Triangulation. d = f D sin

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1 TRIANGULATION ET STEREOSCOPIE 1 La connaissance de la proondeur d'une scène passe le plus souvent par des méthodes de mesures spéciiques qui exploitent les capteurs d'image classiques 2D. La perte d'inormation liée à la projection peut se compenser de deux manières : - simpliier la scène pour diminuer sa dimension réelle. C'est le principe d'un éclairage structuré, c'est à dire possédant des propriétés géométriques connues - enrichir la connaissance sur les points de la scène réelle par une ou plusieurs vues complémentaires. C'est le principe de la stéréoscopie dans laquelle deux points de vue sont utilisés. Triangulation Pour cette méthode, on utilise une source structurée (laser par exemple) dont la direction est paraitement déterminée et un capteur sur lequel se orme l'image de ce seul point source. C'est pourquoi, elle est souvent appelée triangulation active par opposition à d'autres méthodes où l'image comprend la totalité des points de l'objet. Le capteur est disposé de telle açon que son axe optique orme un triangle avec la direction de la source. On constate que les paramètres du triangle ormé entre l'axe optique et la direction du aisceau image sont dépendants de la proondeur à laquelle se trouve l'objet. plan de réérence LASER θ objet D capteur d Pour aciliter l'étalonnage, on utilise de préérence le triangle ormé entre le aisceau image et celui issu d'un plan de réérence situé à la proondeur 0, supposé voisin de l'axe optique. On peut montrer qu'en première approximation, la relation liant l'écart d et la proondeur est: d = D sin d'où = d. D sin L'inconvénient direct de cette méthode est lié au temps élevé qu'il aut consacrer au balayage de la surace de l'objet. Pour diminuer le temps de prise de vue, on orme l'image d'une ligne issue d'un expandeur de aisceau sur une caméra matricielle. Le montage est le suivant: LASER θ e Plateau de réérence

2 TRIANGULATION ET STEREOSCOPIE 2 L'étalonnage se ait souvent de açon expérimentale par analyse d'une suite croissante de plaques d'épaisseur connue. La détermination de la proondeur se ait par interpolation linéaire entre les points d'étalonnage. Contrôle multiple (aspect visuel et proilométrie d épaisseur) Tête laser avec camera Produits industriels : IbooVision, Sick (caméra avec processeur intégré dans la matrice de vision), Epsilon., MicroModule... Télémétrie/Ecartométrie L'écartométrie est une version particulière de la stéréoscopie, c'est à dire l'observation d'une scène avec deux caméras. Le montage optique de l'écartomètre ait appel à deux caméras dont les axes optiques sont paraitement parallèles : Les deux caméras sont écartés d'une distance d 0. Un point source P donne deux images situées à des positions x 1 et sur chacun des deux capteurs (positions repérées par rapport au centre optique de chaque capteur).

3 TRIANGULATION ET STEREOSCOPIE 3 La distance de l'objet au centre optique des capteurs se déduit directement par triangles semblables. On a les relations: x d /2 = x 1 et x d /2 d' où l'on déduit : = d x 1 = Lorsque le point P tend vers l'inini, les rayons issus de P sont parallèles entre eux; d'où x 1 0 ; on vériie que. Le résultat peut s'établir aussi en prenant comme origine des le plan des capteurs. Dans ce cas, les relations sont: x d /2 = x 1 et x d /2 = d'où la valeur de : = d. x 1 soit =. 1 d x 1 Pour la composante y, la projection est sensiblement la même sur les deux capteurs ( origine dans le plan des capteurs ); la projection de y ne ournit aucun renseignement direct sur la proondeur du point P. Toute la diiculté de la méthode, comme pour la stéréoscopie, repose sur la détermination des paires parmi les points images ormés sur chacun des capteurs. Dans l'exploitation des photographies aériennes (service de l'ign); le pointage des paires sur les images est ait par un opérateur qui recalcule l'altitude. Pour les applications industrielles la méthode est généralement active en éclairant la scène par une source ponctuelle (Laser), la paire d'images P 1, P 2 se ormant physiquement sur les capteurs. La méthode devient très proche de la triangulation, en simpliiant cependant les problèmes de précision du balayage de l'éclairage et d'étalonnage du montage (les valeurs de x, y, se déduisent sans connaissance des angles source/axe optique du capteur). Les autres méthodes d'analyse des paires reposent toutes sur une analyse structurelle des images de chacun des capteurs : mise en évidence d'éléments particuliers ( arrêtes, points anguleux...) et une mise en correspondance de ces éléments pour ormer des paires structurelles. Les résultats semblent satisaisants sur des scènes naturelles riches en éléments de cette nature. Stéréoscopie C'est la généralisation du principe précédent, sans éclairage structuré et avec des caméras non-alignées. Rappel de la Projection On considère maintenant que l'axe optique de la caméra n'est plus colinéaire à la direction Z du repère de l'objet. Soit P le vecteur représentati du point source P exprimé dans le repère (O,X,Y,Z). La position du capteur est déinie dans le repère ( X, Y, Z) par son centre optique C ; le vecteur OC sera noté OC ; l'orientation du repère caméra est déini par la direction de la normale N au plan du capteur (direction de l'axe optique). Soient u, v les vecteurs unitaires des

4 TRIANGULATION ET STEREOSCOPIE 4 directions principales du capteur (ligne et colonne). Le calcul de la projection de P sur le capteur se décompose suivant chacune des deux directions u et v du repère. Suivant u, on obtient la construction géométrique suivante: On obtient: x e = D. u D. N avec D = P C de même selon l'axe v, la relation sera identique: y e = D. v D. N On remarque que ce calcul est indépendant du repère utilisé. Il suit donc d'exprimer les vecteurs représentatis P, C, N, u et v dans le repère ixe (X, Y, Z) pour déterminer la projection. Cette solution est bien adaptée en particulier aux applications avec caméra embarquée dont le repère évolue à chaque prise de vue. Utilisation de la projection en vision stéréoscopique En vision stéréoscopique, nous avons vu que le montage le plus simple se ait avec deux caméras parallèles. Pour obtenir une bonne précision des mesures, il aut que la distance entre les capteurs soit importante; on est conduit alors à orienter les caméras vers l'objet à analyser. Dans ce cas, les axes des capteurs ne sont plus parallèles voire non-coplanaire si les réglages optiques ne sont pas précis. On est donc amené à étudier le cas général où les axes ont une orientation quelconque.

5 x1 x = D 1. u 1 D N 1 TRIANGULATION ET STEREOSCOPIE 5 Soit N 1 la normale du capteur 1 et N 2 celle du capteur 2. La projection de P sur le capteur 1 est donnée par: 1 = D 1. u 1 D 1. N 1 y 1 = D 1. v 1 D 1. N 1 avec D 1 = P C 1 La projection de P sur le capteur 2 donne des relations identiques: = D 2. u 2 D 2. N 2 y 2 = D 2. v 2 D 2. N 2 avec D 2 = P C 2 On remarque que l'on dispose de 4 équations pour déterminer les 3 composantes de la position de P. Pour résoudre le système, il convient soit de ne pas tenir compte de l'une des équations, soit de résoudre le système au sens des moindres-carrés. Cette deuxième solution est préérable car elle améliore la précision sur la détermination de P. Couples stéréoscopiques La plus grande diiculté en vision stéréoscopique est la détermination des paires-images issues du point source P. L'appariement est souvent à base de corrélation mais les diicultés sont nombreuses (ausses détections, masquage). L'approche est acilitée par la mise en place d'un éclairage structuré comme par exemple a projection d'une grille de réérence sur l'objet. Les éléments caractéristiques de la grille(lignes et intersections) étant une structure périodique, il est beaucoup plus acile de retrouver les points image en correspondance. La méthode est encore améliorée avec la projection de ranges parallèles; les images de ces lignes sont des courbes déormées par la proondeur qu'il "suit" d'appairer. C'est la méthode proposée par IbooVision. Image de ranges - Iboovision

6 TRIANGULATION ET STEREOSCOPIE 6 Etalonnage de la caméra Dans les méthodes précédentes, la projection se calcule en ayant connaissance du repère caméra (position C et orientation N, uet v soient 6 paramètres). Dans les cas les plus simples, ces vecteurs peuvent se déterminer par des considérations géométriques directes; il existe par contre de nombreux cas dans lesquels la connaissance du repère caméra n'est que très approximative, voire indéterminée (robot mobile évoluant sur une surace quelconque par exemple). Dans ces cas, il est intéressant de déterminer les paramètres du repère expérimentalement en observant des objets dont la position dans le repère (X,Y,Z) est connue. Le nombre de points source doit au moins être égal à deux (non colinéaires à l'une des directions (u,v) du repère caméra ni alignés avec le centre C soit 6 paramètres indépendants) étant donné le nombre de paramètres ou degrés de liberté pour un capteur (3 pour la position du centre C et 3 pour les angles déinissant l'orientation du repère ). La résolution se ramène à un système de 6 équations à 6 inconnues dont la solution est exacte. Expérimentalement, on constate la présence d'incertitudes sur les grandeurs (précision des mesures, aberrations optiques...). Il est donc souhaitable d'introduire un plus grand nombre de points de mesure et de rechercher une solution optimale minimisant un critère d'erreur global. La méthode usuelle consiste à projeter sur le capteur une grille vue en perspective, comportant un nombre de point important mais dont le repérage sur le capteur reste simple (la projection d'une droite reste une droite). Les coordonnées des points source suivent une loi de position incrémentale repérée par l'indice m. Leur projection sera donc: x m = D m. u D m. N et y m = D m. v D m. N avec D m = P m C et m = 1,..., n Si le système était parait, chaque équation serait satisaite exactement. Du ait des erreurs expérimentales, il existe un écart entre les deux membres de chacune des équations. On remarquera que le nombre total d'équations est très supérieur au nombre de paramètres à déterminer et que la première équation ait intervenir tous les paramètres du repère caméra à déterminer, v étant lié à u et N pour ormer un repère orthogonal. La deuxième série d'équations relative à y m ne ait donc qu'augmenter le nombre de relations disponibles.

7 TRIANGULATION ET STEREOSCOPIE 7 Le problème peut donc se décomposer en deux temps: - utiliser la première équation pour déterminer une partie des paramètres du repère caméra - déterminer ensuite les paramètres restant en utilisant les propriétés du repère (orthogonalité) L'ensemble de ces écarts relatis à la première équation peut être évalué dans un critère quadratique: n S = m=1 n e 2 m = D m. u i m D m. N 2 m 1 Les inconnues étant u, v et C qui intervient indirectement dans D m, le systèmes est donc un ensemble de n équations à 9 inconnues scalaires.on remarquera que le vecteur N doit être choisi unitaire et que le vecteur u est orthogonal à N. Il ne reste donc que 7 inconnues dans les équations. Le calcul de S peut utiliser l'écriture matricielle. Soit W le vecteur représentati des 7 inconnues; chaque terme d'erreur e m sera élément d'un vecteur d'erreur E de dimension n, Q une matrice de dimension nx7 représentant les coeicients des produits scalaires et B un vecteur de dimension n rassemblant les constantes. On obtient : S = E. E avec E = QW B ce qui s'écrit: S = QW B 2 Le minimum de S sera obtenu lorsque sa dérivée sera nulle, soit QW - B = 0 En multipliant à gauche par Q T T, on obtient : Q QW = T Q B Le produit Q T Q est une matrice carrée de dimension 7x7; il est donc inversible dans le cas général. En multipliant à gauche par ( Q T Q) 1, on obtient: T T W = ( Q Q) 1 Q B N. Il ne reste plus qu'à déterminer le vecteur v en considérant qu'il est orthogonal à u et Dans certains cas particuliers de prise de vue (repère caméra et monde réel colinéaires), il est nécessaire de aire appel au deuxième jeu d'équations relatives à j m et de le résoudre par la même méthode. --> Voir la méthode TSAI pour une mise en oeuvre de la calibration caméra tenant des distorsions géométriques (Université Carnegie Mellon)