Août 2015 (2 heures et 30 minutes) et C =

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1 Août 015 ( heures et 30 miutes) 1 a) Soit IN 0 \ {1} Défiir : boule ouerte de IR sous-esemble compact de IR b) Soiet les sous-esembles suiats de IR : A = {(x,y) IR : x y }, B = ] 1,3 [ xir0 et C = {(x,y) IR : y x et x 3} (1 pt) 1 ) Représeter graphiquemet aec précisio au choix u des esembles A, B ou C ) Compléter les cases du tableau suiat par «oui» ou «o» Justifier la répose d'ue case du tableau au choix ouert fermé compact coexe A o oui oui oui B oui o o o C o o o o Soit f:d IR IR: (x,y) f(x,y) et a = (a 1,a ), poit itérieur de D (5 pts) a) Compléter la défiitio suiate : f est différetiable e a ssi Que sigifie géométriquemet la otio de différetiabilité e u poit d ue foctio de IR IR? (1 pt) x y si x, y 0,0 b) Soit f(x,y) = 1 x y 1 si x,y 0,0 Détermier la(les) aleur(s) réelle(s) du paramètre pour la(les)quelle(s) la foctio f(x,y) est cotiue e (0,0) ( pts) 3 a) Défiir: foctio de IR IR homogèe de degré ( IR ) (05 pt) b) Eocer le théorème d Euler relatif aux foctios homogèes (e pas démotrer) (1 pt) c) Soit f(x,y,z), ue foctio homogèe de degré = et de classe C sur IR 3 f Sachat que f(,0,) = 5, (,,4) - 4 et f y (,,4) -3, compléter, si possible, chacue des x cases ides ci-dessous par le réel correspodat Idiquer? s il les doées e permettet pas de doer ue répose Justifier soigeusemet ue de os réposes (au choix) (1) f(1,0,1) = 5 4 () f (3,3,6) y = 6 (3) f (4,4,8) x = 3 ( pts)

2 4 Soiet f : IR IR : x f(x) et IR tel que = 1 Quad dit-o que f est dériable e x das la directio? Si f est différetiable e x, démotrer que f est dériable e x das la directio e doat l expressio de la dériée directioelle correspodate (15 pts) 5 a) Eocer la coditio écessaire du premier ordre relatie aux extrema libres des foctios de plusieurs ariables (e pas démotrer) (05 pt) b) Eocer et démotrer la coditio suffisate du secod ordre relatie aux extrema libres des foctios de plusieurs ariables (5 pts) c) Détermier les "cadidats" extremum de la foctio f(x,y) = (x y ) x x Classer ceux-ci (maximum, miimum ou i l'u, i l'autre) Justifier soigeusemet e éoçat le(s) théorème(s) utilisé(s) (3 pts) 6 Détermier (répose fiale uiquemet) a) la solutio géérale de l équatio différetielle 3x y '' 6y ' 9y 7e 3x 3x 7 y=ce 3x 1 +C xe + x e C,C 1 IR (1 pt) F b) l'expressio complète de la dériée partielle (t,q) t différetiable das IR 3 et u est différetiable das IR de F(t,q) = tq f u(t,q),q,e si f est X Y Z F f u f (t,q) u(t,q),q,e (t,q)+ u(t,q),q,e qe t X t Z tq tq tq (1 pt)

3 Répose questio 1 a) O appelle boule ouerte de IR de cetre c et de rayo r > 0, l esemble B(c,r) IR tel que B(c,r) = {x IR : d(c,x) < r} U sous esemble E de IR est compact ssi il est boré et fermé Répose questio 1 b) O a A = {(x,y) IR : x y }, B = ] 1,3 [ xir0 et C = 1 ) Représetos, par exemple, l esemble B {(x,y) IR : y x et x 3} Légede : liges poitillées et zoes blaches : appartiet pas à B ; zoe grisée : appartiet à B ) ouert fermé compact coexe A o oui oui oui B oui o o o C o o o o Justificatio de «B est pas u sous-esemble coexe de IR» : O a B = ] 1,3 [ xir0 Les poits (,-1) et (,1) appartieet à B et 1 appartiet à [0,1] Cepedat, 1 1 (, 1) (1 )(,1) (, 1) (,1) (,0) appartiet pas à B

4 Répose questio a) Soit f : D IR IR : x,y f x,y et a= a 1,a poit itérieur de D lim f est ue foctio différetiable e a ssi f x,y f a,a (x f f a ) a,a (y a ) x y a,a (x,y) (a,a ) x,y a 1,a 1 = 0 La otio de différetiabilité d ue foctio de IR IR e u poit sigifie géométriquemet qu il existe u pla taget à la surface correspodate e ce poit Répose questio b) O a f(x,y) = x y 1 x y 1 si x,y 0,0 si x,y 0,0 La foctio f(x,y) est cotiue e (0,0) ssi lim f(x, y) existe das IR et aut f(0,0) (x,y) (0,0) Or, lim f(x, y) (x,y) (0,0) = lim (x,y) (0,0) x y 1 x y 1 O a lim (x y ) lim (1 x y 1) = 0 (lim fct C e (0,0)) O est doc e présece (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) d ue idétermiatio 0/0 Passos aux coordoées polaires : e posat x cos y si, o a lim (x,y) (0,0) (cos si ) x y 1 lim lim 1 x y 1 (1 (cos si ) 1) (1 1) 0 0 qcq qcq 1 0 forme idétermiée 0 Comme les foctios (de ) au umérateur et au déomiateur sot dériables au oisiage de 0, o peut teter d appliquer la règle de de l Hospital : ( )' lim lim lim Par la règle de de l Hospital, o a (1 1)' 0 qcq qcq qcq 1 lim x y, d'où lim 0 (1 qcq 1) (x,y) 1 x y 1 De là, lim f(x, y) = (x,y) (0,0) x y lim 1 x y 1 (x,y) (0,0) Comme f(0,0) =, f(x,y) est cotiue e (0,0) ssi = -

5 Répose questio 3 a) Soit A, u sous-esemble de IR tel que tx A pour tout t > 0 et tout x A Ue foctio f:ir IR est homogèe de degré IR sur u tel sous-esemble A de IR ssi f(tx) = t f(x) pour tout x A et tout t > Répose questio 3 b) Propositio: si f: A IR IR est homogèe de degré sur A et différetiable x A, alors f x (x) f(x) (Théorème d'euler) i i=1 x i Répose questio 3 c) Soit f(x,y,z), ue foctio homogèe de degré = et de classe C sur IR 3 f O a f(,0,) = 5, (,,4) - 4 et f y (,,4) -3 De là, x (1) f(1,0,1) = 5 4 () f (3,3,6) y = 6 (3) f (4,4,8) x = 3 Justificatio de (1) : comme f est homogèe de degré sur IR 3, o a 3 (x,y,z) IR, t 0,f(t(x,y,z)) t f(x,y,z) comme f(1,0,1) = f( 1 (,0,)), o a f(1,0,1) = 1 ( ) f(,0,) = = 5 4 Répose questio 4 Soiet f : O dit que f : IR IR : x f(x) et IR tel que = 1 IR IR est dériable e x das la directio ( = 1) ssi F(t) = f(x+t) est défiie au oisiage de 0 pour t et dériable par rapport à t e t = 0 La dériée de f das la directio e x est alors F (0)

6 t0 Propositio : si f:ir IR est différetiable e x, si 1, alors f est dériable e x das la directio et cette dériée aut df(x t) f (x) i, f(x) dt i1xi Preue : O applique à la foctio d'ue ariable F(t) = f( x +t) = f( x 1 +t 1, x +t,, x +t ) la règle de dériatio des foctios composées : F (t) = df(x t) dt = d dt [ f( x 1+t 1, x +t,, x +t ) ] = = = f (x1 t (x t) 1) f + x t x 1 f f (x t) 1 + x x i1 1 f (x t) x i i (x t (x t) ) f + + t x f (x t) + + x (x t) (x t (x t) ) t De là, F (0) = df(x t) f (x), f(x) dt t0 i i1xi Répose questio 5 a) coditio écessaire du premier ordre: Si f est dériable e a, poit itérieur de dom f, et si f admet u extremum local e a, f alors, i {1,,}: (a) = 0 (autremet dit, f (a) = 0) xi Répose questio 5 b) Si f:d IR IR est C² au oisiage de x, poit iterieur de D et poit critique de f, si la hessiee H f (x) est défiie égatie (resp positie), alors f possède u maximum (resp miimum) local e x Si H f (x) 'est i semi-défiie positie, i semi-défiie égatie, alors f e possède pas d'extremum e x (x est u "poit de selle") Preue: comme f est C au oisiage de x, poit itérieur à D, o peut écrire la formule de Taylor: 1 t R f( x +) = f( x) +, f(x) + H f (x) () + R () où 0 si 0 O e déduit f( x +) - f( x) = 1 t H f (x) + R () puisque x est poit critique de f

7 Si f( x +) - f( x ) 0 (resp 0) au oisiage de 0, alors f est miimum (resp maximum) e x : o 1 t étudie le sige de H f (x) + R () au oisiage de 0, mais aec 0 t 1 Alors 0 et ce sige est celui de H f (x) + R () t Aisi, la forme quadratique Q(y) y H f (x)y est calculée sur u ecteur de orme 1 (y = ), et elle est o ulle Mais cette forme quadratique est ue foctio cotiue sur IR, et l'esemble des ecteurs de orme 1 forme u esemble compact: la forme quadratique est borée et atteit ses bores sur ce compact Soit, par exemple, la forme quadratique défiie positie: so maximum M et so miimum m sot strictemet positifs sur le compact (aleur d'ue forme quadratique dp > 0 pour des ecteurs o uls) Par coséquet, Mais, R () < f( x+) - f(x) 1 m + R () 0 si 0 doc pour = m, il existe > 0: 4 R () <, c'est-à-dire - m 4 < R () < m 4 quad < f( x+) - f(x) Das ce cas, > 1 m - m 4 = m > 0 sur < qui est u oisiage de 0 4 La démostratio est aalogue quad la forme quadratique est défiie égatie ou das le cas du poit de selle Répose questio 5 c) O a f (x,y) (x y ) x x Domaie de défiitio : domf IR Classe de f : f est de classe C sur dom f puisque cette foctio est ue foctio polyôme Coditio écessaire du premier ordre : oir questio 5 a) De là, Types de cadidats : 1) Les éetuels poits où f est pas dériable : éat car f est C sur dom f ; ) Les éetuels poits o itérieurs à dom f : éat car dom f est ouert ; 3) Les éetuels poits critiques de f, c'est-à-dire les éetuelles solutios du système : f x, y 0 x (x y ) 4x 1 0 (x y ) 4x 1 0 (1) f x, y 0 (x y )( y) 0 4(x y )y 0 () y

8 () y 0 ou x = y (1) (1) 6x -1= 0 4x -1= 0 x = x = y y O a doc trois cadidats extremum : P ,0, Q, et R, Classemet par la coditio suffisate du secod ordre : oir questio 5 b) f x, y 6 x f 6 4y x, y 4x 1y Hf x, y y 4y 4x 1y f f (x,y) x,y 4y xy yx E P, o a doc 6 0 H f P 0 3 Cette matrice état diagoale, o lit ses aleurs propres sur la diagoale Celles-ci alet 6 et 3 Comme l ue est positie et l autre egatie, cette matrice est idéfiie et f présete u poit de selle au poit P 6 E Q, o a Hf Q E utilisat la techique des mieurs pricipaux, o remarque que le premier mieur pricipal est positif (il aut 6) et que le deuxième l est égalemet (il aut 8), ce qui implique que la matrice hessiee est défiie positie et doc que f présete u miimum local au poit Q 6 Efi, e R, Hf R Comme ci-dessus, e utilisat la techique des mieurs pricipaux, o remarque que le premier mieur pricipal est positif (il aut 6) et que le deuxième l est égalemet (il aut 8), ce qui implique que la matrice hessiee est défiie positie et doc que f présete u miimum local au poit R