12 a 22 et a 23 Propriété 1 M n,p (K est un K-espace vectoriel pour la loi interne + et la loi externe définies par : (a ij 1 i n +(b ij 1 i n = (a ij +b ij 1 i n 1 j p 1 j p 1 j p ( Exercice 2 Calculer 2A 3 avec A = et = λ(a ij 1 i n = (λa ij 1 i n 1 j p 1 j p ( Propriété 2 M n,p (K est un K-espace vectoriel de dimension finie np Démonstration Exigible - On définit la base canonique (E kl 1 k n de M n,p (K 1 l p ( Exercice 3 Décomposer A = dans la base canonique de M 2,3 (R wwwemmanuelmorandnet 1/6 suptsi1213chap13cours

2 XIII Matrices Définition 2 On définit le produit matriciel de deux matrices A M n,p (K et M p,q (K par : (a ij 1 i n (b ij 1 i p = 1 j p 1 j q a i1 a i2 a ip ( k=p a ik b kj k=1 k=p b 1j b 2j b pj a ik b kj k=1 1 i n 1 j q Remarque 1 le produit matriciel A n a de sens que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice ( Exercice 4 Calculer A C et C A avec A = et C = Propriété 3 Le produit matriciel est associatif, bilinéaire et admet un élément neutre : Pour tous A M n,p (K, M p,q (K et C M q,r (K on a (AC = A(C Pour tous λ,µ K et pour tous A M n,p (K et,c M p,q (K on a A(λ +µc = λa +µac Pour tous λ,µ K et pour tous A, M n,p (K et C M p,q (K on a (λa+µc = λac +µc 1 (0 Pour tout A M n,p (K on a I n A = AI p = A où I n = est une matrice carrée de (0 1 taille n appelée matrice identité dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et dont les autres coefficients sont nuls Définition 3 On appelle transposée d une matrice A = (a ij 1 i n 1 j p la matrice t A = (a ji 1 i p 1 j n Remarque 2 La transposition échange les lignes et les colonnes d une matrice ( Exercice 5 On considère la matrice =, calculer t, ( t et ( t Propriété 4 La transposition est linéaire et involutive : Pour tous λ,µ K et pour tous A, M n,p (K on a t (λa+µ = λ t A+µ t Pour tout A M n,p (K on a t ( t A = A Propriété 5 Pour tous A M n,p (K et M p,q (K on a t (A = t t A wwwemmanuelmorandnet 2/6 suptsi1213chap13cours

3 XIII Matrices 2 Matrices carrées Définition 4 On définit les puissances d une matrice carrée A M n (K par la récurrence : { A 0 = I n A m+1 = A(A m, pour tout m N Exercice 6 Calculer les puissances de la matrice N 4 = Propriété 6 On considère une matrice A M n (K alors pour tout m 1,m 2 N on a A m 1 A m 2 = A m1+m2 Propriété 7 On considère une matrice A M n (K alors pour tout m N on a t (A m = ( t A m Exercice 7 On considère A, M n (K, développer (A+I n 3 et (A+ 3 Propriété 8 Formule du binôme On considère deux matrices A, M n (K telles que A = A et m N, alors : (A+ m = k=m k=0 ( m k A m k k Démonstration Exigible - On montre d abord que si A = A alors A m 1 m 2 = m 2 A m 1 Remarque 3 Il ne faut pas oublier de vérifier que les matrices A et commutent entre elles! ( 1 1 Exercice 8 Calculer les puissances de la matrice triangulaire supérieure M = en utilisant la 0 1 formule du binôme Définition 5 Une matrice carrée A M n (K est dite symétrique si t A = A et antisymétrique si t A = A, on note S n (K l ensemble des matrices symétriques de M n (K et on note A n (K l ensemble des matrices antisymétriques de M n (K Exercice 9 Donner des exemples de matrices symétriques puis antisymétriques de M 2 (R Propriété 9 S n (K A n (K = M n (K Démonstration Exigible - On utilise les dimensions Définition 6 Une matrice carrée A M n (K est dite inversible s il existe une matrice carrée A 1 M n (K appelée inverse de la matrice A telle que AA 1 = A 1 A = I n Remarque 4 L inverse s il existe est unique Remarque 5 La matrice identité est inversible et est son propre inverse ( 1 3 Exercice 10 Montrer que la matrice est inversible et déterminer son inverse 0 2 wwwemmanuelmorandnet 3/6 suptsi1213chap13cours

4 XIII Matrices Propriété 10 On considère une matrice A M n (K, s il existe G M n (K telle que GA = I n ou s il existe D M n (K telle que AD = I n alors A est inversible et A 1 = G = D Démonstration Exigible - On remarque que si A est inversible à gauche alors φ A : M n (K M n (K A est injective donc surjective et A admet un inverseà droite, puis on montre que ces deux inverses sont égaux (G = GAD = D Propriété 11 On considère deux matrices A, M n (K inversibles et m N, alors : t A est inversible et ( t A 1 = t (A 1, A m est inversible et (A m 1 = (A 1 m, A est inversible et (A 1 = 1 A 1 3 Matrices et applications linéaires Définition 7 On considère une application linéaire f L(E, F où E est un K-espace vectoriel de dimension p muni d une base = ( e 1, e 2,, e p et F un K-espace vectoriel de dimension n muni d une base C = ( f 1, f 2,, f n On appelle matrice de f de la base dans la base C, Mat f = (a ij 1 i n avec,c 1 j p f( i=n e j = a ijfi pour tout j 1;p i=1 Remarque 6 Les colonnes de la matrice de f sont les coordonnées dans la base C des images des vecteurs de la base par l application f Remarque 7 La matrice de l application identité de E dans E où E est un K-espace vectoriel de dimension n est la matrice I n Exercice 11 On considère l application linéaire φ : R 2 [X] R 1 [X] P P Déterminer la matrice de φ de la base canonique de R 2 [X] dans la base canonique C de R 1 [X] puis la matrice de φ de la base = (1,1+X,1+X +X 2 de R 2 [X] dans la base C = (1,1+X de R 1 [X] Remarque 8 Dans le cas où f est un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie muni d une base, on note Mat f et on appelle matrice de f dans la base la matrice de f de la base dans la base Exercice 12 Déterminer la matrice de l application linéaire f : R 3 R 3 x x y x+y z x+y +z base canonique de R 3 dans la Propriété 12 On considère un K-espace vectoriel E de dimension p muni d une base et un K-espace vectoriel F de dimension n muni d une base C, alors l application L(E,F M n,p (K est un isomorphisme f Mat f,c wwwemmanuelmorandnet 4/6 suptsi1213chap13cours

5 XIII Matrices Exercice 13 Déterminer l application linéaire de R 2 dans R 3 munis de leur base canonique associée à la 1 1 matrice Propriété 13 On considère une application linéaire f L(E,F où E est un K-espace vectoriel de dimension p muni d une base et F un K-espace vectoriel de dimension n muni d une base C et on considère un vecteur u E de coordonnées (λ 1,λ 2,,λ p dans la base ainsi que son image v = f( u F de coordonnées (µ 1,µ 2,,µ n dans la base C, alors en posant M = Mat,C on a V = MU Exercice 14 Interpréter matriciellement le système linéaire f, U = λ 1 λ 2 λ p et V = { x + 2y + 3z = 1 3x + 2y + z = 1 Propriété 14 On considère deux applications linéaires f L(E,F et g L(F,G où E est un K-espace vectoriel de dimension finie muni d une base, F un K-espace vectoriel de dimension finie muni d une base C et G un K-espace vectoriel de dimension finie muni d une base D alors Mat g f = Mat g Mat f,d C,D,C Démonstration Exigible - On considère les colonnes de la matrice de g f Corollaire 1 Une application linéaire f L(E où E est un K-espace vectoriel de dimension finie muni d une base est un isomorphisme si et seulement si Mat f est inversible,on aalors Mat Exercice 15 En utilisant un système linéaire, montrer que la matrice A = et calculer son inverse f 1 = µ 1 µ 2 µ n ( 1 Mat f est inversible Propriété 15 L ensemble des matrices inversibles de M n (K muni de la multiplication forme un groupe isomorphe à GL(E où E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, on l appelle groupe linéaire et on le note GL n (K 4 Changement de base Définition 8 On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie muni de deux bases et, on appelle matrice de passage de la base à la base la matrice Mat, Id E Remarque 9 Les colonnes de la matrice de passage de la base à la base représentent les coordonnées des vecteurs de la base dans la base Remarque 10 La matrice de passage de la base à la base est inversible et son inverse est la matrice de passage de la base à la base Exercice 16 On considère R 2 muni d une base = ( e 1, e 2 et on définit e 1 = e 1 + e 2 et e 2 = e 1 e 2 Montrer que = ( e 1, e 2 est une base de R 2 et déterminer la matrice de passage de à puis la matrice de passage de à wwwemmanuelmorandnet 5/6 suptsi1213chap13cours

6 XIII Matrices Propriété 16 On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie muni de deux bases et, on note P la matrice de passage de la base à la base et on définit les matrices colonnes U et U formées des coordonnées respectives d un vecteur u E dans les bases et, alors U = PU Remarque 11 La matrice de passage de la base à la base permet de passer des coordonnées d un vecteur dans la base à ses coordonnées dans la base (par multiplication matricielle Exercice 17 Dans le plan muni de sa base canonique, on considère ( l hyperbole ( H d équation cartésienne x 2 y 2 = 4, déterminer l équation cartésienne de H dans la base e1 1, ( e Propriété 17 On considère f L(E,F où E est un K-espace vectoriel de dimension finie muni de deux bases et et F est un K-espace vectoriel de dimension finie muni de deux bases C et C, alors en notant P la matrice de passage de à, Q la matrice de passage de C à C, A la matrice de f de dans C et A la matrice de f de dans C on a A = Q 1 AP Remarque 12 Dans le cas d un endomorphisme de E on a A = P 1 AP Exercice 18 Dans le plan muni de sa ( base ( canonique, on considère la projection p : (x,y (x,0, déterminer l expression de p dans la base e1 1, ( e Rang d une matrice Définition 9 On appelle rang d une matrice A M n,p (K et on note rg(a le rang de l application linéaire de K p dans K n de matrice A dans leurs bases canoniques Remarque 13 Le rang d une matrice est égal au rang de ses vecteurs colonnes ( Exercice 19 Déterminer le rang de la matrice Exercice 20 Montrer qu un matrice A M n (K est inversible si et seulement si rg(a = n Exercice 21 Montrer que pour A M n,p (K, on a rg(a min(n,p Propriété 18 On considère A M n,p (K, P GL p (K et Q GL n (K, alors rg(ap = rg(qa = rg(a Démonstration Exigible - On remarque que le rang d une application linéaire est invariant par composition par un automorphisme Corollaire 2 Le rang d une application linéaire f L(E,F où E et F sont deux K-espaces vectoriels de dimension finie est égal au rang de sa matrice de dans C où et C sont deux bases quelconques de E et F Propriété 19 Soit A M n,p (K, on a rg( t A = rg(a Démonstration Hors-programme ( - On montre qu une matrice est de rang r si et seulement si elle est Ir (0 équivalente à la matrice (0 (0 Remarque 14 Le rang d une matrice est égal au rang de ses vecteurs lignes wwwemmanuelmorandnet 6/6 suptsi1213chap13cours