INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

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Florence Latour
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1 Mathématiques 3 (L) Quelques eercices supplémentaires INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES. Calcul d intégrales généralisées par primitivation Nature d intégrales généralisées Eercices complémentaires (plus difficiles) Calcul d intégrales généralisées par primitivation Eercice.. Convergence et calcul des intégrales suivantes. (i) (ii) (iii) e... On rappelle que arctan A π (iv) (v) (vi) +. e. e. et arctan A A π. (vii) (viii) (i) π 4 e arctan +.. cos sin. Corrigé de l eercice.. (i) Posons f () e. La fonction f est continue sur [ ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de +. Si A >, on a e [ e ] A e A, e. (ii) Posons f (). La fonction f est continue sur [ ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de +. Si A >, on a [ ] A A,

2 . (iii) Posons f (). La fonction f est continue sur ] ; ] donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de. Si < <, on a [ ],. (iv) Posons f () +. La fonction f est continue sur ] ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de + et de. Si A > > B, on a B + [arctan π ]A B arctan A arctan B arctan B + π. B+ π ( π ) π, (v) Posons f () e. La fonction f est continue sur [ ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de +. Soit A > ; puisque f () e est de la forme u e u, elle se primitive en eu et donc : e [ e ] A e A, e. (vi) Posons f () e. La fonction f est continue sur [ ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de +. Soit A > ; pour calculer e, on fait une intégration par parties en dérivant et en intégrant e : e [ e ] A + e Ae A + [ e ] A Ae A e A + e., (vii) Posons f () earctan +. La fonction f est continue sur [ ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de +. Soit A >. Puisque f () est de la forme u e u elle se primitive en e u : e arctan + [ e arctan ] A earctan A e π/, e arctan + eπ/.

3 (viii) Posons f (). La fonction f est continue sur [ ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de +. Soit A >. Décomposons f () sous la forme λ + µ : + λ + + µ λ( ) + µ( + ) (λ + µ) + (µ λ) { λ + µ µ λ { µ λ λ λ et µ, et donc car A A A+ + A + ln 3, ; par suite : + + [ln ]A [ln + ]A (ln(a ) ln ) (ln(a + ) ln 3) ln A A + + ln 3 A donc ln A+ ln. Par suite, l intégrale converge et ln 3. (i) Posons f () cos sin. La fonction f est continue sur ] ; π] (car sin > sur ] ; π [) donc 4 pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit de se préoccuper du comportement au voisinage de. Soit < < π u. La fonction f est de la forme 4 u avec u() sin donc se primitive en u : π/4 cos sin [ sin ] π/4 sin π sin sin 4 /4 / sin 3/4 sin 3/4, π 4 cos sin 3/4.. Nature d intégrales généralisées Eercice.. Déterminer la nature des intégrales suivantes. On pourra primitiver les fonctions. (i). (ii). (iii) e. (iv) ( + ). 3

4 Corrigé de l eercice.. (i) Posons f (). La fonction f est continue sur ] ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il faut s intéresser au comportement au voisinage de et de +. Si < < A, on a [ ] A A +, donc l intégrale est divergente. Autre méthode. C est une intégrale de Riemann α il y a divergence de l intégrale au voisinage de. L intégrale convergente. avec α qui n est pas <, donc n est donc pas (ii) Posons f (). La fonction f est continue sur ] ; + [ donc pour étudier la convergence de l intégrale, il faut s intéresser au comportement au voisinage de et de +. Si < < A, on a [ ] A A + donc l intégrale est divergente. Autre méthode. C est une intégrale de Riemann avec α qui n est pas >, donc α il y a divergence de l intégrale au voisinage de +. L intégrale n est donc pas convergente. (iii) Posons f () e. La fonction f est continue sur R donc sur [ ; + [. Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc de regarder le comportement au voisinage de l infini. Si A >, donc l intégrale e [e ] A e A e diverge. +, (iv) Posons f (). La fonction f est continue sur R \ {, } donc sur [ ; [. Pour (+) étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc de regarder ce qui se passe au voisinage de. Si < <, on doit étudier ( + ). Cherchons λ et µ tels que (+) λ + µ + : ( + ) λ + µ + λ( + ) + µ ( + ) ( + ) { λ + µ λ λ (λ + µ) + λ ( + ) et µ. 4

5 Ainsi, λ + µ et donc : (+) + ( + ) + [ln ] [ln + ] (ln ln ) (ln + ln ) ln donc l intégrale diverge. ( + ) Autre méthode. Si, on a + d où et donc + ( + ) ln +, Puisque l intégrale est divergente (c est une intégrale de Riemann), on en déduit que diverge par comparaison (+) Eercice.. Déterminer la nature des intégrales suivantes. On pourra comparer à des intégrales de références. (i) (ii) cos cos.. (iii) (iv) 7/ (v) (vi) e. e cos. Corrigé de l eercice.. (i) Posons f () cos. Cette fonction est continue sur R donc sur [ ; + [. Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc d étudier le comportement au voisinage de l infini. On a, puisque cos, cos cos + cos, avec par comparaison, (ii) Posons f () cos convergente (c est une intégrale de Riemann est convergente. cos α avec α > ), donc,. La fonction f est continue sur ] ; + [ donc sur ] ; ]. Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc d étudier le comportement au voisinage de. On a, puisque cos, cos cos, avec convergente (c est une intégrale de Riemann comparaison, cos est convergente. α avec α < ), donc, par 5

6 (iii) Posons f (). Cette fonction est continue sur ] ; + [ (si >, on a 7/5 + 7/5 + > donc le dénominateur ne s annule jamais). Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc d étudier le comportement au voisinage de +. On a, puisque 7/5 + 7/5,, et donc 7/5 + 7/5 avec 7/5 + 7/5 + 7/ /5, convergente (c est une intégrale de Riemann comparaison, l intégrale converge. 7/5 + α avec α 7 4 > ) donc, par (iv) Posons f () +. Cette fonction est continue sur R donc sur ] ; ]. Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc d étudier le comportement au voisinage de. On a +, donc + +, avec divergente (c est une intégrale de Riemann diverge. donc, par comparaison, l intégrale + avec α qui n est pas < ) α (v) Posons f () e. Cette fonction est continue sur R donc sur ] ; ]. Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc d étudier le comportement au voisinage de. Lorsque <, on a < e e et donc avec e e, divergente (c est une intégrale de Riemann diverge. donc, par comparaison, l intégrale (vi) Posons f () ecos e avec α qui n est pas < ) α. Cette fonction est continue sur R donc sur ] ; ]. Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc d étudier le comportement au voisinage de. Puisque cos, on a e e cos e et donc e cos ecos e, avec divergente (c est une intégrale de Riemann > ) donc, par comparaison, l intégrale diverge. e cos α avec α qui n est pas 3. Eercices complémentaires (plus difficiles) Eercice 3.. (i) Montrer que converge. ( + ) (ii) En faisant le changement de variable tan θ, calculer l intégrale précédente. On rap- 6

7 pelle que sin θ ( cos(θ)) et lim arctan A π. Corrigé de l eercice 3.. (i) Posons f () (+ ). La fonction f est définie et continue sur [ ; + [ donc le seul problème possible est au voisinage de +. Puisque +, on a :, f () ( ) 4. (+ ) converge éga- Comme lement. converge, on en déduit, par comparaison, que (ii) Soit A >. Faisons le changement de variable tan θ dans l intégrale (+ ). Comme on l a déjà vu, f est continue sur i [ ; + [. La fonction ϕ : θ tan θ est C sur [ ; π[ avec ϕ (θ) + tan θ et prend ses valeurs dans I [ ; + [. Finalement, on a ϕ() et ϕ(arctan A) A. Toutes les hypothèses du théorème de changement de variable sont donc vérifiées : ( + ) f () ϕ(θ) ( + ϕ(θ) ) ϕ (θ) dθ f (ϕ(θ))ϕ (θ) dθ tan θ ( + tan θ) ( + tan θ) dθ tan θ + tan θ dθ Puisque + tan θ et cos θ tan θ sin θ, on a tan θ cos θ +tan θ sin θ et donc : ( + ) sin θ dθ [θ ] arctan A sin(θ) ( cos(θ)) dθ (arctan A sin( arctan A) ). On fait maintenant A +, ce qui donne, puisque arctan A π et sin π : ( ( + ) π ) sin(π) π 4. Eercice 3.. (i) Montrer que (ii) Vérifier que 4 4 converge

8 (iii) En déduire la valeur de l intégrale. Corrigé de l eercice 3.. (i) Posons f () 4. La fonction f est définie et continue sur ] ; + [ donc sur [ ; + [. 4 Pour étudier la convergence de l intégrale, il suffit donc de se préoccuper du comportement au voisinage de L idée pour majorer est d écrire 4 et de montrer que 4 est borné. Pour cela, on écrit avec , , et donc : Ainsi, avec convergente (c est une intégrale de Riemann avec α 3 > ), donc, 3 α par comparaison, l intégrale est convergente. (ii) On a, puisque ( )( + ) et ( + )( ) 4 + : (iii) Soit A > ; on a : 4 4 3, ( ) + ( + ) 4 A + + A Les deu dernières intégrales se primitivent directement ; la première intégrale est du type u u avec u() + donc se primitive en ln u. Par conséquent : vu que A 4 4 [ ln + ] A + [ln ]A + [ln + ] A A A + + A + ln(a + ) + ln 5 + ln(a + ) ln + ln(a ) ln 3 (A + )(A ) A + et donc A A ln ln 5 3 ln A A + + ln 5 3. Par suite : ln 5 3 8

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