DE - DETERMINANTS. Rappels sur la méthode du pivot

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1 DE - DETERMINANTS Rappels sur la méthode du pivot Si A est une matrice de M(n,m; R), les opérations intervenant dans la méthode du pivot s interprètent comme le produit de A par des matrices particulières Opération de première espèce : si on ajoute à la ligne i de A, λ fois la ligne j, on obtient une matrice B = T (i,j) λ A, où T (i,j) λ est la matrice triangulaire supérieure de format (n,n) ayant des 1 sur la diagonale principale, et des zéros partout ailleurs sauf pour le coefficient d indice (i, j) qui vaut λ On remarque que cette matrice est inversible et que son inverse vaut T (i,j) λ, et que t T (i,j) λ = T (j,i) λ Opération de deuxième espèce : si on permute les lignes i et j de A, on obtient une matrice B = S (i,j) A, où S (i,j) est la matrice symétrique de format (n,n) qui a des 1 sur la diagonale sauf pour les coefficients d indice (i,i) et (j,j), et dont les autres termes sont nuls sauf ceux d indice (i,j) et (j,i) qui valent 1 Cette matrice est symétrique, inversible, et égale à son inverse Opération de troisième espèce : si on multiplie la ligne i de A par le nombre µ non nul, on obtient une matrice B = D µ (i) A, où D µ (i) est la matrice diagonale de format (n,n) dont tous les éléments diagonaux valent 1, sauf celui d indice (i,i) qui vaut µ Cette matrice est symétrique, inversible et son inverse est D (i) 1/µ Nous appellerons matrice élémentaire une matrice d un des trois types définis précédemment En particulier, l inverse d une matrice élémentaire est élémentaire, la transposée d une matrice élémentaire est élémentaire Plaçons nous maintenant dans le cas où m = n Si la matrice A est de rang n, alors on peut la transformer par une suite d opérations en la matrice unité I n Donc, il existe des matrices élémentaires telles que et l on en déduit P q P 1 A = I n, A = (P 1 ) 1 (P q ) 1 = P 1 P q, et toute matrice inversible est le produit de matrices élémentaires Si A est de rang r, il existera des matrices élémentaires telles que P q P 1 A = J r, où J r est de la forme J r = [ ] Ir B, O O

2 DE 2 c est une matrice ayant n r lignes de 0, et I r désigne la matrice unité de format (r,r) Alors A = (P 1 ) 1 (P q ) 1 J r = P 1 P q J r Donc si A est de rang r c est le produit de matrices élémentaires et d une matrice J r Axiomes de définition du déterminant d une matrice Nous admettrons le théorème suivant : Il existe une application de M(n, R) dans R qui à une matrice carrée A d ordre n associe un nombre appelé déterminant de A et noté deta et qui vérifie les propriétés suivantes : (i) pour toute matrice carrée A d ordre n et quels que soient i et j compris entre 1 et n, et λ réel, det(t (i,j) λ A) = det A (ii) pour toute matrice carrée A d ordre n et quels que soient i et j compris entre 1 et n, det(s (i,j) A) = deta (iii) pour toute matrice carrée A d ordre n et quels que soient i compris entre 1 et n, et µ réel non nul, (iv) det I n = 1 det(d µ (i) A) = µ deta Nous dirons qu un déterminant est d ordre n, si c est le déterminant d une matrice (n,n) Nous allons voir comment à partir de ces quatre axiomes, on peut déduire les résultats généraux et les méthodes de calcul des déterminants Notation - Soit n 2 Si on notera a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n deta = a n1 a n2 a nn

3 DE 3 Autre formulation des axiomes (i) signifie que l on ne change pas un déterminant en ajoutant à une ligne un multiple d une autre, et donc plus généralement une combinaison linéaire des autres (ii) signifie que si l on permute deux lignes d un déterminant, il change de signe (iii) signifie que si l on multiplie une ligne par µ le déterminant est multiplié par µ, ou encore que si l on met µ en facteur dans une ligne du déterminant, il est mis en facteur dans le déterminant Cas particulier n = 1 Si A = (a 11 ), il est évident que l application qui à A associe le nombre a 11 vérifie les propriétés (iii) et (iv), (le cas des propriétés (i) et (ii) ne se pose pas) On posera donc det A = a 11, et on supposera désormais que n 2 On pourra facilement vérifier que les formules obtenues dans la suite pour n 2 sont valable aussi si n = 1 Quelques conséquences lorsque n 2 (1) Si une matrice A possède deux lignes égales, alors deta = 0 En effet d après (ii), si l on permute les deux lignes égales, on trouve la même matrice mais alors deta = det A (2) Si une matrice A possède une ligne de zéros, alors deta = 0 En effet, si A = 0, alors cela résulte de (1) Si A 0, on ajoute à la ligne de zéros une ligne non nulle Le déterminant ne change pas, mais la matrice possède cette fois deux lignes égales, et le déterminant est nul d après (1) (3) Si une ligne de A est combinaison linéaire des autres, alors deta = 0 En effet, en ajoutant à la ligne l opposée de la combinaison linéaire, on obtient une ligne de 0 et on ne change pas le déterminant, donc il est nul d après (2) (4) det(λa) = λ n det A En effet chacune des n lignes étant multipliée par λ, le déterminant est multiplié par λ n (5) Le déterminant d une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux En effet, si un élément diagonal est nul, le déterminant possède une ligne de zéros et est nul Sinon, en mettant successivement chaque élément de la diagonale principale en facteur, on obtient le produit des éléments diagonaux multiplié par le déterminant de I n qui vaut 1

4 DE 4 Calcul du déterminant par la méthode du pivot Si l on transforme une matrice A en la matrice B par la méthode du pivot, deux cas sont possibles (1) Si le rang de A est strictement plus petit que n, il existe une ligne de zéros et le déterminant est nul (2) Si le rang de A vaut n, on transforme A en une matrice diagonale Les opérations de première espèce ne changent pas le déterminant Si l on fait k opérations de deuxième espèce, le déterminant est multiplié par ( 1) k On obtient alors une matrice diagonale, où les pivots π 1,π n se trouvent sur la diagonale principale et donc det A = ( 1) k π 1 π n Le déterminant est donc, au signe près, le produit des pivots En particulier il est non nul On en déduit alors le résultat important suivant : Une matrice A est de rang n, donc est inversible, si et seulement si deta 0 Exemples (1) Calculons le déterminant de la matrice A = En appliquant la méthode du pivot, on obtient en utilisant les opérations de première espèce : deta = = = = on permute alors les deux premières lignes Il y a changement de signe : deta = puis les deux dernières Il y a un nouveau changement de signe : deta = On obtient une matrice diagonale, et det A est le produit des éléments diagonaux, donc deta = 7 (2) Les matrices élémentaires - Il résulte immédiatement des axiomes (en écrivant P = PI) que dett (i,j) λ = 1, dets (i,j) = 1, detd (i) µ = µ (3) Les matrices triangulaires - Le déterminant est le produit des éléments diagonaux En effet, si le rang est r < n, la méthode du pivot fait apparaître n r lignes de zéros et le déterminant est nul, sinon, elle transforme la matrice initiale en une matrice diagonale ayant les mêmes éléments diagonaux

5 DE 5 Les formules du produit et de la transposée De ce qui précède, on déduit que det(ab) = detadet B, lorsque A est une matrice élémentaire et B est une matrice quelconque Si maintenant A = P 1 P q est un produit de matrices élémentaires, on en déduit facilement par récurrence que, quel que soit B, En particulier, si B = I n, et donc det(ab) = detp 1 det P q det B deta = det P 1 detp q, det(ab) = detadet B Si A est une matrice inversible, c est un produit de matrices élémentaires et donc det(ab) = detadet B Si A n est pas inversible, alors, deta = 0, et on peut écrire avec k < n, donc A = P 1 P q J k, det(ab) = detp 1 detp q det(j k B) Mais la matrice J k B a également au moins une ligne de 0, donc, son déterminant est nul Alors On a donc finalement quels que soient A et B det(ab) = 0 = det AdetB det(ab) = detadet B En particulier le produit de deux matrices A et B est inversible si et seulement si les deux matrices sont inversibles De plus, si A est inversible, on déduit de l égalité AA 1 = I n, que det Adet(A 1 ) = 1,

6 DE 6 donc det(a 1 ) = (det A) 1 Etudions maintenant la transposée On remarque que pour une matrice élémentaire det( t A) = det A et pour un produit de matrices élémentaires A = P 1 P q, on a deta = det P 1 detp q, mais t A = t P q tp 1, et Mais alors D où l on déduit det( t A) = det( t P q ) det( t P 1 ) det( t A) = det(p q ) det(p 1 ), det( t A) = det A C est le cas, si A est une matrice inversible Enfin puisque A est inversible si et seulement si t A est inversible, on a, si A n est pas inversible On a donc finalement, pour toute matrice A, det( t A) = deta = 0 det t A = det A Conséquence - Tout ce que l on a dit précédemment pour des lignes de A peut se dire également pour les colonnes de A Par exemple : - on ne change pas un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres, - si µ est en facteur dans une colonne il est en facteur dans le déterminant - un déterminant qui a une colonne de zéros est nul, etc Développement d un déterminant par blocs diagonaux Si la matrice A a tous ses termes nuls exceptés les termes de blocs carrés A 1,,A p à cheval sur la diagonale principale, alors deta = deta 1 det A p

7 DE 7 En effet les opérations élémentaires sur les éléments d une matrice A i ne modifient pas les autres On choisit les pivots successivement dans A 1,,A p S il existe dans un A i une ligne de zéros, alors il existe une ligne de zéros dans A, et deta = 0 = deta 1 det A p Sinon, les pivots de A sont obtenus en réunissant les pivots des A i et le déterminant est le produit de ces pivots Alors en regroupant ceux de chaque A i on trouve encore Exemple deta = deta 1 det A p = = 2 ( 3) = Déterminant d un système de n vecteurs dans une base donnée Soit S = (X 1,,X n ) un système de n vecteurs dans un espace de dimension n, on appellera déterminant de S dans la base B, et on notera det B (X 1,,X n ), le déterminant de la matrice A de S dans cette base Si A est la matrice de S dans une base B, et si P est la matrice de passage de B à B, on a donc A = PA, deta = detp det A, le déterminant du système dépend donc de la base Mais bien sûr, si le système n est pas libre det A = det A = 0 Par contre si le système est libre, il y a n pivots et le déterminant (qui est au signe près, le produit des pivots) est non nul quel que soit la base Donc : un système S de n vecteurs d un espace de dimension finie n est une base si et seulement son déterminant dans une base quelconque est non nul Déterminant d un endomorphisme Soit E un espace vectoriel de dimension n et soit f une application linéaire de E dans E Si A et A sont les matrices de f dans les bases B et B respectivement, on a où P est la matrice de passage de B à B Alors A = P 1 AP det A = det(p 1 )det Adet P

8 DE 8 mais, puisque on trouve det(p 1 ) = (detp) 1, deta = deta Donc le déterminant ne dépend pas de la base On dira alors que c est le déterminant de f Donc : un endomorphisme f d un espace de dimension fini est bijectif si et seulement si det f 0 Déterminant et multilinéarité Soit B une base fixée dans un espace E de dimension finie n On étudie l application de E n dans R qui à (X 1,,X n ) associe le déterminant det B (X 1,,X n ) du système dans la base B (Pour simplifier les notations, on omettra l indice B dans ce qui suit) Tout d abord det(λx 1,X 2,,X n ) = λdet(x 1,X 2,,X n ), puisque λ est en facteur dans la première colonne de la matrice du système dans la base B Maintenant regardons det(x 1 + Y 1,X 2,,X n ) Il y a deux cas possibles : (1) le système (X 1,,X n ) est libre dans R n Alors Y 1 s écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de ce système Donc Y 1 = α 1 X α n X n Alors det(x 1 + Y 1,X 2,,X n ) = det((1 + α 1 )X 1 + α 2 X 2 + α n X n,x 2,,X n ) Mais en ajoutant à la première colonne la combinaison linéaire (α 2 X 2 + α n X n ), on obtient puis en mettant en facteur 1 + α 1, Mais on a aussi,de manière analogue, et, finalement det(x 1 + Y 1,X 2,,X n ) = det((1 + α 1 )X 1,X 2,,X n ), det(x 1 + Y 1,X 2,,X n ) = (1 + α 1 )det(x 1,X 2,,X n ) det(y 1,X 2,,X n ) = α 1 det(x 1,X 2,,X n ), det(x 1 + Y 1,X 2,,X n ) = det(x 1,X 2,,X n ) + det(y 1,X 2,,X n ) (2) le système (X 1,,X n ) est lié dans R n, donc det(x 1,X 2,,X n ) = 0,

9 DE 9 et il existe α 1,, α n non tous nuls tels que α 1 X 1 + α 2 X α n X n = 0 Si α 1 n est pas nul, alors, on peut exprimer X 1 comme combinaison linéaire de X 2,,X n donc en ajoutant à la première colonne, l opposée de cette combinaison linéaire det(x 1 + Y 1,X 2,,X n ) = det(y 1,X 2,,X n ) = det(x 1,X 2,,X n ) + det(y 1,X 2,,X n ) Si α 1 est nul, alors α 2 X α n X n = 0, avec des α i non tous nuls, donc le système (X 2,,X n ) est lié Alors les systèmes (X 1 +Y 1,X 2,,X n ) et (Y 1,X 2,,X n ) sont également liés, donc tous les déterminants son nuls et l on a det(x 1 + Y 1,X 2,,X n ) = 0 = det(x 1,X 2,,X n ) + det(y 1,X 2,,X n ) Conclusion, si l on fixe X 2,,X n, l application qui à X associe det(x,x 2,,X n ) est linéaire Mais, en fait, ce résultat reste vrai quelles que soient les n 1 variables fixées parmi les n : on a linéarité par rapport à la n ième On traduit ceci en disant que l application déterminant est une forme multilinéaire (ou n-linéaire) Comme de plus on change de signe si l on permute deux vecteurs, on dit que le déterminant est une forme multilinéaire alternée Exemple - Soit A et B deux matrices de M(n; R) ayant toutes leurs colonnes identiques sauf les deux premières Notons X 1,X 2,,X n les colonnes de A et Y 1,X 2,,,X n celles de B Alors A + B a comme colonnes X 1 + Y 1,2X 2,,,2X n Et donc Comme 2 est en facteur dans n 1 colonnes Et par linéarité par rapport à la première colonne, det(a + B) = det(x 1 + Y 1,2X 2,,,2X n ) det(a + B) = 2 n 1 det(x 1 + Y 1,X 2,,,X n ) det(a + B) = 2 n 1 (det(x 1,X 2,,,X n ) + det(y 1,X 2,,,X n )) = 2 n 1 (deta + detb) Remarque - Sauf dans des cas particuliers comme l exemple précédent, il n y a pas de formule général liant det(a + B), det A et detb Développement d un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne Quelques définitions Soit A = (a ij ), une matrice carrée d ordre n Notons A(i,j) la matrice extraite de A en enlevant la ligne i et la colonne j de A On appelle mineur de a ij le déterminant deta(i,j) de cette matrice

10 DE 10 C est donc un déterminant d ordre n 1 On appelle cofacteur de a ij le nombre ã ij = ( 1) i+j det A(i,j) Si X 1,,X n désignent les colonnes de A et si l on note E 1,, E n les vecteurs de la base canonique B de R n, on a alors det A = det(x 1,,X n ) Mais, donc par linéarité X j = a 1j E a nj E n det A = a 1j det(x 1,,X j 1,E 1,X j+1,,x n ) + + a nj det(x 1,,X j 1,E n,x j+1,,x n ) Calculons a 11 a 1(j 1) 0 a 1(j+1) a 1n a (i 1)1 a (i 1)(j 1) 0 a (i 1)(j+1) a (i 1)n ij = det(x 1,,X j 1,E i,x j+1,,x n ) = a i1 a i(j 1) 1 a i(j+1) a in a (i+1)1 a (i+1)(j 1) 0 a (i+1)(j+1) a (i+1)n a n1 a n(j 1) 0 a n(j+1) a nn En combinant la j ème colonne aux autres pour faire apparaître des zéros dans la ligne i, on obtient a 11 a 1(j 1) 0 a 1(j+1) a 1n a (i 1)1 a (i 1)(j 1) 0 a (i 1)(j+1) a (i 1)n ij = a (i+1)1 a (i+1)(j 1) 0 a (i+1)(j+1) a (i+1)n a n1 a n(j 1) 0 a n(j+1) a nn On remonte la ligne i en haut du déterminant en la permutant avec les i 1 précédentes, donc a 11 a 1(j 1) 0 a 1(j+1) a 1n ij = ( 1) i 1 a (i 1)1 a (i 1)(j 1) 0 a (i 1)(j+1) a (i 1)n a (i+1)1 a (i+1)(j 1) 0 a (i+1)(j+1) a (i+1)n a n1 a n(j 1) 0 a n(j+1) a nn On ramène la colonne j à gauche du déterminant en la permutant avec les j 1 précédentes, donc

11 DE a 11 a 1(j 1) a 1(j+1) a 1n ij = ( 1) i 1 ( 1) j 1 0 a (i 1)1 a (i 1)(j 1) a (i 1)(j+1) a (i 1)n 0 a (i+1)1 a (i+1)(j 1) a (i+1)(j+1) a (i+1)n 0 a n1 a n(j 1) a n(j+1) a nn et finalement, en utilisant le développement par blocs : a 11 a 1(j 1) a 1(j+1) a 1n ij = ( 1) i+j 2 a (i 1)1 a (i 1)(j 1) a (i 1)(j+1) a (i 1)n a (i+1)1 a (i+1)(j 1) a (i+1)(j+1) a (i+1)n a n1 a n(j 1) a n(j+1) a nn Alors, puisque ( 1) i+j 2 = ( 1) i+j, le déterminant ij n est autre que le cofacteur de a ij et l on obtient deta = a 11 ã a 1n ã 1n On obtient le développement du déterminant par rapport à la première colonne On démontre de même que l on a un résultat analogue pour n importe quelle colonne (ou ligne) : quel que soit i compris entre 1 et n, on a det A = a ik ã ik, k=1 c est le développement de det A par rapport à la i ème ligne, et quel que soit j compris entre 1 et n deta = a kj ã kj, k=1 c est le développement de det A par rapport à la j ème colonne Remarque - Le nombre ( 1) i+j est toujours positif sur la diagonale principale D autre part lorsque l on se déplace dans une ligne ou une colonne, le signe est alterné Il est donc facile de voir par quel signe il faut multiplier le mineur pour avoir le cofacteur correspondant

12 DE 12 Déterminant d ordre 2 [ ] a11 a Soit A = 12 a 21 a 22 Si l on développe par rapport à la première ligne, le cofacteur de a 11 est a 22 et celui de a 12 est a 21, d où deta = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 On peut vérifier que cette expression satisfait aux axiomes (i) à (iv) de définition du déterminant, ce qui justifie son existence dans ce cas Déterminant d ordre Exemple - Reprenons la matrice A = Si l on développe par rapport à la première ligne det A = , donc deta = 2 ( 3) + 1 = 7 a 11 a 12 a 13 Formule générale - Soit A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Si l on développe par rapport à la première ligne, a deta = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 On peut encore vérifier que cette expression satisfait les axiomes (i) à (iv) de définition du déterminant, ce qui justifie son existence dans ce cas Pour retenir par cœur cette formule, on utilise différents moyens mnémotechniques En voici un, appelé règle de Sarrus Il consiste à organiser les termes en diagonale En pratique, on réécrit les deux premières lignes de la matrice en dessous de A : il y a 3 droites parallèles à la diagonale principale qui donneront les 3 produits affectés du signe +, et 3 droites parallèles à l autre diagonale qui donneront les 3 produits affectés du signe

13 DE 13 + a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Attention, cette règle ne s applique que pour les déterminants d ordre 3 Déterminant d ordre n Il est possible d écrire une formule générale donnant l expression d un déterminant sous forme de somme de produits de coefficients de la matrice Cette formule utilise la notion de permutation d un ensemble fini et ne sera pas abordée ici C est cette formule qui permet de justifier l existence du déterminant Le développement par rapport à une ligne permet de ramener le calcul d un déterminant d ordre n à celui de n déterminants d ordre n 1 Ce type de calcul est donc assez long en général La méthode est facilement utilisable pour des déterminants d ordre 3 ou 4 (Choisir si possible une ligne ou une colonne contenant beaucoup de zéros) On l utilise également à l ordre n dans le but de trouver des relations de récurrence, comme le montre les exemples suivants (a) On veut calculer le déterminant de A = On développe par rapport à la troisième colonne = ( 1) le déterminant de droite comporte deux lignes égales Il est donc nul Celui de gauche peut se développer par rapport à la dernière ligne Donc deta = = = 1

14 DE 14 (b) On veut calculer le déterminant d ordre n suivant : n (x) = 1 + x 2 x 0 0 x 1 + x x 2 x 0 0 x 1 + x 2 Si l on développe par rapport à la première ligne, on obtient n = (1 + x 2 ) 1 + x 2 x 0 0 x 1 + x x 2 x 0 0 x 1 + x 2 x x x x 2 x 0 x x 2 x 0 0 x 1 + x 2 Les deux déterminants du membre de droite sont d ordre n 1 On reconnaît dans le premier n 1 (x) Si l on développe le second par rapport à la première colonne x x x 2 x 0 x x 2 x 0 0 x 1 + x 2 = x 1 + x 2 x 0 0 x 1 + x x 2 x 0 0 x 1 + x 2 et cette fois le déterminant de droite est d ordre n 2 On reconnaît n 2 (x) Finalement n = (1 + x 2 ) n 1 (x) x 2 n 2 (x) On voit que 1 (x) = 1 + x 2 et 2 (x) = (1 + x 2 ) 2 x 2 = 1 + x 2 + x 4 On démontre alors facilement par récurrence que n (x) = k=0 x 2k

15 DE 15 (c) Matrice compagnon On considère un polynôme unitaire de degré n : P n (x) = x n a 1 x n 1 + a 2 x n 2 + ( 1) n a n, où a 1,,a n sont n nombres donnés dans R On considère d autre part la matrice (n,n), (dépendants de a 1,,a n ), donnée par x 0 0 a n 1 A n = 0 0 x a x a 1 On développe le déterminant de A n suivant la première ligne : deta n = xdeta n 1 + ( 1) n a n En effet, si on enlève la première ligne et la dernière colonne, ce qui reste est une matrice (n 1,n 1) triangulaire avec des 1 sur la diagonale Le cofacteur de a n vaut donc ( 1) n+1 On montre alors par récurrence que det(a n ) = P n (x) Remarque - On a A n = xi n + C n, et c est usuellement C n que l on appelle matrice compagnon de P n (Attention, il y a plusieurs choix de signes différents suivants les auteurs) Calcul de l inverse d une matrice Si A = (a ij ) est une matrice carrée, la matrice à = (ã ij) est appelée matrice des cofacteurs ou comatrice de A On a alors la formule suivante : A t (Ã) = t (Ã)A = (det A)I, (et on remarque en particulier que le calcul de autre manière), et, si A est inversible : à permet d avoir deta sans avoir à le calculer d une A 1 = 1 deta t (Ã)

16 DE 16 Attention à ne pas oublier de prendre la transposée de la matrice des cofacteurs Démontrons ces formules Notons b ij les éléments de la matrice t (Ã) Donc b ij = ã ji Notons c ij les éléments de la matrice A t (Ã) On a donc, par la formule du produit de matrices c ij = a ik b kj = Si i = j, k=1 c ii = a ik ã jk k=1 a ik ã ik, mais ceci n est autre que le développement de deta par rapport à la i ème ligne Donc Si i j k=1 c ii = det A c ij = a ik ã jk, k=1 et ceci est le développement par rapport à la j ème ligne du déterminant obtenu à partir de A en remplaçant la ligne i par la ligne j, c est-à-dire d un déterminant ayant deux lignes égales Donc c ij est nul Il en résulte bien que t A (Ã) = (deta)i On peut faire un calcul analogue pour le produit t (Ã)A Remarque - Le calcul de A 1 par la méthode précédente redonne facilement l inverse d une matrice de format (2,2) [ ] [ ] a b 1 d b = c d ad bc c a On peut encore l utiliser pour une matrice (3,3) (il y a 9 déterminants d ordre 2 à calculer) Mais cela devient inutilisable en pratique pour des ordres supérieurs (à l ordre n, il y a n 2 déterminants d ordre n 1) Formules de Cramer Soit S : AX = B un système de n équations linéaires à n inconnues Alors A est une matrice carrée Elle a donc un déterminant et on a vu que A est de rang n si et seulement si det A 0 Pour un système S : AX = B de n équations linéaires à n inconnues les propriétés suivantes sont donc équivalentes :

17 DE 17 (a) S est un système de Cramer (b) le système S admet une solution et une seule (c) le rang de A est n (d) deta 0, et on peut calculer explicitement la solution : Posons X = x 1 x p et B = b 1 b p (C) X = A 1 B = 1 t det A (Ã)B En notant, comme dans le paragraphe précédent, t (Ã) = (b ij) avec b ij = ã ji, on a alors, en écrivant la formule du produit de matrices t (Ã)B, On remarque alors que x k = 1 det A i=1 b ki b i = 1 deta b i ã ik i=1 b i ã ik n est autre que le développement par rapport à la k ième colonne du i=1 déterminant de la matrice carrée A[k] obtenue en remplaçant dans A la k ième colonne par le second membre B On obtient ainsi les formules de Cramer (C) i, 1 i n, x k = det A[k] deta Exemple - Le système de 2 équations a deux inconnues x et y (S ) { ax + by = α cx + dy = β est un système de Cramer si et seulement si ad bc 0 et alors l unique solution est donnée par 1 α b β d x = (dα bβ) = ad bc a b c d 1 a α c β y = ( cα + aβ) = ad bc a b c d

18 DE 18 Remarque - Pour des calculs explicites, la méthode du pivot est en générale beaucoup plus rapide que les calculs par les formules de Cramer (Par exemple pour 3 équations, il faut calculer quatre déterminants (3,3)) Celles-ci sont intéressantes lorsque le système comporte des paramètres Détermination du rang d un système Dans cette partie A est une matrice de M(n,m; R) Nous allons montrer le théorème suivant : Une matrice A de format (m,n) est de rang r si et seulement si on a les deux propriétés suivantes : 1 il existe une matrice carrée A de format (r,r) extraite de A telle que det A 0 2 toute matrice carrée A de format (r + 1,r + 1) extraite de A et contenant A vérifie det A = 0 Supposons que l on ait 1 Alors un pivot transforme A en B qui est telle que detb = det A 0 Donc B est inversible et possède r pivots Si maintenant on effectue un pivot sur A en prolongeant à A les opérations faites sur A On obtient une matrice B qui contient au moins les r pivots de B Donc rg A r Si l on a également 2, et si A est une matrice (r + 1,r + 1) extraite de A et contenant A le pivot précédent transforme A en une matrice B contenant B et incluse dans B On a det B = deta = 0 On ne peut donc pas trouver un (r + 1) ième pivot, et rg A = r Inversement, si A est de rang r, un pivot transforme A en une matrice B possédant exactement r pivots Ces r pivots se trouvent dans une matrice B de format (r,r), qui provient de la transformation par le pivot d une matrice A de format (r,r) extraite de A On a alors deta = det B 0 Donc 1 est vérifié Si maintenant A est une matrice (r + 1,r + 1) extraite de A contenant A, le pivot la transforme en une matrice B extraite de B et contenant B Mais B ne possède que r pivots, donc detb = 0 Alors deta = 0, et la propriété 2 est vérifiée Exemple - On veut chercher le rang de la matrice A = (a ij ) = On peut procéder de deux manières : 1) Déterminants d ordre croissant Prenons A 1 = (a 12 ) = (1) Son déterminant n est pas nul, donc rg A 1 [ ] 0 1 Soit ensuite A 2 =, contenant A et extraite de A (2 premières lignes et colonnes) On a deta 2 = 1, donc rg A 2

19 DE 19 Il y a deux matrices contenant A et On constate que les déterminants de ces deux matrices sont nuls Alors rg A = 2 2) Déterminants d ordre décroissant Le rang de A est au plus 3 On calcule tous les déterminants d ordre 3 extraits de A Il y en a quatre En plus des déterminants des deux matrices écrites ci-dessus, on a également ceux de et On constate que ces quatre déterminants son nuls Donc rg A 2 Puis on trouve une matrice (2,2) extraite de déterminant non nul (la matrice A 2 écrite ci-dessus par exemple) Donc rg A = 2 Remarque finale Pour la détermination du rang d une matrice, on peut donc remplacer la méthode du pivot par la recherche de matrices carrées extraites de déterminant non nul Encore une fois la méthode du pivot est beaucoup plus rapide Mais pour certains problèmes théoriques (des matrices dont les coefficients dépendent d un paramètre par exemple), l utilisation du déterminant peut être plus adaptée On peut même poursuivre l étude et remplacer complètement la méthode du pivot par l utilisation des déterminants Beaucoup d ouvrages très théoriques (en particulier à certaines époques) ne mentionnent la méthode du pivot qu en passant, alors que les ouvrages de mathématiques appliquées (analyse numérique, calcul scientifique,) détaillent au contraire les différentes méthodes de choix de pivots, et d amélioration de la rapidité des calculs par ces méthodes Le déterminant de Vandermonde A titre d exemple de calcul de déterminant, on va étudier ici un déterminant particulier, appelé déterminant de Vandermonde, que l on voit apparaître dans divers problèmes de mathématiques Soit les n + 1 nombres réels a 0, a 1,,a n On considère le déterminant (n + 1,n + 1) suivant : 1 a 0 a 2 0 a n 0 1 a (a 0,a 1,,a n ) = 1 a 2 1 a n 1 1 a n a 2 n a n n

20 DE 20 Pour trouver sa valeur, on peut considérer ce déterminant comme un polynôme de la variable a n dépendant des paramètres a 0,,a n 1 Supposons tout d abord que les nombres a 0,,a n 1 soient distincts On peut alors faire les remarques suivantes : (a) Si on développe ce déterminant par rapport à la dernière ligne, on constate immédiatement que (a 0,a 1,,a n ) est un polynôme P(a n ) de la variable a n de degré n au plus, le coefficient de a n n étant le déterminant (a 0,a 1,,a n 1 ) qui est d ordre n (b) Si l on remplace a n dans (a 0,a 1,,a n ) par une des autres valeurs a 0,,a n 1 le déterminant a deux lignes égales, il est donc nul Alors le polynôme P(a n ) est un polynôme de degré n au plus possédant n racines distinctes a 0,,a n 1 Il se factorise donc sous la forme où α n est le coefficient de a n n On en déduit donc P(a n ) = α n (a n a 0 )(a n a 1 ) (a n a n 1 ), (a 0,a 1,,a n ) = (a 0,a 1,,a n 1 )(a n a 0 )(a n a 1 ) (a n a n 1 ) Ce résultat reste vrai si deux des nombres a 0,,a n 1 sont égaux, car les déterminants (a 0,a 1,,a n 1 ) et (a 0,a 1,,a n ) sont alors nuls puisqu ils ont deux lignes égales Comme (a 0,a 1 ) = a 1 a 0, on obtient par récurrence que (a 0,a 1,,a n ) est le produit de toutes les différences a i a j, lorsque 0 j < i n : (a 0,a 1,,a n ) = (a i a j ) {(i,j) 0 j<i n} En particulier un tel déterminant est nul si et seulement si il existe i et j distincts tels que a i = a j Une conséquence de ce résultat est la suivante : Soient n + 1 nombres réels distincts a 0,,a n et n + 1 réels b 0,,b n Il existe un polynôme P de degré au plus n et un seul qui vérifie, pour tout i compris entre 1 et n la relation P(a i ) = b i En effet, si l on pose P(X) = λ i X i, les conditions ci-dessus se traduisent par un système de n + 1 i=0 équations linéaires à n+1 inconnues λ 0,,λ n, dont la matrice A a pour déterminant (a 0,a 1,,a n ), et ce déterminant n est pas nul La matrice A est donc inversible et le système a une solution et une seule