I- Nombre dérivé de f en a

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1 I- Nombre dérivé de f e a Défiitio 1: Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I, a I et h R* tel que a+h I f est dérivable e a I, si, et seulemet si, ( a + h) f ( a) Cette limite est le ombre dérivé de f e a et est otée f '( a) Doc : f est dérivable e a f lim eiste et est fiie h 0 h f ( a + h) f ( ) lim = f '( a) h a h 0 La défiitio précédete peut être eprimée aussi de la faço suivate : Défiitio :Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I et a I E posat a+h=, lorsque h 0, alors ted vers a; doc : f est dérivable e a lim f ( ) f ( a) = f ' ( a ) a a Vocabulaire : O appelle tau de variatio de f etre et a ( ) réel ( ) f ( a) f τ a = (pour tout a f a ) ou tau d accroissemet ( ) ( a + h) f ( a) τ a h = (pour tout réel h 0 ) h Eercice 1: O cosidère les deu foctios f et g défiies par : f ( ) = et g ( ) = 3 Etudier la dérivabilité de ces foctios e 3 Solutio : Dérivabilité de f e 3 : Dérivabilité de g e 3 : hosseii@maths-stafr Page 1

2 Iterprétatio graphique du ombre dérivé : Soit C f la courbe représetative d ue foctio f das u repère ( ; i, j ) apparteat à so esemble de défiitio Soit h u réel différet de zéro tel que a+h soit das D f O et a u réel Lorsque la foctio f est dérivable e a, le coefficiet directeur de la droite (AM ) est égal à f ( a + h) f ( a) ; et ceci, lorsque h ted vers 0 h Quad o fait tedre h vers 0, le poit M se rapproche du poit A tout e restat sur la courbe C f La droite (AM ) se rapproche alors, d ue positio limite défiie par la droite T de pete f (a) passat par A «f est dérivable e a» sigifie que C f admet au poit A ( f ( a) ) coefficiet directeur est autre que le ombre dérivé f '( a) a, ue tagete, dot le Théorème 1: Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I et f dérivable e a, alors C f admet ue tagete (T) au poit d abscisse a, dot ue équatio est : Démostratio : ( a)( a) f ( a) y = f ' + hosseii@maths-stafr Page

3 Approimatio affie tagete de f e a Soiet f ue foctio défiie sur u itervalle I, a I et h R tel que a+h I Si f est dérivable e a, alors : il eiste ue foctioε défiie au voisiage de 0 telle f que : ( ) ( a + h) f ( a) ε h = f ( a) ( ou ecore f ( a h) = f ( a) + hf ( a) + hε ( h) avec lim ε ( h) = 0 h 0 h + ' ) Réciproquemet, s il eiste ue foctioε défiie au voisiage de 0 et u réel α tels que : f ( a + h) = f ( a) + hα + hε ( h) avec lim ( h) = 0 h 0 α= f '( a) Remarque : Avec f ( a h) = f ( a) + hα + hε ( h) d ordre 1 e a ε alors f est dérivable e a et +, o dit que f admet u développemet limité Eercice : O cosidère la foctio f défiie sur R, par : f ( ) = Solutio : Démotrer que la foctio f est dérivable e 3 Défiitio 3:Si f est dérivable e a, la foctio affie h f ( a) + h f '( a) l approimatio affie tagete de f e a est Théorème : Pour h voisi de 0, la meilleure approimatio affie possible de f ( a + h) est doée par: f ( a + h) f ( a) + h f '( a) Démostratio : hosseii@maths-stafr Page 3

4 Eercice 3: O cosidère la foctio f défiie sur R, par : f ( ) = ) Détermier l équatio de la tagete au poit d abscisse 3 ) Calculer ue approimatio de f(3,008) Solutio : Défiitio 4: Soit f ue foctio et a u poit de D f La foctio f est dite dérivable à droite ( ) ( ) (resp dérivable à gauche) e a, si lim f f a = f ( ) a d ' a eiste das R (resp si a lim f ( ) f ( a) = ( a ) < a a a Si f d '( a) = f g ( a) = f ( a) > a f g ' eiste das R) ', alors o dit que f est dérivable e a Remarque : Lorsque les dérivées à gauche et à droite e sot pas égales, o parle de demitagete Si f est dérivable à droite (resp à gauche) e a, la courbe représetative de f admet ue demi-tagete à droite (ou demi-tagete à gauche) au poit (a, f(a)) y = f d a a + f a et Les équatios de ces droites sot doées respectivemet par: ( )( ) ( ) y = f g ( a)( a) + f ( a) Eercice 4 : Étudier la dérivabilité e 0, pour la foctio f défiie sur R par f ( ) = Solutio : hosseii@maths-stafr Page 4

5 Eercice 5: Cosidéros la foctio f défiie sur R par ( ) Etudios la dérivabilité de f e 3 (E supposat que f est cotiue e 3) Solutio : 3 si ],3] ( 3) si ] 3, + [ f = hosseii@maths-stafr Page 5

6 Esemble de dérivabilité Défiitio 5: L esemble de dérivabilité lesquels f est dérivable D f de f est l esemble des réels de D f e Remarque : O utilise les mêmes règles pour détermier l esemble de dérivabilité d u assemblage de foctios que pour l esemble de défiitio de ces foctios Remarques :Les foctios trigoométriques, polyomiales et ratioelles sot dérivables sur leur esemble de défiitio Mais les foctios valeur absolue et racie carrée e sot pas dérivables e 0 Eemple : La foctio f défiie par f : est pas dérivable e 0, le tau + d accroissemet ted vers + e 0 et vers e 0, o dit que le poit de la courbe d abscisse 0 est u poit de rebroussemet de première espèce Commet détermier ue limite d ue foctio doée e utilisat le ombre dérivé? si Eercice 6: Soit f la foctio défiie sur R { 0} par f ( ) = et C f sa représetatio graphique Étudier le comportemet de la foctio f au voisiage de 0, puis iterpréter graphiquemet ce résultat Solutio : hosseii@maths-stafr Page 6

7 III- Foctio dérivée Défiitio 6: Ue foctio f est dite dérivable sur u itervalle fermé [a,b] de R si elle est dérivable e 0, pour tout ] a, b[ 0, et si elle est dérivable à droite e a et à gauche e b : b R O défiit alors la foctio dérivée de f sur [a,b] par : f [ a, ] f ( ) Remarque : Si D est l esemble (o vide) où f est dérivable pour tout de D alors o dit que f est dérivable sur D (appelé l esemble de dérivabilité de f ) Soit I (ue partie de R) u esemble, sur lequel f est dérivable : Théorème 3: Si f est ue foctio costate, alors sa dérivée est ulle Démostratio : Théorème 4: Si f est la foctio idetité ( Démostratio : f : ), alors sa dérivée est égale à 1 Théorème 5: Si f est la foctio iverse ( 1 à: f : (avec R*) Démostratio : f 1 : avec I=R*), alors sa dérivée est égale hosseii@maths-stafr Page 7

8 Théorème 6:Si f est la foctio racie carrée ( 1 est égale à: f : (avec R * + ) Démostratio : f : avec I=R + ), alors sa dérivée Théorème 7: Si f est la foctio carrée ( à f : Démostratio : f avec I=R),, alors sa dérivée est égale : Théorème 8(admis) : Si f est la foctio est égale à 1 f : f : avec I=R et N, alors sa dérivée Eercice 7- Détermier les dérivées des foctios suivates f 5 ( ) = ; g( ) = hosseii@maths-stafr Page 8

9 I- Formules : Foctios dérivées des foctios usuelles Esemble de défiitio D f : f ( ) ' : f ' ( ) R R R ou R*(si ) R* c 0 1 avec Z\{ 1,0,1 } 1 D f = [ 0,+ [ R R π R { + kπ /k Z} si cos cos si ta 1+ ta f D f R R 1 R ou R*(si ) 1 R* 1 D = ] 0,+ [ f ' R R π R { + kπ /k Z} Attetio : Lorsqu o veut calculer la dérivée d ue foctio, il est écessaire de détermier so esemble de dérivabilité car cet esemble est pas forcémet so esemble de défiitio Eercice 8: Après avoir doé l esemble de dérivatio, détermiez la foctio dérivée de chacue des foctios suivates : f() = ; g() = ² 3 + π ; h() = 3 + 3² Solutio : hosseii@maths-stafr Page 9

10 II- Somme et produit de deu foctios dérivables Théorème 9: Soiet u et v deu foctios dérivables e, où est u poit de Les foctios u + v et Démostratio : u v sot dérivables e et o a : ( u + v) ( ) = u ( ) + v ( ) ; ( u v) ( ) = u ( ) v( ) + u( ) v ( ) D D u v III- Dérivatio de l iverse d ue foctio Théorème 10: Soit v ue foctio dérivable sur u itervalle I, telle que v e s aule pas sur 1 1 I, alors la foctio est dérivable sur I, et pour tout réel de I, o a : ( ) v ( ) = v v v Démostratio : [ ( )] hosseii@maths-stafr Page 10

11 IV- Dérivatio du quotiet de deu foctios Théorème 11: Soiet u et v deu foctios dérivables e, où est u poit de La foctio Démostratio : u u est dérivable e et o a : ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) = v v [ v( ) ] D D u v Dérivée d ue foctio composée Théorème 1 : Soit g ue foctio dérivable sur u itervalle J et h ue foctio dérivable sur u itervalle I, et pour tout de I, h ( ) appartiet à J f = g h = g h est dérivable sur I, et pour tout de I Alors la foctio f défiie par ( ) ( )( ) ( ( )) f ( ) = h ( ) g ( h( ) ) Démostratio : hosseii@maths-stafr Page 11

12 Remarque : Si g est dérivable sur R, alors l hypothèse «( ) vérifiée h appartiet à J» est toujours Eercice corrigé : Détermier la dérivée de la foctio f défiie par : ( + 3) 3 so esemble de dérivabilité f sur Solutio : O sait que toute foctio polyôme est dérivable sur R Or, la foctio f est la composée de 3 deu foctios polyômes + 3 et X X toutes deu dérivables sur toute foctio polyôme est dérivable sur R, doc f est dérivable sur R, d où : R, f ': 6( + 3) car ( + 3) = X = 3X 3 et ( ) 1 f = si 1 Eercice 9: Calculez la dérivée de la foctio f défiie par : ( ) Solutio : Coséquece :O admet que pour ue foctio u ( ) défiie sur so esemble de défiitio, sa foctio dérivée sur so esemble de dérivabilité, est défiie par : 1 1 u' u u' u si Z et u ( ) 0 ( ) ( ) (si N ) et ( ) ( ) hosseii@maths-stafr Page 1

13 VI- Formules : Das le tableau suivat : foctios u et v D u et D v sot respectivemet les esembles de défiitios des D u Esemble de défiitio D D v u f : f ( ) ' : f ' ( ) D si ( u ( ) ) ' ( ) cos ( u ( ) ) D cos ( u ( ) ) u ' ( ) si( u ( ) ) u D u ( ) + v ( ) ' ( ) v' ( ) u D v u D v f Esemble de dérivabilité u u D D u D u ( ) v ( ) u ' ( ) v ( ) + u ( ) v' ( ) D v { v( ) 0} { v( ) 0} D (HP) u ( ) u u N D (HP) u ( ) 1 v' ( ) v ( ) v ( ) u + u Dv D D u Dv D v { v( ) 0} u ( ) u' ( ) v ( ) u ( ) v' ( ) Du Dv { v( ) 0} v( ) v ( ) si Z et u 1 ( ) u ( ) ( ) 0 D u { u( ) 0} (HP) u ( ) u' ( ) u ( ) (HP)=Hors programme D u' u 1 ( ) u ( ) D u' u D u { u( ) > 0} Eercice 10 : Après avoir doé l esemble de dérivatio, détermiez la foctio dérivée de chacue des foctios suivates : f() = + 3 ; g() = ; h() = 3 ( 1) Solutio : hosseii@maths-stafr Page 13

14 Suite de la solutio de l eercice 5 : hosseii@maths-stafr Page 14

15 VI- Foctio dérivée et etrema Défiitios 7: Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I R Soiet 0 I et α u réel strictemet positif O dit que f admet e 0 u maimum local, si ] 0 α, 0 + α[ I, f ( ) f ( 0 ) O dit que f admet e 0 u miimum local, si ] 0 α, 0 + α[ I, f ( ) f ( 0 ) O dit que f admet e 0 u maimum global (ou absolue), si I, f ( ) f ( 0 ) O dit que f admet e 0 f f 0 U etremum local de f das I est soit u maimum local soit u miimum local U etremum de f das I est soit u maimum global soit u miimum global u miimum global (ou absolue), si I, ( ) ( ) Eemple : Sur la figure suivate (associée à ue foctio f défiie sur l itervalle [,5] 1 ), f admet u miimum local au poit A, u maimum local au poit B, u maimum global au poit C (qui vaut 6) et u miimum global au poit D (qui vaut ) hosseii@maths-stafr Page 15

16 Théorème 13: Soit f ue foctio défiie de [ a, b ] das R Si f ( ) (avec ] a, b [ u etremum local de f et si f est dérivable e 0 Démostratio :, alors ( ) 0 0 f 0 = 0 ) est Théorème 14 (admise) : Soit f ue foctio dérivable sur u itervalle ouvert I et 0 I Si : f '( 0 ) = 0 et ( ) foctio f f ' 0 chage de sige e = 0 Eemple : Soit f la foctio défiie sur R par :, alors ( ) f : f est u etremum local de la Or, toute foctio polyôme est dérivable sur R, doc R, f ( ) = 3 R, f ( ) = 0 3 = 0 = et aisi f ( 0 ) = 0 f admet ue tagete horizotale au poit d abscisse 0 mais f est strictemet croissate sur R, et f 'admet pas d'etremum e 0 hosseii@maths-stafr Page 16

17 V- Dérivée d ue foctio mootoe : Théorème 15 (admis) : Soit f ue applicatio dérivable sur u itervalle [ a, b] Si f () >0 pour tout ] a, b[, (resp f () < 0 pour tout ] a, b[ ) et si f s aule ue seule fois e 0 ] a, b[ alors f est strictemet croissate sur [ a, b] (resp strictemet décroissate sur [ a, b] ) Remarque : Le résultat est le même das le cas d ue foctio qui s aule, u ombre fii a, b de fois sur l itervalle ] [ Théorème 16: Soit f ue foctio dérivable sur u itervalle ouvert I Si, f est croissate sur I, alors, pour tout réel de I, '( ) 0 f Si, f est décroissate sur I, alors, pour tout réel de I, f '( ) 0 Si, f est costate sur I, alors, pour tout réel de I, ' ( ) = 0 Démostratio : f hosseii@maths-stafr Page 17

18 Eercice 11: Soit f ue foctio défiie sur R par : f ( ) 3 3 Étudier les variatios de f et établir so tableau de variatio Solutio : = Sige de f () Variatios de f Commet localiser les etrema d ue foctio doée? Eercice 1: Soit f la foctio défiie sur [ 6 ; 6], par : f ( ) Justifier que [ 6 ; 6], 1 f ( ) 1 4 = + 4 Remarque : Pour localiser les etrema (locau ou globau), il suffit d étudier le sige da la foctio dérivée, étudier ses variatios et passer à la lecture de so tableau de variatio Solutio : hosseii@maths-stafr Page 18

19 Suite de la solutio de l eercice 7 : Sige de f () Variatios de f Commet résoudre ue iéquatio ou démotrer ue iégalité e utilisat, l étude d ue foctio judicieusemet choisie? Eercice 13: Résoudre l iéquatio : ( + + 1) Solutio : hosseii@maths-stafr Page 19

20 Suite de la solutio de l eercice 13: Sige de f () Variatios de f hosseii@maths-stafr Page 0

21 Le pricipe de la méthode d Euler O sait que si ue foctio f est dérivable e u poit d abscisse 0, alors l équatio de la tagete à C f e a est doée par y = f '( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) C est la meilleure approimatio affie de f e 0 Cela ous permet d avoir ue valeur approchée de f ( ) lorsque est voisi de 0,o écrit alors : pour voisi de 0 f ( 0 ) f '( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) h = = 0 + h, d où f ( + h) h f ( ) + f ( ) Et e posat, 0 Itroductio à la méthode d Euler 0 ' 0 0 Cosidéros ue foctio f, que l o e coaît pas eplicitemet so epressio f ( ), mais qui vérifie certaies relatios associées à cette foctio Grâce à la méthode d Euler et ces propriétés, o arrive à tracer o pas la courbe C f, mais ue suite de poits ( y ) M, proches de la courbe C f Ce pricipe impose, l utilisatio des tagetes successives à C f au poits d abscisses respectives 0, 1,, 3,,, où ces abscisses sot calculées e choisissat u pas h et e utilisat i +1 = i + h, doc : + h 1 = 0 ; = 1 h ; + ; = h +1 + Supposos que ( T ) soit la tagete à C f au poit d abscisse, alors l approimatio f ( + h) h f '( ) + f ( ), peut s écrire sous la forme : f ( + ) h f '( ) + f ( ) Et e posat, y = f ( ), o peut trouver de proche e proche les coordoées des i i différets poits M ( ), M ( ),, ( y ) 1 1, y1, y de h est petite plus la courbe obteue sera proche de C f ) Eercice corrigé: O cosidère la foctio f défiie sur 1 M, (O remarque que plus la valeur 1 0 par : f ( ) = ( 1+ ) 3, O souhaite mettre e évidece des évetuelles foctios F, dérivables sur la relatio : F F ( ) = f ( ) ( 0) = 0 O admet que ce problème admet ue uique solutio sur 3 0, 3 0, et vérifiat O veut doc costruire poits par poits, ue courbe proche de celle de F sur l itervalle 3 0, hosseii@maths-stafr Page 1

22 Solutio : O commece par se doer u pas 0,1 aisi les i passe de 0,1 e 0,1 O peut 0 F + h h F' + F, doc calculer ( 0,1) F à partir de F ( ), e effet o sait que ( ) ( ) ( ) doc F ( 0 + 0,1) 0,1 F' ( 0) + F ( 0) Or, F ( 0 ) = 0 et ( 0) = f ( 0) F ( 0,1) 0,1 0,5 + 0 ou ecore F ( 0,1) 0, 05 1 F ' =, d où : De même, F ( 0,1 + 0,1) 0,1 F ( 0,1) + F ( 0,1) Or, F ( 0,1) = 0, 05 et ( 0,1) = f ( 0,1) = 0, 974 doc F ( 0,) 0,1 0, , 05 ou ecore F ( 0,) 0, 147 F, Pour les valeurs suivates, e passat par u tableur (par eemple celui de Microsoft), o peut trouver les coordoées des autres poits et aisi tracer sa courbe Pour vérifier, il suffit de motrer que la foctio F défiie sur [ 0,+ [, par : F ( ) + est dérivable sur ],+ [ Voici le procédé à appliquer : 0, et o a bie F ( ) = ( 1+ 3 ) = f ( ) 1 = Sur la deuième lige, o place respectivemet:, f() et F() (sur des coloes A, B et C) O remplie la 1 ère coloe (coloe A) par les valeurs i avec u pas de h=0;1 (quitte à remplacer la valeur de h par ue valeur proche de 0(Par eemple 0,01), afi d avoir ue courbe plus proche è celle de F) O place 0 das la cellule A3 puis o icrémete de 0,1, cette valeur pour passer à la cellule A3 et aisi, o progresse de 0;1 vers le bas Ue fois établie la formule =A3+0,1 das la cellule A4, o fait glisser cette formule avec la souris vers le bas jusqu à obteir la valeur 1,5 Sur la figure précédete, o voit les deu courbes de F( ) (e violet) et celle de F() (e jaue) hosseii@maths-stafr Page

23 Voici l algorithme associé à ce problème et so code Algobo : Variables O ote quatre ombres 0, y 0, b et h Etrée Saisir les ombres 0, y 0, b et h Tracer 0, y 0 Traitemet Tat que 0 b, faire : Affecter à 0 la valeur 0 + h (o peut aussi oter : Affecter à y 0 la valeur y + h [ 0,5 ( + )] Afficher 0, y 0 Tracer 0, y 0 Fi du tat que Sortie 0 f ( ) = F ' ( ) h ), hosseii@maths-stafr Page 3

24 VI- Le pla d étude d ue foctio Voici u pla d étude permettat d étudier ue foctio doée: 1) Esemble de défiitio ) Réductio évetuelle de l esemble d étude, par parité, périodicité 3) Esemble de dérivabilité 4) Calcul de la dérivée 5) Étude du sige de la dérivée 6) Limites au bores de l esemble d étude 7) Tableau de variatios 8) Études particulières : asymptotes, symétries Eercice 14: = 1+ O désige par C f la représetatio graphique de la foctio f relativemet à u repère orthoormal du pla 1) Soit f ue foctio défiie par : R, f ( ) a) Justifier que f est dérivable sur R b) Étudier complètemet la foctio f c) Doer l'équatio de la tagete (T ) à la courbe C f, à l origie O du repère d) Étudier la positio de C f par rapport à cette tagete ) Das cette questio, f désige ue foctio quelcoque défiie et dérivable sur R, telle que f (0) = 0 O désige par g et h deu foctios défiies sur R par : f R, g( ) = et ( ) ( ) h = 1 + f 1 + ( ) a) Si f est impaire, quelle est la parité de la foctio g? de la foctio h? b) Motrer que les foctios g et h sot dérivables e 0 3) O suppose à ouveau que f est la foctio défiie das la questio 1) Doer ue équatio de la tagete : (D) à la courbe C g, représetative de la foctio g, à l origie O du repère ( ) à la courbe C h, représetative de la foctio h, à l origie O du repère Solutio : hosseii@maths-stafr Page 4

25 Suite de la solutio de l eercice 14: hosseii@maths-stafr Page 5

26 Suite de la solutio de l eercice 14: hosseii@maths-stafr Page 6

27 Eercices à faire à la maiso Eercice 15: Calculer le tau de d accroissemet etre 1 et 1+h de la foctio E déduire le ombre dérivé de f e a = 1 1 f : + Eercice 16: Calculer le tau de d accroissemet etre 0 et h de la foctio f défiie par : f : + Eercice 17: Calculer ue approimatio de f(3,00), si f est la foctio défiie par : Eercice 18: f ( ) = 3 + f = + + pour tagete au poit d abscisse 1, la droite d équatio y = 3? 3 Pour quels réels a et b la courbe de la foctio f défiie par ( ) a b admet-elle Eercice 19: Détermier m (paramètre réel), pour que la courbe représetative C f de la foctio f défiie par : m 1 f : admette au poit d abscisse 1, ue tagete de coefficiet directeur 7 ( 3 m) + Eercice 0: Détermier les abscisses e lesquelles les graphes des foctios f et g admettet des tagetes parallèles : f ( ) = si et g( ) = cos hosseii@maths-stafr Page 7

28 Eercice 1: Recoaître f à partir de f O cosidère la foctio f dot la représetatio graphique das u repère orthoormal est doée ci-dessous : Parmi les trois représetatios graphiques suivates, quelle est la seule qui est susceptible de représeter la foctio dérivée de f? Figure (1) Figure () Figure (3) Eercice : Recoaître f à partir de f Figure (1) Figure () Figure (3) Des trois foctios représetées ci-dessus, laquelle a pour foctio dérivée ue foctio f dot la représetatio graphique est doée ci-après? hosseii@maths-stafr Page 8

29 Eercice 3: Soit f la foctio défiie et dérivable sur l itervalle [, ] das u repère ( O i, j ), est la courbe C f ci-dessous : dot la représetatio graphique Les poit A, B, C, D et E appartieet à C f Leurs coordoées sot :,1 1,5 1,1,5 E 0,3 A ( ), B ( ), C ( ), D ( ) et ( ) La courbe C f admet e chacu des poits B et C, ue tagete parallèle à l ae des abscisses La droite est la tagete à C f au poit E ; elle passe par le poit de coordoées (1,0) 1 Doez f ( 1), f ( 0) et ( 1) f Détermier ue équatio de la droite 3 La foctio f est la dérivée d ue foctio F défiie sur l itervalle [, ] votre répose, doez le ses de variatio de F 4 Soit g la foctio défiie sur l itervalle [, ] par g( ) 4a) Doez le tableau de variatio de f 4b) Déduisez-e le tableau de variatio de g 1 = f ( ) E justifiat hosseii@maths-stafr Page 9

30 Eercice 4: Soit f est ue foctio polyôme de degré 5 défiie sur [,] O sait que : - f est ue foctio impaire ; 0,, u maimum local et u miimum local respectivemet - f admet sur l itervalle [ ] au poits d abscisses et ; 3 - Les tagetes au poits d abscisses 0 et 1 se coupet au poit G,3 ; 5 Détermier l epressio de f(), dot la courbe C f est représetée ci-après : Attetio : Eploitez les doées les plus itéressates du problème, afi de résoudre votre problème et pesez au théorème admis suivat Théorème admis: Soit P u polyôme de degré, R, P k 1 3 ( ) = ak = a + a a3 + a + a1 + a0 k= 0 U polyôme P est impair si P( ) = P() a = 0 pour tout N Eercice 5: Soiet N* et g la foctio défiie sur : [ 0,+ [ par : g( ) = ( + 1) 1 1) Étudier les variatios de la foctio g sur : [ 0,+ [ ) E déduire que : a) N*, [ 0,+ [ : ( + 1 ) + 1 b) N* : + 1 hosseii@maths-stafr Page 30

31 Eercice 6: Pour chacue des foctios suivates, doer le (ou les) itervalle(s) sur le(s)quel(s) elle est dérivable et calculer sa dérivée 4 = 9 4 1) f1 ( ) = ) f ( ) 3) f ( ) 4) f ( ) si 3 ( 3) 4 = 5) ( ) ( ) 5 5 = Eercice 7: f 6) f ( ) 3 7) f 7 ( ) = 8) f8 ( ) = 9) f9 ( ) 5 Soit f la foctio défiie sur R par : ( ) = das u repère ( O i, j ), 3 6 = 4 1 = 4 ( ) 3 ( ) ( ) cos 1 = + cos f et C f sa représetatio graphique 1 Détermier ue équatio de la tagete (T ) à la courbe C f au poit A d abscisse 1 Étudier la positio de la courbe C f par rapport à la droite (T ) 3 Détermier l abscisse du ou des poit(s) de C f e le(s)quel(s), il eiste ue tagete parallèle à (T ) 4 Détermier, e quels poits, la courbe C f admet-elle ue tagete orthogoale à la droite (T )? 5 Soit u etier aturel tel que 1 et g la foctio défiie sur R par : ( ) g = + g Étudier, pour tout réel, le sige de ( ) Eercice 8: Soit l applicatio défiie par f :R* R; Détermier f ( ) lim (O pourra poser + 1 si 1 X = ) Eercice 9: Détermier les limites suivates : cos 1 1) lim 0 ) si lim 0 ( 7π) 3) lim 0 si 5 ( ) 4) si 1 lim π π hosseii@maths-stafr Page 31

32 Eercice 30: 3 4 O cosidère la foctio f défiie sur R par f ( ) = et o appelle C f da courbe + 1 représetative das le pla mui d u repère orthoormal d uité 1 cm 1) Etude d ue foctio auiliaire O appelle g la foctio défiie sur R, par : g() = a) Étudier le ses de variatio de g b) Motrer que l équatio g() = 0 admet sur R ue solutio uique α dot o doera u ecadremet d amplitude 0,1 c) Préciser le sige de g() suivat les valeurs de ) Etude des variatios de f a) Étudier les limites de f e et + b) Calculer la dérivée f de f et étudier les variatios de f 3 c) Démotrer que f ( α ) = α et e déduire u ecadremet de f (α) d) Tracer la tableau de variatios de f 3) Tracé de C a) Motrer qu il eiste quatre réels a, b, c et d tels que pour tout réel : c + d f ( ) = a + b + +1 b) E déduire que la droite d équatio y = est asymptote à C f Etudier la positio de C f par rapport à et préciser les coordoées de leur poit d itersectio A c) Détermier les abscisses des poits B et B, où C f admet ue tagete parallèle à d) Tracer et C f e précisat les poits A, B et B hosseii@maths-stafr Page 3