BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES

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1 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Sessio 2016 MATHÉMATIQUES Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LABORATOIRE Spécialité : BIOTECHNOLOGIES Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 4 Calculatrice autorisée coformémet à la circulaire du 16 ovembre Le cadidat doit traiter les quatre exercices. Il est ivité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o fructueuse, qu il aura développée. La qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets serot prises e compte das l appréciatio des copies. Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet. Le sujet comporte 7 pages umérotées de 1/7 à 7/7. Les aexes page 7/7 sot à redre avec la copie. Page 1/7

2 EXERCICE 1 (4 poits) 16MABIPO1 Das cet exercice, o s itéresse au taux de cholestérol LDL de la populatio d adultes d u pays. O ote X la variable aléatoire qui, à u adulte de cette populatio, associe so taux de cholestérol LDL, exprimé e grammes par litre. O admet que X suit la loi ormale d espérace 1,27 et d écart type 0, a) Détermier ue valeur approchée à 10-3 près de la probabilité qu u adulte, choisi au hasard das cette populatio, ait u taux de cholestérol LDL compris etre 1 et 1,6 gramme par litre. b) Détermier ue valeur approchée à 10-3 près de la probabilité qu u adulte, choisi au hasard das cette populatio, ait u taux de cholestérol LDL supérieur à 1,9 gramme par litre. 2. Das la populatio étudiée, 28 % des adultes souffret d hypercholestérolémie LDL (ils ot u taux de cholestérol LDL trop élevé). a) Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique à 95 % de la fréquece d adultes souffrat d hypercholestérolémie LDL, das u échatillo de 300 adultes choisis au hasard das la populatio étudiée. O arrodira les bores de l itervalle à b) Les médecis d ue ville de ce pays s iterroget sur la proportio d adultes souffrat d hypercholestérolémie LDL das leur ville. Ils disposet d u groupe de 300 adultes pris au hasard parmi les adultes de la ville. Ils costatet que 96 d etre eux souffret d hypercholestérolémie LDL. E utilisat l itervalle de fluctuatio précédet, peut-o dire, que la proportio d adultes souffrat d hypercholestérolémie LDL das cette ville est sigificativemet plus élevée que das l esemble de la populatio du pays? Justifier la répose. 3. Deux laboratoires fabriquet u médicamet ati-cholestérol LDL. Le médicamet du laboratoire A est testé sur u échatillo de 1000 adultes et s avère efficace pour 870 d etre eux. Le médicamet du laboratoire B est testé sur u échatillo de 800 adultes et s avère efficace pour 720 d etre eux. a) U itervalle de cofiace à 95 % de la proportio p A d adultes pour lesquels le médicamet du laboratoire A est efficace, est 0,849;0,891. Détermier u itervalle de cofiace à 95 % de la proportio p B d adultes pour lesquels le médicamet du laboratoire B est efficace. b) Ces résultats permettet-ils de cosidérer qu il y a ue différece sigificative etre ces deux médicamets e termes d efficacité? Justifier la répose. Page 2/7

3 EXERCICE 2 (5 poits) Pierre possède ue piscie aturelle de litres d eau. Des plates épuratives jouet le rôle de filtratio aturelle. Afi d améliorer l oxygéatio de l eau, Pierre décide de recycler e permaece ue partie de l eau de la piscie e la remplaçat par l eau d u puits voisi. Malheureusemet, Pierre e sait pas que l eau du puits, captée par ue pompe, est cotamiée par des germes. Avat la mise e route de la pompe, l eau de la piscie est cotamiée par aucu germe. La quatité d eau cotamiée au cours du temps est modélisée par ue foctio f. Lorsque t représete le temps écoulé, e heures, depuis la mise e route de la pompe, f (t) représete la quatité, e litres, d eau cotamiée veat du puits au bout de t heures de pompage. O admet que la foctio f, défiie sur 0,, est solutio de l équatio différetielle : y 0,00625y a) Doer les solutios de cette équatio différetielle sur 0;. b) Sachat que f (0) = 0, détermier ue expressio de f (t) pour tout réel t de 0,. Das les questios suivates, o admet que pour tout réel t de 0,, o a : 0, e f t t. 2. Calculer, e litres, la quatité d eau cotamiée veat du puits au bout de 72 heures. Le résultat sera arrodi à l uité. 3. a) Calculer f (t) où f désige la foctio dérivée de la foctio f. E déduire le tableau de variatios de la foctio f (o admet que lim f ( t) 4800 ). t b) Ce ses de variatio de la foctio f détermié est-il cohéret avec la situatio cocrète étudiée. Pourquoi? 4. La piscie deviet dagereuse pour la peau lorsque la quatité d eau cotamiée dépasse 6 % du volume d eau de la piscie. Cette piscie peut-elle être dagereuse pour la peau? Justifier. 5. La piscie deviet impropre à la baigade lorsque la quatité d eau cotamiée dépasse 3 % du volume d eau de la piscie. Détermier, à l heure près, au bout de combie de temps l eau de la piscie deviedra impropre à la baigade. Page 3/7

4 EXERCICE 3 (5 poits) E 2013, la productio fraçaise de déchets d équipemets électriques et électroiques (déchets EEE) s élève à 1,55 millio de toes. (Source : Agece de l Eviroemet et de la Maîtrise de l Éergie.) 1. L affirmatio suivate est-elle vraie ou fausse? O justifiera la répose. «E 2013, la productio fraçaise de déchets EEE par secode est de 49 kg, au kilogramme près.» O s itéresse à la productio fraçaise, exprimée e millios de toes, de déchets EEE par a à partir de O estime qu à compter de l aée 2013, la productio fraçaise de déchets EEE augmete de 3 % par a. Aisi, la situatio peut être modélisée par ue suite géométrique u, où pour tout etier aturel, u est ue estimatio de la productio fraçaise de déchets EEE (exprimée e millios de toes) e a) Préciser la raiso et le premier terme de la suite u. b) Exprimer u e foctio de, pour tout etier aturel. 3. Calculer la productio fraçaise de déchets EEE e Le résultat sera arrodi à 0,01 millio de toes. 4. E quelle aée la productio fraçaise de déchets EEE dépassera-t-elle 2 millios de toes? Justifier la répose. 5. O cosidère l algorithme suivat : Variables : etier aturel u et S réels Iitialisatio : Affecter à u la valeur 1,55 Affecter à S la valeur 1,55 Traitemet : Pour allat de 1 à 5 Affecter à u la valeur 1,03 u Affecter à S la valeur S u Fi Pour Sortie Afficher S a) Idiquer das le tableau les valeurs successives prises par les variables u et S lors du déroulemet de l algorithme (les résultats serot arrodis à 10-3 ) : u 1,55 1,597 S 1,55 3,147 b) Quel résultat sera affiché à l issue de cet algorithme? Iterpréter cocrètemet cette valeur e termes de productio fraçaise de déchets EEE. Page 4/7

5 EXERCICE 4 (6 poits) 16MABIPO1 Ue étude vise à quatifier la probabilité y i, pour ue persoe doée, de développer ue maladie après la cosommatio d ue portio de repas à base d œuf ou de poulet selo le ombre i de bactéries Salmoella qui y sot présetes. Les résultats de cette étude sot doés das le tableau suivat : i , , ,3 9 y i 0,02 0,15 0,27 0,63 0,71 0,84 0, (Source : Orgaisatio des Natios Uies pour l alimetatio et l agriculture.) O rappelle que log désige le logarithme décimal. 1. a) O pose x log i i. Compléter le tableau de valeurs fouri e aexe 1 (o arrodira les résultats au dixième). 1 b) Calculer les coordoées, à 10 près, du poit moye G du uage de poits M i xi, yi et placer le poit G sur le graphique de l aexe O ote (D) la droite d ajustemet de y e x obteue par la méthode des moidres carrés. a) À l aide de la calculatrice, doer l équatio de la droite (D) sous la forme y ax b, les réels a et b état arrodis au millième. b) Costruire la droite (D) sur le graphique de l aexe 2. 2 c) E utilisat ce modèle d ajustemet, estimer, à 10 près, la probabilité de développer ue maladie après la cosommatio d ue portio de repas à base d œuf ou de poulet das lesquels le ombre de bactéries Salmoella est de Das cette questio, o utilise u ouveau modèle d ajustemet. Pour u ombre de bactéries doé, o pose x log et, das ce ouveau modèle, o ote f x la probabilité, pour ue persoe doée, de développer ue maladie après la cosommatio d ue portio de repas à base d œuf ou de poulet selo le ombre de bactéries Salmoella qui y sot présetes. O suppose que pour tout x 0;, o a : f x x 1 34,8e a) O détermie la foctio dérivée de la foctio f grâce à u logiciel de calcul formel. O a obteu l affichage suivat : 1. E déduire le ses de variatio de la foctio f. Page 5/7

6 b) Tracer la courbe représetative de la foctio f das le repère de l aexe 2. 16MABIPO1 c) E utilisat ce ouveau modèle, détermier la probabilité de développer ue maladie après la cosommatio d ue portio de repas à base d œuf ou de poulet das lesquels le ombre de bactéries Salmoella est de O e doera la valeur arrodie au cetième. d) E utilisat ce ouveau modèle, estimer le ombre de bactéries Salmoella d ue portio de repas à base d œuf ou de poulet telle que la probabilité d être malade soit égale à 0,75. O expliquera la démarche utilisée. Page 6/7

7 ANNEXES À JOINDRE A LA COPIE Aexe 1 (exercice 4) i , , ,3 9 i x i =log 1,2 1,7 y i 0,02 0,15 0,27 0,63 0,71 0,84 0, Aexe 2 (exercice 4) Page 7/7

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