Projet Couverture des Produits Dérivés

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1 Sommair Proj Couvrur ds Produis Dérivés Objcifs moivaions: mr n œuvr comparr ds méhods d'évaluaion sraégis d couvrur d opions complxs n uilisan ds méhods numériqus à dévloppr n C Rappls sur ls opions xoiqus: digials, barrièr, lookback, asiaiqus, c Europénns Américains Disribuions associés: mps d passag, maximum, minimum, Méhods d'évaluaions: forms xplicis, méhod binomial, par simulaion d Mon Carlo Couvrur (hdging): Saiqu vs Dynamiqu Programmaion : VBA ou R, C/C, librairis opn sourc (GNU Public Licnc): Financial Rcips in C/C, fopions (R), Danil HERLEMON Danil HERLEMON ravaux Praiqus Caracérisiqus ds opions xoiqus P: Pricing Opions Exoiqus Digials barrièrs, éud ds grcqus P: Pricing par simulaion d Mon Carlo: applicaion aux opions Asiaiqus Lookback P3: Pricing par la méhod binomial: applicaions aux opions américains complxs P4: Sraégis d couvrur pour opions Barrièrs, Digials Lookback comparaison hdging dynamiqu vs hdging saiqu Nom génériqu donné à ds dérivés avc ds paimns plus complxs qu ls opions vanills Uilisés n gsion d risqu ou n spéculaif, crains opions puvn avoir ds lvirs rès élvés (opions barrièr par xmpl). raiés principalmn sur un marché d gré à gré (OC Ovr h Counr) S'adrssn pluô à ds invsissurs "sophisiqués" ou hdg fund. Ls "producurs" d'opions xoiqus son généralmn ds banqus qui s couvrn (hdging) par ds posiions ls sous jacns : hdging dynamiqu /ou d'aurs opions : hdging saiqu Danil HERLEMON 3 Danil HERLEMON 4 Difficulés chniqus Pricing dans l'économi d Black & Schols - rappl La gsion d couvrur s plus délica qu dans l cas d'opions vanills: il pu y avoir ds problèms d liquidié crains opions on ds payoffs difficils à répliqur n raison d disconinuiés (xmpl opions barrièrs) avc ds Dlas Gammas élvés, connu sous l nom d "pin risk". Crains opions dépndn du chmin (pah dpndn) (Asiaiqu, Lookback, ou opion américain) dépndn du chmin, il n'xis pas, n général, d formuls xplicis pour cs opions approximaions méhod binomial simulaion d Mon Carlo, Hypohèss L marché s sans fricion: pas d coû d ransacion, ni fourch d marché (bid/ask), ni impôs, pas d rsricion sur ls vns à découvr ls acifs son divisibls l marché s liquid: on pu vndr aché à ou insan immédiamn ls quaniés voulus. Ls aux son consans Il n'y a pas d'opporunié d'arbirag: pas d sraégi d coûs nul risqu nul (no fr lunch) L marché s compl: Rappl héorèm fondamnal: dans l un marché compl, sans arbirag, la valur d'un acif coningn s égal à l'spéranc acualisé ds paimns sous la probabilié risqu nur : ou acif coningn pu êr répliqué (donc couvr) par un porfuill auo finançan composés d'acifs risqués d l'acif sans risqu. Danil HERLEMON 5 Danil HERLEMON 6 Pag

2 Grcqus - rappl Opions Exoiqus classiqus Digials payoff n ou ou rin Barrièrs l payoff dépnd du franchissmn d'un barrièr Asiaiqus l payoff dépnd d'un moynn ds prix du sous jacn Lookback l payoff dépnd du maximum (ou du minimum) du prix du sous jacn Aurs Opions: Gap, Choosr, Corrlaion (nr acifs), Rainbow,... Danil HERLEMON 7 Danil HERLEMON 8 Opions Digials - Cash Nohing Opions Digials Europénns - Ass Nohing Ls opions digials (ou bianirs) Cash or nohing call Un opion digial "Ass or Nohing" call pay "acion" si l prix à échéanc S payoff { S } Digial Europénn Digial Américain S payoff S{ S } S payoff S payoff payoff S payoff S S L'opion pay ssi l prix du sous jacn s plus L'opion pay ssi l prix du sous jacn s plus grand qu à l'échéanc grand qu à ou insan avan l'échéanc aussi applé opion "on-ouch" Danil HERLEMON 9 Danil HERLEMON Opions Digials Europénns - Cash Nohing - pricing B&S Opions Digials Europénns - Ass Nohing - pricing B&S r r r V ( S, ) E [ d P [ S S S σ ) σz S S σ ) σz Pr( S ) Pr( S ) Pr Pr z z N ( d ) sous z ln( S) ( r σ ) σ ln( S avc ~ N(,) ) ( r σ ) σ ln( S ) ( r σ ) d σ Par syméri N( ) s la foncion d disribuion d'un Gaussinn sandard. S d S r V ( S, ) E[ S{ S } avc σ ) σz S S σ ) σz S z d ds rsd σsdz sous d d S d r S Ré-écrivons n rm d z. voir calcul précédn pour l cash or nohing z d S <> σ ) σz ( z /( )) S qz ( z ) dz où q Z ( z ) π z d V CashOrNohingCall r ( S, ) N ( d) Danil HERLEMON Danil HERLEMON Pag

3 Ass Nohing - pricing B&S (sui) Opions Digials - rlaions avc ls opions vanills S d S σ ) σz ( z /( )) S π z d ( z σ ) r S dz π z d r S Pr( ) z d z d r σ σ S Pr r z σ d σ S dz Pr par syméri S r N( ) avc V d gaussinn d moynn σ varianc. z σ ~ N(,) ln( S ) ( r σ ) d d σ σ ( S, ) SN ( d) AssOrNo hingcall Call Europén Vanilla AssOrNohingCall- CashOrNohingCall r S ) S { S } { S } ( E [( S ) r E [ S{ S } S N( ) - N d ) d - - Ls opions digials n posn donc pas d problèm d'évaluaion. r En rvanch, ls payoffs son disconinus, c qui rnd la couvrur délica rès risqué E [ { S } ( d ln( S / ) ( r σ )( ) σ d d σ Danil HERLEMON 3 Danil HERLEMON 4 Opions digials - grcqus - risqu d hdging Opions Digials - Dla & Gamma Exmpls à rproduir n P Danil HERLEMON 5 Danil HERLEMON 6 Opions Asiaiqus (Asian Opions) Opions Asiaiqus (sui) Payoff rlad o avrag sock pric (gomric or arihmic avrag) Avrag Pric opions pay: max(s av, ) (call), or max( S av, ) (pu) Avrag Srik opions pay: max(s S av, ) (call), or max(s av S, ) (pu) No analyic soluion in gnral (h xcpion is whn h opion is on a gomric avrag) Can b valud by assuming (as an approximaion) ha h avrag sock pric is log-normally disribud and Mon Carlo Simulaion Normally, w do no hav closd form soluions for Asian opions. h xcpion is whn h opion is on a gomric avrag: Gomric Avrag: I xp( ln( S ) d) No ha undr, S follows: ds rsd σsdz or S S xp(( r σ ) σz ) hnc I S xp( (( r σ ) σz ) d) whr (( r σ ) σz ) d is Gaussian so I is acually log-normally disribud! Danil HERLEMON 7 Danil HERLEMON 8 Pag 3 3

4 Opions Asiaiqus (sui) Opions Asiaiqus (sui) h gomric avrag I is X ( r σ ) σ whr X ~ N, 3 You may chck ha his is h sam as if I follows h gomric Brownian Moion: di ( r σ ) 6 Id σidz 3 in a risk nural world. ( r ( ( r ))) Id hrfor, o pric an avrag pric call whos payoff is: w jus nd o compu: r E [( I ) whr di ( r ( ( r ))) Id 6 σ 3 6 σ 3 ( ) I σidz Which jus looks lik Black-Schols on an ass paying a coninuous dividnd of q ( r σ ) and wih volailiy of 6 σ 3 σidz h majoriy of Asian opions involv arihmic mans: I S d In his cas, I, is no log-normally disribud, and hnc w canno fi i ino h Black-Schols formula framwork. Howvr, i is common o compu h firs wo momns of I and assum ha is disribuion is log-normal wih h sam firs wo momns. In his cas, h Black-Schols formula provids a quick and closd form approximaion o h ru pric. his is somims rfrrd o as h mhod of momns in pricing. Danil HERLEMON 9 Danil HERLEMON Bask Opions A bask opion is an opion o buy or sll a porfolio of asss his can b valud by calculaing h firs wo momns of h valu of h bask and hn assuming i is lognormal x nock-ous: h opion is worhlss if i his h barrir. nock-ins: h opion is worhlss unil i his h barrir. Opions Barrièrs Barrir opions ar lik normal Europan opions, xcp ha hy ar ihr acivad, or bcom worhlss whn h undrlying ass his a pr-spcifid barrir. h basic yps ar: nock-in nock-ou Vanilla Also, h barrir can b hi on h way down (down-and-ou, down-and-in) or i can b hi on h way up (up-and-ou, up-and-in). Danil HERLEMON Danil HERLEMON Lookback Opions Amrican Digials max $ im im Lookback opions dpnd on h maximum or minimum pric achivd during h lif of h opion. A Europan lookback call opion pays off: A Europan lookback pu opion pays off: S min S max S S o pric hs, w nd o b abl o compu h saisics of h maximum and minimum... im im Amrican digial opions payoff $ h momn h srik pric is hi. pric E[ rτ whr τ rprsn h firs hiing im of h srik pric. o valua his, w nd o know h saisics of h hiing im... Danil HERLEMON 3 Danil HERLEMON 4 Pag 4 4

5 Amrican Digial Disribuions associés Ls disribuions uils pour ls opions barrièrs, lookback digials (américains) son rlaivs aux mps d passag, lois du maximum du minimum B da τ Probabilié qu l maximum soi B nr ls das Probabilié d ouchr la barrièr avan la da (l mps τ s applé l prmir mps d passag (Firs Hiing im) Danil HERLEMON 5 Danil HERLEMON 6 Princip d réflxion mps d passag (Firs Hiing im) Soi Noons z un brownin zˆ max z x B-C B C mps pour aindr un nivau donné x: Brownin sans drif : n applicaion du princip d réflxion dnsié du mps d passag da da pour C < B, calculons la loi join du maximum d la valur rminal P( zˆ B ; z C) P( zˆ B; z B C) P( z B C) B-C éan > B B C z π dz Mais l mps l plus fréqun n dépnd qu d la volailié la barrièr Puis par différniaion par rappor à C: P ( zˆ B; C < z C dc) π (B C) dc Exmpl: un sop à -3% avc un volailié d 3% (./jour) mps ypiqu.3 /3*..75 d un journé d rading, soi 6 hurs railing sop à mps consan s proporionnl à σ : railingsop.73 σ L mps ypiqu d passag pu êr vu comm l horizon opimal d invsissmn éan donné un objcif Pour brownin avc drif, on monr qu Danil HERLEMON 7 Danil HERLEMON 8 Méhod d'évaluaion numériqus Méhod d Mon Carlo Méhod d Mon Carlo n qulqus mos: On génèr ds chmins d manièr aléaoirs Pour chaqu chmin, on calcul la valur d l'opion On ffcu la moynn Voir présnaion nspécifiqu sur la Méhod d Mon Carlo N foncionn qu pour ls opions uropénns Méhod Binomial n qulqus mos On découp la duré jusqu'à échéanc n n sous périods à dux éas (voir 3) par périod > arbr L prix d l'opion s calculé d proch n proch, n commnçan par ls nods rminaux d l'arbr, Bin adapé pour ls opions américains Méhods numériqus : soluion d facilié, mais consommaric n mps d calcul. Danil HERLEMON 9 Danil HERLEMON 3 Pag 5 5

6 Simulaion d variabls aléaoirs lognormals Mon Carlo - opion vanill - programm C Danil HERLEMON 3 Danil HERLEMON 3 Mon Carlo - opion vanill - programm C (sui) Mon Carlo - Grcqus Danil HERLEMON 33 Danil HERLEMON 34 Mon Carlo - Dla - programm C Mon Carlo - Généralisaion à ds payoffs arbirairs Opions Digials Danil HERLEMON 35 Danil HERLEMON 36 Pag 6 6

7 Mon Carlo - payoffs arbirairs - programm C Mon Carlo - opions uropénns - pah dpndn payoffs La foncion payoff prnd mainnan un vcur n paramèr rprésnan l chmin d l'acif Danil HERLEMON 37 Danil HERLEMON 38 Généraion d'un chmin lognormal Mon Carlo - pah dpndn payoffs - xmpls Opions Asiaiqus Opions lookback Danil HERLEMON 39 Danil HERLEMON 4 Méhod binomial Méhod binomial (sui) Danil HERLEMON 4 Danil HERLEMON 4 Pag 7 7

8 Méhod binomial - C Méhod binomial - opions américains - xmpl E A G Danil HERLEMON 43 Danil HERLEMON 44 Méhod binomial - opions américains - méhod général Méhod Binomial - call américain - n C Danil HERLEMON 45 Danil HERLEMON 46 Méhod binomial - cod R Référncs John Hull, "Opions, Fuurs, and Ohr Drivaiv Scuriis", 5h Ed. Englwood Cliffs, NJ: Prnic Hall. Exis aussi n vrsion Français: "Opions, fuurs aurs acifs dérivés" Ediions Parson Educaion, 4 La Référnc! Haug, "h compl guid o opion pricing formulas ", 997 D nombrux xmpls son irés d c livr (qui comprnd aussi ds fuills xcl VBA prês à l'mploi ) Pr Zhang, "Exoic Opions: A Guid o h Scond Gnraions Opions", 998 (Nassim alb, "Dynamic Hdging", Wily, 996) B. A. Odgaard «Financial Numrical Rcips in C», 4. hp://financ.bi.no/~brn/gcc_prog/rcips Danil HERLEMON 47 Danil HERLEMON 48 Pag 8 8