[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

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1 [ édité le 0 juillet 04 Eocés Nombres complexes Nombres complexes Exercice 6 [ ] [correctio] Soiet z 0 C et r > 0 tels que z 0 r. O ote C le cercle das C de cetre z 0 et de rayo r. a) Pour z C, motrer Exercice [ 005 ] [correctio] Soit z U\ {}. Motrer que z+ z ir. Exercice [ 006 ] [correctio] Soiet P {z C Imz > 0}, D {z C z < } et f : C\ { i} C défiie par f(z) z i z + i a) Motrer que tout élémet de P à so image par f das D. b) Motrer que tout élémet de D possède u uique atécédet par f das P. z C z z 0 z z 0 z + z 0 r b) E déduire que l image de C par l applicatio f : z /z est u cercle dot o précisera cetre et rayo e foctio de z 0 et r. Module et argumet Exercice 7 [ 0030 ] [correctio] Détermier module et argumet de z + + i Exercice 3 [ 007 ] [correctio] a) Détermier le lieu des poits M d affixe z qui sot aligés avec I d affixe i et M d affixe iz. b) Détermier de plus le lieu des poits M correspodat. Exercice 4 [ 008 ] [correctio] Calculer pour θ ]0, π[ et N, C cos(kθ) et S Exercice 5 [ 009 ] [correctio] Calculer pour θ R et N, C ( ) cos(kθ) et S k si(kθ) ( ) si(kθ) k Exercice 8 [ 003 ] [correctio] Soiet z C et z C. Motrer z + z z + z λ R +, z λ.z Exercice 9 [ 003 ] [correctio] Etablir : z, z C, z + z z + z + z z Iterprétatio géométrique et précisio du cas d égalité? Exercice 0 [ 0356 ] [correctio] Soiet a, b C. Motrer et préciser les cas d égalité. a + b a + b + a b Exercice [ 0033 ] [correctio] Détermier module et argumet de e iθ + et de e iθ pour θ R. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 0 juillet 04 Eocés Exercice [ 0034 ] [correctio] Simplifier eiθ pour θ ] π, π[. e iθ + Exercice 3 [ 0035 ] [correctio] Détermier module et argumet de e i.θ + e i.θ pour θ, θ R. Exercice 4 [ 0646 ] [correctio] Si (x, y, z) R 3 vérifie e ix + e iy + e iz 0 motrer e ix + e iy + e iz 0 Exercice 5 [ ] [correctio] Soit a C tel que a <. Détermier l esemble des complexes z tels que z a āz Exercice 6 [ ] [correctio] Quelle est l image du cercle uité par l applicatio z z? Exercice 7 [ 0307 ] [correctio] Soit B ue partie borée o vide de C. O suppose que si z B alors z + z B et + z + z B. Détermier B. Exercice 9 [ ] [correctio] E étudiat module et argumet, établir que pour tout z C ( + z ) exp(z) Exercice 0 [ 0364 ] [correctio] a) Vérifier z, z C, z + z + z z z + z b) O suppose z, z C tels que z et z. Motrer qu il existe ε ou tel que z + εz Exercice [ 0365 ] [correctio] Soiet a, b, z trois complexes de module deux à deux disticts. Démotrer b a ( ) z a R + z b Exercice [ ] [correctio] Soiet a, b, c des réels strictemet positifs. A quelle coditio existe-t-il des complexes t, u, v de somme ulle vérifiat Racies de l uité t t a, uū b et v v c Exercice 3 [ 0036 ] [correctio] Calculer le produit des racies de l uité Exercice 8 [ 0349 ] [correctio] Soit f : C C défiie par f(z) z + z Détermier les valeurs prises par f. Exercice 4 [ 0037 ] [correctio] Soit N. O ote U l esemble des racies ème de l uité. Calculer z U z Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 0 juillet 04 Eocés 3 Exercice 5 [ ] [correctio] Soiet 3, ω,..., ω les racies -ième de l uité avec ω. a) Calculer pour p Z, S p b) Calculer T i i ω p i ω i Exercice 6 [ 0038 ] [correctio] Soit ω ue racie ème de l uité différete de. O pose S (k + ) ω k E calculat ( ω)s, détermier la valeur de S. Exercice 7 [ 0039 ] [correctio] Simplifier : a) j(j + ) b) j j + c) j + j Exercice 30 [ 004 ] [correctio] Soit N. Résoudre das C l équatio (z + i) (z i) Observer que celle-ci admet exactemet solutios, chacue réelle. Exercice 3 [ 0043 ] [correctio] Soit ω e i π 7. Calculer les ombres : Exercice 3 [ 0044 ] [correctio] Soiet N, et ω exp(iπ/). a) Etablir que pour tout z C, z, A ω + ω + ω 4 et B ω 3 + ω 5 + ω 6 (z ω k ) l0 b) Justifier que l égalité reste valable pour z. c) E déduire l égalité si kπ z l Exercice 8 [ 0040 ] [correctio] Soit N. Résoudre l équatio Combie y a-t-il de solutios? Exercice 9 [ 004 ] [correctio] Soit N. Résoudre das C l équatio (z + ) (z ) z + 0 Exercice 33 [ 053 ] [correctio] Motrer que ( π ) 5 5 si 5 8 Résolutio d équatios et de systèmes Exercice 34 [ 0045 ] [correctio] Pour quels a R l équatio x 3 + x + ax a 0 possède x pour solutio? Quelles sot alors les autres solutios de l équatio? Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 0 juillet 04 Eocés 4 Exercice 35 [ 0046 ] [correctio] Résoudre das C, les équatios : a) z iz + i 0 b) z 4 (5 4i)z ( + 5i) 0. Exercice 36 [ 0047 ] [correctio] a) Détermier les racies carrées complexes de 5 i. b) Résoudre l équatio z 3 ( + i)z + 3( + i)z 0( + i) 0 e commeçat par observer l existece d ue solutio imagiaire pure. c) Quelles particularités a le triagle dot les sommets ot pour affixe les solutios de l équatio précédete? Exercice 37 [ 0048 ] [correctio] Résoudre das C le système { x + y + i xy i Exercice 38 [ 0049 ] [correctio] Résoudre das C l équatio z 3 4 ( + i) Exercice 39 [ 0050 ] [correctio] Détermier l esemble des poits M d affixe z tels que z + z z Exercice 40 [ 005 ] [correctio] Soit Z C. Résoudre l équatio e z Z d icoue z C. Exercice 4 [ 005 ] [correctio] Résoudre l équatio z + z + d icoue z C. Exercice 4 [ 0053 ] [correctio] Soit N. Résoudre, lorsqu elle a u ses, l équatio : cos(kx) cos k x 0 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 5 Correctios Exercice : [éocé] Puisque z U, o a z /z doc ( ) z + z + z z /z + /z + z z z + z puis Exercice : [éocé] a) Posos x Re(z) et y Im(z). f(z) z + z ir z i z + i x + (y ) x + (y + ) Si y > 0 alors x + (y ) < x + (y + ) doc f(z) <. Aisi, b) Soit Z D. avec Aisi, i + Z Z i + Z Z Z Z z P, f(z) D Z z i z + i z i + Z Z Z Im(Z) Z Z D,!z P, f(z) Z Z + i Z P Exercice 3 : [éocé] a) M I est solutio. Pour M I, I, M, M sot aligés si, et seulemet si, il existe λ R tel que IM λ IM i.e. iz i z i R. Posos ( x ) Re(z) et y Im(z). iz i Im z i 0 x(x ) + y(y ) 0 ( x ) ( ) + y. / Fialemet le lieu des poits M solutios est le cercle de cetre Ω et de / rayo /. b) Le poit M est l image de M par la rotatio de cetre O et d agle π/. Le lieu des poits M est doc le cercle de cetre Ω / et de rayo / / Exercice 4 : [éocé] C et S sot les parties réelles et imagiaires de Aisi C cos θ e ikθ ei(+)θ e iθ si (+)θ si θ (+)θ iθ/ si e si θ et S si θ si (+)θ si θ Exercice 5 : [éocé] C et S sot les parties réelles et imagiaires de ( ) e ikθ ( + e iθ ) e i θ cos θ k Aisi Exercice 6 : [éocé] a) O a et e développat C cos θ cos θ et S si θ cos θ z C z z 0 r z z 0 (z z 0 ) (z z 0 ) z z z 0 z z 0 z + z 0 z 0 b) Notos que 0 / C puisque z 0 r. O peut doc cosidérer l image f(c). Soit Z f(z) avec z C. Puisque o a z z 0 z z 0 z + z 0 r z 0 z z 0 z + z 0 r 0 z z Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 6 doc ce qui se réécrit Posos alors et l o obtiet Z z 0 Z z 0 Z + ( z 0 r ) Z 0 z 0 z 0 r Z z 0 z 0 r Z r z 0 z 0 Z 0 z 0 r Z Z 0 Z Z 0 Z + Z0 r z 0 + z 0 r ) ) ( z 0 r ( z 0 r Aisi Z appartiet au cercle C r de cetre Z 0 et de rayo z 0 r. Iversemet, e repreat les calculs e ses iverse, o obtiet que tout poit Z de C est l image d u certai z de C. Exercice 7 : [éocé] z doc z. Posos θ u argumet de z qu o peut choisir das [0, π/] car Re(z), Im(z) 0. O a cos θ + doc cos(θ) cos θ ( + ) avec θ [0, π] doc θ π/4 puis θ π/8. Exercice 8 : [éocé] ( ) ok ( ) Si z + z z + z alors, e divisat par z : + x + x avec x z /z C. Ecrivos x a + ib avec a, b R. et + x (a + ) + b + a + b + a ( + x ) ( + a + b ) + a + b + a + b + x + x doe alors a a + b d où b 0 et a 0. Par suite x R + et o coclut. Exercice 9 : [éocé] O a z + z (z z ) + (z + z ) + (z z) + (z + z) z + z + z z Iterprétatio : Das u parallélogramme la somme des logueurs de deux côtés est iférieure à la somme des logueurs des diagoales. Il y a égalité si, et seulemet si, : z z 0 (i.e. z z ) ou z+z z z R + et z+z z z R+ ce qui se résume à z z. Exercice 0 : [éocé] Si a 0, l iégalité est vraie avec égalité si, et seulemet si, b 0. Si a 0, l iégalité reviet à avec u b/a. E écrivat u x + iy, + u + u + u ( + u ) + x + y + x + y + (x + y ) + u + u ( + u + u ) avec égalité si, et seulemet si, x + y et u 0 soit u ± ce qui reviet à a ±b. Exercice : [éocé] z e iθ + cos θ eiθ/. Si cos θ > 0 alors z cos θ et arg(z) θ [π], si cos θ 0 alors z 0. et si cos θ < 0 alors z cos θ et arg(z) θ + π [π]. z e iθ i si θ eiθ/ et la suite est similaire. Exercice : [éocé] E factorisat e iθ/ au umérateur et au déomiateur e iθ i si θ/ e iθ + cos θ/ i ta θ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 7 Exercice 3 : [éocé] O peut factoriser e iθ + e iθ e i θ+θ (e i θ θ θ θ i + e ) cos θ θ e i θ+θ ce qui permet de préciser module et argumet e discutat selo le sige de cos θ θ. Exercice 4 : [éocé] Puisque e ix + e iy + e iz 0, e multipliat par e ix, o obtiet + e iα + e iβ 0 avec α y x et β z x. E passat aux parties réelle et imagiaire { cos α + cos β L équatio si α + si β 0 doe si α + si β 0 α β [π] ou α π + β [π] Si α π + β [π] alors la relatio cos α + cos β doe 0. Il reste α β [π] et alors cos α doe α ±π/3 [π]. Par suite e iα j ou j. O obtiet alors aisémet + e iα + e iβ 0 puis e ix + e iy + e iz 0. Exercice 5 : [éocé] Pour que la quatité soit défiie il est écessaire que z /ā. Si tel est le cas z a āz z a āz Sachat x + y x + Re( xy) + y, o obtiet z a ) ( ) āz ( a z 0 L esemble recherché est l esemble des complexes de module iférieur à. Exercice 6 : [éocé] Soit z u complexe du cercle uité avec z. Il existe θ ]0, π[ tel que z e iθ. O a alors z e iθ i e iθ/ si θ/ + icotaθ Quad θ parcourt ]0, π[ (ce qui reviet à faire parcourir à z le cercle uité), l expressio cota(θ/) pred toutes les valeurs de R. L image du cercle uité est la droite d équatio x /. Exercice 7 : [éocé] O observe que B {i, i} est solutio. Motros qu il y e a pas d autres... Posos f : C C et g : C C défiies par O remarque f(z) z + z et g(z) + z + z f(z) i z + i z ( + i), f(z) + i z i z ( i) g(z) i z i z + + i et g(z) + i z + i z + i Soiet a B et (z ) 0 la suite d élémets de B défiie par z 0 a et pour tout N { f(z ) si Re(z z + ) 0 g(z ) si Re(z ) > 0 Posos efi Si Re(z ) 0 alors u z + z i z + i u + f(z ) i f(z ) + i u z ( + i) z ( i) Selo le sige de la partie imagiaire de z, l u au mois des deux modules z ( + i) et z ( i) est supérieur à alors que l autre est supérieur à. Aisi u + u Si Re(z ) > 0, o obtiet le même résultat. O e déduit que si u 0 0 alors la suite (u ) est pas borée. Or la partie B est borée doc u 0 0 puis a ±i. Aisi B {i, i}. Sachat B et sachat que l apparteace de i etraîe celle de i et iversemet, o peut coclure B {i, i} Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 8 Exercice 8 : [éocé] Soit z C. Si z R alors f(z) 0. Sio, o peut écrire z re iθ avec r > 0 et θ ] π, π[ et alors Puisque cos(θ/) 0 doc f(z) r + eiθ r cos θ eiθ/ f(z) r cos θ et arg f(z) θ f(z) {Z C/ReZ > 0} Iversemet, soit Z C tel que ReZ > 0. O peut écrire Z Re iα avec R > 0 et α ] π/, π/[. Pour les calculs qui précèdet doet z R cos α eiα f(z) Re iα Z Fialemet, les valeurs prises par f sot les complexes de parties réelles strictemet positives aisi que le complexe ul. Exercice 9 : [éocé] Posos x Rez et y Imz. O a + z ( + x Pour assez grad, o a + x/ > 0 et doc ( + z ) r e iθ avec r Quad + ( r exp ( l + x + x + y )) et ) + i y ( + ) x ( y ) + et θ arcta ( ( x exp + o θ y y doc ( + z ) exp(x)e iy exp(z) y/ + x/ ( ))) exp(x) Exercice 0 : [éocé] a) E développat z + z (z + z )( z + z ) z + z z + z z + z et la relatio écrire est alors immédiate. b) O a z + z + z z 4 doc parmi les quatités z + z et z z, l ue au mois est de carré iférieur à. Exercice : [éocé] Rappelos que si u est u complexe de module alors /u ū. O a alors ( (z a) (z a) z ) (z a)(ā z) z a a ā ā z z doc b a ( ) z a z a z b z b R+ Exercice : [éocé] E multipliat les trois complexes t, u, v par e iθ, o peut former u ouveau triplet solutio à partir d u premier. Sas perte de gééralité, o peut doc supposer t R + auquel cas t a. E écrivat u x + iy et v x + iy avec x, x, y, y R, la coditio t + u + v 0 doe { x (a + x) y y et les deux coditios uū b et v v c équivalet alors au système { x + y b (x + a) + y c Ce système possède ue solutio si, et seulemet si, le cercle de cetre O et de rayo b coupe le cercle de cetre Ω( a, 0) et de rayo c. Ces deux cercles se coupet si, et seulemet si, b c a b + c O peut alors coclure que le triplet (t, u, v) existe si, et seulemet si, chacu des paramètres a, b, c est iférieur à la somme des deux autres. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 9 Exercice 3 : [éocé] Puisque le produit d expoetielles est l expoetielle de la somme e ikπ/ exp ( ) ( ikπ iπ exp k ) exp(i( )π) ( ) Exercice 4 : [éocé] Notos ω k e ikπ avec k Z. Par factorisatio d expoetielle équilibrée ω k si kπ o a cot kπ 0 puis ( ) T O peut aussi retrouver cette relatio e cosidérat que T est la somme des racies d u polyôme bie costruit P (X ) X X + ( ) X + Alors ( z si kπ Im z U Exercice 5 : [éocé] Quitte à réidexer, o peut supposer e i kπ ) ( 4Im e iπ/ ) cos π si π Exercice 6 : [éocé] cot π O a ( ω)s (k + )ω k doc S kω k ω k ω ω k {,..., }, ω k e ikπ/ ω k avec ω e iπ/ a) Si e divise par p alors, puisque ω p Si divise p alors b) Pour k, o a S p S p ω kp ω p ωp ω p 0 ω kp Exercice 7 : [éocé] a) b) c) j(j + ) j + j j j + j j j + (j + )(j ) j (j )(j ) (j + )(j ) (j )(j ) j3 + j j j j 3 j j + 3 Puisque e ikπ/ ω k i si kπ cot kπ l k l i cot kπ + ( cot π lπ ) l cot ( ) lπ Exercice 8 : [éocé] Notos ω k e ikπ avec k Z les racies ème( de l uité. z+ Si z est solutio alors écessairemet z et z ) doc il existe k {0,,..., } tel que z + z ω k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 0 ce qui doe (ω k )z ω k + Si k 0 alors ce la doe 0 doc écessairemet k {,..., } et ω k. Par suite z ω kπ k + cos ω k i si kπ i cot kπ Iversemet, e remotat le calcul : ok Fialemet S { i cot kπ } /k {,..., } Puisque la foctio cot est ijective sur ]0, π[, il y a exactemet solutios. Exercice 9 : [éocé] O a z 0 e i π z + 0 z e iπ est solutio particulière de l équatio et doc } S {z 0 ω k /k {0,..., }} {e i (k+)π /k {0,..., } Exercice 30 : [éocé] z i est pas solutio. Pour z i, (z + i) (z i) ( ) z + i k {0,..., }, z + i z i z i ω k e otat ω k e ikπ/. Pour k 0, ω k et l équatio z+i z i ω k a pas de solutio. Pour k {,..., }, ω k et l équatio z+i z i ω k a pour solutio Aisi S {z,..., z } avec z k i ω k + ω k ei kπ z k i cos kπ i si kπ ei kπ cot kπ R deux à deux disticts car cot est strictemet décroissate sur l itervalle ]0, π[ où évoluet les kπ pour k. Exercice 3 : [éocé] O a + A + B 0, AB et Im(A) > 0 doc A B + i 7 Exercice 3 : [éocé] a) Puisque les racies de l équatio z sot, ω,..., ω, o a z (z ) (z ω k ) Or o a aussi z (z )( + z + + z ) d où l égalité proposée pour z. b) Les foctios x (x ω k ) et x x l sot défiies et cotiues sur R et coïcidet sur R\ {}, elles coïcidet doc aussi e par passage à la limite. c) Pour z, l égalité du a) doe ( ω k ). Or par factorisatio de l expoetielle équilibrée, et doc puis la relatio proposée. l0 ω k e ikπ kπ i si e i kπ e i π ( ω k ) k i si kπ Exercice 33 : [éocé] Puisque la somme des racies 5-ième de l uité, e cosidérat la partie réelle, o obtiet + cos π 5 + cos 4π 5 0 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 0 juillet 04 Correctios Sachat cos a cos a, o obtiet que cos(π/5) est solutio positive de l équatio 4r + r 0 et doc Or cos a si a doc puis cos π si π si π et efi la formule proposée puisque si(π/5) 0. Exercice 34 : [éocé] x est solutio de l équatio si, et seulemet si, a a 3 0 ce qui doe a ou a 3. Lorsque a, les solutios de l équatio sot, 3+ 5, Lorsque a 3, les solutios de l équatio sot, 3+i3 3, 3+i3 3. Exercice 35 : [éocé] a) S {, + i}, b) S { + i, 3 + i, i, 3 i}. Exercice 36 : [éocé] a) ±(3 i) b) a i, b + 3i et c + i c) c b c a 3 et b a 6. Le triagle est rectagle isocèle. Exercice 37 : [éocé] Il s agit d u système somme produit, o obtiet ses solutios e résolvat l équatio z ( + i)z + ( i) 0 O obtiet l esemble solutio S {( + i, i), ( i, + i)} Exercice 38 : [éocé] O a 4 ( + i) 8e i π 4 doc z 0 e i π est solutio particulière de l équatio. L équatio z 3 z0 3 équivaut alors à l équatio (z/z 0 ) 3 dot l esemble solutio est S { z 0, z 0 j, z 0 j } Exercice 39 : [éocé] Soit M(z) solutio avec z a + ib et a, b R. O a a a + b doc a 0 et b ± 3a. Aisi M se situe sur les demi-droites d origie O dirigée par les vecteurs u et 3 v 3. Iversemet : ok. Exercice 40 : [éocé] Posos ρ Z et θ arg Z [π]. e z Z z l ρ + iθ + ikπ avec k Z. Exercice 4 : [éocé] z + z + Re(z) + et ( z + ) z + z + doc z + z + Re(z) z z R +. Exercice 4 : [éocé] L équatio a u ses pour x π/ peut écrire [π]. E exploitat cos(kx) Re(e ikx ), o ( cos(kx) cos k x Re ce qui apparaît comme ue somme géométrique. Si x 0 [π] alors q eix cos x et ) e ikx cos k x e ikx cos k x cos + x e i(+) x cos x cos x e ix Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 0 juillet 04 Correctios Il reste à e détermier la partie réelle. Puisque o obtiet e ikx cos k x cos + x cos( + )x i si( + )x cos x i si x Fialemet, pour les x cosidérés cos(kx) cos k x si( + )x si x(cos x) cos kx cos k 0 si( + )x 0 x 0 [π/( + )] x Si x 0 [π] alors x est pas solutio car cos(kx) cos k x + Fialemet S { kπ } /k Z et ( + ) k ( + ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd