3. SYSTEMES LINEAIRES

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1 3 SYSTEMES LINEAIRES 31 Définition Un système linéaire est un ensemble de m équations linéaires à n variables Il a la forme générale suivante : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Les variables sont habituellement les nombres x i ; les constantes sont les nombres a ij et b j Le qualificatif "linéaire" est approprié car le système ci-haut s écrit : Ax = b, où A=[a ij ] est une matrice de dimension m " n, x=[x i ] est un vecteur de dimension n et b=[b ij ] est un vecteur de dimension m 32 Solutions d un système linéaire Rappelons que l application suivante est linéaire: f : R n " R m f x) = Ax Pour que le vecteur b soit un élément de Imf), l image de lapplication linéaire f, il faut au moins un vecteur x tel que fx)=b; en termes de systèmes linéaires, il existe une solution du système linéaire correspondant : On a donc la conséquence suivante Ax=b Théorème Ax = b admet une solution x si et seulement si b est dans limage de lapplication linéaire f En particulier, les colonnes de A forment un ensemble générateur pour Imf) Le système linéaire Ax = b peut avoir : - une solution unique ceci arrive seulement dans le cas où A est carrée), - aucune solution, - une infinité de solutions, dépendant de la matrice A et du vecteur b

2 Dans la majorité des applications quon voit en génie, le système linéaire a autant d équations que d inconnues n = m) et la matrice A est une matrice carrée Si A est une matrice régulière, il existe une solution et elle est unique Un moyen de vérifier si une matrice est régulière est de calculer le déterminant et de vérifier que ce déterminant est différent de zéro Dans ce cas, la solution est donnée par : x = A -1 b De manière pratique, il est difficile de calculer manuellement le déterminant de A et l inverse de A lorsque A est de grande dimension; il faudra alors utiliser un logiciel En général, les logiciels ne calculent pas explicitement l inverse de A pour trouver x Si une matrice A est singulière, ou bien le système admet une infinité de solutions, ou bien il nadmet aucune solution, selon que le vecteur b est dans Imf) ou non Une matrice est singulière si le déterminant est nul 321 Indépendance linéaire et matrices Une application importante des systèmes linéaires est de déterminer si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant " a 11 " a 1n En effet, les n vecteurs de R m M,K, M sont linéairement indépendants si le système # a m1 & # a mn & suivant a une solution unique, la solution x 1 = =x n =0 : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Théorème Ax = 0 admet la solution unique x=0 si et seulement si les colonnes de A sont linéairement indépendantes Si la matrice carrée A est régulière, les n colonnes de A sont linéairement indépendantes À cause de la dimension, elles forment donc une base de R n On pourrait montrer la même chose pour les rangées Alternativement, si la matrice carrée A est singulière, au moins une colonne ligne) est une combinaison linéaire des autres colonnes lignes) 1

3 33 Méthode algébrique de résolution La méthode algébrique de résolution, pour un système carré régulier, consiste à isoler chaque variable en léliminant de toutes les équations sauf une L exemple suivant va montrer les principales étapes Le système à résoudre a la forme suivante : 2 x x 2 + x 3 = 9 3 x 1 + x 2 - x 3 = 4 La première étape consiste à combiner les lignes 1) et 2) pour éliminer la variable x 1 de la ligne 2) et remplacer la ligne 2) par cette nouvelle équation Plus précisément, on remplace la ligne 2) par la somme de la ligne 1) multipliée par -2 avec la ligne 2): -2+2 ) x ) x ) x 3 = x 1 + x 2 - x 3 = 12, et on obtient: x 2 - x 3 = 1 3 x 1 + x 2 - x 3 = 4 Ensuite, on élimine x 1 de la ligne 3) de façon analogue: on remplace la ligne 3) par la somme de la ligne 1) multipliée par -3 avec la ligne 3) : x 2 - x 3 = 1-3+3) x ) x ) x 3 = , et on obtient: x 2 - x 3 = 1-2 x 2-4 x 3 = -8 Nous avons éliminé la variable x 1 de deux des trois équations Nous allons maintenant éliminer la variable x 2 la troisième équation Comme plus haut, nous y arrivons en remplaçant la ligne 3) par la somme de la ligne 2) multipliée par 2 avec la ligne 3): x 2 - x 3 = 1 2-2) x ) x 3 = 2-8, et on obtient: 2

4 x 2 - x 3 = 1-6 x 3 = -6 Ces trois transformations ont permis de transformer le système initial en un système "triangulaire" Les transformations correspondantes sur les matrices associées donnent: # & # & "1 3 1 "1 0 0 "6 La notation " " indique que les matrices sont équivalentes, cest-à-dire quon passe de lune à lautre par le biais des opérations élémentaires de ligne : multiplier une ligne par un scalaire, additionner un multiple dune ligne à une autre ligne et échanger deux lignes Voir la section suivante pour plus de détails) Lorsque le système est mis sous forme triangulaire, le système linéaire est facile à résoudre En reprenant l exemple, la dernière ligne donne immédiatement la valeur x 3 qui d après l équation est égale à 1 On reporte cette valeur dans la deuxième équation pour trouver x 2-1 = 1 et ceci permet de trouver x 2 = 2 On reporte les deux valeurs dans la première équation pour trouver x = 4 et ceci permet de trouver x 1 = 1 Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont toutes les entrées au-dessous de la diagonale sont zéro : dénotant les entrées de A par a ij, a ij =0 pour tout i>j Une matrice triangulaire inférieure comporte uniquement des zéros dans la partie au-dessus de la diagonale) Le procédé décrit dans l exemple précédent produit une matrice triangulaire supérieure Si tous les éléments de la diagonale dune matrice triangulaire sont non nuls, la matrice de départ est inversible et la procédure précédente permet de trouver la solution du système linéaire en un nombre fini) d étapes Théorème Le déterminant dune matrice triangulaire est égal au produit des éléments de la diagonale Remarque Deux matrices équivalentes nont pas nécessairement le même déterminant Toutefois, si A B, alors deta) est non nul si et seulement detb) est non-nul Étant donnée une matrice triangulaire, si aucun des éléments de la diagonale n est nul, le déterminant est différent de zéro, ce qui est une propriété des matrices inversibles 3

5 Si une matrice triangulaire a des éléments nuls dans la diagonale, elle n est pas inversible et on ne peut pas trouver directement la solution du système Prenons par exemple la matrice triangulaire suivante : " # 0 0 2& Notons au passage que les vecteurs correspondant aux colonnes ne sont pas linéairement indépendants Par contre, les colonnes 1 et 3 forment un ensemble libre qui engendre les même espace que les trois solonnes prises ensemble Cette matrice correspond au système linéaire suivant en reprenant le même vecteur b que dans l exemple précédent : 2 x x 2 + x 3 = 4 0 x 2 +3 x 3 = 9 2 x 3 = 4 D après l équation 3), x 3 = 2 et d après l équation 2), x 3 = 3; ces deux solutions sont contradictoires et il s ensuit que le système n a pas de solution " 9 Si l on choisit comme membre de droite le vecteur b = 3, le système s écrit : # 2& 2 x x 2 + x 3 = 9 3 x 3 = 3 2 x 3 = 2 Les deux dernières équations donnent x 3 = 1 La première équation se réduit à : 2 x x 2 = 8 C est une équation à deux inconnues qui a une infinité de solutions comme par exemple : x 1 = 4; x 2 = 0; x 1 = 0; x 2 = 8/3; x 1 = 1; x 2 = 2 L ensemble des solutions est de la forme générale : x 1 = t x 2 = 8 2t)/3 x 3 = 1, 4

6 où la variable t est un nombre réel arbitraire Cet ensemble de solutions dépend d un seul paramètre t; il est équivalent à un sous-espace vectoriel de dimension 1; il peut se mettre & x1 # & 0# & 1 # sous la forme x! 2 = 8! + t 2 / 3!!!! x3!" 1! " 0!" 341 Une méthode matricielle: Gauss-Jordan Supposons qu un système linéaire d ordre n ait la forme suivante : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Il peut s écrire sous une forme plus compacte Ax = b où A est la matrice dont les " x 1 " b 1 coefficients sont les différents a i,j, x est égal au vecteur M et b est égal au vecteur M # x n & # b n & Lorsque le système est de grande taille, on doit utiliser des méthodes matricielles qui sont implantées sur ordinateur La méthode de Gauss-Jordan consiste à transformer la matrice A en une matrice identité, via une série dopérations élémentaires de ligne correspondant à lélimination des variables décrite plus haut Nous allons la détailler sur un modèle d un système de quatre équations à quatre inconnues: " a 11 a 12 a 13 a 14 " a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 # a 41 a 42 a 43 a 44 &# x 1 x 2 x 3 x 4 " = & # Nous écrivons ce système comme une matrice augmentée: " a 11 a 12 a 13 a 14 b 1 a 21 a 22 a 23 a 24 b 2 a 31 a 32 a 33 a 34 b 3 # a 41 a 42 a 43 a 44 b 4 & Commençons par la première ligne Si a 11 n est pas nul, a 11 est le «pivot» de la première ligne Si a 11 est nul, on remplace la première ligne par une des lignes suivantes, choisissant une ligne telle que a i1 est non nul) On divise alors la première ligne par a 11 On obtient alors le système suivant : b 1 b 2 b 3 b 4 & 5

7 " 1 a 12 a 13 a 14 b 1 a 21 a 22 a 23 a 24 b 2 a 31 a 32 a 33 a 34 b 3 # a 41 a 42 a 43 a 44 b 4 &, avec a 12 = a 12 / a 11 ; a 13 = a 13 / a 11, a 14 = a 14 / a 11 ; b 1 = b 1 / a 11 Puis, on élimine le 1 er terme, a i1, des trois autres lignes : à la ligne 2), on retranche la ligne 1) multipliée par a 21 ; à la ligne 3), on retranche la ligne 1) multipliée par a 31, à la ligne 4), on retranche la ligne 1) multipliée par a 41 Après ces trois opérations, le système devient : " 1 a 12 a 13 a 14 b 1 0 a 22 a 23 a 24 b 2 0 a 32 a 33 a 34 b 3 # 0 a 42 a 43 a 44 b 4 & Maintenant, on "oublie" la ligne 1) et la colonne 1), et on recommence à partir de la ligne 2) Le «pivot» est maintenant a 22, sil est non-nul On divise donc la deuxième ligne par a 22 et on obtient le système suivant : " 1 a 12 a 13 a 14 b a 23 a 24 b 2 0 a 32 a 33 a 34 b 3 # 0 a 42 a 43 a 44 b 4 & On élimine x 2 des lignes 3) et 4) : à la ligne 3), on retranche la ligne 2) multipliée par a 32 ; à la ligne 4), on retranche la ligne 2) multipliée par a 42 Après ces opérations, on obtient : " 1 a 12 a 13 a 14 b a 23 a 24 b a 33 a 34 b 3 # 0 0 a 43 a 44 b 4 & Après avoir répété la même démarche à la troisième et à la quatrième ligne, on obtient le système suivant : 6

8 " 1 a 12 a 13 a 14 b a 23 a 24 b 2, a 3) 34 b 3) 3 # b 3) 4& ce qui correspond à: x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = b 2 x 3 + a 3) 34 x 4 = b 3) 3 x 4 = b 4) 4 Nous avons ainsi obtenu un système triangulaire Et maintenant, en partant de la dernière ligne en procédant vers le haut, nous transformons ce système triangulaire en système diagonal Dabord, nous éliminons x 4 des lignes 3), 2) et 1) Comme dans la première partie, nous le faisons en retranchant le multiple approprié de la ligne 4) : " 1 a 12 a 13 0 b 4 ) a 23 0 b 4) b 4) 3 # b 4 ) 4& De la même façon, nous éliminons x 3 des lignes 2) et 1), et enfin, x 2 de la ligne 2), pour en arriver à : x 1 = b 7) 1 x 2 = b 6) 2 x 3 = b 5) 3 x 4 = b 4) 4 Remarque Le système triangulaire obtenu avec la méthode de Gauss-Jordan s appelle une forme échelonnée La forme finale s appelle une forme réduite échelonnée Dans une forme échelonnée, le premier élément non-nul d une ligne s appelle un pivot La matrice des coefficients A est régulière si et seulement si chaque colonne contient un pivot, ce qui est équivalent à dire pour une matrice carrée) que chaque ligne contient un pivot La méthode de Gauss-Jordan demande n 3 /2 opérations Elle est donc assez lente si la dimension n du système est grande Si les pivots sont faibles en valeur absolue), la division n est plus précise et les erreurs d arrondi deviennent importantes sur des calculateurs et se propagent le long des calculs La solution obtenue est alors à considérer avec beaucoup de prudence 7

9 Exemple Résoudre à laide de Gauss-Jordan x x x 3 = 0 2 x x x 3 = 2 3 x x x 3 = 11 Matriciellement: " # & La première étape conduit au système suivant : La mise en place du second pivot donne : # & 0 "4 "6 2 0 "6 "311 # & 0 1 3/2 "1/2 0 "6 "3 11 La deuxième étape conduit au système suivant : La mise en place du troisième pivot donne : # & 0 1 3/2 "1/ # & 0 1 3/2 "1/ /3 Maintenant on transforme ce système triangulaire en système diagonal On élimine x 3 des lignes 2) et 1) : 8

10 et enfin, on élimine x 2 de la ligne 1) : # "4 & "5/ /3 # /2 & "5/ /3 La solution est déduite directement de ce système : x 1 = 7/2 x 2 = -5/2 x 3 = 4/3 La méthode du pivot a transformé la matrice initiale en une matrice identité par une série d opérations élémentaires de ligne; on manipule les lignes pour créer de nouvelles lignes par combinaison linéaire Remarque Si on cherche à trouver une base pour l espace vectoriel engendré par les colonnes d une matrice A, on n a qu à prendre les colonnes de A qui contiendront un pivot après avoir mis A sous forme échelonnée Ceci peut se faire avec un logiciel 342 La méthode de Gauss La méthode de Gauss débute comme la méthode de Gauss-Jordan, mais, comme dans lexemple de la section précédente, on s arrête à une matrice triangulaire à la place d une matrice identité) La méthode de Gauss demande aussi n 3 /2 opérations Elle présente les mêmes difficultés pour des pivots faibles Remarque La méthode de Gauss, tout comme la méthode de Gauss-Jordan, fonctionne pour une matrice singulière aussi Seulement, on peut alors se retrouver avec une infinité de solutions, ou aucune solution 35 Méthodes numériques de résolution 351 Méthode de Jacobi Pour illustrer cette méthode, nous allons prendre un système de 3 équations à 3 inconnues: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 9

11 La méthode consiste à isoler x 1 à partir de l équation 1, isoler x 2 à partir de l équation 2 et isoler x 3 à partir de l équation 3: x 1 = b 1 - a 12 x 2 - a 13 x 3 ) / a 11 x 2 = b 2 - a 21 x 1 - a 23 x 3 ) / a 22 x 3 = b 3 - a 31 x 1 - a 32 x 2 ) / a 33 On se donne un estimé de la solution x 0) 1, x 0) 2, x 0) 3 et on calcule x 1) 1, x 1) 2, x 1) 3 à partir des relations suivantes: x 1) 1 = b 1 - a 12 x 0) 2 - a 13 x 0) 3 ) / a 11 x 1) 2 = b 2 - a 21 x 0) 1 - a 23 x 0) 3 ) / a 22 x 1) 3 = b 3 - a 31 x 0) 1 - a 32 x 0) 2 ) / a 33 On répète la même procédure pour calculer x 2), x 3), x 4), etc Si la matrice vérifie certains critères, le processus itératif converge vers la solution du système linéaire Le processus est arrêté lorsque les valeurs de x ne varient plus beaucoup entre deux itérations Les tests d arrêt ont la forme suivante : Test sur la variation absolue x k+1) i - x k) i < ε nombre réel petit comme ) Test sur la variation relative x k+1) i - x k) i / x k) i < ε nombre réel petit comme ) 352 Méthode de Gauss-Siedel Cette méthode modifie légèrement le processus précédent en proposant la formulation suivante : x 1) 1 = b 1 - a 12 x 0) 2 - a 13 x 0) 3 ) / a 11 x 1) 2 = b 2 - a 21 x 1) 1 - a 23 x 0) 3 ) / a 22 x 1) 3 = b 3 - a 31 x 1) 1 - a 32 x 1) 2 ) / a 33 La modification consiste à utiliser la plus récente valeur des différentes variables x Habituellement cette version modifiée converge vers la solution plus rapidement que la méthode précédente Pour les deux méthodes itératives, plus l estimé de départ est près de la solution, plus la convergence est rapide La propriété de convergence dépend des propriétés de la matrice du système linéaire et de son conditionnement 10

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