Chapitre 4 Séries trigonométriques

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1 MVA Aalyse et calcul matriciel Chapitre 4 Séries trigoométriques Foctios périodiques Soit f ue foctio défiie sur R. Le ombre θ est ue période de f si f (t + θ) = f (t) quel que soit t R. Quad f admet ue période o ulle, o dit qu elle est périodique. θ héorème : Soit f périodique et cotiue. Ou bie f = Cte, ou bie il existe ue plus petite période > et toutes les périodes de f sot les ombres de la forme θ = k avec k Z. Ce ombre s appelle la période de f. Soiet f ue foctio périodique et sa période. O dit que f est de classe C par morceaux s il existe des poits : = a < a < < a s = tels que : sur chacu des itervalles ouverts ]a i, a i [ les dérivées f (), f (),..., f () existet, sot cotiues, et, quel que soit k : lim f (k) (t) existe quad i < s, t a + i lim f (k) (t) existe quad < i s. t a i a a a a 3 Remarque : Les ombres f (a i ) sot défiis, ou pas, cela a aucue d importace. Remarque : Si f est de classe C par morceaux, elle est de classe C k pour tout k. Ue foctio de classe C par morceaux est ue foctio cotiue par morceaux. Ue telle foctio est itégrable sur tout itervalle boré. héorème : Soiet f ue foctio périodique cotiue par morceaux, θ ue de ses périodes o ulle, et a u ombre réel quelcoque. Alors le ombre : µ( f ) = θ a+θ a f (t)dt e déped pas du choix de θ et a ; c est la la valeur moyee de f (t). Cas particulier : Si f est impaire, sa valeur moyee est ulle. héorème : Pour que les primitives d ue foctio périodique soiet périodiques, il faut et il suffit que la valeur moyee de cette foctio soit ulle. héorème Si f, f,..., f ot θ pour période commue, et si C, C,..., C sot des costates quelcoques, la foctio f = C f + C f + + C f admet θ pour période et : µ( f ) = C µ( f ) + C µ( f ) + + C µ( f ) Séries trigoométriques Soit >. O s itéresse aux foctios admettat pour période. O pose ω = π ce ombre la pulsatio. U polyôme trigoométrique est ue foctio de la forme : et o appelle f (t) = a + a cos(ωt) + b si(ωt) + + a cos(ωt) + b si(ωt)

2 MVA Aalyse et calcul matriciel Ue série trigoométrique est ue série de la forme : a + a cos(ωt) + b si(ωt) + + a cos(ωt) + b si(ωt) + Les foctios : H k (t) = a k cos(kωt) + b k si(kωt) sot les harmoiques de la série ; le premier harmoique s appelle le fodametal. Quad a k et b k e sot pas tous les deux uls, o écrit aussi : H k (t) = A k cos(kωt + ϕ k ) A k = a k + b k (l amplitude) cos(ϕ k) = a k A k si(ϕ k ) = b k A k (ϕ k la phase) et la série deviet : A + A cos(ωt + ϕ ) + + A cos(ωt + ϕ ) + Formules d Euler a + cos x = eix + e ix ( a cos(ωt) + b si(ωt) ) si x = eix e ix i = a + = a + = a + e ix = cos x + i si x ( e iωt + e iωt a ( a + b ) e iωt + i ( a ib ) e iωt + Fialemet, la série trigoométrique pred la forme complexe : e iωt e iωt ) + b i k la fréquece e ix = cos x i si x ( a b ) e iωt i ( a + ib ) e iωt + c e iωt + c e iωt + c + c e iωt + c e iωt + avec : c = a et c = a ib c = c = a + ib ( > ) ( O repasse à la forme réelle a + a cos(ωt) + b si(ωt) ) e posat, quad > : a = c + c b = i(c c ) Selo les besois, les séries trigoométriques peuvet s écrire de 3 faços différetes : ( réelle : a + a cos(ωt) + b si(ωt) ) harmoique : A + A cos(ωt + ϕ ) complexe : + = c e i ωt

3 MVA Aalyse et calcul matriciel Les questios fodametales Q Quel est le domaie de covergece d ue série trigoométrique? Q Quelles propriétés possède la somme d ue série trigoométrique? Q3 Les foctios ayat ces propriétés sot-elles somme d ue série trigoométrique? Si oui, de laquelle? La somme d ue série trigoométrique est périodique de période. Q3bis Parmi les foctios périodiques de période, lesquelles sot la somme d ue série trigoométrique, et de quelle série? Il y a pas de coditio écéssaire et suffisate pour qu ue série trigoométrique coverge. Mais il y a deux coditios suffisates classiques. héorème : Si les séries a et b coverget, la série trigoométrique coverge ormalemet, doc uiformémet, et sa somme est cotiue. cos(πt) Exemple : f (t) = est ue foctio cotiue de t de période. héorème : Si a est ue suite de ombres positifs qui décroisset et qui tedet vers, la série trigoométrique a cos(ωt) coverge uiformémet sur tout itervalle coteu das ], [ et = sa somme est cotiue sur ], [. cos(πt) Exemple ω = π = = - - héorème bis : Si b est ue suite de ombres positifs qui décroisset et qui tedet vers, la série trigoométrique b si(ωt) coverge pour tout t. La covergece est uiforme sur tout = itervalle coteu das ], [ et sa somme est cotiue sur ], [. si(πt) Exemple ω = π = = 3

4 MVA Aalyse et calcul matriciel π - - S(t) = 3 Série de Fourier d ue foctio périodique Problème : O a ue foctio périodique et o sait qu elle est la somme d ue série trigoométrique covergete du type : S(t) = a + a cos( ωt) + b si( ωt) Commet retrouver les coefficiets a et b? Idée : La valeur moyee de chacue des foctios a cos( ωt) et b si( ωt) est ulle : [ ] si( ωt) cos( ωt)dt = = [ ] cos( ωt) ω ω = si( ωt)dt = ω doc µ a + a cos( ωt) + b si( ωt) = µ (a ) = a a = S(t)dt héorème : e i ωt quad = dt = quad héorème : c = + c p e i p ωt S(t)e i ωt = e i ωt dt = S(t)e i ωt dt + [ e i ωt i ω ] c p e i (p ) ωt = i ω = = S(t)e i ωt dt = + dt = = c p ( = ω = e i (p ) ωt dt ) = c p héorème : a = S(t) cos( ωt)dt b = S(t) si( ωt)dt a = c + c = S(t)(e i ωt + e i ωt )dt b = i(c c ) = i S(t)(e i ωt e i ωt )dt La série trigoométrique a + a cos( ωt) + b si( ωt) costruite avec ces coefficiets s appelle la série de Fourier (réelle) de la foctio. La série trigoométrique Fourier (complexe). + c p e i p ωt est sa série de 4

5 MVA Aalyse et calcul matriciel Si la foctio est paire, tous les b sot uls, a = quad >. / / S(t)dt et a = 4 / S(t) cos( ωt)dt Si la foctio est impaire, tous les a sot uls et b = 4 S(t) si( ωt)dt Questio : Ue foctio périodique qui admet ue série de Fourier, est-elle égale à la somme de sa série de Fourier? Notatios : f (a + ) = lim t a + f (t) et f (a ) = lim t a f (t). f est cotiue e a f (a+ ) = f (a ) = f (a) héorème de Dirichlet Si f est ue foctio périodique de classe C par morceaux : f(a -) S(t) = f (t + ) + f (t ) + f(a ) E particulier, S(t) = f (t) quad f est cotiue au poit t. a Exemple La foctio f (t) : - - a = ( ) ( ) π Série de Fourier : S(t) = + 4 cos π t π est périodique de période = ω = π. est paire b = vaut t quad t a = Dirichlet S(t) = f (t) quel que soit t R. f () = S() = + 4 π a = 4 ( t) cos( π t)dt = 4 a p = et a p+ = π (p + ) 4 cos 3π t + π + = cos(p + )π t π (p + ) p= (p + ) Développemet d ue foctio e série trigoométrique p= = π 8 =. O part d ue foctio f, défiie sur R, pas forcémet périodique, de classe C. p= ( ) ( ) (p + ). O se doe u ombre >, puis o fabrique ue foctio F de classe C par morceaux, périodique de période, e posat : F(t) = f (t) quad < t < et e utilisat la périodicité pour les autres valeurs. Exemple : f (t) = t = = π - - 5

6 MVA Aalyse et calcul matriciel 3. Le théorème de Dirichlet dit que la somme de la série de Fourier de F est égale à f (t) quad < t <. Exemple : f (t) = t = a = t cos πtdt = π a = t dt = 3 b = t si πtdt = S(t) = π 3 + cos πt si πt π π < t < S(t) = F(t) 3 + t = S() = F(+ ) + F( ) = Développemet e série de sius cos πt π 3 + si πt π. O part d ue foctio f, défiie sur R,de classe C. π = = t = π 6. O se doe u ombre >, puis o fabrique ue foctio F de classe C par morceaux, impaire, périodique de période, e posat : F(t) = f (t) périodicité pour les autres valeurs. quad < t < et e utilisat la 3. La série de Fourier de F e cotiet que des sius et le théorème de Dirichlet dit que sa somme ] est f (t) sur l itervalle, [. Développemet e série de cosius. O part d ue foctio f, défiie sur R,de classe C.. O se doe u ombre >, puis o fabrique ue foctio F de classe C par morceaux, paire, périodique de période, e posat : F(t) = f (t) pour les autres valeurs. quad < t < et e utilisat la périodicité 3. La série de Fourier de F e cotiet que des cosius et le théorème de Dirichlet dit que sa somme ] est f (t) sur l itervalle, [. 6