CENTRALE 2001 PSI 2ème épreuve

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1 , CENTLE PSI ème éreve NOT : ar socs de clarté, les élémets d'e matrce serot otés ar des lettres mscles : ( a ) Parte I I ) S est traglare sérere, elle lasse stable le draea { V V V },,, où V est le sos esace egedré ar les remers vecters de base S de ls est versble, la restrcto à chac des V d V, V,, Par morhsme corresodat est atomorhsme de V et - coserve doc ass le draea { V } ste, - est traglare sérere O obtet le résltat or e matrce traglare férere versble e remarqat qe t ( - )( t ) - I ) / est sos-esemble de Gl ( I ) o vde (l cotet l'detté), stable ar rodt et assage à l'verse C'est doc sos-groe I B ) Sot LU L' U' dex décomostos d'e matrce versble Nécessaremet, les qatre matrces L, U, L' et U' sot versbles et L' L U ' U / 8 I tremet dt, L L' et U U ' { } I B ) S LU est versble, les élémets dagoax de U sot tos dfférets de De ls, e décomosat les matrces, L et U e blocs sos la forme * * *, L L U et U * * *, le * rodt ar blocs doe L U q est doc e matrce versble H HV I B 3) vec la décomosto e blocs roosée, H H' + W H' V + a mosée est doc éqvalete à H' + W, sot H' W H est e matrce qelcoqe de / -, la matrce H W HH I La matrce H est alors de la forme H K', o obtet K' W H La codto sqe - est sosée versble S H - ; e calclat le rodt (ar blocs) I B 4) S, l'égalté I est e décomosto LU dmettos le résltat or e matrce de dmeso - lors, s est e matrce de talle,, la matrce extrate - admet e décomosto LU, sot telle qe det( ) or tot { } L U lqos la qesto I B 3) e chosssat H L O obtet H L H L V U L V / et H W L W L + a W L + a 8 ce q doe e décomosto LU de la matrce, d'où, ar récrrece, le résltat demadé emarqos qe, ar costrcto, la matrce U - (res L - ) est la matrce extrate formée des remères lges et remères coloes de U (res L ) ce q est cohéret avec les otatos de l'éocé I C ) L'échage des lges et q s'obtet e mltlat à gache ar la matrce E ( e ) e δ s et q ar δ q s δ s q défe

2 I C ) a) Psqe la remère lge de L est ( ), la remère lge de U L est égale à la remère lge de b) Psqe les élémets dagoax de la matrce traglare U élémets dagoax de U, la remère coloe de U est égale à la remère coloe de dvsée ar a a sot les verses des ; la remère coloe de L U c) Comte te de la remarqe termat la qesto I B 4), s LU est la décomosto de, o obtet la décomosto de sos la forme LU ( o l'a v égalemet das I B ) ) Par det( U ) det( ) coséqet, det( U ) det( ) d) Sot et dex eters tels qe et P la matrce de ermtato des lges et De la décomosto LU, o tre P (PL)U s o calcle le rodt d membre de drote ar blocs e s'téressat qemet a bloc de P formé des remères lges et coloes : grâce ax de la matrce U, l est égal a rodt des blocs sérers gaches a a a P a a a l a a a l l l O e dédt, avec les otatos de l'éocé : l U l det( ) det( ), d'où l e) Sot et dex eters tels qe et P la matrce de ermtato des lges et O effecte le rodt ar blocs P L(UP) e exlotat cette fos les de la derère "coloe" de L a a a P a a a l a a a l l s, e reat le détermat des blocs sérers gaches : U det( ) det( ), d'où l est I D LU : roc (, ) local, ; global L, U; for to do L[,] : [,]/[,];

3 L[,] : ; for from + to do L[,] : od od; for from 3 to do for from to - do L[,] : det(sbmatrx(swarow(,,),, ))/det(sbmatrx(,, )) od od; for to do U[,] : [,]; for from + to do U[,] : od od; for from to do U[,] : det(sbmatrx(,, ))/U[-,-]; for from to - ed; od do od U[,] : det(sbmatrx(swacol(,,),, ))/det(sbmatrx(, -, -)) I E ) Etae a) remère lge de U : ( 3 ) Etae b) remère coloe de L : Etae c) dagoale de U : 4 3 Etae d) l 3 l 4 l Etae e) Falemet, L et U 5 4

4 La résolto d système X Y s'effecte doc e résolvat dex système traglares l' α a α a x α β b arès l'atre : L β q est éqvalet à b, s U y β q est γ c γ c z γ δ d δ 3 5 d t δ x 5 a 4 α y b éqvalet à β z c γ t δ 3 5 d I E ) Le rodt de dex matrces L et U géérales de talle s'écrt b a Doc, s b c, a 'tervet as das le rodt E artcler, et décomostos LU dstctes de la matrce O vot égalemet qe la matrce b et ab sot évdemmet comatbles c b c d ab ac + d sot dex 'a as de décomosto LU sqe les codtos I E 3) a) E detfat les termes de degré r das l'detté olyomale + q ( + X ) ( + X ) ( + X ) q r r das laqelle o ara tlsé la formle d bôme, obtet C C C b) Das cet exemle, a C C C C C C C + + q ZZ ZZ ZZ derère somme état obtee e remlaçat ar - O recoaît alors comme le rodt des matrces de C terme gééral C et C resectvemet, c'est à dre des matrces L C C et C C C C C C U C C C ce q doe la décomosto cherchée et, e rme, det() det(u) E artcler, or et 4, l'égalté LU s'exlcte e q, la Parte II II Sot e matrce symétrqe défe ostve et { e,, e } vecters rores de ; o ote λ,, λ les valers rores corresodates S v v e base orthoormale formée de e est vecter o

5 l arbtrare, t vv λ v > écroqemet, sosos qe t vv > or tot vecter o l S λ est e valer rore qelcoqe de et s v est vecter rore assocé, alors t vv qe λ est strctemet ostf λ v > ce q motre II ) Ue matrce symétrqe est doc défe ostve ss c'est la matrce d'e forme qadratqe défe ostve La restrcto de cette forme qadratqe a sos-esace egedré ar les remers vecters de la base caoqe est (das cette même base) la matrce q est doc elle ass défe ostve ; e artcler, so détermat est strctemet ostf (rodt de ses valers rores) et o et doc alqer I B or obter l'exstece d'e décomosto LU de II ) Psqe det( ), la qesto récédete rove qe > or tot det( ) II B ) Ecrvos L' L et U ' U lors t t t t ( L' U ' ) U ' L' est ass e décomosto LU de Par cté d'e telle décomosto (cf I B ), L t U ' et U t L', d'où Posos B L L t U U 8 ; o et écrre 3 3 t U BB t t t t II B ) Soet BB B' B' dex telles décomostos de lors BB' B B' ; cette égalté d'e matrce traglare sérere et d'e matrce traglare férere rove q'elles sot totes les dex dagoales De ls l'égalté d -ème élémet dagoal s'écrt b b' ce q, ar l'hyothèse de ostvté de b' b b et de b', mose qe b' b et doc qe la matrce dagoale BB' est la matrce I Cela rove l'cté demadée II C ) ) C'est e coséqece mmédate de ce q a été dt das la qesto II ) )L'hyothèse ermet d'écrre e décomosto LU or M d'arès I B 4), sot M LU Les élémets dagoax de U état strctemet ostfs et la matrce M état symétrqe, l'argmet de t II B ) s'alqe sas chagemet et ermet d'écrre M BB où B est e matrce versble

6 t t t ) ) S X est vecter rore de M assocé à e valer rore qelcoqe λ de M, XMX λ X X BBX BX Comme B est versble, BX 'est as le vecter l et λ est doc strctemet ostf Parte III III ) La matrce H ( v) ( v) est celle d'e symétre car H t t t I v v + 4v vv v I et comme cette matrce est symétrqe, l s'agt d'e symétre orthogoale Les vecters orthogoax à v sot varats ar H ( v) et les vecters coléares à v sot at-varats Doc H ( v) est la symétre orthogoale ar raort à l'hyerla v III ) v H a Psq'e symétre orthogoale est e sométre le vecter b a,,, o à so oosé Il est évdet ( ) ( ) dot être égal a vecter ( ) a b géométrqemet qe or v a b ( v, H ) ( a) b O a b III B ) La démostrato se fat ar récrrece sr la talle des matrces Il 'y a re à démotrer s car das ce cas, tote matrce est das 8 Sosos vra le résltat or tote matrce de talle - et sot e matrce qelcoqe de talle D'arès III, l exste e matrce H (de talle ) telle qe a α α * * * a H O et alors écrre H ' O et alors trover des matrces de a Hoseholder H', H' 3,, H' de talle - telles qe H' H' H' ' 8 S o ose H, calcl de rodt ar blocs motre qe H H H' H H 8, ce q ermet de coclre III B ) O a v das III ) qe l'o ovat chosr comme mage d vecter a ar H ( v) le vecter ( a,,, ) S l'o fat ce chox or défr les matrces H de la qesto récédete, + H H H H 8 D'atre art, e matrce de Hoseholder est orthogoale et ar coséqet, ( ) Q H H H H est orthogoale Doc tote matrce carrée de talle admet e décomosto Q III B 3) S est versble, l'est ass S Q Q' ' sot dex décomostos, o et écrre Q' Q ' Or les vecters coloes de la matrce traglare ' ormés qe s cette matrce est dagoale et s ses élémets dagoax valet ± ' ossblté est qe ' III C Notos { e,, e } {,, } S est versble, { ε ε } I e evet être orthogoax et + 8, la sele, c'est à dre ', d'où Q Q' La décomosto Q de est doc qe la base caoqe (orthoormale) de I et ε e or tot das,, est e base de I qe l'o et orthogoalser ar le rocédé de Schmdt (matrce de assage traglare sérere à élémet dagoax égax à ) s ormalser e dvsat chaqe vecter obte ar sa orme (matrce de assage dagoale à élémet dagoax ostfs) E aelat { e',, e' } la base as obtee, la matrce de assage de { ε,, ε } à { e',, e' } est e matrce ~ + e,, e',, ' est e matrce orthogoale Q O a 8 De ls, la matrce de assage de { e } à { e } ~ ~ doc Q, d'où Q q est be e décomosto Q de

7 IV ) Parte IV Comme les coeffcets de la matrce M N sot des foctos olyomales (doc cotes) des coeffcets de M et N, la covergece des stes ( M ) IN mlqe la covergece de la ste ( M N ) vers MN IN N IN et ( ) vers M et N resectvemet IV ) a) Il réslte de la défto qe or tot vecter X o l, M X X M, doc qe MX M X Cette égalté est e otre vérfée s X Par ste, MN s MNX s M NX M N X X b) E artcler, M M Doc, s M <, la sére de terme gééral (-) M est absolmet covergete doc covergete de somme S Or ( ) assat à la lmte, ce q est stfé ar IV ), ( ) carrée admettat S comme verse à drote, elle est versble d'verse S K K + K + I + M ( ) M I + ( ) M E I + M S I Ef, comme I + M est e matrce IV 3) Par hyothèse, les valers rores de sot totes dstctes : est doc dagoalsable et, e otat P la matrce de assage de la base caoqe à la base de vecters rores, PDP IV B Il est mmédat ar récrrece qe det( ) det( ) ce q garatt qe totes les matrces Q motre alors qe + est + doc totes les matrces sot versbles L'égalté + ( ) semblable à et ar trastvté à IV C D LD λ l λ D'où lm D LD I + λ λ l l λ λ IV D Comme E ted vers, l e est de même de E et la orme de cette matrce est doc strctemet férere à à artr d' certa rag L'versblté de I + E (cf IV ) b) ) rove ~ ~ ~ alors l'cté d'e décomosto Q qe l'o ote I + E Q et comme est alors versble, ses élémets dagoax sot strctemet ostfs IV E ) L'orthogoalté de Q ~ est caractérsée ar la relato ~ t Q Q ~ I E assat à la lmte sr, o obtet ~ t Q Q ~ I ce q rove l'orthogoalté de Q ~ ~ t ~ Q I + E, lm ~ t Q ~ Par allers, cette lmte, qe l'o ote ~, est IV E ) Psqe ( ) + celle d'e ste de matrces de 8 + q est fermé de Doc ~ 8 + IV E 3) O a déà motré e III B 3) qe la sele matrce orthogoale de 8 + est I Doc ~ ~ Q I IV F E tlsat les décomostos Q et LU de P et P - resectvemet, o et écrre ~ ~ PD P QD LU Or I + E D LD Q O e tre D L Q D ~ ~ et ~ ~ QQ D U emarqos qe la matrce ~ D U est das 8 mas et-être as das 8 + S

8 σ σ ± est le sge de so -ème élémet dagoal et Σ σ ~, alors QQ Σ est e matrce σ ~ ~ QQ Σ Σ D U est l'qe décomosto Q de orthogoale et ( )( ) D'atre art, ( ) ( ) ( ) ( 3 ) Q Q Q Q Q Q Q Q Q ~ QQ Σ QQ Q E detfat ces dex décomostos Q, o obtet ~ or tot Σ D U emarqos este qe les matrces ~ et état das 8 +, les sges σ e déedet qe des sges des élémets dagoax de D et de U ; ls récsémet, σ sg( λ ) sg( ) et la matrce Σ red alteratvemet les valers Σ et Σ selo la arté de La remère égalté ermet d'écrre ~ ~ QQ Σ QQ Σ Q E remlaçat ar, l vet arès smlfcato ar Q, Q ~ Q ~ Σ Σ Q et e assat à la lmte sr, lm Q Σ Σ De même, e remlaçat ar +, o obtet lm Q Σ Σ + Comme Σ et Σ commtet, la ste ( Q ) IN + + est covergete de lmte Σ Σ ~ ~ O tre alors de la dexème égalté Σ D U Σ D U, d'où ~ ~ Σ D Σ E remlaçat à ovea ar, et arès mltlcato ar à drote, l vet ~ ~ Σ D Σ et e assat à la lmte sr, lm Σ D Σ De même, e remlaçat ar +, o obtet lm + Σ D Σ + E regroat ces résltats, lm + Σ + D Σ et lm + Σ + D Σ Comme la matrce est traglare sérere, la matrce D l'est ass de même qe Σ D Σ et Σ D Σ De ls, les élémets dagoax de D sot les valers rores λ de ; comme la mltlcato à gache et à drote ar Σ revet à chager le sge de certaes lges s des coloes de même dce, cette oérato e modfe as les élémets dagoax q restet égax ax λ, et l e est évdemmet de même avec Σ Les ( ) dex sos-stes ( ) IN sot covergetes, lm ( ) ( ) et ( + ) + IN λ s ayat même lmte orv qe, les stes ( ) et lm ( ) + s < ( ) IN