NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1

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1 NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1 Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 11 (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ) 1 (5 4 )( + 6 ); (4 + ) (4 ) ; 1 ; α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β) R 1) α + ( β + 1) EXERCICE Sot ϕ réel ; z cos ϕ + sn ϕ cos ϕ 1 Détermner ϕ tel que z 0 S z 0, calculer z 1, z, z, z, z EXERCICE Sot α réel ; z (α )[(10 α) + ( + α) ] Détermner α tel que z sot réel Précser, dans ce cas, la valeur de z EXERCICE 4 A tout pont M (x,y) du plan rapporté au repère (O, u, v), on assoce le nombre complexe : z [( x y) + (x y) ][x + (x y) ] Détermner et construre l ensemble des ponts M tels que z sot réel

2 EXERCICE 5 1 Sot : α, β, réels fxés, z 1 cos α + sn α, z cos β + sn β Détermner la représentaton cartésenne de : z 1 z ; z 1 ; z n 1 pour n N z Sot j cos π π + sn Calculer : j ; j ; j n ; 1 + j + j EXERCICE 6 Sot z, nombre complexe, u, nombre complexe de module 1, u 1 Démontrer que z uz u est réel EXERCICE 7 Sot : z ; z 1 Détermner le module et un argument de : z 1, z 1 z, z 1, z 1 z, z z1 EXERCICE 8 Détermner le module et un argument de z : 1 z a 1 tanα (a,α) R tanα z ( ) z 4 ( ) EXERCICE 9 Résoudre dans, ensemble des nombres complexes de module 1 : z+ z' + z" 1 zz' z" 1 EXERCICE 10 Détermner z, complexe tel que z et z 6 soent conjugués

3 EXERCICE 11 1 Sot z complexe, z 1, et S n p n p 0 Sot : Σ1 cosθ+ cosθ+ + cosnθ, Σ 0+ snθ+ snθ+ + snnθ Calculer Σ 1 + Σ En dédure Σ 1 et Σ z p Exprmer S n en foncton de z et de n EXERCICE 1 Sot z 1, z, z, nombres complexes dans le produt est, dont les arguments respectfs θ 1, θ, θ, forment une progresson arthmétque de rason π, et les modules respectfs ρ 1, ρ, ρ, une sute géométrque de rason Détermner z 1, z, z, et construre leurs mages dans un plan complexe EXERCICE 1 Sot a R, n N, et sot, dans C : E 1, équaton en Z : Z n 1 + a a z n E, équaton en z : 1 + a z a 1 Démontrer que toute soluton de E 1 a pour module 1, et que toute soluton de E est réelle Sot a 0, n Résoudre E EXERCICE 14 On se propose de résoudre dans C : z 6 (1 + ) z + 4 z Sot H l homothéte de rapport 1, dont le centre est I d affxe ( 1 ) Pour tout pont m, d affxe z, H (m) M, d affxe Z 1 Calculer Z en foncton de z, pus z en foncton de Z Démontrer que z est soluton de l équaton proposée s, et seulement s, Z est soluton de : Z 1 Résoudre la seconde équaton En dédure les solutons de la premère

4 EXERCICE 15 1 / Quel est l ensemble (C) des ponts z du plan complexe vérfant : / Applcaton : k Défnr (C) z 1 z + 1 k, k constante réelle postve / On pose Z 1 z + 1 z Calculer Z 1 Z + 1 en foncton de z 4 / Quel est l ensemble (C ) décrt par les ponts Z du plan complexe lorsque z décrt le cercle (C )? 5 / Applcaton : k Défnr (C ) EXERCICE 16 1 / Détermnez les nombres complexes solutons de l équaton : z 4 1 / Détermnez sous forme trgonométrque les solutons de l'équaton : z 4 8 ( 1 ) 6 6+ / Sot a + Vérfez : a 4 8 ( 1 ) En dédure sous forme algébrque les résultats du / 4 / Des questons / et /, dédure les valeurs exactes de cos 11 π 11 π et sn 1 1 EXERCICE 17 λ, α, β étant tros constantes données réelles ou complexes, montrez que les solutons de l'équaton : λ n ( z α ) n ( z β ) n 0 sont toutes sur une même crconférence Calculez la poston du centre et le rayon de cette crconférence Exprmer l affxe z c du centre et le rayon t de cette crconférence en foncton de α, β et λ

5 EXERCICE 1 Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 11 (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ) 1 (5 4 )( + 6 ); (4 + ) (4 ) ; 1 ; α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β) R 1) α + ( β + 1) SOLUTION 11 (5 ) ; ( + ) ; (1 5) 111 (5 ) 11 ( + ) (5 ) ( + ) (1 + ) 8 ( ) 8 ( 1 + ) 8 ( + ) 16 ( 1 + ) 11 (1 5) (5 ) 4 10 ( + ) (1 5) 1 ( 5) + ( 5) ( 5) (1 5) (5 4 )( + 6 ); (4 + ) (4 ) 11 (5 4 )( + 6 ) (5 4 )( + 6 ) (5 4 )( + 6 )

6 (4 + ) (4 ) (4 + ) (4 ) [(4 + )(4 )] (4 9 ) (16 + 9) 5 ; 1 ; ( )( + ) ( )( + ) (4 + ) (4 ) ( )( ) ( )( ) 1 + ( ) 1

7 ( ) + ( + ) ( )( + ) ( ) α α + ( α 1) ; ( α + β ) α + ( β + 1) ; (α,β) R 151 α α + ( α 1) α ( α ) α + ( α 1) ( α α 1) α ( α ) 1 α α + ( α )( α+ ) α α + ( α 1) α + α + 1 α β 15 ( + ) α + ( β + 1) ( α + β ) ( α+ β) ( α ( β+ 1) ) α + ( β + 1) ( α+ ( β+ 1) )( α ( β+ 1) )

8 ( ) α+ β ( α β ) α + ( β+ 1) ( α+ β)( α + β ( α+ β)) α + ( β+ 1) ( )( α+ β α + β + β α ) α + ( β+ 1) ( )( α β α β ) ( α β ) α + ( β+ 1) α α β β α β ( ) ( ) ( α β ) + αβ α + ( β+ 1) ( α + β ) α + ( β + 1) α α β αβ β α β ( ) ( ( ) α β ) α + ( β+ 1)

9 EXERCICE Sot ϕ réel ; z cos ϕ + sn ϕ cos ϕ 1 Détermner ϕ tel que z 0 S z 0, calculer z 1, z, z, z, z SOLUTION 1 / Détermnaton de ϕ L équaton z 0 s écrt, en foncton de ϕ : cos ϕ + sn ϕ cos ϕ 0 cos ϕ ( cos ϕ + sn ϕ ) 0 Il y a donc deux sorte de solutons possbles : cos ϕ 0, sot ϕ π + k π, k Z cos ϕ + sn ϕ 0, sot e ϕ 0, ce qu est mpossble car e ϕ 1 et un nombre complexe de module 1 ne peut jamas être égal à 0 Les seules solutons du problème sont donc données par : / Pussances de z ϕ π + k π, k Z De la relaton : z cos ϕ e ϕ on tre mmédatement les résultats : z 1 e ϕ 1 tan ϕ cosϕ z cos ϕ e ϕ cos ϕ (cos ϕ sn ϕ) + sn ϕ cos ϕ z e ϕ cos ϕ (1 tan ϕ) tan ϕ z cos ϕ e ϕ cos ϕ (cos ϕ + sn ϕ) z e ϕ cos ϕ cos ϕ sn ϕ cos ϕ cos ϕ

10 EXERCICE Sot α réel ; z (α )[(10 α) + ( + α) ] Détermner α tel que z sot réel Précser, dans ce cas, la valeur de z SOLUTION Calculons la parte magnare de z : I (z ) (10 α) + α ( + α) α + α 10 Pour que z sot réel, l faut et l sufft que sa parte magnare sot nulle Cette condton s exprme par l équaton: α + α 10 0 Les solutons de cette équaton sont données par : α ± ou 5 Il y a donc deux solutons : α Dans ce cas, z R (z) α (10 α) + + α α + 11 α α 5 Dans ce cas, z R (z) α + 11 α

11 EXERCICE 4 A tout pont M (x,y) du plan rapporté au repère (O,u,v), on assoce le nombre complexe : z [( x y) + (x y) ][x + (x y) ] Détermner et construre l ensemble des ponts M tels que z sot réel SOLUTION Pour que z sot réel, l faut et l sufft que sa parte magnare sot nulle : (x y) x + ( x y)(x y) 0 (x y)( x y) 0 L ensemble de ponts M (x,y) tels que z sot réel est donc formé des deux drotes d équatons : y x C est la premère bssectrce y x

12 EXERCICE 5 1 Sot : α, β, réels fxés, z 1 cos α + sn α, z cos β + sn β Détermner la représentaton cartésenne de : z 1 z ; z 1 ; z n 1 pour n N z Sot j cos π π + sn Calculer : j ; j ; j n ; 1 + j + j SOLUTION 41 Représentaton cartésenne de nombres complexes z 1 cos α + sn α e α z cos β + sn β e β z 1 z e α e β e (α + β) cos (α + β) + sn (α + β) z 1 z cos (α + β) + sn (α + β) z z 1 e α e β e (α β) cos (α β) + sn (α β) z z 1 cos (α β) + sn (α β) z 1 n e n α cos n α + sn n α z 1 n cos n α + sn n α 4 Pussances de j j cos j e π π + sn e 4π cos 4 π π + sn 4 π j 1 (1 + ) j e 6π e π 1 j n e 1 + j + j 1 1 n π j j 0

13 EXERCICE 6 Sot z, nombre complexe, u, nombre complexe de module 1, u 1 Démontrer que z uz u est réel SOLUTION z uz ( z uz )( u ) z uz uz+ uuz u ( u)( u) u u + uu Le dénomnateur est réel, c est le carré du module de 1 u uz + uz est réel, c est deux fos la parte réelle de uz Reste à montrer que z + u z est réel, ce qu est clar pusque, par hypothèse, u est de module 1, donc : z + u u z z + u z z + z R(z) z uz u R ( z uz) u est réel

14 EXERCICE 7 Sot : z ; z 1 Détermner le module et un argument de : z 1, z 1 z, z 1, z 1 z, z z1 SOLUTION z 1 4 e π 4 et z e π entraînent : z 1 e π z 1 z 8 e π 1 π z e 4 z1 e 7 π 1 z z z1 4 e 7 π 1 et ces formules donnent nstantanément les modules et arguments des nombres complexes calculés

15 EXERCICE 8 Détermner le module et un argument de z : 1 z a 1 tanα (a,α) R tanα z ( ) z 4 ( ) SOLUTION 1 tan α sn α cosα z a Le module de z est donc a Un argument de z est : α s a est postf, π α s a est négatf snα cosα snα cosα a cosα snα cosα+ snα a e α + α e a e α z ( )( 7+ 4 ) ( 7 4 )( 7+ 4 ) 1 ( ) 1 + e 97 π Le module de z est donc, et son argument est π, à un multple de π près 1 e π 4 1 e π Le module de z est donc 8 z ( ) 4 ( ) et son argument est 7π 1 e 1 4π 16 e 4π 8 e 7π 1

16 EXERCICE 9 Résoudre dans, ensemble des nombres complexes de module 1 : z+ z' + z" 1 zz' z" 1 SOLUTION z, z, z sont solutons de l équaton (Z z )(Z z )(Z z ) 0 Z (z + z + z ) Z + (z z + z z + z z ) Z z z z 0 Z Z + (z z + z z + z z ) Z 1 0 z z + z z + z z zz ' + z ' z '' + z '' z zz ' + z ' z '' + z '' z zz' z'' z'' z + 1 z' Mas, par hypothèse, z, z et z sont des nombres complexes de module 1 : leur conjugué est donc égal à leur nverse 1 z z, 1 z, 1 z z' z'' z z + z z + z z z + z + z z + z' + z'' 1, pusque z + z + z 1 Ans, les nombres complexes z, z, z sont les solutons de l équaton : Z Z + Z 1 0 L équaton Z Z + Z 1 0 peut être écrte : Z (Z 1) + Z 1 0, sot (Z 1)(Z + 1) 0 D où les racnes : { z, z, z } { 1,, }

17 EXERCICE 10 Détermner z, complexe tel que z et z 6 soent conjugués SOLUTION L équaton défnssant z s écrt : z 6 z Les solutons réelles sont données par : x 6 x x (x 4 1) 0 x (x 1)(x + 1) 0 x (x 1)(x + 1)(x + 1) 0 Il y a donc tros solutons réelles : 0, 1, 1 Cherchons les solutons dans le plan complexe La relaton z 6 z entraîne, en module : z 6 z Comme z est réel postf, l y a deux solutons : z 0 et z 1 1 er cas z 0 entraîne z 0 z 0 e cas z 1 entraîne z 1 z et la relaton z6 z, que l on peut écrre auss z 6 z s écrt z 6 1 z égal à 1, z ne peut pas être nul et la relaton z 6 1 z Les solutons de l équaton z 8 1, sont données par : z e est équvalente à z 8 1 kπ 8, k 0, 1,,, 4, 5, 6, 7 Comme z est z e k π4, k 0, 1,,, 4, 5, 6, 7 Les solutons réelles que nous avons trouvées sont comprses dans les neuf solutons complexes La soluton x 0 correspond à z 0 (1 er cas), la soluton x 1 correspond à k 0 ( e cas), la soluton x 1 correspond à k 4 ( e cas)

18 EXERCICE 11 1 Sot z complexe, z 1, et S n Sot : Σ1 cosθ+ cosθ+ h + cosnθ, Σ 0+ snθ+ snθ+ h + snnθ p n p 0 Calculer Σ 1 + Σ En dédure Σ 1 et Σ z p Exprmer S n en foncton de z et de n SOLUTION 1 / Somme d une progresson géométrque Consdérons la somme : S n 1 + z + z + + z n Mulplons les deux membres par z, nous obtenons : z S n z + z + z + + z n +1 Par soustracton membre à membre, l vent : S n z S n 1 z n +1 Comme, par hypothèse, z est dfférent de 1, 1 z est dfférent de 0, on peut dvser les deux membres par 1 z, l reste : D où la formule fnale : S n 1 1 n+ 1 z z 1 + z + z + + z n 1 1 n+ 1 z z / Applcaton à l exponentelle complexe Consdérons les sommes : Σ cos θ + cos θ + + cos nθ Σ 0 + sn θ + sn θ + + sn nθ En prenant Σ 1 pour parte réelle et Σ pour parte magnare, nous obtenons le nombre complexe : Σ 1 + Σ (1 + cos θ + cos θ + + cos nθ) + (0 + sn θ + sn θ + + sn nθ) Σ 1 + Σ (1 + 0) + (cos θ + sn θ) + (cos θ + sn θ) + + (cos nθ + sn nθ) Σ 1 + Σ 1 + e θ + e θ + + e n θ 1 + z + z + + z n avec z e θ La formule étable dans la queston 1 donne alors la soluton : Σ 1 + Σ 1 ( n+ 1) θ e θ e Pour séparer faclement la parte réelle et la parte magnare, nous allons transformer cette expresson en mettant en facteur : au numérateur e n +1 θ au dénomnateur e Il vent : θ

19 n +1 θ n + 1 n + 1 θ θ θ θ Σ 1 + Σ e θ e e e e e Les formules d Euler donnent : sn n+1 θ e n + 1 e n + 1 θ θ θ θ et sn θ e e d où : Σ 1 + Σ e n +1 θ θ sn n +1 θ θ e sn Σ 1 + Σ e n θ sn n +1 θ (cos n θ + sn n θ ) sn n +1 θ θ sn sn En séparant parte réelle et parte magnare, l vent : Σ 1 cos n θ sn n +1 θ θ sn Σ sn n θ sn n +1 θ θ sn D où les formules : 1 + cos θ + cos θ + + cos nθ cos n sn θ + sn θ + + sn nθ sn n θ sn n +1 θ θ sn θ sn n +1 θ θ sn θ

20 EXERCICE 1 Sot z 1, z, z, nombres complexes dans le produt est, dont les arguments respectfs θ 1, θ, θ, forment une progresson arthmétque de rason π, et les modules respectfs ρ 1, ρ, ρ, une sute géométrque de rason Détermner z 1, z, z, et construre leurs mages dans un plan complexe SOLUTION Les données de l énoncé se tradusent par les relatons : z 1 z z θ θ θ θ 1 π ρ ρ ρ ρ1 θ1 + θ + θ e π z 1 z z ρ 1 ρ ρ e ( ) La dernère égalté montre que les modules et arguments de z 1, z, z vérfent : ρ 1 ρ ρ et π θ 1 + θ + θ + k π (k Z) Le système : θ θ π θ θ 1 π s écrt auss : π θ 1 + θ + θ + k π θ θ π θ θ 1 π θ + θ (θ 1 + θ + θ ) + (θ θ 1 ) π + k π 5 6 Sa soluton est : θ 1 (( θ + θ ) ( θ θ )) π 6 + k π θ θ + π π + k π θ 1 θ π π 6 + k π Les relatons : ρ ρ 1 ; ρ ρ ; ρ 1 ρ ρ donnent 8 ρ 1, d où ρ 1, ρ Les solutons cherchées sont donc : Pour k 0 π z 1 e 6 (cos π sn π ) ( ) z e π 6 (cos π + sn π ) ( + ) z e π, ρ

21 Pour k 1 z e z e π π + 6 π π + z 1 π π + e 6 z 1 ( 4 ) z ( + ) z ( cos π 6 + sn π 6 ) ( cos π (cos π + sn π ) 6 sn π 6 ) + ( ) ( + ) z 1 z ( ) z ( + ) Pour k π 4π + z 1 e 6 z e π 4π + ( cos π sn π ) 6 6 z e π 4π + 6 π (cos sn π ) 6 6 ( 4 + ) ( ) z 1 ( 4 + ) z z ( ) Les tros groupes de solutons peuvent être représentés dans le plan complexe : par exemple, le groupe marqué z 1, z, z, est celu pour lequel 0 < θ 1 < π z z 1 z

22 EXERCICE 1 Sot a R, n N, et sot, dans C : E 1, équaton en Z : Z n 1 + a a z n a E, équaton en z : z a 1 Démontrer que toute soluton de E 1 a pour module 1, et que toute soluton de E est réelle Sot a 0, n Résoudre E SOLUTION 1 / Cas général Comme a est réel, 1 + a est le rapport de deux nombres complexes conjugués : c est donc un nombre complexe a de module 1, pusque son module est le rapport des modules de deux nombres de même module On a alors : a Z n Z n 1 Z 1 a La résoluton de l équaton E 1 ramène la résoluton de l équaton E à la résoluton de : 1 + z Z z Lorsque Z est soluton de l équaton E 1, la soluton de l équaton E est donnée par : Z 1 z ( Z+ 1) 1 Z Z ( Z )( Z ) ( Z)( Z ) 1 Z+ Z ZZ Z + Z + ZZ Z+ Z pusque ZZ Z 1 + Z + Z I( Z) z 1 ( +R( Z )) I( Z ) z, R( Z ) z est un nombre réel, pusque c est le rapport de deux nombres réels / Cas partculer Pour a 0 et n, l équaton E 1 s écrt : Z 1 Ses solutons sont { 1, e π π, e } A chacune de ces 1 + z I( Z ) solutons correspond une soluton de l équaton E : 1 La formule z donne les z R( Z ) solutons : π π π sn sn cos z 1 0 ; z tan π π π cos cos 1 ; z z Les solutons z et z sont opposées car les solutons e π π et e sont conjuguées, et elles donc la même parte réelle et des partes magnares opposées 1 + z Les solutons de l équaton 1 sont { 0,, } z

23 EXERCICE 14 On se propose de résoudre dans C : z 6 (1 + ) z + 4 z Sot H l homothéte de rapport 1, dont le centre est I d affxe ( 1 ) Pour tout pont m, d affxe z, H (m) M, d affxe Z 1 Calculer Z en foncton de z, pus z en foncton de Z Démontrer que z est soluton de l équaton proposée s, et seulement s, Z est soluton de : Z 1 Résoudre la seconde équaton En dédure les solutons de la premère SOLUTION 1 Etude de l homothéte H L homothéte H est défne par la relaton : IM 1 par les relatons : Im Sur les composantes, cette égalté vectorelle se tradut X ( 1) 1 (x ( 1)) et Y ( 1) 1 (y ( 1)) X (x + 1) et Y (y + 1) X + Y (x + y ) sot, en posant h 1, affxe du centre d homothéte I : Z h 1 (z h) Un vecteur est représenté par la dfférence entre l affxe de l extrémté, mons l affxe de l orgne Z z + h z (1 + ) Z z (1 + ) La relaton récproque donne z en foncton de Z : z Z + (1 + ) Transformaton de l équaton proposée Pour aboutr à Z 1, calculons le cube de Z z (1 + ) ( Z) (z (1 + )) On a (1 + ) ( Z) z 4 (1 + ) z + 4 (1 + ) ( Z) z 4 (1 + ) z + 8 ( Z) (z 4 (1 + ) z + 8 )(z (1 + )) ( Z) z 4 (1 + ) z + 8 z (1 + ) z + 8 (1 + ) z 16 (1 + ) ( Z) z 6 (1 + ) z + 4 z ( Z) (z 6 (1 + ) z + 4 z ) + 7 z 6 (1 + ) z + 4 z (Z 1) L équaton : z 6 (1 + ) z + 4 z est donc équvalente à l équaton : Z 1

24 Résoluton de l équaton proposée Les solutons de l équaton Z 1 sont les e k π, k 0, 1, Les solutons z correspondantes de l équaton : z 6 (1 + ) z + 4 z , sont donc données par : z Z + (1 + ) e k π + (1 + ) cos k π k π + + ( sn + ), avec k 0, 1, Pour k 0 : z Pour k 1 : z ( + ) Pour k : z 1 + ( ) L équaton z 6 (1 + ) z + 4 z admet tros solutons : 1 5 +, + ( + ), 1 + ( )

25 EXERCICE 15 1 / Quel est l ensemble (C) des ponts z du plan complexe vérfant : / Applcaton : k Défnr (C) z 1 z + 1 k, k constante réelle postve / On pose Z 1 z + 1 z Calculer Z 1 Z + 1 en foncton de z 4 / Quel est l ensemble (C ) décrt par les ponts Z du plan complexe lorsque z décrt le cercle (C )? 5 / Applcaton : k Défnr (C ) SOLUTION 1 / Ensemble (C) La relaton z 1 k, k constante réelle postve, défnt l ensemble (C) comme l ensemble des ponts dont la z + 1 dstance aux ponts fxes 1 et 1 du plan complexe est une constante Cet ensemble (C) est donc un cercle du fasceau de cercles à ponts lmtes 1 et 1 On peut le défnr de façon plus précse en établssant son équaton : z 1 ( x 1) + y ; z + 1 ( x+ 1) + y ; z 1 z + 1 k (x 1) + y k [ (x + 1) + y ] (k 1) x + (k + 1) x + (k 1) y k Lorsque k est dfférent de 1, cette relaton équvaut à : k + 1 x + k 1 k + 1 y k 1 1 k 1 4k ( 1 ) k C est l équaton d un cercle (C) de centre x 1 + k k ; y 0 et de rayon r k k 1 Lorsque k 1, c est-à-dre lorsque k 1 pusque k est une constante postve, l équaton : (k 1) x + (k + 1) x + (k 1) y k se rédut à : x 0 C est l équaton d une dote qu est la médatrce du segment jognant les ponts 1 et +1, c est l axe magnare pur / Cas partculer Dans le cas où k, l équaton du cercle (C ) est : x y 16 9

26 C est l équaton d un cercle de centre x 5 ; y 0 et de rayon r 4 / Calcul de Z 1 Z + 1 Z 1 Z z + 1 z 1 1 z z z z+ 1 z + z+ 1 ( z 1 ) ( z + 1) z 1 z / Ensemble (C ) Lorsque z décrt le cercle (C), on a : z 1 z + 1 k, d où Z 1 Z + 1 que les ponts Z sont, lorsque k est dfférent de 1, sur le cercle (C ) de centre R k 4 k 1 k D après la premère queston, cec montre X k 4 ; Y 0 et de rayon 4 k Récproquement, s Z est un pont de ce cercle, la relaton Z 1 z + 1 montre que Z est l mage d un pont z z vérfant z z Z +1 0 Dans C, cette équaton a deux racnes z 1 et z vérfant toutes deux la relaton : z 1 z + 1 Z 1 k Z + 1 et l applcaton z Z est une surjecton de (C ) sur (C ) Cec montre que lorsque z décrt le cercle (C), Z décrt le cercle (C ) tout enter Z 1 Dans le cas partculer où k 1, on a auss 1 et (C ) est auss la médatrce du segment jognant les Z + 1 ponts 1 et +1, c est-à-dre l axe des y On peut dre que la transformaton Z 1 z + 1 lasse nvarant z dans son ensemble l axe des y 5 / Applcaton : k Le cercle (C ) est le cercle de centre X 9 7 ; Y 0 et de rayon R / Remarque Les ponts d ntersecton du cercle (C ) avec l axe des x sont défns par la relaton Y 0 sur le cercle (C ) Ils vérfent donc : Ce sont les ponts : (k 4 1) X + (k 4 + 1) X k 4 sot, pour k dfférent de 1, X + k k X k k ± 4 k k 1 1 ; Y 0 sot : X k k 1 ± k 4 k X ; Y 0

27 ou X ( k ± 1) ( k 1)( k + 1) ; Y 0 ou encore X k k ; Y 0 et X k k On vot donc que le cercle (C ) passe par le centre du cercle (C) défn par x 1 + k ; y 0 k ; Y 0

28 EXERCICE 16 1 / Détermnez les nombres complexes solutons de l équaton : z 4 1 / Détermnez sous forme trgonométrque les solutons de l'équaton : z 4 8 ( 1 ) 6 6+ / Sot a + Vérfez : a 4 8 ( 1 ) En dédure sous forme algébrque les résultats du / 4 / Des questons / et /, dédure les valeurs exactes de cos 11 π 11 π et sn 1 1 SOLUTION 1 / Solutons de l'équaton z 4 1 L'équaton z 4 1 s'écrt auss z 4 1 0, sot ( z 1 ) ( z + 1 ) 0, ou ( z 1 ) ( z + 1 ) ( z ) ( z + ) 0 Ses solutons sont : z 1 z 1 z z / Résoluton de l'équaton z 4 8 ( 1 ) sous forme trgonométrque Posons z ρ e θ L'équaton z 4 8 ( 1 ρ 4 16 e π Elle équvaut donc à : ) s'écrt ρ 4 e 4 θ 16 ( 1 ) 16 ( cos π sn π ), sot Ses solutons sont données par : ρ 4 16 et e 4 θ e π ρ et θ π 1 + k π Ces solutons correspondent à quatre nombres complexes Pour avor les solutons avec un argument comprs entre 0 et π, l faut prendre k 1, k, k, k 4 D'où les solutons : / Calcul du nombre complexe a 4 z 1 ( cos 5 π 5 π + sn ) 1 1 z ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) z 1 z ( cos ( 5 π 5 π + π ) + sn ( + π ) ) z1 1 1 z 4 ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) z 1 a

29 1 + ( ) a 4 4 ( ) 4 ( + ) 4 ( ) 8 ( 1 ) a 4 8 ( 1 ) Cette relaton montre que le nombre complexe a est soluton de l'équaton z 4 8 ( 1 ) C'est donc l'une des quatre solutons trouvées plus haut Comme le nombre complexe a possède une parte réelle postve et une parte magnare postve, l est stué dans le premer quadrant, c'est donc la soluton z 1 Les solutons de l'équaton z 4 8 ( 1 ) peuvent alors être écrtes sous forme algébrque : z 1 ( cos 5 π 5 π sn ) a z ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) a z ( cos ( 5 π 5 π π ) + sn ( + π ) ) a 1 1 z 4 ( cos ( 5 π π + 1 ) + sn ( 5 π π + 1 ) ) a / Valeurs exactes de certans cosnus ou snus La valeur de z 1 permet d'écrre : cos 5 1 π 6 4 et sn 5 π La valeur de z permet d'écrre : cos 11 1 π 6+ 4 et sn 11 π 6 1 4

30 EXERCICE 17 λ, α, β étant tros constantes données réelles ou complexes, montrez que les solutons de l'équaton : λ n ( z α ) n ( z β ) n 0 sont toutes sur une même crconférence Calculez la poston du centre et le rayon de cette crconférence Exprmer l affxe z c du centre et le rayon t de cette crconférence en foncton de α, β et λ SOLUTION Remarques prélmnares Pour n < 0, on peut poser m n et l équaton devent : λ m ( z α ) m ( z β ) m 0 λ m ( z α ) m ( z β ) m λ m ( z α ) m ( z β ) m λ m ( z α ) m ( z β ) m 0 On peut donc supposer n 0, snon on remplacera n par n Pour n 0, avec λ 0, l équaton s écrt lorsque z est dfférent de α et de β La soluton est donc donnée par z α et z β Le cas n 0 et λ 0 est ndétermné : on l élmne d offce On supposera désormas n > 0 S λ 0, l équaton se rédut à ( z β ) n 0 Sa seule soluton est z β Nous supposerons désormas λ 0 π S α β, l équaton se rédut à (z α) n (λ n 1) 0 S λ est racne n-ème de l unté, donc de la forme ek n, l équaton est toujours vérfée, quel que sot z : tout nombre complexe z est soluton S λ n est pas racne n-ème de l unté, la seule soluton est z α β Dans la sute, nous supposerons donc n enter > 0, λ 0, α β 1 Résoluton de l équaton n z β L équaton λ n ( z α ) n ( z β ) n 0 s écrt 1 Sa soluton est donnée par l ensemble des λ( z α) π z β k racnes n-èmes de l unté : λ( z α) e n, k 0, 1,, n 1 On en dédut : π z β λ (z α)ek n z (1 λ ek n ) β α λ ek n Deux cas sont alors à envsager : ou ben λ est l une des racnes n-èmes de l unté, et dans ce cas, λ n 1 L équaton de départ est : (z α) n (z β) n Ses solutons sont données par z β k z α e n π : π z β α e π k n π k n e avec k 1,,, n 1 La soluton qu correspondrat à k 0 est exclue par la condton α β, π

31 ou ben λ n est pas racne n-ème de l unté, et, dans ce cas, 1 λ ek n est toujours dfférent de 0 Les solutons sont données par : z β αλ e λ e π k n π k n, k 0, 1,, n 1 Sous cette forme, on n est guère rensegné sur la poston des solutons de l équaton dans le plan complexe Nous verrons que, dans certans cas, ces solutons sont algnées, dans d autres cas, elles sont sur un même cercle Les solutons sont sur un même cercle ou sur une même drote Soent M, A, B, les ponts d affxes respectves z, α, β n z β z β La relaton 1 entraîne 1, sot z β λ z α λ( z α) λ( z α) 1 er cas : λ 1 La relaton s écrt : z β z α ou encore BM AM e cas : λ 1 Les solutons sont sur la médatrce du segment AB Comme les modules sont nombres réels postfs, cette relaton est équvalente à z β λ z α Sous forme géométrque, cette relaton s exprme par : BM λ AM BM λ AM 0 ( BM + λ AM )( BM λ AM ) 0 Introdusons le barycentre I des ponts B et A affectés respectvement des coeffcents 1 et λ Il est défn par : (1 + λ ) OI OB + λ OA Son affxe z I vérfe donc : (1 + λ ) z I β + λ α z I β + λ α 1 + λ et pont tout pont M du plan, la proprété suvante est vrae : (1 + λ ) IM BM + λ AM Consdérons mantenant le barycentre J des ponts B et A affectés respectvement des coeffcents 1 et λ Il est défn par : Son affxe z I vérfe donc : Pour λ 1, l vent : et, pour tout pont M du plan : (1 λ ) OJ OB λ OA (1 λ ) z J β λ α z J β λ α 1 λ (1 λ ) JM BM λ AM π

32 La proprété : ( BM + λ AM )( BM λ AM ) 0 s écrt alors : (1 λ ) IM JM 0 Pour λ 1, cette relaton est équvalente à IM JM 0 Cette dernère relaton montre que les vecteurs IM et JM sont perpendculares, donc : Les solutons de l équaton sont, pour λ 1, sur le cercle de damètre IJ Le centre C du cercle est le mleu du segment IJ Le rayon r du cercle est la moté du damètre IJ L affxe de C est donnée par : z C 1 (z I + z J ) 1 β + λ α + β λ α 1 + λ 1 λ z C β λ α 1 λ Le rayon r est donné par : r 1 z I z J 1 β + λ α β λ α 1 + λ 1 λ α β λ r 1 λ Remarques fnales Mantenant que l affxe du centre est connue, nous pouvons envsager de modfer la forme des solutons : π k z β αλ e n, k 0, 1,, n 1 π k λ e n π π k k z z C β αλ e n β λ α β α + α α λ e n β α α λ + α π π k 1 λ k 1 λ λ e n λ e n 1 1 z z C (β α) π k 1 λ λe n kπ kπ λ λ e n z z C (β α) ( α β ) λ 1 kπ λ e n e n kπ kπ λ ( λ ) λ e n λ e n kπ Comme le rapport 1 λ e n est le rapport de deux nombres complexes conjugués, son module est 1 Le kπ λ e n kπ α β λ module de e n est 1 auss Donc le module de z z C est, l ne dépend pas de k, c est le même pour 1 λ toutes les solutons de l équaton Cette proprété montre ben que les solutons sont sur un même cercle de centre z C et de rayon α β λ 1 λ

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