de trigonométrie FORMULES D'ADDITION cos a b cosa cosb sinasin b sin a b sina cosb cosasin b sin2a 2sina cosa FORMULES DE LINÉARISATION cos a 1 cos2a

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1 Compléments de trigonométrie FORMULES D'ADDITION cos a b cosa cosb sinasin b cos a b cosa cosb sinasin b sin a b sina cosb cosasin b sin a b sina cosb cosasin b cosa cosa sina cosa sina sina sina cosa résumés de cours exercices FORMULES DE LINÉARISATION cos a cosa sin a cosa corrigés contrôles

2 Exercice Donner les expressions suivantes en fonction de sin x, sin y, cos x et cos y. Asinxy sinx y Bcosxy cosx y Csinxysinx y Dcosxycosx y Exercice. Calculer cos x en fonction de cos x, en déduire la résolution dans 0; de l'équation 8cos x 6cosx 0.. Résoudre dans 0; les équations et inéquations suivantes : a) 4sinx cosx 0. b) cos x sinx. c) d) sinxcosx sinxcosx. cosx cosx sinx sin x. Exercice Sachant que, déterminer les valeurs exactes de sin 4 et cos. Exercice 4 x est un réel vérifiant x 0;.. On donne cosx, calculer cosx, en déduire x.. On donne cosx 5, en déduire la valeur de cosx puis celle de 4 cos4x. Comparer les résultats obtenus. Peut-on alors déterminer x? 6. Compléments de trigonométrie

3 Exercice 5 Dans chacun des cas suivants, linéariser f(x) i :. f(x) sin x.. f(x) cosx 4.. f(x) sin x. 4. f(x) 4 sinxcosx. Exercice 6 On considère la fonction f définie sur 0; par : f(x) cosx sinx.. Montrer que pour tout x 0;, f(x) cosx.. Calculer f(x). Déterminer le signe de la dérivée, en déduire les variations de la fonction f.. Dresser le tableau de variation de f. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse. 5. Tracer la courbe C représentative de f et la tangente T dans un repère orthogonal. résumés de cours exercices Exercice 7 A contrôles O a C H B Un triangle ABC isocèle, de sommet principal A est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon. H est le pied de la hauteur issue de A. Soit a la mesure en radians de l'angle HOB ; on suppose 0a. corrigés. Compléments de trigonométrie 7

4 . a) Exprimer BC et AH en fonction de a. b) En déduire, en fonction de a, l'aire du triangle ABC.. On considère la fonction f définie sur 0; par : f(a) sina cosa. Calculer la dérivée f de la fonction f.. a) Vérifier que f (a) cos a cosa cosa cosa. b) En déduire le signe de f(a) sur l'intervalle 0; puis sur ;. c) Établir le tableau de variation de la fonction f. 4. Montrer qu'il existe une valeur de a, que l'on déterminera, pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle ABC? 8. Compléments de trigonométrie

5 Exercice Déterminer les valeurs exactes de cos et 7 sin en utilisant l'égalité résumés de cours Exercice Simplifier les expressions suivantes : A(x) cosxcosx sinxsin x. B(x) sin4xcosx sinxcos4x. sinx cosx C(x) sinx cosx pour x Exercice 0;. 4 exercices Linéariser : f(x) cos x sin x 4. g(x) sin x cosx 5cos x. Exercice 4 Résoudre dans 0; :. cos x sinx.. 4 sin x x cos. 4 contrôles Exercice 5 Soit la fonction h définie sur 0; par h(x) sin x. Montrer que h(x) sinx... Déterminer sur 0;le signe de h(x), en déduire les variations de h.. Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction h. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de h au point A d'abscisse x. 6 corrigés. Compléments de trigonométrie 9

6 Corrigé des exercices Corrigé On utilise les formules d'addition : A sinxcosy cosxsin y sinxcosyx cosxsin y A=cosxsiny B cosxcosy sinxsiny cosxcosy sin xsin y B =cosxcosy C sinxcosy cosxsiny sinxcosy cosxsin y On reconnaît la formule a b a b a b : C = sin x cos y cos x sin y D cosxcosy sinxsiny cosxcosy sin xsin y La même formule donne : D=cos xcos y sin xsin y Corrigé. On peut écrire cosx cos x x cosxcosx sinxsin x On applique une seconde fois les formules du cours : cosx cos x cosx sin xcosx sin x cosx On remplace cosx cos x cosx sin xcosx sin x par cos x : cos x cosx cos x cosx cosx cos x cosx cosx cos x cosx 4cos x cosx En utilisant l'égalité trouvée à la question précédente, l'équation devient : cosx 0 soit cosx d'où cosx cos. Le cours de première sur la résolution d'équations trigonométriques se traduit ici par : x k ou x k, k. k k soit : x ou x, k Compléments de trigonométrie

7 Les valeurs négatives de k ne conviennent pas car alors, les solutions n'appartiennent pas à l'intervalle 0;. si k = 0, x ou x, 9 9 cette dernière valeur n'est pas dans l'intervalle 0;. si k =, x = 7 ou x = 5 ; si k =, x = 4 ou x = 4 ; si k =, x = ou x = 7, la première valeur ne convient pas Avec des valeurs plus grandes de k, les solutions ne sont plus dans 0;. S 5 7 7,,,,, a) On utilise la formule sinx cosx = sin x, l'équation devient : sin x + = 0 soit sin x =, c'est-à-dire sin x = sin 6. Le cours sur les équations trigonométriques se traduit par : x k ou x k 6, k 6 soit : x = k ou x = 7 + kπ, k. Dans l'intervalle 0;, l'équation admet 4 solutions que l'on peut déterminer à l'aide des quatre points images de ces solutions sur un cercle trigonométrique : N M 0 M N 0 corrigés contrôles exercices résumés de cours S 7 9,,,. Compléments de trigonométrie

8 b) L'équation peut s'écrire : cos x = sin x soit cos x = sin x. On utilise une formule sur les arcs associés de première pour transformer le sinus du second membre en cosinus : cosx cos x x x k ou x x k, k 5x k ou x k, k k x ou x k, k x ; x ; x ; x ; et sont deux solutions confondues. 0 S 9 7 ; ; ; ; x 0 5 Dans une seconde méthode, on aurait pu transformer le cosinus du premier membre en sinus soit : sin x sinx ce qui se traduit par : x x k ou x k x, k 5x k ou x k, k. On retrouve les équations de la première méthode. c) On reconnaît dans le premier membre le développement de sin (a b) avec a = x et b = x. L'inéquation devient : sin soit sin x.. Compléments de trigonométrie