Suites et séries numériques

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1 Suites et séries umériques Ue suite d'élémets de K R ou C est ue applicatio déie sur N (ou ue partie de N) à valeurs das K. O ote u (u ) N ou u (u ) ue telle suite. Pour simplier, o suppose que les suites sot déies sur N et o ote K N l'esemble des suites d'élémets de K. Si (u ) est ue suite d'élémets de K, étudier la série de terme gééral u reviet à étudier la suite (S ) des sommes partielles déie par :, S k u k. O otera plus simplemet u ue telle série et o parlera de série umérique. Pour tout etier, o dit que u est le terme d'idice et s la somme partielle d'idice de cette série. O supposera a priori que.. Suites covergetes ou divergetes Exercice E utilisat la déitio, motrer que la suite u (( ) ) N est divergete. Solutio. Si cette suite coverge vers u réel l, la suite u ( ( ) ) N qui est costate égale à va coverger vers l et écessairemet l ±. E écrivat que pour ε, il existe u etier tel que :, ( ) l <, et e preat de la même parité que l, o aboutit à < qui est impossible. La suite u est doc divergete. Exercice Motrer qu'ue suite à valeurs das Z coverge si, et seulemet si, elle est statioaire. Solutio. Soit (u ) N ue suite à valeurs das Z covergete vers l R. Il existe u etier tel que : ce qui implique que :, u u u l + l u <, u u puisque les u sot etiers. La suite (u ) N est doc statioaire et l Z. La réciproque est évidete. Exercice 3 Motrer que si f : [, + [ R est ue foctio telle que la foctio g : x xf (x) soit miorée par u réel λ >, alors la série f () est divergete.

2 Suites et séries umériques Solutio. O a : et la suite (S ) N diverge. S S k f ( + k) λ k + k λ λ > Exercice 4 Motrer que pour tout α, la série Solutio. Il sut d'appliquer le résultat précédet à avec xf (x) x α pour x. α f : x x α est divergete. Exercice 5 Motrer que pour tout α < et tout β R, la série Solutio. Il sut d'appliquer le résultat précédet à x α avec xf (x) (l (x)) β f : x x α (l (x)) β +, doc xf (x) pour x assez grad. x + Exercice 6 Motrer que la suite u (ta ()) N est divergete. Solutio. Supposos que o déduit que l (ta ()) l. Avec : ta ( + ) ta () + ta () ta () ta (), l + ta () l ta () et ta () + l qui est impossible. α (l ()) β est divergete. Exercice 7 Motrer que les suites réelles u (si ()) N et v (cos ()) N sot divergetes. Solutio. Supposos que (si ()) l. Avec : si ( + ) + si ( ) si () cos (), o déduit que l l cos (), ce qui impose l puisque cos (). Avec : si ( + ) cos () si () + si () cos (), o déduit que (cos () si ()), ce qui etraîe est icompatible avec cos () + si (). (cos ()) puisque si (), mais ce derier résultat Exercice 8 Étudier, de maière plus géérale, les suites u (si ()) N et v (cos ()) N, où est u réel xé. Solutio. Si kπ, où k est u etier relatif, o a alors pour tout N, u et v ( ) k. La suite u est doc covergete et la suite v est covergete pour k pair et divergete pour k impair. O suppose maiteat que / πz. Si (si ()) l, avec : si (( + ) ) + si (( ) ) si () cos (), o déduit que l l cos (), ce qui impose l puisque cos () pour / πz. Puis avec : si (( + ) ) cos () si () + si () cos (), o déduit que (cos () si ()), ce qui etraîe (cos ()) puisque si () pour / πz. Mais ce derier résultat est icompatible avec cos () + si (). Si (cos ()) l, avec : cos (( + ) ) cos () cos () si () si (), o déduit que l (cos () ) si (), ce qui cotredit la divergece de u. si ()

3 Valeurs d'adhérece 3. Valeurs d'adhérece Déitio O dit qu'u scalaire a est valeur d'adhérece de la suite (u ) N extraite de (u ) N. s'il est ite d'ue suite Exercice 9 Motrer qu'ue suite covergete a ue uique valeur d'adhérece. Autremet dit : si ue suite est covergete, alors toute suite extraite coverge vers la même ite. Solutio. Supposos que (u) l. O se doe ue applicatio ϕ : N N strictemet croissate et u réel ε strictemet positif. O a alors : N, u l < ε et : ce qui implique que : La suite u ϕ() est doc covergete vers l. N, ϕ (), uϕ() l < ε. L'exercice qui suit ous motre que la réciproque est fausse. Exercice Motrer que la suite u ( ( ) ) N Solutio. De u + admet comme uique valeur d'adhérece et est divergete., o déduit que est ue valeur d'adhérece de u. + Si l u ϕ() est ue valeur d'adhérece o ulle de u, où ϕ : N N est strictemet croissate, o a alors l > (puisque u > pour tout ) et : l (l) l uϕ() ( )ϕ() ϕ () ϕ () +, ce qui est impossible. Doc est l'uique valeur d'adhérece de u. Et cette suite est divergete puisque o majorée (u ). Exercice Motrer qu'ue suite périodique covergete est écessairemet costate. Solutio. Soit (u ) N ue suite périodique covergete vers l et périodique de période p où p est u etier strictemet positif. Pour tout etier aturel k, la suite extraite (u p+k ) N est costate de valeur commue u k et covergete vers l. O a doc u k l pour tout k N. La réciproque est évidete. Exercice Motrer que si u (u ) N est ue suite complexe telle que les trois suites extraites (u ) N, (u + ) N et (u 3 ) N sot covergetes (pas écessairemet vers la même ite), alors u est covergete. Solutio. Notos l, l et l les ites respectives des suites (u ) N, (u +) N et (u 3) N. La suite (u 6 ) N qui est extraite de (u ) N et (u 3 ) N coverge vers l et l, ce qui etraîe l l du fait de l'uicité de la ite. De même e remarquat que (u 6+3 ) N est extraite de (u + ) N et (u 3 ) N, o déduit que l l et l l, c'est-à-dire que (u ) N et (u +) N coverget vers la même ite, ce qui équivaut à la covergece de u. Exercice 3 O se propose de motrer que l'esemble des valeurs d'adhérece de la suite u (cos ()) N est [, ]. O dit qu'u sous-groupe additif H de (R, +) est discret si pour tout compact K de R, l'itersectio H K est ie.. Motrer que les sous-groupes additifs de R discrets sot de la forme : où α est u réel. Zα {pα p Z},

4 4 Suites et séries umériques. Motrer que les sous-groupes additifs de R sot deses ou discrets. 3. Soiet a, b deux réels o uls. Motrer que le groupe additif G Za + Zb { pa + qb (p, q) Z } est discret [resp. dese] si, et seulemet si, a est ratioel [resp. irratioel]. b 4. O ote Γ {z C z } le cercle uité das le pla complexe. (a) Motrer que { e i Z } est dese das Γ. (b) Motrer que l'esemble {cos () N} est dese das [, ], ce qui sigie que l'esemble des valeurs d'adhérece de la suite u (cos ()) N est [, ]. Solutio.. Il est clair que tout sous-groupe de (R, +) de la forme Zα est discret. E eet pour α c'est clair et pour α tout compact K de R est coteu das u itervalle [a, b] avec a < b et il 'y a qu'u ombre i d'etiers p vériat a pα b. Réciproquemet si H est u sous-groupe discret de (R, +) o réduit à {}, il existe alors u réel a das H R + ( a H a H) et ], a] H est i o vide, il admet doc u plus petit élémet α >. De α H o x déduit que Zα H. De plus, pour tout x H il existe u etier relatif k tel que x kα < α a (k E ) α et avec x kα H R + o déduit du caractère miimal de α que x kα, soit x kα Zα. O a doc e déitive H Zα.. Si H u sous-groupe additif de R o réduit à {} alors : K H R + et cet esemble est mioré par, il admet doc ue bore iférieure α. O distigue deux cas. Si α >, alors α K. E eet das le cas cotraire, par déitio de la bore iférieure, o peut trouver x K tel que α < x < α (o suppose que α / H). Pour la même raiso, o peut trouver y K tel que α < y < x. O a alors < x y < α avec x y H R +, ce qui est cotradictoire avec la déitio de la bore iférieure α. Avec la structure de groupe additif de H, o déduit alors que H Zα. E eet, Zα H du fait que α appartiet au groupe H et pour tout x das H, il existe k das Z tel que x kα < α, doc x kα et x Zα, c'est-à-dire que H Zα. Si α, alors H est dese i das R. E eet pour x < y das R, il existe z das H R + tel que < z < y x soit < y z x z et pour x h z, y Z, o a x < z < y avec z H. z Si G est discret, alors G Zα et a pα, b qα avec p et q o uls das Z et e coséquece a b p q Q. Réciproquemet, supposos a b ratioel, o peut écrire a b p avec p et q etiers premiers etre eux et o a : q G Za + Zb Z pq + Z b (Zp + Zq) b q. 3. Le théorème de Bézout ous dit que Zp + Zq Z et doc G Z b, c'est-à-dire que G est discret. q (a) Comme π est irratioel, le groupe H Zπ + Z est dese das R. Avec la π-périodicité, la cotiuité et la surjectivité de l'applicatio f : x e ix de R sur Γ, o déduit alors que l'esemble : o o f (H) e (πm+)i (m, ) Z Z e i Z est dese das Γ. (b) Avec la cotiuité et la surjectivité de la projectio p : z R (z) de Γ sur [, ], o déduit que l'esemble {cos () Z} est dese das [, ], puis par parité que l'esemble {cos () N} est dese das [, ]. Mois classique est le résultat suivat. Exercice 4 Soit α u réel xé das ], [ et u (u ) N déie par u cos ( α ) pour. O se doe u réel x [, ] et o ote le réel de [, π] déi par x cos (). Pour tout etier, o désige par ϕ () l'etier déi par : ϕ () α + π < (ϕ () + ) α ( ) c'est-à-dire que ϕ () E ( + π) α (partie etière).

5 Le critère de Cauchy 5. Motrer que ϕ est ue foctio strictemet croissate de N das N.. Motrer que ( + π ϕ ()α ). ( ) 3. Motrer que uϕ() x. 4. E déduire que l'esemble des valeurs d'adhérece de la suite u est [, ]. Solutio.. Résulte de la croissace de la foctio partie etière (précisémet si x y > alors E (x) > E (y)), de la stricte croissace de la foctio t α et du fait que π >. E eet, e posat v ( + π) α et e utilisat le théorème des accroissemets is, o a pour tout etier : v + v π α ξ α où ξ est u réel compris etre + π et + ( + ) π. Et comme < α <, ξ >, o a α ξ α v + v > π > de sorte que ϕ ( + ) E (v + ) > E (v ) ϕ ().. Résulte de : + π ϕ () α < (ϕ () + ) α ϕ () α et de ((p + p + )α p α ) (exercice??). 3. Pour, o a, e utilisat l'iégalité des accroissemets is pour la foctio cos : uϕ() x cos (ϕ () α ) cos () cos (ϕ () α ) cos ( + π) + π ϕ () α. > et 4. La suite u état à valeurs das [, ], ses valeurs d'adhérece sot das [, ] et ce qui précède ous doe l'iclusio réciproque puisqu'o a motré que tout réel x [, ] est ite d'ue suite extraite de u..3 Le critère de Cauchy Déitio O dit qu'ue suite (u ) N est de Cauchy si : ε >, N, m, u u m < ε. Exercice 5 Motrer que, pour tout ombre complexe z, la suite (u (z)) N déie par u (z) covergete. La ite de cette suite est l'expoetielle complexe de z otée exp (z). z k k! est Solutio. Pour m > >, o a : u m (z) u (z) m k+ z k k! z + ( + )! z + ( + )! + + z + + z z m ( + ) (m ) m z ( + ) + z m ( + ) m et e désigat par > u etier aturel tel que + > z, o a pour m > : avec (ε), ce qui implique que (u (z)) N E écrivat ε δ z + z qui etraîe + u m (z) u (z) ε z + ( + )! z + est de Cauchy, doc covergete., le fait que (ε ) se déduit de (δ). z + δ et + δ

6 6 Suites et séries umériques Exercice 6 Motrer que, pour tout ombre complexe z tel que z <, la suite (u (z)) déie par u (z) k z k k est covergete (pour z réel, cette ite est l ( z)). Solutio. Pour m >, o a : u m (z) u (z) m k+ z k m k z + z k z + z m z z + z.4 Suites mootoes Exercice 7 Motrer que la suite u (u ) N déie par u est covergete vers u ombre irra- k! tioel e. Solutio. La suite u est croissate et pour >, o a : u k! puisque k! k pour k, ce qui implique que u est covergete. Supposos qu'elle soit covergete vers u ratioel r p où p, q sot deux etiers strictemet positifs premiers etre q eux. Pour tout > q, le ombre p! (r r )! (r m r ) m + est u etier strictemet positif avec : <! (r m r ) + ( + ) pour m >, ce qui implique < p < das N qui est impossible. Exercice 8 Motrer que si (u ) est ue suite de réels positifs qui vérie :, u + u + alors cette suite est covergete. Solutio. O a : u + u + u + soit : C'est-à-dire que la suite covergece de (u ). u + ( ) u + < u + + u + est décroissate miorée. Elle est doc covergete. Ce qui etraîe la Exercice 9 Motrer que de toute suite réelle o peut extraire ue suite mootoe. Solutio. Soit A la partie de N, évetuellemet vide, déie par : A m >, u m u. Si A est ie, elle admet u majorat / A. Il existe alors u etier > tel que u > u. Comme / A, il existe > tel que u > u et aisi de suite, o costruit par récurrece ue suite strictemet croissate d'etiers ( k ) k N telle que u k+ > u k pour tout k N. La suite (u k ) N est alors extraite de (u ) N et strictemet croissate. Si A est ii, o peut rager ces élémets das l'ordre croissat, soit A { k k N} avec k < k+ pour tout k N et par costructio, o a u k+ u k pour tout k N. La suite (u k ) N est alors extraite de (u ) N et décroissate.

7 Suites adjacetes 7 Exercice Déduire de l'exercice précédet le théorème de Bolzao-Weierstrass : de toute suite borée de ombres réels o peut extraire ue sous-suite covergete. Solutio. C'est clair. Exercice Motrer qu'ue suite réelle (u ) N est covergete si, et seulemet si, elle est borée et 'a qu'ue seule valeur d'adhérece. Solutio. Supposos que (u ) l. Ue suite covergete est borée. Motros qu'elle 'a qu'ue seule valeur d'adhérece. O se doe ue applicatio ϕ : N N strictemet croissate et u réel ε strictemet positif. O a alors : et : ce qui implique que : N, u l < ε, ϕ (), uϕ() l < ε. La suite u ϕ() est doc covergete vers l. N Réciproquemet, supposos que la suite borée (u ) N admette l pour seule valeur d'adhérece. Si cette suite e coverge pas vers l, o peut alors trouver u réel ε > tel que pour tout etier, il existe p > avec u p l ε. Par récurrece o peut alors costruire ue suite strictemet croissate d'etiers (ϕ ()) N telle que uϕ() l ε pour tout. De la suite borée u ϕ() N o peut extraire ue sous suite u ψ() N qui coverge vers l et par passage à la ite das l'iégalité uψ() l ε o déduit que l l ε >, c'est-à-dire que l est ue valeur d'adhérece de (u ) N disticte de l, ce qui cotredit l'hypothèse de départ. Exercice Soit x u ombre irratioel. Motrer que si ( p q ) N est ue suite de ombres ratioels qui coverge vers x, où pour tout N, p est u etier relatif et q u etier aturel o ul, alors et p +, si x >, p, si x <. q + Solutio. Dire que la suite (q ) N e coverge pas vers l'ii sigie qu'il existe ue réel α > tel que pour tout etier N, il existe u etier k > tel que < q k α. O peut alors extraire de (q ) N ue sous-suite q ϕ() N à valeurs das [, α] comme suit : pour il existe ϕ () > tel que < q ϕ() α et e supposat costruits les etiers ϕ () < ϕ () < < ϕ () tels que < q ϕ(k) α pour tout k compris etre et, o peut trouver ϕ ( + ) > ϕ () tel que < q ϕ(+) α. De cette suite borée o peut alors extraire ue sous-suite q ψ() qui coverge vers u N etier q, mais alors avec p ψ() p ψ() q ψ(), o déduit que la suite p ψ() est égalemet covergete et sa ite q N ψ() p xq est égalemet u etier, ce qui est e cotradictio avec x irratioel. p Avec p p q et x, o déduit que q q p ±, le sige état celui de x..5 Suites adjacetes Exercice 3 Soiet (u ) N et (v ) N deux suites adjacetes. Motrer que pour tous, m das N o a u v m. Solutio. Supposos qu'il existe deux idices, m tels que u > v m. Comme u est croissate, et v décroissate, o a alors pour tout k max (, m), u k u et v k v m, ce qui etraîe u k v k u v m > et (u k v k ) k + u v m >, ce qui est impossible. Exercice 4 Motrer que deux suites adjacetes u (u ) N et v (v ) N coverget vers la même ite l, avec : N, m N, u l v m.

8 8 Suites et séries umériques Solutio. E utilisat la mootoie des suites u et v, o a : N, u u u + v v + v, c'est-à-dire que u est croissate majorée par v et v décroissate et miorée par u, ces deux suites sot doc covergetes avec : v u (v u ). Elles coverget doc vers la même ite : l sup (u ) if (v ). N N O peut remarquer qu'ue majoratio de l'erreur d'approximatio de l par les u est doée par : N, l u v u. Exercice 5 Motrer que les suites u (u ) N et v (v ) N déies par : u coverget vers la même ite irratioelle e. k!, v u +! Solutio. Il est clair que u est croissate et pour, o a : v + v doc (v ) est décroissate. De plus avec ( + )! + ( + )!! (v u)! ( + )!, o déduit que ces suites sot adjacetes. Elles coverget doc vers la ite. Les ecadremets u e v m, ous permettet de doer des valeurs approchées de e par défaut et par excès. Par exemple, pour m, o obtiet : u.783 e v.783 avec ue majoratio de l'erreur d'approximatio doée par : e u v u! O peut aussi utiliser la suite v (v ) déie par v u + (les suites u et v sot ecore adjacetes) et o a! e fait : e u v u! Exercice 6 Motrer que les suites u (u ) N et v (v ) N déies par : u k k l (), v coverget vers ue même ite γ (la costate d'euler). Solutio. Pour, o a : u + u + + l Z + c'est-à-dire que u est décroissate. La foctio t t est décroissate sur R+, doc : k t ( + ) dt >, ( + ) t l ( + ) k Z + + dt t k, Z k+ k Z dt k+ t dt k k k

9 Suites adjacetes 9 et pour tout, o a : soit u l ( + ) l () l k + De maière aalogue, pour, o a : c'est-à-dire que v est croissate. Et avec : k k >. Z k+ v + v + + l + Z + + k (u v) Z dt + t dt l ( + ), t t ( + ) dt >, ( + ) t l Z dt t l (), o coclut que ces deux suites sot adjacetes. Les ecadremets v γ u m, ous permettet de doer des valeurs approchées de γ. Par exemple, pour m, o obtiet : v.537 γ u.6638 Exercice 7 Motrer que les suites u (u ) N et v (v ) N déies par : coverget vers ue même ite. Solutio. Pour, o a : u + u c'est-à-dire que u est croissate. De même : v + v c'est-à-dire que v est décroissate. E avec : u (u v ) k k +, v k k >, <, , + + o coclut que ces deux suites sot adjacetes et doc covergetes vers l. Les ecadremets u l v m, ous permettet de doer des valeurs approchées de l. Par exemple, pour m, o obtiet : u l v.349 E fait, les deux exercices qui précèdet e sot que des cas particulier du résultat suivat. Exercice 8 Soit f : [, + [ R ue foctio cotiue décroissate telle que f (x) et F la x + primitive de f ulle e. Motrer que les suites u (u ) N et v (v ) N déies par u f (k) F ( + ) k, v f (k) F () coverget vers ue même ite. k

10 Suites et séries umériques Solutio. Comme f ted vers e décroissat à l'ii, elle est écessairemet à valeurs positives. O a déjà vu que u est croissate et v décroissate. Avec : et f positive décroissate, o déduit que : et (v u ) puisque f (). v u F ( + ) F () v u f () Z + f (t) dt Exercice 9 Soiet < a < b et (u ) N, (v ) N déies par : u + N, { u a v b u + v v + u + v (moyee harmoique) (moyee arithmétique) Motrer que ces suites sot adjacetes de ite ab (moyee géométrique). Pour b, o a des approximatios de a. Solutio. O vérie facilemet, par récurrece, que u > et v > pour tout N. Pour N, o a : avec u v a b < et pour : u v Il e résulte que (v ) N est décroissate. Avec : o déduit que (u ) N est croissate. E avec u > o a : et par récurrece : v + v u v u v u + v (u v ) u + v (u + v ). u + u v + u + u v u u (v u ), u + v u + v (u v) (u + v ) v u u v b a. Les suites (u ) N et (v ) N sot doc adjacetes et e coséquece coverget vers ue même ite λ. D'autre part avec u + v + u v, o déduit que u v u v pour tout et λ u v. Doc : u v u v ab. Exercice 3 Soiet < a < b et (u ) N et (v ) N déies par : { u a v b { u+ u v (moyee géométrique) N, v + u + v (moyee arithmétique) Motrer que ces suites sot adjacetes de même ite. Cette ite est appelée moyee arithmético-géométrique de a et b.

11 Suites adjacetes Solutio. O vérie facilemet, par récurrece, que u > et v > pour tout N. O rappelle que pour tous réels u, v positifs, o a uv u + v (coséquece de ( v u) ). Avec l'iégalité précédete, o déduit que u v pour tout N. Avec u uv v et u u + v v pour u > et v >, o déduit que u u + u v et v + pour tout N. La suite (u ) N est doc croissate et (v ) N décroissate. E avec : v + u + v + u v u, o déduit par récurrece sur que v u b a et (v u). Les suites (u ) N et (v ) N sot doc adjacetes et e coséquece coverget vers ue même ite l >. π O peut motrer que cette ite est l, où E (a, b) est l'itégrale elliptique déie par : E (a, b) u + v v (voir l'épreuve du Capes Extere 995). E (a, b) Z + dt p (t + a ) (t + b ) Exercice 3 Soiet < a < b et (u ) N et (v ) N déies par : { u a v b, N, si () Motrer que ces suites sot adjacetes de ite l b Solutio. O vérie par récurrece, que { u + u + v v + u + v où cos () a b. N, < u < u + < v + < v. Pour, o a < u a < b v et : u u + v r u + v v v < > u > q v v v u u ( v u ) u v + u v O a doc bie < u < u < v < v. E supposat le résultat acquis au rag, o a : u v + u (v u ) u + v u + u + + v + r u+ + v + v + v + < v + u + u + ( v + u + ) u+ u v + u v v > u + > q v + v + > v v+ + + u + + v + u + u+ v+ + u + v+ v + La suite u est doc croissate et la suite v décroissate. La derière égalité doe pour : < v + u + u+ >. u+ v+ + u + (v + u + ) >. v + u + v v < v v

12 Suites et séries umériques et par récurrece < v u b a, ce qui etraîe (v u ). Les suites (u ) N et (v ) N sot doc adjacetes et e coséquece coverget vers ue même ite l >. Comme < a b <, il existe u uique réel i, π h tel que a b cos (). O a doc u b cos () et v b. Pour, o a ; et : De même pour, o a : et : u u + v u u + v b cos b ( + cos ()) v u v b cos + cos v u v b cos Par récurrece, o vérie que pour tout, o a : u b cos cos cos cos b cos b cos cos et : v b cos cos E eet, c'est vrai pour et le supposat vrai pour, o a : et : O a doc pour tout : E remarquat que : u + u + v b cos b cos cos cos v + u + v b cos cos cos cos cos cos cos v b si () Y k cos cos cos cos + cos k cos si cos o vérie facilemet par récurrece que, pour tout, o a : Puis avec si cos + cos cos cos + si () si si () cos si si () si cos si si () si v, o déduit que u b si (). si si cos b si () v. Pour a, b, o a π 4 et les suites u et v doet des approximatios de 4 π.

13 Suites adjacetes 3 Le théorème des suites adjacetes est équivalet au théorème des segmets emboîtés qui suit. Exercice 3 Motrer que si ([a, b ]) N est ue suite de segmets emboîtés (c'est-à-dire que a < b et [a +, b + ] [a, b ] pour tout N) telle que (b a ), alors il existe u réel l tel que [a, b ] {l}. N Solutio. Il est facile de vérier que les suites (a ) N et (b ) N sot adjacetes et : l sup (a ) (a ) (b ) if (b ). N N N N Le théorème des suites adjacetes ous permet de retrouver le théorème de Bolzao-Weierstrass e utilisat le pricipe de dichotomie. Exercice 33 Motrer, e utilisat le pricipe de dichotomie, que de toute suite borée de ombres réels (u ) N o peut extraire ue sous-suite covergete. Solutio. Si [a, b ] est u itervalle réel qui cotiet tous les élémets de la suite (u ) N o le coupe e deux parties égales et o garde ue de ces parties qui cotiet des u pour ue iité d'idices. E réitérat ce procédé o costruit deux suites adjacetes (a ) N et (b ) N et ue applicatio ϕ strictemet croissate de N das N telles que chaque itervalle [a, b ] cotiet u terme u ϕ(). La suite u ϕ() est alors covergete. N Le théorème des suites adjacetes permet égalemet de motrer que R 'est pas déombrable e utilisat e utilisat le pricipe de trichotomie qui cosiste à découper u segmet e trois parties de même logueur. Exercice 34 Motrer, e utilisat le pricipe de trichotomie, que R 'est pas déombrable. Solutio. Il sut pour cela de motrer que [, ] 'est pas déombrable. Supposos qu'il existe ue applicatio bijective ϕ : N [, ]. E coupat I [, ] e trois segmets de même logueur, il e existe u que l'o ote I qui e cotiet pas f (). O coupe esuite I e trois segmets de même logueur e otat I l'u de ces segmets qui e cotiet par f (). Par récurrece, o costruit aisi ue suite de segmets emboîtés (I ) N telle que, pour tout T N, I e cotiet pas f () et I est de logueur, o déduit alors du théorème des 3 segmets emboîtés que I {x} avec x [, ] et x f () pour tout N, ce qui cotredit la déitio de f. N Ue autre applicatio importate du théorème des segmets emboîtés (ou des suites adjacetes) est le théorème des valeurs itermédiaires qui fourit de plus ue méthode d'approximatio d'ue solutio d'ue équatio f (x). Exercice 35 Soit I [a, b] est u itervalle réel fermé boré et f ue foctio cotiue de I das R telle que f (a) f (b) <. Motrer que l'équatio f (x) admet au mois ue solutio α ]a, b[. Solutio. Supposos que f (a) < < f (b) (e remplaçat au besoi f par f o se ramèe toujours à ce cas). O costruit, par récurrece, ue suite ([a, b ]) N d'itervalles emboîtés das [a, b] de la maière suivate : [a, b ] [a, b] ; e supposat costruit [a, b ] [a, b] pour, o pose :[a +, b + ] 8 >< a a + b a + b, si f >, >: a + b, b sio. pour tout, ce qui etraîe b a b a pour O a alors [a +, b + ] [a, b ] avec b + a + b a tout. \ ([a, b ]) N est alors ue suite de segmets emboîtés et [a, b ] {α} avec α [a, b]. N De plus, par costructio, o a f (a ) f (b ) pour tout. E eet, c'est vrai pour et e supposat a + b cet ecadremet vérié au rag, o a f (a + ) f (a ) si f a + b f (b + ) f (b ) si a + b f avec et a +. Avec a (a ) (b ) et la cotiuité de f, o déduit alors que : N N f (α) N (f (a )) N (f (b )) f (α), > avec et b + ce qui équivaut à f (α). Comme de plus o a supposé que f (a) f (b) <, α est diéret de a et de b. a + b et

14 4 Suites et séries umériques.6 Le théorème de Césaro Exercice 36 Soit (α ) N ue suite de réels strictemet positifs telle que Si (u ) N est ue suite réelle ou complexe covergete, o a alors : α k u k Solutio. Notos l O a : et doc pour > ε : Si de plus o tel que : D'où le résultat aocé. α k (u) et, pour tout etier : A α k, v A (u ). α k u k. ε >, ε N ε, u l < ε v l α A k (u k l) ε A Cε A + (A) +, il e résulte que α k (u k l) + P α k k ε + A A k ε+ ε Cε + ε. A ( ) α k +. α k u k l Cε A (ε état xé) et o peut trouver u etier > ε, v l ε O dit qu'ue suite (u ) N coverge au ses de Césaro vers u scalaire l, si la suite covergete vers l. ( u k est ) N Exercice 37 Motrer que le théorème de Césaro est ecore valable pour des suites réelles (u ) N qui diverge vers ou +. Solutio. Quitte à remplacer (u ) N par ( u ) N, o peut supposer que (u) +. O a doc : λ >, N, u > λ et, e gardat les otatios utilisées das la démostratio du théorème, o a pour tout > : A v α k u k A α k u k + A k + > C + A A λ λ + C A λ A A A Si de plus o (A C A ) +, il e résulte que (λ état xé) et o peut trouver u etier A > tel que : C A, > A ce qui doe : α k u k et le résultat aocé puisque λ est quelcoque., v > λ

15 Le théorème de Césaro 5 Exercice 38 Soit (u ) N ue suite umérique covergete au ses de Césaro vers l. Si de plus o a, alors la suite (u ) N coverge vers l. soit : Solutio. O a : k k (u k u k ) u k ku k u k k k ku k k k (u k u k ) ku k (k + ) u k u e appliquat le théorème de Césaro à la suite ( (u u )) N, ce qui doe : u u k l. u k (u u ) Le résultat précédet est u cas particulier du théorème de Hardy qui suit. Exercice 39 Soiet (u ) N ue suite umérique et (v ) N la suite des moyees de Césaro déie par :. Motrer que : m >, u m v m v u k m (v m v ) + m (u m u k ). m. O suppose que la suite (u ) N coverge au ses de Césaro vers l et que la suite ( (u u )) N est borée. O désige par M u majorat la suite ( u u ) N. (a) Motrer que : (b) Motrer que Solutio.. Pour m >, o a : et : soit : m >, u m v m k m v m v + M m +. (u m v m ) et doc que la suite (u ) m + N coverge vers l. v m m u k + m u m m v m m k u k m v + m u m v m u m m v m m k m (u m v ) + m m k m k u k u k (u k u m ) m m u m m k u m v m m (um vm) + m (vm v) + m (u m u k ) m k (u m u k )

16 6 Suites et séries umériques. ou ecore : c'est-à-dire : m m u m v m (um vm) m (vm v) + m (a) Pour m > et k compris etre et m, o a : ce qui doe : u m u k m k (u m u k ) m (v m v ) + m (u m u k ). m m jk+ u j u j M m jk+ u m v m m v m v + k j M m k k + M m +, M m m m + k m vm v + M m +. (b) D'autre part, la suite covergete (u ) N état de Cauchy, o peut trouver, pour tout réel ε >, u etier > (ce choix sera justié plus loi) tel que : ε, m, v m v < ε, ce qui doe : m >, u m v m m ε + M m + Pour m > assez grad, o cherche u etier compris etre et m tel que : ou ecore : Pour ce faire, il sut de predre tel que : où m est choisi tel que : E eet, o a : doc : puisque m > > ε et : si m > ε ( + ) +. m < ε, m + < ε m ε ε + < < m ε +. E m ε + ε + m > + ε ( + ). m ε ε + < m ε ε + + m + ε + < m > m ε ε + O a doc pour ε > doé et m > + ε ( + ), e preat E O a doc aisi prouvé que u m v m m ε + M m < (M + ) ε. + (um vm) et m + m + um m ε + : ε + vm l. m + Exercice 4 Soit (u ) N ue suite de réels strictemet positifs. Motrer que si la suite (u ) N coverge vers l, alors la suite ( ( u k ) ) N des moyees géométriques coverge aussi vers l.

17 Le théorème de Césaro 7 Solutio. Si (u ) l, alors (l (u )) l (l) [, + [ et l (l) pour l réel et µ pour l. O a doc l Q P u k!! µ et l (u k ) µ avec µ Q! u k e µ l. Exercice 4 Soit (u ) N ue suite de réels strictemet positifs. Motrer que si la suite (u ) N coverge vers l, alors la suite Solutio. O a équivalet à u k P u k N u l l. des moyees harmoiques coverge aussi vers l. P [, + ] et le théorème de Césaro ous dit que u k l, ecore E utilisat l'ecadremet H (u) G (u) A (u), où H (u), G (u) et A (u) désige respectivemet les moyees harmoique, géométrique et arithmétique de la suite u, la covergece de (G (u)) N vers l se déduit de celle des suites (H (u)) N et (A (u)) N. Exercice 4 Motrer que si (u ) N est ue suite réelle ou complexe telle que évetuellemet ii pour ue suite réelle), alors Solutio. Il sut d'écrire que : et d'utiliser le théorème de Césaro. u (u k+ u k ) + u u l (soit u o ()). (u + u ) l (avec l Exercice 43 Soit (u ) N ue suite réelle ou complexe telle que u soit o ul à partir d'u certai rag. ( ) u Motrer que si + u La réciproque est-elle vrai? Si λ, alors ( u ) λ. Solutio. Opeut supposer, quitte à réidéxer la suite, que tous les u sot o uls. u + u λ, alors l u + u (l u + l u ) µ et e utilisat le théorème de Césaro : soit : ecore équivalet à p u e µ λ. l p u µ avec µ l (λ) pour λ réel et µ pour λ, soit (l u k+ l u k ) (l u l u )! µ µ µ (c'est l'exercice précédet avec la suite (l u ) N ), ce qui doe La réciproque est fausse comme le motre l'exemple de la suite (u ) N déie par : avec < a < b. O a : u 8 >< >: u ( a b si est pair a + b si est impair a b ab si est pair a + ab b ab a b si est impair

18 8 Suites et séries umériques et : u+ doc 'a pas de ite. u N u + u 8 >< >: a + b a b a + + b a + b a si est pair b si est impair Exercice 44 Détermier les ites des suites ( ) C, N doc doc ( ) ( + k) Solutio. Notos v u chacue de ces suites. Das l'ordre d'apparitio, o a : v 4 ; u + ( + ) ( + ) u ( + ) 4, u + ( + ) ( + ) u +, v +. r (3)! v! et : u + (3 + 3) (3 + ) (3 + ) 7 u + ( + ) 3 e, doc 7 v e. N ( ) (3)! et! N. Exercice 45 Soit α > et (u ) la suite de réels déie par u >, u + u + u α ( ). Motrer que u +.. Motrer que pour tout β > o a u β + uβ 3. Doer u équivalet de u à l'ii. Solutio. ( + β ( )) u α+ + o u α+.. La suite (u ) N est strictemet croissate (par récurrece). Si elle était borée, alors elle serait covergete de ite l vériat l l +, ce qui est impossible. Doc l u α +.. Pour tout réel, o a u β + u β + β u α+ + o u α+. 3. Pour β α + : Le théorème de Césaro etraîe alors que : + u α+ α +. uα+ c'est-à-dire que : u α+ α + u ((α + ) ) α+.

19 Séries covergetes ou divergetes 9.7 Séries covergetes ou divergetes Exercice 46 Soit α u réel. Motrer que la série de Riema est covergete si, et seulemet si α >. α Solutio. Rappelos la démostratio de ce résultat. Pour α, o utilise le fait que si la suite (S ) N coverge alors (S S) et pour α >, o motrer que la suite croissate (S) N est majorée. Pour α, o a x x α x α pour x et : S S k ( + k) α et la suite (S ) diverge. Pour α >, la foctio t t état décroissate sur α R+, o a : et pour tout, o a : S + k α α. k, k + α k Z k Z k k k k Z dt k t α k Z dt t + α + k dt k α k α La suite (S ) N est doc croissate majorée et e coséquece covergete. dt t + α α α Exercice 47 Soit (u ) N ue suite de réels positifs décroissate. Motrer que si la série u est covergete, alors la suite (u ) N coverge vers, c'est-à-dire que u o soit : Solutio. Pour > m, o a : Comme + P u k km u km km u k ( m + ) u u k + (m ) u ( ). + km u k + mu., pour ε > doé, o peut trouver etier m tel que + P > m, u ε + m u. Pour m aisi xé, teat compte de O a doc u < ε pour. Le réel ε état quelcoque, o a bie motré que km u k ε et o a : u, o peut trouver u etier > m tel que mu < ε pour. u. Exercice 48 Soit f : [, + [ R + ue foctio cotiue décroissate et F la primitive de f ulle e. Motrer que la suite u (u ) N déie par u f (k) F () pour tout est covergete et la série k f () de même ature que la suite (F ()) N. O a doc, e otat l la ite de la suite (u ) N : Solutio. La foctio F est déie par : f (k) F () + l. k x, F (x) Z x f (t) dt.

20 Suites et séries umériques Pour, o a : u + u f ( + ) (F ( + ) F ()) f ( + ) Z + f (t) dt Z + (f ( + ) f (t)) dt avec f cotiue et f ( + ) f (t) pour tout t ], + [. O a doc u + u et u est décroissate. La foctio f est cotiue décroissate sur [, + [, doc : et pour tout, o a : et u F ( + ) F () k Z + k, f (k) k Z k+ k Z k+ k f (t) dt f (t) dt Z k+ k Z + f (k) dt f (k) f (t) dt F ( + ), f (t) dt puisque f est à valeurs positives. La suite u est doc décroissate miorée et e coséquece covergete vers u réel l. Comme f est à valeurs positives, la suite (F ()) N est croissate à valeurs positives et o a deux possibilités. Soit P cette suite est majorée et elle coverge alors vers u réel l. Il e résulte alors que + f () l + l. Das le cas cotraire, o a Das tous les cas, o a, pour : + P F () + et f () +. k P c'est-à-dire que f (k) F () + l. k f (k) F () + l k k f (k) F () l F () + l f (k) F () l F () + l Das le cas où F () +, o a F () + l E utilisat la foctio f (t) t Riema. α Pour α, o a F (x) l (x), k + +, soit k Pour α, o a F (x) α Pour α >, o a F () α Pour α <, o a F () α F () et f (k) k F (). avec α > o retrouve, e les précisat, les résultats sur les séries de ( ) l () γ (la costate d'euler), k k +. ( ) x α. ( ) α α ( α ) + et et doc + k k α α α + l. F () + + k k α +, soit α l () et + α +. Exercice 49 O se propose de motrer de faço élémetaire que + O ote, pour tout etier et tout réel x [, ] : ( ) + l (). f (x) ( ) k x k.

21 Séries covergetes ou divergetes. Motrer que : f (x) ( )+ x + + x pour tout x [, ].. E déduire que, pour tout etier, o a : 3. E déduire le résultat aocé. Solutio.. Pour x ], [, o a : et pour x [, [ : Pour x, o a : f () 8 >< >: pp j ( ) k k + f (x) pp j l () ( )+ j p P j p P j j x k x+ x x + + x dx. ( ) k x k ( )+ x +. + x j+ ( )p+ p+ + j+ ( )p+ p+ + si p si p + O a doc f (x) ( )+ x + pour tout x [, ]. + x. E itégrat sur [, ], o a : 3. Avec : o déduit que P ( ) k k + Z f (x) dx Z x + Z Z ( ) k x k dx + x dx Z l (), soit + P Z ( ) k k + ( ) + x + dx + x Z + x dx x + ( )+ + x dx l () ( ) + Z x + + x dx. x + dx +, ( ) + P ( ) l () ou ecore + l (). Exercice 5 E s'ispirat de la méthode utilisée à l'exercice précédet, motrer que + Solutio.. Pour x [, [ : Pour x, o a : f () 8 >< >: f (x) pp j pp j 4j p P 4j p P j j O a doc f (x) ( )+ x + + x pour tout x [, ]. ( ) k x k ( )+ x + + x. 4j+ ( )p+ 4p+ + 4j+ ( )p+ 4p+4 + si p si p + ( ) + π 4.

22 Suites et séries umériques. E itégrat sur [, ], o a : 3. Avec : o déduit que P Z f (x) dx Z Z x + Z ( ) k x k dx Z ( ) k k + ( ) + x + + x dx Z + x dx x + ( )+ + x dx π 4 ( )+ Z Z + x dx x + dx ( ) k k + π + P ( ), soit 4 + π x + + x dx., Exercice 5 O se propose d'étudier les séries de termes gééraux u a e i, s a si () et c a cos () où a et sot deux réels quelcoques.. Motrer que pour R et a <, les trois séries coverget et calculer la somme de chacue ces séries.. Que dire des séries c et s pour πz et a R? 3. O suppose que R \ πz et a. (a) Motrer que la suite (si ()) N est divergete. (b) Motrer la série s est divergete. (c) Motrer la série c est divergete. Solutio.. O a u λ avec λ ae i et la série P u coverge si, et seulemet si, λ <, ce qui équivaut à a < et R. Pour a < et R, o a ; et : puis : et : u ae i a cos () ia si () a cos () + ia si () a cos () + ia si () ( a cos ()) + a si () a cos + a c u + s I a cos () ia si () a cos + u A u u + u A u A a cos (()) a cos (()) + a a si (()) a cos (()) + a.. Si pπ avec p Z, o a s pour tout N et tout a R, de sorte que P s. O a aussi c a ( ) p (( ) p a) et P c coverge si, et seulemet si, a <. 3. O remarque que la coditio / πz équivaut à si().

23 Séries alterées 3 (a) Supposos que (si ()) l. Avec : si (( + ) ) + si (( ) ) si () cos (), o déduit que l l cos (), ce qui impose l puisque cos () si si(). Avec : si (( + ) ) cos () si () + si () cos (), o déduit que (cos () si ()), ce qui etraîe derier résultat est icompatible avec cos () + si (). P (b) Supposos que la série s soit covergete. O a alors pour a, o e déduit que (si ()) ce qui est faux. (cos ()) puisque si (), mais ce (s) et comme si () s P (c) Supposos que la série c soit covergete. O a alors (c ) et comme cos () pour a, o e déduit que (cos ()) et avec : o e déduit que cos (( + ) ) cos () cos () si () si () a s c a c (si () si ()) et (si ()) (puisque si() ) ce qui est faux..8 Séries alterées O dit qu'ue série est alterée si so terme gééral est de la forme u ( ) α, où (α ) N est ue suite réelle de sige costat. Le théorème relatif aux suites adjacetes ous permet de motrer le résultat fodametal suivat. Exercice 5 Soit ( ) α est ue série alterée. Motrer que si la suite (α ) N ted vers e décroissat, alors la série ( ) α est covergete et ue majoratio des restes est doée par : + N, R ( ) k α k α +. k+ Solutio. O vérie que si (S ) N est la suite des sommes partielles de cette série, alors les suites (S ) N et (S + ) N sot adjacetes et e coséquece covergete vers la même ite, ce qui équivaut à la covergece de (S ) N. E utilisat la décroissace de la suite (α ) N, o déduit que pour tout etier, o a : S+ S α + α +, S +3 S + a + a +3, ce qui sigie que (S ) N est décroissate et (S + ) N croissate. De plus avec : S + S α +, P o déduit que ces suites sot covergetes et la covergece de la série ( ) α e découle. E otat S la somme de cette séries, o a : N, S + S S + S, ce qui etraîe : α+ R S S, N, R + S S + α + ou ecore : N, R α +. Exercice 53. Motrer que la suite (I ) N déie par : ted vers e décroissat. N, I π cos (x) dx

24 4 Suites et séries umériques. Motrer que la série de terme gééral : est covergete et calculer sa somme. Solutio.. Pour, o a : doc (I ) N est décroissate. i h Pour et ε, π, o a : I + I Z ε Z π u ( ) π cos (x) cos (x) dx cos (x) dx Z π cos (x) dx I, Z π cos (x) dx + cos (x) dx ε + cos (ε). ε Comme < cos (ε) <, o a cos (ε) et il existe u etier ε tel que cos (ε) < ε pour tout ε, ce qui doe I < ε pour tout ε. O a doc aisi motré que la suite (I ) N ted vers (e fait, o peut r π motrer que I ).. Le théorème des séries alterées ous dit que cette série coverge. Pour tout x et : avec : ce qui doe : h, π i, o a : S (x) S + Z π u ( ) k cos k (x) u k Z π Z cos + π (x) + cos (x) dx Z π e eectuat le chagemet de variable t ta + cos (x) + cos + (x) ( ) + cos (x) Z π dx + cos (x) + ( ) Z dx + cos (x) x. cos + (x) dx I + cos + (x) + cos (x) dx,, dt ( + t ) + t +t.9 Séries absolumet covergetes et : O dit que la série u est absolumet covergete si la série u est covergete. Solutio. Soit (u ) N ue suite umérique. Si la série P u est covergete, alors la série P u est covergete + + u u. Solutio. P Soit u ue série umérique absolumet covergete. P La suite des sommes partielles o peut trouver u etier tel que : u k N état covergete, elle vérie le critère de Cauchy et pour tout réel ε >, m >, ce qui etraîe que : m >, q kp+ q kp+ u k u k < ε, q kp+ u k < ε

25 Séries à termes positifs 5 et sigie que la suite des sommes partielles P u k N à dire que la série P u est covergete. E utilisat l'iégalité triagulaire, pour tout etier : et faisat tedre vers l'ii, o déduit que u k P P + u + u. est de Cauchy et e coséquece covergete, ecore équivalet u k Ue série umérique covergete, mais o absolumet covergete est dite semi-covergete.. Séries à termes positifs L'étude des séries à termes positifs permet de retrouver le fait qu'ue série absolumet covergete est covergete sas recours au critère de Cauchy. Exercice 54 Pour tout réel x, o ote : { x + max (x, ) x max ( x, ). Motrer que pour tout réel x, o a : { x x + x. Soit u ue série réelle absolumet covergete. x x + + x (a) Motrer que les séries u + et u sot covergetes. (b) E déduire que la série u est covergete. 3. Motrer qu'ue série complexe u absolumet covergete est covergete. Solutio.. Pour x [resp. x < ] o a x + x, x [resp. x +, x x] et x x [resp. x x], ce qui doe le résultat.. (a) Résulte de u + u, u u et P u < +. (b) Résulte de u u + u et de la covergece des séries P u + et P u. 3. O écrit que u x + iy, où x R (u ) et y I (u ). Avec x u et y u, o déduit que les séries réelles P x et P y sot absolumet covergetes, doc covergetes et la covergece de P u suit. Exercice 55 O s'itéresse à la série de Bertrad de terme gééral u réels doés.. Motrer que cette série coverge pour α > et β R.. Motrer que cette série diverge pour α < et β R. 3. O suppose que α. Motrer que u coverge si, et seulemet si, β >. Solutio.. Si α >, o peut trouver u réel γ tel que < γ < α et avec : γ u pour tout réel β, o déduit que P u coverge puisque γ >. α γ (l ()) β, où α et β sot deux α β (l ())

26 6 Suites et séries umériques. Si α <, o peut trouver u réel γ tel que α < γ < et avec : γ u γ α (l ()) β + P pour tout réel β, o déduit que u diverge puisque γ <. 3. Pour β, la foctio f déie sur[, + [ par f (x) est cotiue et strictemet décroissate x (l (x)) β P (produit de deux foctios strictemet décroissates à valeurs strictemet positives), doc u est de même ature que la suite (F ()), où F est la primitive de f ulle e, soit : F (x) Z x ( dt Z l(x) du t (l (t)) β u β β l() (l (x)) β (l ()) β si β l (l (x)) l (l ()) si β (théorème??). P Pour β, o a F () + et u diverge. Pour β >, o a Pour β <, o a u (l ()) β F () β (l ()) β (l ()) β et P u coverge. > pour tout et P u diverge. Exercice 56 Soiet u et v des séries à termes positifs telles que v o (u ) [resp. v O (u )] O désige respectivemet par (S ) N et (T ) N les suites des sommes partielles de ces séries et, e cas de covergece, par (R ) N et (R ) N les suites des restes correspodats.. Motrer que si u coverge, il e est alors de même de v et R o (R ) [resp. R O (R )].. Motrer que si v diverge, il e est alors de même de u et T o (S ) [resp. T O (S )]. Solutio. La coditio v o (u ) [resp. v O (u )] sigie qu'il existe ue suite (ε ) N qui ted vers [resp. borée] telle que v ε u. Comme les suites (u ) N et (v ) N sot à valeurs positives, o peut trouver ue telle suite (ε ) N à valeurs positives. Das les deux cas de gure, la suite (ε ) N est borée et il existe u costate réelle λ > telle que v λu pour tout N. Le corollaire précédet ous dit alors que P v coverge si P u coverge et P u diverge si P v diverge.. Si les u sot tous uls à partir d'u rag, il e est alors de même des v et R R pour tout. Das ce cas, o a bie R o (R ) [resp. R O (R )]. Das le cas cotraire, les suites (R ) N et (R ) N sot à valeurs strictemet positives. Si ε, pour tout réel ε >, o peut trouver u etier ε tel que ε ε pour tout ε et : ε, < R εr. R O a doc, ce qui sigie que R o (R ). R Das le as où v O (u ), la suite (ε ) N est borée, soit ε λ où λ > et < R λr pour tout. La R suite est doc borée, ce qui sigie que R R N P P O (R ).. Si v +, o a alors u + et les suites (S ) N et (T ) N sot croissates o majorées, doc strictemet positives à partir d'u certai rag. Si ε, pour tout réel ε >, o peut trouver u etier ε tel que < ε ε pour tout ε et comme (S ) N est croissate o majorée, il existe u etier ε tel que S ε, T ε v k + k ε + v k εs + ε k ε + P ε v k, de sorte que : u k εs. T O a doc, ce qui sigie que T o (S ). S Das le as où v O (u ), la suite (ε ) N est borée, soit ε λ où λ > et < T λs pour tout. La T suite est doc borée, ce qui sigie que T O (S ). S N

27 Séries à termes positifs 7 Les résultats de l'exercice précédet peuvet être utilisés e relatio avec des développemets ités. Exercice 57 Étudier la série de terme gééral u Solutio. U développemet ité ous doe : l (u ) γ l γ l ( ( )) γ cos cos + o + o. γ γ où γ est u réel. Pour γ <, o a l (u ), doc u et la série diverge. Pour γ, o a l (u), doc u et la série diverge. e O suppose doc que γ > (das ce cas, o a u ). Pour α réel à préciser, o a : l ( α u ) α l () + o γ γ et γ l () α + o () γ γ P (α u ). Choisissat α, o e déduit que la série u coverge. Exercice 58 Soiet u et v deux séries à termes réels positifs telles que u v. Motrer que :. Si u est covergete il e est alors de même de v et les restes de ces séries sot équivalets, soit : R + k u k R. Si u est divergete il e est alors de même de v et les sommes partielles de ces séries sot équivalets, soit : S u k T v k. Solutio. Dire que les suites à termes positifs (u ) N et (v ) N sot équivaletes sigie qu'il existe ue suite (ε ) N qui ted vers telle que v ε u, ce qui équivaut ecore à dire que pour tout réel ε ], [ il existe u etier tel que :, ( ε) u v ( + ε) u. Das ce qui suit o se doe u tel couple (ε, ).. Si la série de terme gééral u est covergete, des iégalités v ( + ε) u pour tout, o déduit qu'il P e est de même de la série de terme gééral v. O peut doc déir les restes d'ordre de ces séries, R + u k k P et S + v k et o a : k + k v k., ( ε) R S ( + ε) R, ce qui traduit l'équivalece de R et S quad ted vers l'ii.. Si la série de terme gééral u est divergete, des iégalités v ( ε) u pour tout avec ε > et u, o déduit qu'il e est de même de la série de terme gééral v. De plus, o a S > à partir d'u certai rag > et : >, ( ε) (S S ) T T ( + ε) (S S )

28 8 Suites et séries umériques ce qui etraîe que, pour tout >, o a : Avec ( ε) S S + T T ( + ε) S S S, o e déduit alors qu'il existe tel que :, ε T S + ε, ce qui traduit l'équivalece de S et T quad ted vers l'ii. S S + T S. Exercice 59 Motrer que l'hypothèse u et v de mêmes siges (au mois à partir d'u certai rag) est essetielle das le résultat précédet. Solutio. Cosidéros par exemple la série de terme gééral u doe : u ( ) + ( ) ( ) + v ( ) + O ( ) + ( ). U développemet ité ous avec v λ, ce qui implique que la série de terme gééral u 3 est divergete comme somme d'ue série divergete P (la série qui est ) avec des séries covergetes (les séries P ( ) le terme gééral d'ue série alterée covergete. 3 et P v ). Et pourtat u est équivalet ( ) Si u et v deux séries à termes réels positifs telles que u v et covergetes, o a seulemet l'équivalece des restes, mais pas celle des sommes partielles. Par exemple ( + ) avec : et : S k k (k + ) T k k k k + + k > + 4 e peut être équivalet à (e fait T π 6 ). Les précisios sur les sommes partielles des séries divergetes ou les restes des séries covergetes das le théorème précédet peuvet être utilisées pour obteir des développemets asymptotiques de certaies suites. Cosidéros par exemple le cas de la série harmoique (H ) déie par :, H Cette série est divergete et à termes positifs avec ( l + ), ce qui etraîe que : H k k k. ( l + ) ( ( ) ) k + l l ( + ), k k k ou ecore H l (). La suite (K ) déie par K H l () est de même ature que la série de terme gééral : K + K ( + + l ) ( ) O +,

29 Théorèmes de Cauchy et de d'alembert 9 elle est doc covergete. Sa ite est la costate d'euler : ( γ k l () k O cosidère esuite la suite (L ) déie par L H l () γ. Cette suite est covergete vers de même ature que la série de terme gééral : L + L K + K ( + + l ) +. Cette série est doc covergete à termes égatifs à partir d'u certai rag, ce qui etraîe l'équivalece des restes : + (L k+ L k ) + k avec : O a doc : E avec : + k k (L k+ L k ) o déduit que pour m >, o a : m k k+ k m m + k k, k ). (L k+ L k ) m + L m+ L L. L k+ k + k k. dt t k k dt k t, dt m+ t dt t m m + k k m k dt m k t dt t m k et faisat tedre m vers l'ii (à xé), o déduit que : ce qui implique que :, L + k, k + k k. O a doc e déitive le développemet asymptotique : H l () + γ + ( ) + o. E itérat ce procédé o peut obteir des termes supplémetaires du développemet asymptotique.. Théorèmes de Cauchy et de d'alembert Exercice 6 O cosidère les suites (u ) et (v ) déies par u e! et v l ( u+. Motrer que la série v coverge.. E déduire que la suite (u ) coverge vers u réel λ >. 3. Motrer que! λ (formule de Stirlig). O peut motrer, mais c'est plus dicile, que e λ π. u ).

30 3 Suites et séries umériques 4. Étudier les série de termes gééraux e!, et e α! (cas a e et a e Solutio.. O a : v l et u développemet ité doe : e + +! + + l O 3 O das l'exercice précédet). v + P doc la série v coverge absolumet (puisqu'o P a aussi v O ).. Comme v l (u + ) l (u ), la série v est de même ature que la suite (l (u )) et cette derière coverge. E otat l sa ite, o a u α e l >. 3. Il e résulte que! λ e. 4. Pour u e! o a : u + e u + et le théorème de d'alembert e permet pas de coclure. E utilisat la formule de Stirlig, o a : et P u diverge. Pour u u λ e + λ e α!, o a : u + u e et le théorème de d'alembert e permet pas de coclure. E utilisat la formule de Stirlig, o a : et P u diverge pour α, coverge pour α >. e α + e u λ e α λ α+ u Das le cas où + (avec u > ), o peut utiliser le théorème de Raabe-Duhamel qui suit. La u démostratio de ce théorème repose sur la comparaiso de la série étudiée à ue série de Riema. Exercice 6 Soit (u ) N ue suite à valeurs réelles strictemet positives telle que : où α est u réel (o a doc e particulier si, α >. u + u α + O ( ) u + ). Motrer que la série u coverge si, et seulemet u Solutio. La suite (v ) N déie par v l ( α u ) est de même ature que la série de terme gééral : α + v + v l + α l α O + l + O + l u+ u α + O + α + O doc covergete. E otat l v, o a a u λ e l >, ce qui sigie que u λ. Il e résulte que a P u coverge si, et seulemet si, a >.

31 La trasformatio d'abel 3 Exercice 6 Étudier la série de terme gééral u!. La trasformatio d'abel k ( ) si k Cette trasformatio que l'o peut cosidérer comme ue itégratio par parties discrète sera surtout utile lors de l'étude des séries trigoométriques. Exercice 63 Soiet (α ) N, (u ) N deux suites umériques et (A ) N la suite déie par : Motrer que pour tout etier, o a : N, A α k. α k u k A u A k (u k+ u k ). Solutio. O a α A et pour tout etier k, α k A k A k, de sorte que pour, o a : α k u k α u + k (A k A k ) u k α u + k A k u k k A k u k A k u k+ A u + A k (u k u k+ ) A u A k (u k+ u k ). A k u k E utilisat cette trasformatio, o e déduit le résultat suivat. Exercice 64 Soiet (u ) N ue suite réelle qui ted vers e décroissat et (α ) N ue suite de ombres complexes telle que la suite (A ) N déie par : N, A α k. soit borée. Das ces coditios la série de terme gééral u α est covergete. Solutio. Il s'agit de motrer que la suite (S ) N des sommes partielles de la série P u α est covergete. E utilisat la trasformatio d'abel cela reviet à motrer que la série P A (u + u ) est covergete. Pour ce faire ous allos motrer qu'elle est absolumet covergete. E désigat par M > u majorat de la suite (A ) N, o a : (la suite (u ) N est décroissate) avec : k N, A k (u k+ u k ) M (u k u k+ ) (u k u k+ ) u u + u, c'est-à-dire que la série P M (u k+ u k ) est covergete et e coséquece, la série P A (u + u ) est absolumet covergete. D'où la covergece de la série P u α.