Chapitre 2 Nombres Complexes Exercices

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1 Chapitre Nombres Complexes Exercices I. Ciril, F. De Lepie, F. Duffaud, C. Peschard Exercice 1 Mettre chacu des ombres complexes suivats sous la forme a + ib, a R et b R. 1 i, i i, 1 + i 1 i, + 5i 1 i + 5i 1 + i. Exercice crire sous la forme a + ib les ombres complexes suivats : 1. Nombre de module et d argumet π/.. Nombre de module et d argumet π/8. Exercice Représeter sous forme trigoométrique les ombres : 1 + i ; 1 + i ; + i ; 1 + i i. Exercice 4 1. Mettre sous forme trigoométrique les ombres complexes suivats : z 1 = + i, z = 1 i, z = 4 i, z 4 =, z 5 = e iθ + e iθ.. Calculer 1+i 000. Exercice 5 Écrire les ombres complexes suivats sous la forme a + ib a, b R : 5 + i 1 i ; 1 + i ; 1 + i 9 1 i 7. Exercice 6 Calculer le module et l argumet des ombres complexes suivats : z 1 = 1 + i 1 + i ; z = 1 + j ; z = 1 + i ta θ 1 i ta θ. Exercice 7 Calculer le module et l argumet des ombres complexes suivats, aisi que de leurs cojugus : i i1 5. 1

2 . ta ϕ i ta ϕ+i où ϕ est u agle doé. Exercice 8 Écrire sous la forme partie réelle-partie imagiaire, puis sous la forme module-argumet le ombre complexe : 1 + i 1 i. 1 + i Exercice 9 Calculer le module et l argumet de z = 1 1+i ta α. Exercice 10 Détermier le module et l argumet des ombres complexes : e eiα et e iθ + e iθ. Exercice 11* Soiet α et β deux ombres réels. Mettre le ombre complexe z = e iα + e iβ trigoométrique z = ρe iγ idicatio : poser u = α+β, v = α β. E déduire la valeur de C p cos[pα + pβ]. p=0 sous forme Exercice 1* Motrer que si z k < 1 alors 1 k 1 + z 1 + k. Faire u dessi et motrer qu il peut y avoir égalité. Exercice 1* Motrer algébriquemet et géométriquemet que si z = 1 alors 1 + z 1 ou 1 + z 1. Exercice 14 Trouver les racies cubiques de i et de 11 + i. Exercice 15 Résoudre les équatios suivates : z 6 = 1 + i 1 i ; z 4 = 1 i 1 + i. Exercice 16 Calculer 1+i algébriquemet, puis trigoométriquemet. E déduire cos π 1, si π 1, ta π 1, 1+i ta 5π 1. Résoudre das C l équatio z4 = 1. Exercice 17 Résoudre, das C, l équatio z + 1 = z 1. Exercice Motrer que, pour tout N et tout ombre z C, o a : et e déduire que, si z 1, o a : z z + z z 1 = z 1, 1 + z + z z 1 = z 1 z 1.

3 . Vérifier que pour tout x R, o a expix 1 = i exp ix si x.. Soit N. Calculer pour tout x R la somme : et e déduire les valeurs de Z = 1 + expix + expix exp 1ix, X = 1 + cosx + cosx cos 1x Y = six + six si 1x. Exercice 19 Trouver les racies carrées de 4i et de 4 10i. Exercice 0 1. Calculer les racies carrées de 1+i. E déduire les valeurs de cosπ/8 et siπ/8.. Calculer les valeurs de cosπ/1 et siπ/1. Exercice 1 Résoudre les équatios suivates, d icoue z C : 1. z + z = 0.. z 5 14iz 5i + 1 = 0.. z + z + jz = z 4 1 iz i = = z + z z 1 + z = 0, N. 7. z 4 + 4z + 6z + 4z 15 = 0. Exercice 1. Pour α R, résoudre das C l équatio z cosαz + 1 = 0. E déduire la forme trigoométrique des solutios de l équatio : z cosαz + 1 = 0, où est u etier aturel o ul. P α z = z cosαz + 1. a Justifier la factorisatio suivate de P α : α P α z = z cos + 1 α z cos + π α z 1π cos b Prouver, à l aide des ombres complexes par exemple, la formule suivate : θ 1 cos θ = si, θ R. c Calculer P α 1. E déduire si α si α + π α... si 1π + = si α 4 1.

4 . Pour tout α apparteat à ]0, π[, et pour tout etier aturel, o pose : α H α = si + π α si + π α 1π... si +. a Motrer que, pour tout α o ul, o a : 1 H α = siα/ siα/. b Quelle est la limite de H α lorsque α ted vers 0? c E déduire que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o a π π 1π si si... si = 1. Exercice E utilisat les ombres complexes, calculer cos 5θ et si 5θ e foctio de cos θ et si θ. Exercice 4 1. Soit θ R. A l aide de la formule de Moivre exprimer e foctio de cos θ et de si θ : a cosθ et siθ. b cosθ et siθ. E déduire ue équatio du troisième degré admettat pour solutio cos π et la résoudre.. Liéariser les polyomes trigoométriques suivats : 1 + cos x, cos x + si x. Exercice 5 Résoudre das R les équatios et iéquatios suivates : 1. si x si x = 0 puis si x si x > 0.. si 5x = si π + x.. cos x si x = six. 4. cos5x + cosx cosx. 5. cos 4 x si 4 x = cos x 9 cosx + 4 > 0. Exercice 6 Détermier l esemble des ombres complexes z tels que : 1. z z 5 = 1,. z z 5 =. Exercice 7 1. Détermier l esemble des poits M du pla complexe, d affixe z tels que : zz 1 = z z 1. 4

5 . Détermier l esemble des poits M du pla complexe, d affixe z tels que les images de 1, z, 1 + z soiet aligées.. Détermier l esemble des poits M du pla complexe, d affixe z tels que : z + 1 =. z Exercice 8 Soit s = 1 z1 iz. 1. Détermier l esemble des images des ombres complexes z tel que s soit réel.. Détermier l esemble des images des ombres complexes z tel que s soit imagiaire pur. Exercice 9 Détermier les ombres complexes z tels que le triagle ayat pour sommets les poits d affixes z, z, z soit rectagle au poit d affixe z. Exercice 0 1. Résoudre das C l équatio : 1 z z 1 = i. O doera la solutio sous forme algébrique.. Soit M, A, et B les poits d affixes respectives z, 1,. O suppose que M A et que M B. Iterpréter géométriquemet le module et u argumet de z /z 1 et retrouver la solutio de l équatio 1. Exercice 1 Le pla P est rapporté à u repère orthoormé et o idetifie P à l esemble des ombres complexes C par Mx, y x + iy = z, où z est appelé l affixe de M. Soit g : P P qui à tout poit M d affixe z 1 associe gm d affixe z = 1 z 1+z. 1. Calculer z + z pour z = 1.. E déduire l image du cercle de rayo 1 de cetre 0 privé du poit de coordoées 1, 0 par l applicatio g. 5