CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire Introduction... 2

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1 Sommaire Sommaire... 1 Introduction Trois différentes techniques de pricing Le modèle de Cox Ross Rubinstein Le modèle de Black & Scholes Méthode de Monte Carlo Analyse des différentes techniques de pricing L influence des paramètres sur les techniques de pricing Comparaison de prix des pricers Les informations contenues dans les données historiques La nappe de volatilité La densité risque neutre Conclusion... 2 Professeur : Florian IELPO 1

2 Introduction Etant étudiants en troisième année à L ESILV et donc en première année de spécialisation dans l option ingénierie financière, nous avons suivi des cours permettant de maîtriser les techniques simples de pricing d options. Dans le but de pouvoir les appliquer en stage, ce projet nous a proposé de coder ces techniques dans le langage utilisé dans le monde de la finance : Visual Basic for Applications (VBA). VBA est une implémentation de Microsoft Visual Basic qui est intégrée dans toutes les applications de Microsoft Office. Elle permet à son utilisateur de coder des fonctions et des macros qui vont pouvoir l aider à réaliser des calculs à partir d une feuille Excel par exemple. Le but de notre projet a donc été de réaliser des fonctions et des macros permettant à un utilisateur de la feuille Excel de générer les résultats dont il a besoin à partir des paramètres qu il aura entré dans les cellules appropriées. Afin de vous expliquer les différentes étapes de notre projet, je vais articuler mon développement en trois parties : - Tout d abord j exposerai les différentes techniques de pricing que j ai codé. - Par la suite, nous verrons les différences entre ces techniques et l influence qu ont certains paramètres sur les résultats obtenus - Enfin je vous montrerai quels informations les données historiques peuvent nous révéler. Professeur : Florian IELPO 2

3 1 Trois différentes techniques de pricing. 1.1 Le modèle de Cox Ross Rubinstein. Le modèle de Cox Ross Rubinstein a pour but de pricer une option en représentant l évolution du cours de son sous jacent suivant un arbre binomial. La première étape du codage de ce modèle a donc été de représenter un arbre binomial modélisant l évolution du cours de l action suivant des paramètres entrés en argument. Afin de vérifier le bon fonctionnement de mon raisonnement j ai tout d abord codé une macro qui affiche l arbre trouvé dans la feuille Excel : Ainsi, u et n sont pris en argument dans des cellules de la feuille Arbre binomial. T a été mis par défaut à 1 mais il ne serait pas difficile de le prendre en argument. La macro n a été codé que pour vérifier le bon fonctionnement de notre raisonnement dans la programmation. Ainsi, en entrant en paramètres.1 pour u et 1 pour n on obtient ces résultats : Professeur : Florian IELPO 3

4 A la vue du résultat, j ai pu affirmer que mon code est correct. La première étape du code étant terminée, j ai pu m occuper du calcul du prix de notre option grâce à deux fonctions. La première est la fonction payoff qui calcule la dernière colonne des nœuds de l arbre. Grâce à ce vecteur elle calcule ensuite le payoff en retranchant le strike price, entré en argument, à ces prix. Evidemment, si le résultat de la soustraction est négatif, elle remplace ce résultat par zéro. Enfin la fonction renvoi le vecteur du payoff : Nous pouvons remarquer que le calcul de u et d se fait à partir de la volatilité du sous jacent entrée en argument. Ainsi les coefficients de monté et de descente du prix du sous jacent sont plus précis. Professeur : Florian IELPO 4

5 La deuxième fonction de mon code afin de calculer les prix de l option est la fonction proba. Elle calcule la probabilité pour chaque événement de l évolution du cours du sous jacent de se produire. En effet, pour mettre en évidence le prix de notre option, il faut calculer l espérance actualisée de notre sous jacent à la maturité de l option. Pour ce faire il nous a tout d abord fallu calculer la probabilité risque neutre. En effet le pricing d une option repose sur une règle :l absence d opportunité d arbitrage. Une fois cette probabilité calculée grâce à la volatilité de notre sous jacent et du taux sans risque, le time to maturity et le nombre de périodes permettent de calculer le vecteur des probabilités. Ainsi j ai codé ma fonction proba de la façon suivante : Ainsi les deux fonctions que nous venons de voir renvoient des vecteurs qui, si j ai bien codé, doivent être de même taille. Il suffit alors de réaliser une fonction prenant les paramètres de l option en argument. Cette fonction va alors appeler proba et payoff et va réaliser le produit scalaire des deux vecteurs renvoyés. Voici le code de cette fonction : Professeur : Florian IELPO 5

6 Regardons à présent les différents résultats obtenus avec nos fonctions. Tout d abord, regardons les résultats numériques que nous obtenons : Nous pouvons supposer que les résultats obtenus sont corrects. En effet les deux vecteurs calculés sont de même longueur. Le vecteur payoff a des valeurs positives en haut et nulles en bas ce qui est en concordance avec le payoff d un call. Pour vérifier que Professeur : Florian IELPO 6

7 notre vecteur probabilité est correct, j ai réalisé un graphique représentant la distribution des probabilités en fonction des différents payoff. On peut s attendre à une distribution s apparentant à une loi normale car il y a plus de chances que le sous jacent connaisse les évolutions du centre que celles de l extrême dans le modèle CRR. Regardons le graphique obtenu : proba,9,8,7,6,5,4,3,2,1 d une loi normale. 648, , , , , , , , , , , , , , Conformément à ce que nous attendions, la distribution de probabilités a l allure Nous pouvons donc conclure que le prix de notre modèle de Cox Ross Rubinstein devrait être correct. Afin de nous conforter dans cette idée, deux autres modèles de pricing d options vont pouvoir être codé. Professeur : Florian IELPO 7

8 1.2 Le modèle de Black & Scholes. La formule de BS découle directement de CRR. Le schéma binomial de CRR peut converger vers le schéma normal de Black Scholes (Cas européen). Or, une binomiale converge vers une loi normale pour un t suffisamment petit. On retrouve donc la formule de Black & Scholes en faisant tendre notre pas vers c'est-à-dire en faisant tendre n vers l infini. Ainsi en prenant les mêmes paramètres en entrées que pour le modèle CRR, on peut réaliser la fonction Call_BS qui va calculer les prix de l option call grâce aux formules suivantes : Avec : la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, c'est-à- dire : Et : Ainsi j ai pu programmer la fonction Call_BS : Professeur : Florian IELPO 8

9 Nous pouvons à présent regarder les résultats obtenus grâce à la fonction Call_BS. Nous prenons les mêmes paramètres que pour les tests de notre fonction prixcrr : Ainsi nous avons réalisé notre fonction Call_BS qui, vu les résultats obtenus, paraît correct. Nous pouvons à présent nous intéresser à notre dernière technique de pricing : la méthode de Monte Carlo. Professeur : Florian IELPO 9

10 1.3 Méthode de Monte Carlo. L évaluation des options par simulation de Monte Carlo repose en grande partie sur l évaluation risque neutre. Les paiements futurs espérés sont en effet calculés dans un univers risque neutre en suivant une procédure d échantillonnage avant d être actualisé au taux sans risque. Nous allons donc coder notre pricer grâce à deux fonctions. Tout d abord nous créons une fonction simulation, qui comme son nom l indique permet de simuler un vecteur de nombres ayant une distribution normale. Cette fonction se sert de la fonction d Excel NORMINV. On prendra donc en entré la moyenne mu, l écart type sigma, et n qui est le nombre de simulation que l on effectue : Nous pouvons alors notre fonction prixmontecarlo. Pour cela notre programme réalisera un tirage au hasard d une trajectoire de S dans un univers risque neutre. Puis nous calculerons le payoff à l échéance pour cette trajectoire. Nous répéterons cela Z fois pour avoir un plus grand nombre de flux terminaux. Enfin nous calculerons le prix en faisant la moyenne des payoff pour obtenir une espérance du flux terminal que nous actualiserons au taux sans risque : Professeur : Florian IELPO 1

11 Cette fonction nous renvoi donc le prix Monte Carlo. Je viens donc de vous présenter les trois pricer mis en place en VBA. Regardons à présent quelles conclusions on peut tirer des résultats renvoyés par nos fonctions. Professeur : Florian IELPO 11

12 2 Analyse des différentes techniques de pricing. 2.1 L influence des paramètres sur les techniques de pricing. Tout d abord intéressons nous à la variation du prix d un call en fonction de la variation de la volatilité de son sou jacent. Regardons tout d abord le graphique que l on obtient : prix en fonction de la volatilité prix du call volatilité en % Nous pouvons remarquer que plus la volatilité du sous jacent augmente et plus le prix de notre option augmente. On aurait pu faire cette déduction par logique. En effet si la volatilité du sous jacent est forte, il est plus probable que le sous jacent atteigne des prix forts. Si le sous jacent atteint un prix fort, la valeur de l option sera elle aussi forte. Cependant si le sous jacent baisse, l option permettra de couvrir les pertes. Il est donc tout naturel qu une option avec un sous jacent à forte volatilité soit plus cher qu une option avec un sous jacent à faible volatilité. Professeur : Florian IELPO 12

13 jacent : Regardons à présent le prix de l option en fonction de la valeur de son sous prix en fonction de la valeur du sous jacent prix du call valeur du sous jacent Nous remarquons que plus la valeur du sous jacent est élevée et plus le prix de notre option call est élevé. En effet plus la valeur du sous jacent sera élevée et plus elle a de chance d être, à terme, supérieure au strike price K. Il est donc tout naturel que la valeur de notre option augmente si la valeur du sous jacent augmente. K : Voici le graphique du prix de l option call en fonction de la valeur du strike price Professeur : Florian IELPO 13

14 prix en fonction du strike prix du call strike La valeur de notre option baisse à mesure que le strike price augmente. En effet sin notre strike price augmente les chances que la valeur du sous jacent soit au dessus du strike à terme se réduisent. Professeur : Florian IELPO 14

15 Le graphique du prix de l option call en fonction de la maturité est le suivant : prix en fonction de la maturité prix du call maturité Plus la maturité de l option est lointaine et plus la valeur du sous jacent a de chances d augmenter et donc passer au dessus du strike price. Il est donc naturel que le prix du call augmente lorsque le time to maturity augmente. 2.2 Comparaison de prix des pricers. Cette comparaison va nous permettre d étudier plusieurs caractéristiques : - tout d abord, nous pourrons étudier la convergence du prix CRR vers le prix Black Scholes - Nous pourrons aussi regarder le comportement du prix Monte Carlo par rapport aux deux autres prix. Nous allons effectuer cette comparaison grâce à un graphique qui aura en abscisse, le nombre de simulation à réaliser dans le cas de Monte Carlo et le nombre de Professeur : Florian IELPO 15

16 subdivisions du temps pour CRR. Bien évidemment, ce paramètre n influera aucunement sur le prix Black Scholes. Black Scholes sera donc une «référence» vers laquelle nos deux prix devraient tendre à mesure que n croit. Regardons le graphique obtenu : Comparaison des différents pricers prix du call 15 Prix BS Prix CRR Prix MC n Nous pouvons tout de suite constater que le prix CRR converge vers Black Scholes ce qui conforte l idée que le modèle de Black & Scholes vient du modèle CRR avec un pas de temps tendant vers zéro. Nous remarquons aussi que le prix du modèle de Monte Carlo oscille autour du prix Black Scholes et tend vers celui-ci à mesure que n grandit. Professeur : Florian IELPO 16

17 3 Les informations contenues dans les données historiques 3.1 La nappe de volatilité Lors de la première partie, nous avons vu que l un des facteurs permettant le calcul du prix grâce à la formule de Black & Scholes est la volatilité du sous jacent de l option. En inversant notre raisonnement, on peut retrouver l un des paramètres si l on a le prix de l option et les autres paramètres. Ici le paramètre que nous cherchons est la volatilité. En inversant le raisonnement, on va pouvoir retrouver la volatilité du sous jacent de l option. Cette volatilité sera appelée volatilité implicite du sous jacent. Au moyen de la méthode de dichotomie, on va pouvoir retrouver la volatilité implicite : Professeur : Florian IELPO 17

18 Ainsi, notre fonction volimpl va permettre de retrouver la vol implicite grâce aux paramètres de l option et de son prix. On constate que la volatilité implicite aux options fortement hors de la monnaie ou largement dans la monnaie est plus élevée que la volatilité implicite recalculée à partir des options à la monnaie. On appelle ce phénomène smile de volatilité A l aide d une série de données, on va tenter de tracer le smile de volatilité : volatilité implicite,18,16,14,12,1,8,6,4, time to maturity K=5 K=49 K=48 K=47 K=46 K=45 K=44 K=43 strike prices,16-,18,14-,16,12-,14,1-,12,8-,1,6-,8,4-,6,2-,4 -,2 On retrouve bien le principe du smile de volatilité avec ce graphique. En effet nous voyons que la volatilité implicite est plus grande aux extrémités du graphe qu au centre. Professeur : Florian IELPO 18

19 3.2 La densité risque neutre Notre dernière étape dans ce projet a été de créer le graphique de la fonction de densité risque neutre. Pour ce faire, notre première étape a été de dériver deux fois le prix Black & Scholes en fonction du strike price. On obtient la formule suivante : Par la suite nous avons réalisé une régression linéaire d ordre 3 de la volatilité implicite en fonction de K afin de trouver les coefficients a,a1,a2,a3. Cette régression linéaire nous a permis de coder la fonction de calcul de la fonctions densité risque neutre. En effet le calcul de la volatilité implicite mais aussi de ses dérivées première et seconde par rapport à K est alors possible en entrant K et les différents coefficients en argument. Le calcul de la fonction de densité a alors été possible sur la série de données en notre possession. Nous avons alors pu réaliser un graphique que voici : Professeur : Florian IELPO 19

20 Conclusion En définitive, ce projet nous a permis d assimiler les bases de la programmation en VBA. Nous avons pu coder les pricers que nous avons vu pendant nos cours théoriques mais nous avons aussi assimilé de nouvelles notions. L outil informatique s est révélé indispensable. Nous avons pu entrevoir la puissance de calcul et l ergonomie du langage VBA. Les notions assimilées pendant ce projet nous ont permis d élargir encore nos connaissances sur le pricing des options. Professeur : Florian IELPO 2

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