Solutions détaillées des exercices du livre Vecteurs, matrices et nombres complexes, 2 e édition. Dimitri Zuchowski

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1 Solutions détaillées des exercices du livre Vecteurs, matrices et nombres complexes, e édition. Dimitri Zuchowski

2 Table des matières Points et vecteurs 4. Les points, les vecteurs et les scalaires dans les espaces euclidiens Les composantes des vecteurs Les coordonnées des points Longueurs, distances et angles 9. Les longueurs et les distances Le produit scalaire et le calcul d angles ires et volumes 9. Les déterminants et Le produit vectoriel et le produit mixte dans R Droites et plans Les droites Les plans Systèmes d équations linéaires 6 5. Les systèmes d équations linéaires et les matrices Les positions relatives de deux droites dans R ou de trois plans dans R Matrices Le langage matriciel Les matrices élémentaires et les matrices inversibles Le déteminant d une matrice carrée Économie et matrices : le modèle de Leontief Transformations linéaires dans R 9 7. Les transformations dans R Les homothéties, les rotations et les réflexions D autres transformations linéaires Les points fixes et les directions invariantes, les valeurs propres et les vecteurs propres Nombres complexes 8. L ensemble des nombres complexes Les puissances et les racines des nombres complexes Le théorème fondamental de l algèbre Les transformations affines avec les nombres complexes Introduction à la théorie des groupes 5 9. Les entiers modulo n La structure de groupe

3 TLE DES MTIÈRES oniques 4

4 hapitre Points et vecteurs. Les points, les vecteurs et les scalaires dans les espaces euclidiens Exercice... Étant donné que la figure est un cube, tous les côtés sont de longueur et tous les angles sont droits. Donc, par le théorème de Pythagore, v +. Pour trouver w, il suffit de regarder le triangle composé d une arête du cube et d une diagonale du cube. On a w + (. Exercice... Le vecteur v sépare la face sur laquelle il est tracé en deux triangle égaux. En appliquant ( le théorème de Pythagore à l un de ces triangles, on obtient v 4. Pour trouver u, on considère le triangle formé de u, v et de la moitié d un côté du carré : ( u ( 4. Exercice... Voici le dessin de la solution. P P P P 4 P u Exercice..4. Voici les dessins des solutions. a c e P b P u d P u f u P u P P u u

5 .. LES POINTS, LES VETEURS ET LES SLIRES DNS LES ESPES EULIDIENS 5 Exercice..5. a P P b c Exercice..6. a Le point milieu du segment. b Tous les points du plan passant par le point milieu du segment et perpendiculaire à celui-ci. Exercice..7. a Ici, il suffit de vérifier que le vecteur est le neutre pour l addition de vecteurs. Soit un point quelconque. Par 4, on a + et +. Donc, le vecteur est bien le neutre additif de la somme vectorielle. b Ici, on doit démontrer que le vecteur est l inverse additif de, c est-à-dire que la somme des deux donne le neutre. Par 4, on a +, or en a on a vérifié que 0. c Par 4, on a + D + D. Par b, on a D D. Or, on est dans l hypothèse D, d où + D + D + D D + D D. Exercice..8. La condition d être unitaire peut s écrire comme v k k v d où on déduit k v, c est-à-dire k ± v. Exercice..9. Puisque u t v, ces vecteurs sont parallèles. De plus, puisque D E et que, les triangles D et E sont semblables. Les rapports des côtés homologues de figures semblables étant égaux, on a u v 4. De cette dernière équation, on tire u 4 v. Finalement, puisque le sens de u est l inverse de celui de v, on a u 4 v. Exercice..0. u D E u v 0 4 L M N a Oui, car, sur une droite, tous les vecteurs ont la même direction. Donc, si deux vecteurs ont la même longueur, ils ne peuvent différer que par leurs sens.

6 6 HPITRE. POINTS ET VETEURS b Non, deux vecteurs ayant la même longueur dans un plan peuvent avoir des directions différentes. c Non, deux vecteurs ayant la même longueur dans l espace peuvent avoir des directions différentes. Exercice... a Vrai, car D 0. b Vrai, car + D +. c Vrai, car D D + D. d Vrai, car + D + E E. D F E E F e Vrai, car D + D + E E D. D Exercice... v v a u u + v v c w u u v w v u + w v b u v d w u v v u Exercice... a Vrai. b Faux : les deux vecteurs ne sont pas parallèles, donc ils ne peuvent pas être multiples l un de l autre. c Vrai, car + D D + D P R. d Faux, car DS P S + SD P D P. e Vrai, car DS P R + R P. f Vrai, car P D + DR P R. g Vrai, car R Q R + R P R P S + SR P S + D.

7 .. LES OMPOSNTES DES VETEURS 7 h Vrai, car SP + P Q Q + D SD SP + P Q + Q + D + DS SS 0. i Vrai. Pour voir ceci, il suffit de dessiner un autre parallélipipède semblable juste à côté : S R H R + S R + RE E. P Q G D F E Exercice..4. On a s a + b + c + d e + c + d d + d 0. e d a b c Exercice..5. Par l exercice précédent, on a u b + v a 0 et, en additionnant a + b de chaque côté de cette équation, on obtient u a b u + v a + b. Exercice..6. On a DF E + E E. E D DF E v F E Exercice..7. a u u + v v b u v c u u + v v. Les composantes des vecteurs Exercice... + D. D. a On a + D + P, d où on tire P b On a + D D, d où on tire

8 8 HPITRE. POINTS ET VETEURS c On a D P + P D P + P D. Exercice... P + P D + P D + D + P P + D P D D P Exercice... a Ils sont linéairement indépendants, car ils ne sont pas colinéaires. S R RQ P Q D b Ils sont linéairement dépendants, car RQ + D. S R D RQ P Q D c Ils sont linéairement indépendants, car ils ne sont pas coplanaires. S R P Q D RQ DQ d Ils sont linéairement dépendants, car RS. e Ils sont linéairement indépendants, car ils ne sont pas coplanaires. S R RQ P Q D S

9 .. LES OMPOSNTES DES VETEURS 9 f Ils sont linéairement indépendants, car ils ne sont pas coplanaires. On voit ceci en remarquant que le vecteur R n est pas dans le plan défini par SQ. g Ils sont linéairement dépendants, car S P SQ. h Ils sont linéairement indépendants, car ils ne sont pas coplanaires. D D S S R S S R SQ S R R P P P Q Q Q P Q D DP D Exercice..4. Exercice D + D D + D D + RQ. a Puisque P Q + 0 D + 0 P, on a P Q (, 0, 0. b Puisque Q + Q + P, on a Q (,, 0. c Puisque S SR + RQ + Q D P, on a Q (,,. Exercice..6. D S R D D RQ P Q a On cherche a et b tels que w a u + b v, ce qu on peut réécrire comme suit : (, a(, + b(, 5 (a b, a + 5b. On obtient le système d équations linéaires suivant : { a b, a + 5b. Si on isole a dans la deuxième équation, on obtient a 5b. En substituant cette valeur de a dans la première équation, on obtient ( 5b b 9 7b, de laquelle on tire 7b 5 et donc b. En substituant cette valeur de b dans la première équation on obtient a + 6 et donc a.

10 0 HPITRE. POINTS ET VETEURS b Puisque w u v, ses composantes sont w (, u, v (, v, u. c Puisque v 0 u + v, ses composantes sont v (0, u, v. Exercice..7. On a u ı + j et v ı 4 j. De plus, w 5 u + v. Donc, w 5( ı + j + ( ı 4 j ( ı + (0 8 j ı + j. On peut réécrire ceci sous la forme w (, ı, j. Exercice..8. Les vecteurs s (a, b et t (c, d sont linéairement dépendants si et seulement si s (a, b k(c, d k t a kc et b kd a c k b d ad bc ad bc 0 Exercice..9. Pour vérifier si deux vecteurs sont parallèles, il suffit de vérifier si l un est multiple de l autre. Si on regarde les premières composantes des deux vecteurs, on peut déterminer le facteur de proportionnalité. Si ce facteur est le même pour les autres composantes, les vecteurs sont parallèles ; sinon ils ne le sont pas. a k(, (5, 6 k 5 et k 6 k 5 et k, ce qui est impossible. Les deux vecteurs ne sont pas parallèles. b k(, 5 (6, 0 k 6 et 5k 0 k. On a u v et les deux vecteurs sont parallèles. c k(,, (5π, 0π, 5π k 5π et k 0π et k 5π k 5π. On a 5π u v et les deux vecteurs sont parallèles. d k(7, 8, 9 (9, 8, 7 7k 9 et 8k 8 et 9k 7 k 9 7 et k et k 7 9, ce qui est impossible. Les deux vecteurs ne sont pas parallèles. Exercice..0. a La famille est génératrice, car un vecteur v (a, b de R peut s écrire comme (a, b a(, 0 + b(0,. Par contre, elle n est pas libre, car (, (, 0 + (0,. Donc la famille n est pas une base. b Pour vérifier si cette famille est génératrice, il faut vérifier si un vecteur v (a, b, c peut s écrire comme combinaison linéaire des éléments de la famille. (a, b, c r(4, 0, + s(, 0, + t(0,, 0 (4r s, t, r + s. On a donc le système d équations a 4r s ( b t ( c r + s. ( De (, on tire s c r. Substituons cette valeur de s dans ( : a 4r (c r 8r c, r a + c. 8 Substituons cette valeur de r dans l équation s c r : s c a + c 8 c a. 4

11 .. LES OMPOSNTES DES VETEURS Quel que soit (a, b, c, donc, il existe une combinaison linéaire des trois vecteurs donnés qui est égale à (a, b, c. Donc, la famille est génératrice ; par exemple, le vecteur (,, + 8 (4, 0, + (, 0, + (0,, (4, 0, (, 0, + (0,, 0 ( ,, (,,. La famille est libre, car la seule combinaison linéaire qui donne 0 a pour coefficients r , s et t 0. Donc, la famille est une base. c La famille n est pas génératrice car le vecteur (0,, 0 ne peut être obtenu d une combinaison linéaire de (, 0, 4 et de (, 0,. La famille est libre, car, pour que (, 0, 4 k(, 0, il faudrait que k, mais dans ce cas (, 0, (, 0, (, 0, 4. Donc, la famille n est pas une base. d Pour vérifier si cette famille est génératrice, il faut vérifier si un vecteur v (a, b, c peut s écrire comme combinaison linéaire des éléments de la famille : (a, b, c r(, 0, 0 + s(,, 0 + t(,, (r + t + s, s + t, s. On a donc le système d équations a r + s + t ( b s + t ( c t ( L équation ( permet de remplacer t et c dans ( : b s + c, s b c. Nous pouvons aussi remplacer t par c, et s par b c dans ( : a r + (b c + c, r a b. Quel que soit (a, b, c, donc, il existe une combinaison linéaire des trois vecteurs donnés qui est égale à (a, b, c. Donc, la famille est génératrice ; par exemple, le vecteur (,, ( (, 0, 0 + ( (,, 0 + (,, (, 0, 0 (,, 0 + (,, ( +, +, (,,. La famille est libre, car la seule combinaison linéaire qui donne 0 a pour coefficients r 0 0 0, s et t 0. Donc, la famille est une base. e Ici, les vecteurs sont pris dans R 4 qui est de dimension 4. Or, le nombre de vecteurs dans F 5 est. Par le théorème de la section.., la famille n est pas génératrice, car < 4. Pour vérifier si elle est libre, essayons de trouver une combinaison linéaire qui donne 0 sans que tous les coefficients soient nuls : 0 a(, 0, 0, + b(0,, 0, 0 + c(0, 0,, Donc, la famille est libre, mais ce n est pas une base. a 0 b 0 c 0 a + c 0 a 0, b 0 et c 0.

12 HPITRE. POINTS ET VETEURS Exercice... Il y a plusieurs façons de procéder ; en voici une. Soit le vecteur s u + v (,, + (,, (4, 4, 4. hangeons une composante de ce vecteur pour obtenir w (4, 4, 5. Dans ce cas, w ne peut être combinaison linéaire de u et v, car, si w a u + b v avec a et b, alors les deux premières composantes ne seront pas obtenues. Par contre, si a b, la troisième composante n est pas obtenue. Exercice... a Oui, c est une base, car dim E, et la famille F { v, u} est libre. Dans ce cas, le vecteur u v v + u (, v, u. b Puisque u, v est une base, u k v et donc u r( v. Donc, la famille u, v est libre et par le fait même une base. Dans ce cas, le vecteur u v u + ( v (, u, v. c N est pas une base, car u et u sont linéairement dépendants. d Puisque les vecteurs u et v sont linéairement indépendants, on a a u + b v 0 a 0 et b 0. Supposons maintenant que c( u + v + d v 0. Il s ensuit que c u + (c + d v 0 et donc c 0 et d 0. Donc, u + v et v sont linéairement indépendants et forment une base. Dans ce cas, le vecteur u v u + v 5 v ( u + v 5 v (, 5 u+ v, v. e Puisque les vecteurs u et v sont linéairement indépendants, on a a u + b v 0 a 0 et b 0. Supposons maintenant que c( u v + d( u + v 0. Il s ensuit que (c + d u + (d c v 0 et donc c 0 et d 0. Donc, u v et u + v sont linéairement indépendants et forment une base. Dans ce cas, on cherche a et b tels que a( u v + b( u + v (a + b u + ( a + b v u v { a + b a + b. Il s ensuit que b, b, a b 5. Donc, u v ( 5, u v, u+ v. f Puisque la dimension de E est et que la taille de la famille est, le théorème de la section. nous indique que la famille n est pas libre et donc elle n est pas une base. g Puisque 0 0 v, la famille n est pas libre, et par suite elle n est pas une base. h Puisque la taille de la famille est et que la dimension de l espace est, la famille n est pas génératrice et donc n est pas une base. b Exercice... On voit ici que v (, ı, j (, a, b. a v j ı Exercice..4. a Les vecteurs sont linéairement dépendants, car (, 0, 0 (, 0, 0. b Les vecteurs sont linéairement dépendants, car (0,, 0 (4, 0, 6 + (,,.

13 .. LES OORDONNÉES DES POINTS c Si a u + b v + c w 0 avec a 0, b 0 ou c 0, alors ils seront dépendants, sinon ils seront linéairement indépendants. En réécrivant ceci à l aide des composantes, on obtient haque composante nous donne une équation : a(,, 5 + b(,, + c(0,, (0, 0, 0. a + b + 0c 0 a + b + c 0 5a b c 0. De la première équation, on tire b a et, en remplaçant ceci dans la deuxième équation, on obtient ( a + a + c a + c 0, et donc c a. En remplaçant la valeur de b et de c dans la troisième équation, on obtient ( ( 5a a a 7a 0. Donc, a 0, b 0 et c 0, c est-à-dire que u, v et w sont linéairement indépendants.. Les coordonnées des points Exercice... a Les coordonnées de P sont les composantes du vecteur P dans la base, D. On a Donc, les coordonnées de P sont (,. P + D. b Les coordonnées de P sont les composantes du vecteur P dans la base,. On a Donc, les coordonnées de P sont ( 0,. P 0 +. c Les coordonnées de P sont les composantes du vecteur DP dans la base,. On a Donc, les coordonnées de P sont (,. DP D +. d Les coordonnées de P sont les composantes du vecteur P dans la base D,. On a P + D. Donc, les coordonnées de P sont (,.

14 4 HPITRE. POINTS ET VETEURS Exercice... Fixons un point d origine O pour aider à visualiser le problème. Les coordonnées du point P sont les composantes du vecteur OP. Pour trouver ce vecteur, il suffit de faire OP O + P O + O + ( O O (, 4 + (, (, ( 4, 0. Exercice... Fixons un point d origine O pour aider à visualiser le problème. Les coordonnées du point sont les composantes du vecteur O. Pour trouver ce vecteur, il suffit de faire O OD + DQ + Q OD + D OD + ( O OD (9, + ( 4, (, 8 (9, + (, + (, 4 (8,. Exercice..4. On a OP (, 4 u + 4 v, mais on a aussi OP u + w + v, d où on tire que u + 4 v u + w + v et, en isolant w, on obtient w u + v (,. Exercice..5. Pour trouver O, on peut remarquer que O O + mais, puisque est un parallélogramme, on a. Donc O O + ( O O (, 4 + (, 5 (, (,. Par symétrie, on trouve O et O de manière analogue : O O + ( O O (, 4 + (, (, 5 (7, 7, O O + ( O O (, + (, 5 (, 4 (,. Exercice..6. Pour répondre à cette question, il suffit de remarquer que SQ, P R D, P S, etc. et que les diagonales d un parallélogramme se rencontrent en leurs milieux. Ensuite, il ne reste qu à calculer : O OD + (,, + D + SQ [ ] [ ] (, 5, 6 (,, + (, 6, (, 7, 0 (,, + [ (0,, 5 + (,, ] (,, + (,, (,,, P O O Q D O O + QS (,, + (, 7, 0 (, 6, (4, 4, 4,

15 .. LES OORDONNÉES DES POINTS 5 OP O + S (,, + (, 7, 0 (, 5, 6 (, 5,, Exercice..7. OR O + DS (,, + (, 7, 0 (,, (, 8,. a On a (, 0 (, 7 (, et (, 4 (, 7 (,, d où et donc, et sont colinéaires. b On a ( 5, (5, ( 0, 4 et (7, (5, (,, d où k, quel que soit k. Les trois points sont non colinéaires. c On a (, 5, 4 (,, (,, et (8,, (,, (7, 4,, d où k, quel que soit k. Les trois points sont non colinéaires. d On a (,, 4 (0, 7, (, 4, 6 et (,, 7 (0, 7, (, 5, 9, d où k, quel que soit k. Les trois points sont non colinéaires. Exercice..8. a Pour vérifier si ces points sont coplanaires, il suffit de vérifier si les vecteurs (,, 4, (,, et D (, 4, 6 sont linéairement dépendants. Mais D (, 4, 6 (,, 4 + (,, +, donc ils sont linéairement dépendants et les quatre points sont coplanaires. b On a (,, 4 D et (,, D, ce qui entraîne que D est un parallélogramme avec,, D et D comme côtés et et D comme diagonales. Exercice..9. a Les coordonnées du point O sont les composantes du vecteur O dans la base,. O O ( 5, 9 a { a b 5 + b a(, + b(, a b 9 b Donc b a + 5, a ( a + 5 9, a, b. Dans le repère donné, les coordonnées de O sont (,. ı (, 0 a + b a(, + b(, { a b a b 0 Donc b a, a ( a 0, a 4, b et ı ( 4,,.

16 6 HPITRE. POINTS ET VETEURS c j (0, a + b a(, + b(, { a b 0 a b Donc b a, a ( a, a 4, b et ı ( 4,,. Exercice..0. Pour partir de l origine et se rendre au point P, on peut prendre le chemin suivant : O On a O O (,, 8 (,, (0, 5, 5, d où OP (,, + 4 (0, 5, 5 (,, + (8, 4, 0 (9,,. 5 Exercice... Le point P est le barycentre de ces points, donc OP 4 ( O + O + O + OD ((,, 4 + (5, 7, 9 + (, 0, 8 + (, 4, 9 4 (4, 8, (,,. 4 Exercice... Puisque P est le barycentre, on a et, similairement, pour Q, on a P (P + P + P P + P + P P Q 4 (Q + Q + Q + Q 4 Q + Q + Q + Q 4 4Q. Finalement, en utilisant ce qu on vient de faire, on obtient Exercice... 7 (P + P + P + Q + Q + Q + Q 4 7 (P + 4Q ( 7 [(, 6, 9 + (4, 0, 0], 6 7, 9. 7 a On a b et d où OP ( O + + O k k OQ ( Ok+ + + O n n k k OP O + + O k (n k OQ Ok+ + + O n, OG ( O + + O k + O k+ + + O n n ( k OP + (n k OQ k OP + n k OQ. n n n OG k OP + n k k + (n k (n k OQ OP + n k OQ n OP n k OP + n k OQ n n n n n n n n k ( OP + OQ OP n k OP + P Q. n n

17 .. LES OORDONNÉES DES POINTS 7 Exercice..4. Soit E + et F + D. lors le barycentre des 4 points est G E + EF. D F G E Exercice..5. onsidérons le point milieu P du segment. Le segment P est donc une médiane. Par la question.., le barycentre des sommets, et est OG + P. Exercice..6. Le point G est le barycentre, d où G P G ( D 4 4 ((0, 0, 0 + (, 0, 0 + (0,, 0 + (0, 0, ( 4, 4, 4 Le vecteur v ( P G OG OP 4, 4, ( 4 (8,, 8 4, 9 4, 9 4. Exercice..7. Soit H le barycentre de, et, et soit K le barycentre de D, E et F. Puisque la figure est un prisme, le vecteur HK est le même que le vecteur D. De plus, HK HG. D où OD O + D O + HG (,, + [(0,, 7 ] ( 5 +, + + 0, + 5 (,, + (,, 5 (, 4,. Similairement, OE O + (, 6, 0 ( 5,, + (, 6, 0 (, 5, 8 et OF (, 0, 5 + (, 6, 0 (, 6, 5. Exercice..8. De la description de la figure, on a directement les coordonnées des points,, et D, soit (0, 0, 0, (, 0, 0, (,, 0 et D(0,, 0. Le barycentre de ces points est G 4 (,, 0 (,, 0. L abscisse et l ordonnée de G étant les mêmes que celles de E, il ne reste que la cote h de E à trouver. On ( trouve la cote à l aide du théorème de Pythagore appliqué au triangle GE : h. Donc, on a E (,,. ( Exercice..9. Le barycentre de O, et est G, 6., 0 Les coordonnées du point sont donc (, 6., h La hauteur h peut être trouvée à l aide du théorème de Pythagore comme suit : h ( OG

18 8 HPITRE. POINTS ET VETEURS Exercice..0. a b ( D,, 0 D + ( D,, 0 E ( EF, 0, F + ( EF, 0,, D, EF, D, EF, D, EF, D, EF + (,, + (, 5, 6 (, 7, D (,, + (, 5, ( ( 5, 0,, 9, 5 D + D + + D (,, + (, 5, + ( (, 0,, 9, 7 E + E + EF (,, + (, 5 ( (,,,,, 4 F + F + + EF (,, + (, 5 ( ( 7, +,,, 7, 8

19 hapitre Longueurs, distances et angles. Les longueurs et les distances Exercice... a (,, + ( + 9. b (00, 00, (,, 00. c (,, 6 + ( Exercice... a d(p,q P Q (,, (, 0, (,, b d(, (7, (, 7 (5, Exercice... u v ( v ( + 6 (6,, 6 9, 9, 6 ( 9,,, w 5 v ( v 5,, ( 0, 5, 0. Exercice..4. La question.. illustre comment trouver un vecteur de la longueur voulue à partir d un vecteur donné. On peut donc trouver le vecteur comme suit : (( 4, 5, 8 (,, ( ( 5,, ,, Finalement, pour trouver les coordonnées du point, il suffit de faire O O + ( (,, + 0, , ( 0 0, + 6, Exercice..5. Pour aller chercher la bissectrice, on doit construire un losange avec u et v. On doit donc trouver deux vecteurs de même longueur, dont un parallèle à v et l autre parallèle à u. On peut choisir la

20 0 HPITRE. LONGUEURS, DISTNES ET NGLES longueur qu on veut pour les vecteurs ; prenons les unitaires. Le vecteur w losange et donc une bissectrice. Finalement, s w w v v + u u est la diagonale d un. En appliquant ceci aux valeurs de u et v, on obtient s w u w u + v v w ( 9, 6 9, 9 6 ( +,, w (, 6, (,, w (,, 4 ( 6, 6, 4 6. Similairement pour t, on a t r u r u v v r (,, (,, w (, 6, (,, r (,, 0 (,, Exercice..6. Par construction, le vecteur v v est égal à u + ı. Puisque les vecteurs u et ı sont u + ı v v fait unitaires, le parallélogramme formé avec ces deux vecteurs est un losange, et le vecteur bissecteur un angle de θ avec l horizontale. Donc, ( v v cos θ, sin θ ( cos θ + (cos θ + + sin θ, sin θ (cos θ + + sin θ u + ı u + ı. Pour obtenir cos θ en fonction de cos θ, il suffit d égaliser les premières composantes de la dernière équation et de faire disparaître le terme en sin θ. On obtient donc cos θ cos θ + (cos θ + + sin θ cos θ + cos θ + cos θ + + sin θ cos θ + (cos θ + cos θ + cos θ + (cos θ +. Exercice..7. À partir du dernier exercice, on trouve Similairement, on a cos π cos π 4 +. cos π cos π Finalement, on a cos π cos π Exercice a Un cercle de rayon 4 centré en (,.

21 .. LE PRODUIT SLIRE ET LE LUL D NGLES b Une sphère de rayon 4 centrée en (,, 0. c Une droite verticale passant par (6, 0. d Deux droites verticales passant par (4, 0 et par ( 4, 0. e Un plan parallèle au plan de coordonnée y0z et passant par (6, 0, 0. f Une droite passant par (6, 0, 5 et (6,, 5. g Un plan passant par (0, 0, 0 et par (,, 0, et contenant l axe des z. h Une droite passant par (,, et (,,. i Si on fait la complétion de carré, x + 6x + y y + 6 x + 6x y y (x + + (y 4 0, on voit apparaître un cercle de rayon centré en (,. Exercice..9. a ylindre circulaire de rayon 4 dont l axe de symétrie est la droite passant par (0,, et (,,. b ylindre sinusoïdal. c ylindre parabolique. d ylindre circulaire de rayon, dont l axe de symétrie est la droite passant par (, 0, et (,,. Exercice..0. a {(x, y, z R : y } b {(x, y, z R : (y + (z 5} c {(x, y, z R : (x + + y + (z 00} Exercice... Un point sur l intersection de la sphère et du plan doit satisfaire aux deux équations. Il suffit donc de poser z 0 dans la première pour obtenir : (x + (y 5 + ( (x + (y Le produit scalaire et le calcul d angles Exercice... Les normes des vecteurs sont ı, ı + j, k, ı j et ı + j + k. a ı ( ı + j cos 45. b ı ( ı j cos 45.

22 HPITRE. LONGUEURS, DISTNES ET NGLES c Ici, on peut trouver cos θ par adj. hyp.. D où ı ( ı + j + k. d ( ı + j k cos 45. e ( ı + j ( ı j cos f Ici, on peut trouver cos θ par adj. hyp.. D où ( ı + j ( ı + j + k. g k ( ı + j cos h k ( ı j cos i Ici, on peut trouver cos θ par adj. hyp.. D où k ( ı + j + k. Exercice... On prend quatre triangles identiques au triangle, rectangle en, et on les dispose pour former un carré de côté a + b tel qu illustré ci-contre. omme α et β sont des angles complémentaires, le quadrilatère interne est un carré de côté c. L aire du grand carré pouvant être calculée de deux façons, on a (a + b 4 ab + c, c b a + ab + b ab + c, α β a + b c. a Pour démontrer la loi des cosinus en s inspirant de la figure, il suffit d appliquer le théorème de Pythagore : c (a sin θ + (b a cos θ a sin θ + b ab cos θ + a cos θ a (sin θ + cos θ + b ab cos θ a + b ab cos θ. Exercice... Le vecteur déplacement est d (, 8, 5 (,, 5 (, 6, 0 et le vecteur force est F (0, 0, 0. Donc, le travail est T F d (, 6, 0 (0, 0, unités d énergie. Exercice..4. onsidérons les vecteurs a, b et c illustrés ci-contre. La longueur du segment est égale à b cos α et est aussi égale c cos β. On obtient a b a b cos α a, a c a c cos β a, b d où a b a c, mais b c. On ne peut donc pas simplifier le vecteur a de l équation a b a c. c α β a

23 .. LE PRODUIT SLIRE ET LE LUL D NGLES Exercice..5. ( v u v u v v v v ( u v v u ( v v v v ( u v cos θ v u cos θ v v u v cos θ u v cos θ 0 Exercice..6. La moyenne pondérée est M (6; 7; 80; 58; 90 (0,0; 0,5; 0,0; 0,0; 0,45 6 0, , , , ,45 6, + 0, ,8 + 40,5 79,45 ( Exercice..7. Puisque l angle entre deux vecteurs est donné par θ arccos u v u v et que u u u, on a ( ( u v u v θ arccos arccos u v u v ( ( ( u v arccos arccos arccos 0. u u v v 4 4 Exercice..8. a Pour que ces vecteurs soient orthogonaux, il faut que leur produit scalaire soit nul. Or, (,, (5,, r 5 r 0 r r 6. b Il faut que le produit scalaire de (0, r, s avec chacun des vecteurs (,, et (,, 4 soit nul. Donc, 0 + r + s 0 et 0 + r + 4s 0. Pour résoudre ce système de deux équations à deux inconnues, on peut isoler r dans la deuxième équation : r 0 4s. Remplaçons r par 0 4s dans la première équation : 0 + (0 4s + s 70 0s 0 0s 70 s 7. En insérant cette valeur de s dans l équation r 0 4s, on obtient r 0 4(7 8. Exercice..9. On a les vecteurs (,, 4 (0, 0, 0 (,, 4, (,, (0, 0, 0 (,,, (,, (,, 4 ( 6, 4, 5. Les angles sont arccos ( ( arccos arccos ( ( arccos arccos arccos ( ( arccos arccos arccos ( ,5 ( , ( ,4

24 4 HPITRE. LONGUEURS, DISTNES ET NGLES Exercice..0. On a (, 0, c et (0,, c. En évaluant le produit scalaire des deux manières, on a : (, 0, c (0,, c cos 60, d où c + c 4 + c c 4 ( + c (4 + c 4 4c 4 c 4 + 5c + 4 c 4 5c 4 0. Généralement, on ne sait pas résoudre de façon simple une équation polynomiale du quatrième degré. Or, ce polynôme ne possède pas de terme en c, ni en c. eci nous permet de faire la substitution x c. On a donc l équation x 5x 4 0 à résoudre. On a, par la formule quadratique, x 5 ± 5 4 ( 4 5 ± 7. 6 Or x, étant égal à c, doit nécessairement être positif, donc la solution 5 7 est à exclure. Finalement, 6 on a c x. 6 Exercice... Sans perte de généralité, on peut poser la longueur des arêtes du cube égale à. a On a O (, 0, et OD (0,,, d où DO arccos O OD arccos arccos O OD 60. b On a (,, et O (,, et l angle entre ces deux vecteurs est arccos c On a MN (, 0, ( et MP 0, MN MP NMP arccos MN O arccos arccos O 70,5., et l angle entre ces deux vecteurs est MP arccos 4 Exercice... On a (, et D (9, 5, d où D D D arccos ( 0. Exercice... Posons v (,,. On veut F v, F v et F F + F (,,. On remarque que ces conditions impliquent que F F F v v v v v ( (,, + +,,. Finalement, on a ( F F F (,,,, ( 8,, 7.

25 .. LE PRODUIT SLIRE ET LE LUL D NGLES 5 Exercice..4. Encore une fois, les conditions données impliquent que et que a t a v a v v (,, (, 4, 4 v v a r a a r v a r a a t (4,, 9 (, 4, 4 (, 6, 5. a t Exercice..5. a On a les vecteurs ( 6,, 6 et (,, 4. Soit E le point d intersection entre les segments et. Par les propriétés des projections, on a E (,, ( 6,, (,, 4 7 ( 6,, 6 (,, 4 (,, (,,. 8 Pour trouver les coordonnées du point, il suffit de faire O O E (, 5, 7 (,, ( 4,,. b On a le vecteur D (, 4, 7 ( 4,, (,, 4, d où Exercice..6. v D D (,, 4 (,, a Soit u (a, b, c, un vecteur satisfaisant aux deux conditions, et u. Si on fait un produit scalaire avec ı, on obtient et donc a. Similairement, on a u ı (a, b, c (, 0, 0 a u ı cos 60 u j (a, b, c (0,, 0 b u j cos 60 et donc b. Finalement, pour trouver la composante c, on utilise le fait que u : ( ( + + c c, d où c ± ±. Les deux vecteurs sont donc u (,, et v (,,. b Soit u (a, b, c, un vecteur satisfaisant aux deux conditions, et u. Si on fait un produit scalaire avec ı, on obtient et donc a. Similairement, on a u ı (a, b, c (, 0, 0 a u ı cos 60 u k (a, b, c (0, 0, c u k cos 45

26 6 HPITRE. LONGUEURS, DISTNES ET NGLES et donc c. Finalement, pour trouver la composante b, on utilise le fait que u : ( + b + ( d où b ±. Les deux vecteurs sont donc u (,, Exercice..7. b 4, et v (,,. a Puisqu on a v v (cos α, cos β, cos γ et que v , on a directement cos α, cos β et cos γ. b α arccos (,8 c γ arccos ( 70,5 Exercice..8. Pour trouver les coordonnées du point, il suffit de construire un chemin de O à : O O (, (, 4 + (4, 0 (, 5 + (, (4, ( + 4 5, + 5. Exercice..9. La figure illustre que v u u. Pour trouver la combinaison linéaire v a u + b u, on peut utiliser les projections orthogonales : a u v u v u v u cos θ u u u u u (cos θ u (car v u. Donc a cos θ. Similairement, on a v u (cos β u. Or, puisque θ et α sont complémentaires, c est-à-dire que β 90 θ, on a cos β sin θ. Finalement : Exercice..0. v v u + v u (cos θ u + (sin θ u. a Puisque c est un triangle équilatéral, tous ses angles sont de 60 : O O + cos 60 + sin 60 (, + (4, + (, 4 ( 6 +, b Puisque le triangle est isocèle et rectangle en, on a 45. Soit M le point milieu du segment. Le segment M bisecte l angle de tel sorte que le triangle M est isocèle et rectangle en M, c est-à-dire M M, et M. Donc, O O + + (, + (4, + (, 4 ( 7, 9.

27 .. LE PRODUIT SLIRE ET LE LUL D NGLES 7 c Pour utiliser le résultat de l exercice..9, il suffit de construire un vecteur u 6 norme que. On a u 6 7 (4,, d où Exercice... O O + cos 45 u + sin 45 u ( 4 (, +, ( 6 7, ( 4 + 0, de même a Par le théorème qui stipule que u v 0 u v (quand u, v 0, le lieu décrit correspond à l ensemble des points P (x, y tels que le vecteur OP est perpendiculaire au vecteur (cos θ, sin θ, ainsi qu au point (0, 0, car, pour tout vecteur u, 0 u 0. e lieu représente donc une droite passant par l origine et perpendiculaire au vecteur (cos θ, sin θ. On peut aussi trouver cette droite comme suit. Puisque l angle θ est donné, cos θ et sin θ sont des constantes. Le lieu décrit donc la droite d équation x cos θ + y sin θ 0. b Soit u (cos θ, sin θ et v OP (x, y. Le lieu décrit l ensemble des points pour lesquels u v. On a u, duquel on obtient P v u u v u ( u v u u. u De plus, on a u u cos θ + sin θ. Donc, le lieu est l ensemble des points tels que OP u u qui correspond à la droite perpendiculaire au vecteur u passant par le point (cos θ, sin θ. u P P Exercice... Pour qu un point P, autre que l origine, soit sur le cône, il faut que l angle entre OP (x, y, z et u (,, soit de 0. En faisant le produit scalaire de ces deux vecteurs, on obtient (x, y, z (,, (x, y, z (,, cos 0, x + y + z x + y + z, (x + y + z x + y + z. Exercice... On a u + v et v + u. En les multipliant, on obtient ( u + v ( v + u u v + u u v v + v u u u v v u v 0 (car u v. Exercice..4. On peut écrire l équation 4 cos θ + sin θ comme suit : ( 4, (cos θ, sin θ ( 4, (cos θ, sin θ cos α, d où cos α 5 et donc α arccos ( 5,6 rad. Si on écrit ( 4, 5(cos β, sin β, on voit que cos β 4 5 et sin β > 0, et donc β arccos 4,50 rad. Finalement, on a 5 θ,50 ±,6,4 rad ou,66 rad.

28 8 HPITRE. LONGUEURS, DISTNES ET NGLES Exercice..5. Soit la sphère S centrée au point milieu du segment et de diamètre. Soit un point P de cette sphère, différent de et de. Le plan défini par les points, et P coupe la sphère en un grand cercle dont est le diamètre. Par le résultat de l exercice.., on a donc P P et par suite P P 0. De plus, on a que 0 et que 0. Donc, tous les points de la sphère S satisfont à la condition P P 0. Reste à voir si on peut avoir un point Q qui ne soit pas sur la sphère S, mais qui soit tel que Q Q. Prenons un point Q à l extérieur de S (l argument pour un point intérieur est similaire. onsidérons le grand cercle obtenu de l intersection entre la sphère et le plan passant par, et Q. Soit P le point d intersection entre le cercle et le segment joignant Q au centre du cercle. Par construction (voir la figure ci-contre, P Q P < Q et P < Q, ce qui force Q < P, puisque la somme des angles internes d un triangle est 80. Mais P 90, donc l angle entre Q et Q ne peut être droit. Donc le lieu est la sphère S. Exercice..6. Soit O une origine arbitraire. Le trésor se trouve en OT ( OP + OP ( O ( O + E E [ ( ( ] O + O O + O O + [ ( ( ] O + OE O OE O ( O + O O + OE OE + O ( O + O + OE OE [ ( ] O + OE + O OE ( O + OE + E ( O + OE + E. Puisque l équation OT ( O + OE + E ne contient pas de, l emplacement du bouleau n est donc pas nécessaire.

29 hapitre ires et volumes. Les déterminants et Exercice... a b c ( 4, (, 5 (, (, 0 Négative (, (0, Positive Négative Exercice... a On a ( 4, et (,, donc l aire du triangle est, ,5. b On a ( 5, 5 et ( 0, 5, donc l aire du triangle est Exercice... L aire du triangle est, , 0, 40, 40, 40, 40. Exercice..4. On a (5,, (5, 8 et D ( 7, 8.,5.

30 0 HPITRE. IRES ET VOLUMES a G, GE +, + G, D, D +, +, D F E D G b, F +, F E D G c 7 F, F D F E D G Exercice..5. a u, v b u, v Exercice Donc les vecteurs ne sont pas parallèles Donc les vecteurs sont parallèles. a On a 5 4 ( 5, 4 et (7, 9, d où 7 9 sont pas colinéaires. b On a 4 (, 4 et (, 6, d où 6 colinéaires. Exercice , donc les points, et ne 0, donc les points, et sont a Puisque x y 0 (x, y (0, 0 ou (x, y (,, on en déduit que le lieu correspond à une droite parallèle au vecteur u (, et passant par (0, 0.

31 .. LES DÉTERMINNTS ET b Trouvons d abord un point particulier quelconque satisfaisant l équation. Le point (4, 0, par exemple, la satisfait car 4 0. Le parallélogramme formé avec les vecteurs (4, 0 et (,, dans cet ordre, a une aire orientée de (voir la figure ci-contre. On cherche l ensemble de tous les points P (x, y tels que le parallélogramme formé par les vecteurs (x, y et (,, dans cet ordre, a une aire orientée de. es parallélogrammes, ayant tous la même base (,, ont donc tous la même hauteur relativement à cette base. Les points P (x, y cherchés sont donc ceux de la droite parallèle à (, et passant par le point (4, 0. c Trouvons d abord un point particulier quelconque satisfaisant l équation. Le point ( 4, 0, par exemple, la satisfait car 4 0. Le parallélogramme formé avec les vecteurs ( 4, 0 et (,, dans cet ordre, a une aire orientée de (voir la figure ci-contre. On cherche l ensemble de tous les points P (x, y tels que le parallélogramme formé par les vecteurs (x, y et (,, dans cet ordre, a une aire orientée de. es parallélogrammes, ayant tous la même base (,, ont donc tous la même hauteur relativement à cette base. Les points P (x, y cherchés sont donc ceux de la droite parallèle à (, et passant par le point ( 4, 0. Exercice..8. Posons u (a, b et v (c, d. a u, v a c b d ad bc ( bc + ad ( b, a (c, d u v (a( d + bc ((a, b ( d, c ( u v b u, v a c b d u v u v cos α u v cos(90 θ u v sin θ. u α θ v u D ailleurs, le déterminant en cause est l aire orientée du parallélogramme formé avec les vecteurs u et v. Si on prend u comme base du parallélogramme, sa hauteur est v sin θ. L aire non orientée du parallélogramme est u v sin θ. Si θ ] π,π[, le signe de θ est le même que celui du sinus, et le même que celui de l orientation du parallélogramme. L aire orientée de ce dernier est donc u v sin θ.

32 HPITRE. IRES ET VOLUMES Exercice..9. Puisque s ( s, on a, par l exercice..8 a, s t ( s t s, t. Donc le produit scalaire représente l aire orientée du parallélogramme défini par s et t (voir la figure ci-contre. s t s s Exercice..0. a x 0 0 et y b x et y c x et y d x et y Exercice... Pour trouver les composantes du vecteur s dans la base u, v, on doit trouver a et b tels que s a u + b v, (7, a(4, + b(, (4a + b, a + b. Donc, a et b doivent simultanément satisfaire aux deux équations { 4a + b 7, a + b. On résout ce système à l aide de la règle de ramer comme suit : a et b D où s u + 5 v.

33 .. LES DÉTERMINNTS ET Exercice... 0 a b 0 5 négative. Exercice (0 + > 0, donc orientation positive ( 5 (0 5 (0 5 < 0, donc orientation + ( + 6 ( + ( Exercice..4. On a (,,, (,, et E (,,.,, E Vol. ( [( + ( 4 + ( + ] 7 unités de volume. Exercice..5. On a (,,, (6,, 4 et D (9, 4, 5.,, D Vol. 6 6 ( [( ( (4 7] 6 6 Exercice unités de volume. a b u, v, w ( ( ( unité de volume. Donc, les vecteurs u, v et w sont linéairement dépendants. u, v, w + (6 (4 + (

34 4 HPITRE. IRES ET VOLUMES Donc, les vecteurs u, v et w sont linéairement indépendants. Exercice..7. a On a (0,, 5, (,, et D (,,.,, D ( + + 5( Donc, les points,, et D ne sont pas coplanaires. b On a (0,,, (, 0, et D ( 4, 0,. 0,, D ( Donc, les points,, et D ne sont pas colinéaires. Exercice..8. a u, v, w k k k k k + k (k (k + ( k k 7k +. Pour que les vecteurs u, v et w soient linéairement dépendants, u, v, w doit être nul, c est-à-dire qu il faut que k 7k + 0. D où b k 7 ± ± 5 4 ou. k u, v, w k 5 + k 5 + k k k + k k 5 ( k 0 k( + 9k + 4k (5 + k ( k k( + k (6 k k k 7.

35 .. LES DÉTERMINNTS ET 5 Pour que les vecteurs u, v et w soient linéairement dépendants, u, v, w doit être nul, c est-à-dire qu il faut que k k 7 0. Mais cette équation n a aucune solution réelle, car son discriminant est négatif : < 0. Donc, aucune valeur de k rend ces vecteurs linéairement dépendants. Exercice..9. a b c r s t m n p a b c r 0 t m 0 p + a 0 c r s t m 0 p + a 0 c r 0 t m n p a 0 c r 0 t m 0 p + 0 b 0 a 0 c r 0 t + r s t m 0 p m 0 p + a 0 c ( r 0 t m 0 p + a 0 c 0 s 0 + m 0 p a 0 c 5 + (0 + + r 0 t m 0 p + a 0 c r 0 t 0 n 0 Exercice ( a 0 c r 0 t m n p a 0 c r 0 t m n p a On a (,, 0 et (, 0,. Le débit est,, v ( ( m /sec. b (60 sec(7 m /sec 00 m. Exercice...,, D 6 6 +,, + D,, + D + 6 6,, + D 6,, + 6,, D 6,, D,, D. 6 D4 D, D4 D, D D5 Et 6 D, D, D 6 D +, D, D + D, D, D + 6 D +, D, 6, D, 6,, D , D, 6, D, D + D4 D, D4 D, D D5

36 6 HPITRE. IRES ET VOLUMES Exercice... a Par la définition du barycentre, on a G + G + G 0, d où G, G G, G G G, G + G, G G, G G, G, G ce qui démontre que l aire du triangle G est la même que l aire de G. Similairement, on a G, G G G, G G, G + G, G G, G G, G, ce qui démontre que l aire du triangle G est la même que l aire de G. Et finalement on voit que l aire de G est égale à l aire de G par transitivité. b Par la définition du barycentre, on a G + G + G + GD 0, d où G, G, GD G, G, G G G G, G, G + G, G, G + G, G, G G, G, G G, G, G. Donc le volume du tétraèdre GD est le même que celui du tétraèdre G. On montre les autres égalités de volume de façon analogue. Exercice... a Les sommets du tétraèdre sont (0, 0, 0, (c, c, 0, (0, c, c et D(c, 0, c. On a donc comme volume pour le tétraèdre :,, D c c c c c 0 c ( c 6 c c 0 c c 0 c c c + 0 c + c 6 c. b Par le théorème de Pythagore, on a a c + c c, d où c a. Le volume du tétraèdre est c ( a a a 6. c On a 00 ml 0, l 0, dm 5 dm. D où a 5 a 5,9 dm,9 cm.

37 .. LES DÉTERMINNTS ET 7 Exercice..4. a x (4 (0 8 + (0 + 4 (4 ( ( y (0 8 + ( ( z ( 4 0 (6 0 (

38 8 HPITRE. IRES ET VOLUMES b 0 x y z ( + ( ( (4 ( ( + ( ( ( Exercice..5. a b r + r 6 r + r 4 r + r 5 r (0 ( Exercice..6. a r + r r + r 6 r r 5

39 .. LE PRODUIT VETORIEL ET LE PRODUIT MIXTE DNS R 9 b r (0 ( Exercice u + v, u + v D u, u + v + v, u + v D4 u, u + u, v + v, u + v, v D4 u, v + v, u D Or, on a 0 u, v + v, u u, v v, u. Exercice..8. a a b b c c a a 0 b a b a c c 0 a a 0 b a b a 0 c a c a + b a b a c a c a a a 0 b a b a 0 c a c a b a b a 0 c a c a,.. Le produit vectoriel et le produit mixte dans R Exercice... a Non définie, car v w a est un nombre et le produit scalaire u a doit être entre deux vecteurs. b ien définie, car u v a et u w b sont des nombres et a + b c est un nombre. c ien définie, car v w s est un vecteur et u s est aussi un vecteur. d ien définie, car v + w s est un vecteur et u s est un nombre. e ien définie, car v w s est un vecteur et u s est un nombre. f ien définie, car v w a est un nombre et le produit d un vecteur par un scalaire, ua, est un vecteur. g Non définie, car v w a est un nombre et le produit vectoriel u a doit être entre deux vecteurs. h ien définie, car v s est un vecteur et u s est un nombre. i Non définie, car u v s est un vecteur et le produit s w entre deux vecteurs, sans le signe ou, n est pas défini.

40 40 HPITRE. IRES ET VOLUMES Exercice... a b i j k i j k ( Donc, les vecteurs u et v ne sont pas parallèles. i j k 0,5,5,5 6 4 Donc, les vecteurs u et v sont parallèles., 7 9 6, 4 9 ( 64 84, (48 + 6, 6 6 ( 48,, 0 0. i j k i j k 7 7 Exercice... Si u (, 6, 5 et v (, 8,, on a i j k ( u v , 5, 6 8 D où 0. ( 9 70, ( , ( 78, 9, 6 (6,,. u v , u v de telle sorte que les vecteurs ± u v (6,, sont unitaires et perpendiculaires à u et v. 7 Exercice..4. On a (,, et ( 5, 8, 9. OE O i j k O ( 6 (,, + 8 9, 5 9, ( (,, , ( 7 + 0, (,, + 6 (4, 7, 4 (,, + 6 (4, 7, (,, (,, (,, + (4,, 4 (5, 4, 7. 7 Exercice..5. On a (,, et D ( i j k D (,,. L aire du parallélogramme est,, (, (4 +, 6 + (, 5,

41 .. LE PRODUIT VETORIEL ET LE PRODUIT MIXTE DNS R 4 Exercice..6. Puisque l aire d un parallélogramme est donnée par base hauteur, c est-à-dire a bh, et que l aire est a 5 et que la base est b , on obtient h a b Exercice..7. On a (, 0, et (, 0,. L aire du triangle est : i j k 0 0 ( 0 0 ( 0,, 0.,, 0 0 Exercice..8. On a les points (, 0, 0, (,, 0, (,, ( et F 0, 0,. On peut obtenir l aire de l hexagone comme deux fois l aire du triangle F plus l aire du parallélogramme EF (voir la figure ci-contre. On a F (,,, (, (, 0 et 0,,. D où F E D i j k i j k F + F i j k i j k 0 4 ( (,, + (,, + 4 Pour trouver l aire de façon non vectorielle, on remarque que les diagonales de l hexagone correspondent aux diagonales des carrés dans le cube ; elles mesurent donc. De plus, l hexagone peut être subdivisé en six triangles équilatéraux dont les côtés mesurent. La hauteur d un de ces triangles s obtient à l aide du théorème de Pythagore comme suit : ( h ( h L aire de l hexagone est six fois l aire du triangle, d où 6 (

42 4 HPITRE. IRES ET VOLUMES Exercice..9. Le volume d un parallélipipède est aire base hauteur. De plus, (,,, (6,, 4 et D (9, 4, 5. D où,, D h ( D i j k D 6 4 i j k 6 4 (, 8, 5 (9, 4, Exercice..0. On a que le vecteur s u v est perpendiculaire à toutes les combinaisons linéaires non nulles de u et de v, car s (a u + b v ( u v (a u + b v u, v, a u + b v a u, v, u + b u, v, v 0. Donc, le vecteur s est perpendiculaire au plan défini par u et v. Or, le vecteur t s w est perpendiculaire à w et à s. Et t étant perpendiculaire à s est donc dans le plan défini par u et v, c est-à-dire une combinaison linéaire de ces deux vecteurs. Donc, les vecteurs cherchés sont Exercice... On a ± t t ± ( u v w ± t t ± t i j k i j k w ± (,, w t ± (0,, ± (0,,. OP v 0 0 OP v0 ou OP 0 et donc les points sont ceux de la droite parallèle à v 0 passant par (0, 0, 0. Exercice... On a P (x x 0, y y 0, z z 0 et (x x 0, y y 0, z z 0 v 0 0 P v 0 ou P 0 et donc les points sont ceux de la droite parallèle à v 0 passant par (x 0, y 0, z 0 (voir la figure ci-contre. P P v 0 Exercice... a L aire est u v (,, unités d aire. b Le volume est ( u v w (,, (,, unités de volume. Exercice..4. u v u v sin θ u v ( cos θ u v u v cos θ ( u u( v v ( u v u u u v u v v v.

43 .. LE PRODUIT VETORIEL ET LE PRODUIT MIXTE DNS R 4 Exercice..5. On a Y O (6,, (6,, et O X ( 7 Y k ( 7Y k ( 7Y k 40 (, 6, 0 0 (,, 0. i j k Finalement, Z X Y 7 0 i j k (9,, 0 7 ( 9,, 0. 0 Exercice..6. On a les points (a, 0, 0, (0, b, 0 et (0, 0, c. ( 4 i j k a b 0 a 0 c ( 4 b 0 0 c, a 0 a c, a b a 0 ( 4 b 0 0 c + a 0 a c + a b ( bc ( ac ( ab + +. a 0 Exercice..7. a On a n, n et n (voir la figure ci-contre, d où n + n + n + + ( b Si on pose n b, n a et n c, on déduit de l équation n ( n + n que n n n n Exercice..8. a On a n n n n n + n n ( n n, n n + n n n cos θ, b a + c ac cos., n D, n D et n 4 D, d où ( n + n + n + n 4 + D + D + D D + D D ( D + D ( ( D + + D ( + D + D D + D D + D D + D 0.

44 44 HPITRE. IRES ET VOLUMES b De l équation n + n + n + n 4 0, on déduit l équation n n n n 4, d où l équation n n ( n n n 4 ( n n n 4 n n + n n + n 4 n 4 n n n n 4 n n 4, n n + n + n 4 n n cos θ, n n 4 cos θ,4 n n 4 cos θ,4. Soit n S l aire du triangle et similairement n S, n S et n 4 S 4 les aires des trois autres triangles. L équation peut se réécrire comme suit : S S + S + S4 S S cos θ, S S 4 cos θ,4 S S 4 cos θ,4.