S.I.I. Calcul vectoriel Annexe Calcul vectoriel

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1 Calcul vectoriel Contenu I Vers l espace euclidien... 2 I.1 Notions de groupe... 2 I.2 Espace vectoriel... 2 I.3 Espace affine... 2 II Les Produits de l espace euclidien... 3 II.1 Le produit scalaire... 3 II.1.1 Propriétés... 3 II.1.2 Expression du produit scalaire... 3 II.1.3 Interprétation géométrique... 3 II.2 Le produit vectoriel... 4 II.2.1 Définition... 4 II.2.2 Propriétés... 4 II.2.3 Expression du produit vectoriel... 4 II.2.4 Interprétation géométrique... 4 II.2.5 Division vectorielle... 5 II.3 Le produit mixte... 5 II.3.1 Propriété... 5 II.3.2 Expression du produit mixte... 5 II.3.3 Interprétation géométrique... 5 III Champs de vecteurs... 6 III.1 Champs uniforme... 6 III.2 Champs antisymétrique... 6 III.2.1 pplication antisymétrique... 6 III.2.2 Champ équiprojectif... 6 III.2.3 Moment d un glisseur IV Torseur... 7 IV.1 Définition... 7 IV.2 Propriété... 7 IV.2.1 Eléments de réduction... 7 IV.2.2 Invariant vectoriel... 7 IV.2.3 Invariant scalaire... 7 IV.3 xe central du torseur... 7 IV.4 Opérations sur les torseurs... 8 IV.4.1 L addition... 8 IV.4.2 Le produit (ou comoment)... 8 IV.5 Torseurs particuliers... 8 IV.5.1 Glisseur... 8 IV.5.2 Couple... 8 IV.5.3 Décomposition d un torseur... 8 Janson de Sailly 1

2 I Vers l espace euclidien La notion d espace est une notion importante qui peut se complexifier suivant le besoin de description et de modélisation de notre environnement. Dans le cadre de notre étude, on se contente de décrire notre univers environnant comme un espace affine de dimension 3. I.1 Notions de groupe On appelle groupe un ensemble associatif (G,*), un ensemble muni d une opération * et d un élément neutre ( ). Un groupe associatif est tel que tout élément admette un symétrique ( * ). Pour un groupe noté additivement (G,+), on note 0 l élément neutre, le symétrique de. Exemple : On prend une semble E d éléments notés muni de l opération interne d addition. ( ) ( ) ( ) I.2 Espace vectoriel Un -espace vectoriel (ou -ev) est un ensemble E composé d éléments v i, notés, sur lequel on a défini les opérations d addition interne à E et de multiplication externe par un réel. On appelle vecteurs les éléments de cet espace vectoriel et scalaires les éléments de. Les opérateurs d addition et de multiplication ont les propriétés ( ) suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { Un vecteur est défini par : une direction : la droite (D) un sens : indiqué par la flèche une norme : la «longueur» de (D) Tout espace vectoriel admet une base. Si ( ) est une base de E (de dimension 3) alors on a : Les scalaires (a i ) sont appelés les composantes de dans la base ( ). I.3 Espace affine est un espace affine associé à l espace vectoriel E si on a l application suivante: ( ) { ( ) ( ) Le couple ( ) est appelé bipoint de l espace affine il est défini par : une origine : le point M un support : la droite (D) ou (MP) direction de un sens : indiqué par la flèche de M vers P une norme : la distance (M, P) P (D) et sont 2 bipoints distincts. Si et, alors et sont 2 bipoints équipollents M Le couple (( ) ) est appelé Glisseur de l espace affine il est défini par : une droite (D) de un vecteur de E de direction (D) (D) Le couple ( ) est appelé Pointeur de l espace affine il est défini par : un vecteur de E un point à l origine de Janson de Sailly 2

3 On appelle repère tout couple (O, ) où O est un point de et une base de E. Le point O est appelé origine du repère. II Les Produits de l espace euclidien O II.1 Le produit scalaire On appelle produit scalaire de deux vecteurs toute forme bilinéaire symétrique. ( ) ( ) II.1.1 Propriétés ssociativité : ( ) ( ) ( ) Distributivité à droite : ( ) Distributivité à gauche : ( ) Symétrique : De plus, la forme quadratique (le carré scalaire) est définie positive : Positive : Définie : On définit la norme d un vecteur, c'est-à-dire sa longueur, par : La norme d un vecteur est toujours définie car la forme quadratique associé au produit scalaire est positive. Un vecteur est dit unitaire ou normé, si sa norme vaut 1. II.1.2 Expression du produit scalaire On calcule le produit scalaire euclidien comme suit : ( ) insi, on peut définir l angle géométrique entre deux vecteurs. (Insuffisant pour définir l angle complètement, puisque le cosinus est paire sur[ ]) ( ) ( ) Si et sont les composantes de dans la base (ON de E), on peut exprimer analytiquement le produit scalaire : II.1.3 Interprétation géométrique II.1.3.a Projection orthogonale sur une droite Soient ( ) la projection orthogonale vectorielle d'un vecteur sur une droite de vecteur directeur ( ) alors ( ) ( ) Si alors la projection est nulle, les vecteurs et sont orthogonaux : ( ) Soit ( ) une base de E tel que : est donc une base orthogonale normée (ON), c'est-à-dire que ces vecteurs de bases sont unitaire et orthogonaux deux à deux. On définit le vecteur par : La composante est donc la projection de sur le vecteur de base II.1.3.b Mesure d une distance On peut définir la distance entre deux point, par : ( ) La distance entre un point et et un plan peut-être défini par : ( ) ( ) Si est le vecteur unitaire normale à alors, ( ) ( ) Janson de Sailly 3

4 II.2 Le produit vectoriel On appelle produit vectoriel de deux vecteurs une application bilinéaire antisymétrique. ( ) ( ) II.2.1 Définition Soit un vecteur de E défini par est orthogonal à et ( et ) ( ) forme un trièdre direct Pour résumé : ( ) vec vecteur unitaire et trièdre direct Soit ( ) une base orthonormée Direct (OND), alors Règle de la main droite : Règle du tire-bouchon : II.2.2 Propriétés ssociativité : ( ) ( ) ( ) Distributivité à droite : ( ) Distributivité à gauche : ( ) ntisymétrique : Soient 2 vecteurs non nuls de E. colinéaires vers Pas de forme quadratique de ce produit, mais il existe bien un double produit vectoriel : ( ) ( ) ( ) ( ) II.2.3 Expression du produit vectoriel Si et sont les composantes de dans la base (OND de E), on peut exprimer analytiquement le produit vectoriel : ( ) ( ) ( ) Image matricielle : ( ) II.2.4 Interprétation géométrique II.2.4.a Mesure d aire Soient 3 points,,c de, ( ) ( ) II.2.4.b Distance d un point à une droite La distance entre un point et une droite peut-être défini par : ( ( )) ( ) ( ) C Janson de Sailly ( ) 4

5 Si est le vecteur unitaire de D alors ( ), ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) II.2.4.c Projection d un vecteur sur un plan Soit un vecteur et un plan de normale unitaire. La projection de ( ) la projection orthogonale vectorielle s écrit : ( ) ( ) ( ) II.2.4.d Définition d un angle entre 2 vecteurs insi, on peut définir l angle entre deux vecteurs ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) II.2.5 Division vectorielle La division vectorielle correspond à l opération inverse du produit vectoriel. Son utilité vient de la résolution de l équation vectorielle suivante : Trouver tel que : ( ) La solution sans second membre de cette équation est : avec La solution particulière s exprime avec la formule de Gibbs ( ) ( ) ( ) La solution générale est donc : II.3 Le produit mixte On appelle produit mixte de trois vecteurs une application trilinéaire antisymétrique. ( ) ( ) [ ] ( ) II.3.1 Propriété Distributivité et associativité: [ ] [ ] [ ] Invariant par permutation circulaire : [ ]=[ ] [ ] Et pour toute autre permutation : [ ] [ ] Soient 3 vecteurs non nuls de E, [ ] coplanaires II.3.2 Expression du produit mixte Si, et sont les composantes de dans la base (OND de E), on peut exprimer analytiquement le produit mixte : [ ] Le produit mixte correspond donc au déterminant de la matrice formée par les 3 vecteurs. II.3.3 Interprétation géométrique D II.3.3.a Mesure de volume Soient 4 points,,c,d de, le volume du parallélépipède engendré par ces 4 points vaut : [ ] ( ) II.3.3.b Distance entre 2 droites La distance entre 2 droites se calcule par le produit mixte. Soit 2 droites ( ) et ( ), la plus courte distance s obtient à partir de leur perpendiculaire commune. (( ) ( )) ( ) C Q P Janson de Sailly 5

6 III Champs de vecteurs On appelle champs de vecteur toute application qui à un point M de l espace affine euclidien fait correspondre un vecteur de E ( ) III.1 Champs uniforme Un champ de vecteur est dit uniforme si et seulement si il vérifie : ( ) ( ) ( ) III.2 Champs antisymétrique III.2.1 pplication antisymétrique Une application de E dans E est antisymétrique si et seulement si elle vérifie : ( ) ( ) ( ) III.2.1.a Propriétés : ( ) est une application linéaire III.2.1.b Définition Un champ de vecteur est antisymétrique si et seulement si il existe une application antisymétrique de E dans E, telle que : ( ) ( ) ( ) ( ) Pour un espace euclidien de dimension 3, on peut noter qu il existe un unique vecteur associé à l application antisymétrique tel que : ( ) ( ) III.2.2 Champ équiprojectif III.2.2.a Définition Un champ de vecteur est équiprojectif si et seulement si il vérifie : ( ) ( ) ( ) III.2.2.b Théorème Tout champs de vecteur équiprojectif est antisymétrique et réciproquement. III.2.3 Moment d un glisseur. III.2.3.a Moment d un glisseur par rapport à un point On appelle moment d un glisseur (( ) ) par rapport à un point P, le champ de vecteur définit pour un point de (D) par : ( ) Si appartient à la droite (D), on a ( ) ( ) P ( ) H (D) Le moment au point P du glisseur (( ) ) est indépendant du point choisi sur le support (D). Soit H le projeté orthogonale du point P sur la droite (D) ( ) ( ) La distance, c'est-à-dire la distance de P à la droite (D), est appelé le «bras de levier». Soit Q un point quelconque de l espace euclidien. Utilisons la relation de Chasles dans la définition du moment au point P du glisseur (( ) ). ( ) ( ) (Δ) ( ) ( ) ( ) C est la relation de changement de point de moment. ( ) (D) P M Janson de Sailly H 6

7 III.2.3.b Moment d un glisseur par rapport à un axe On appelle moment d un glisseur (( ) ) par rapport à un axe ( ), le champ de vecteur définit par : ( ) ( ) [ ] Si Q appartient à la droite (Δ), alors ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] Le moment d un glisseur (( ) ) par rapport à un axe est indépendant du point Q choisi sur (Δ). On définit les points M et H avec et, tel que est la distance entre les deux droites (D) et (Δ). ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) IV Torseur IV.1 Définition Un torseur { } est un champ de vecteur équiprojectif de tel sorte que : IV.2 Propriété O IV.2.1 Eléments de réduction y x Un torseur est l association d un vecteur résultant et un champ de moment vérifiant la relation de changement de point suivant : Un torseur se note : { } { } et t sont les éléments de réduction du torseur { } au point. IV.2.2 Invariant vectoriel Pour tout point de l espace, le vecteur résultant est invariant. IV.2.3 Invariant scalaire Il existe un scalaire lié au torseur invariant pour tout point de l espace. ( ) ( ) est appelé l invariant scalaire du torseur cinématique { } z M M IV.3 xe central du torseur L axe central du torseur { } correspond au lieu des points où la norme du vecteur moment est minimum. { L axe central est donc une droite dans l espace dirigé par et passant par P. Pour tout P de l axe central, le moment peut s écrire dans une base orthonormée créée à partir de : ( ) et donc +( ) ( ) Et vrai pour tout M donc b et c sont nuls. Janson de Sailly 7

8 Recherche de l axe centrale : Soit un torseur caractérisé par : { } { } P est sur l axe central, c'est-à-dire que le point P vérifie : ( ) et IV.4 Opérations sur les torseurs Une opération sur les torseurs ne peut se faire que s ils sont réduits au même point. IV.4.1 L addition Soient { } { } et { } { }, { } { } IV.4.2 Le produit (ou comoment) Soient { } { } et { } { } { } { } IV.5 Torseurs particuliers IV.5.1 Glisseur Un glisseur est défini par : { } { } IV.5.2 Couple Pour tout point M de l espace, le torseur couple est défini par : { } { } Un torseur couple peut toujours se décomposer en somme de 2 glisseurs { } { } { } { } C est la somme de { } et { } IV.5.3 Décomposition d un torseur Un torseur pourra toujours se décomposer en la somme d un glisseur et d un torseur couple. { } { } { } { } { } { } Janson de Sailly 8

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