Modélisation et optimisation de la maintenance préventive et corrective d un matériel soumis à usure

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1 TP SdF N 25 Modélisaion e opimisaion de la mainenance prévenive e correcive d un maériel soumis à usure Ce TP complèe le TP N 22 sur la modélisaion e l opimisaion de la mainenance d un maériel réparable en inroduisan des acions de mainenance prévenive. Il pore plus pariculièremen sur les modèles de Jack 1 pour lesquels une acion de mainenance a un effe de rajeunissemen différen selon qu elle es de naure correcive ou prévenive. 1 Modèles de Jack Présener les modèles de Jack de ype 1 e En considéran que la mainenance prévenive es périodique e en modélisan la fiabilié du maériel par une loi de Weibull, simuler 2 acions successives de mainenance prévenive ou correcive avec les modèles de Jack ype 1 e 2, après avoir choisi une configuraion de leurs paramères. 1.3 Tener de rerouver cee configuraion de paramères en ajusan les deux modèles par la méhode du maximum de vraisemblance à parir des données simulées. 2 - Opimisaion de la mainenance Après avoir monré qu une mainenance périodique n es pas opimale pour un maériel soumis à usure, proposer d aures sraégies de mainenance prévenive Opimiser l une de ces sraégies e la durée d amorissemen du maériel. 1 Jack N., Analysing even daa from a repairable machine subjec o imperfec prevenive mainenance. Qualiy and Reliabiliy engineering inernaional, Vol 13, , Jack N., Age-reducion models for imperfec mainenance. IMA 9, pp ,1998

2 1 Modèles de Jack Jack propose deux modèles de vieillissemen dans lesquels la mainenance a un cerain effe de rajeunissemen de l équipemen. Ce effe es plus imporan dans le cas d une acion de mainenance prévenive (changemen de plusieurs pièces d usure) que correcive (changemen de l unique pièce en panne). 1.1 Présenaion des modèles a) Jack ype 1 - A la fin d une acion de mainenance correcive, l âge viruel de l équipemen es égal à celui qu il avai lors de la précédene acion de mainenance (correcive ou prévenive) plus une proporion ρ c de la durée depuis écoulée. - A la fin d une acion de mainenance prévenive, l âge viruel de l équipemen es égal à celui qu il avai lors de la précédene acion de mainenance prévenive plus une proporion ρ p de la durée depuis écoulée. L âge viruel à l insan couran es donc égal à : A () = - ρ p p - ρ c max( ; c - p ) avec p l insan de la dernière acion de mainenance prévenive e c celui de la dernière acion de mainenance correcive ( ρ p ρ c 1 égal à dans le cas d un remplacemen e à 1 en cas d absence de rajeunissemen). b) Jack ype 2 - A la fin d une acion de mainenance correcive, l âge viruel de l équipemen es égal à celui qu il avai juse avan cee acion muliplié par une proporion ρ c. - A la fin d une acion de mainenance prévenive, l âge viruel de l équipemen es égal à celui qu il avai juse avan cee acion muliplié par une proporion ρ p. 1.2 Simulaion des modèles de Jack Une durée de foncionnemen d un équipemen soumis à usure peu êre simulée en iran une valeur aléaoire enre e 1 e en lui appliquan l inverse de la foncion de répariion d une loi de Weibull (avec β >1) : Densié de probabilié : f() = β β-1 /σ β exp(-[/σ] β ) 1 Foncion de répariion : F() = 1- exp(-[/σ] β ) Foncion inverse : = -σ*ln(1-f()) 1/β i i = σ*(-ln(alea())^1/β sous Excel ou i = L_Wei(β;σ;) sous l ouil SIMCAB Si la mainenance n a pas d effe sur le vieillissemen de l équipemen, la probabilié qu il soi en panne à, sachan qu il a éé réparé à r es égale à : [F()-F( r )]/R( r ) = (1-R()-1+R( r )) / R( r ) =1 - R() / R( r ) La foncion de répariion correspondane es : F () =1-exp[( r /σ) β - (/σ) β ] E celle de la densié de probabilié es : f () =β β-1 /σ β exp[( r /σ) β - (/σ) β ]

3 Si la réparaion a pour effe de rajeunir l équipemen à un âge viruel A r A r A r +- r r La foncion de répariion devien : F () = 1-exp[(A r /σ) β - ([A r +- r ]/σ) β ] E celle de la densié de probabilié : f () = β(ar+- r ) β-1 /σ β exp[(a r /σ) β - ([A r +- r ]/σ) β ] La foncion inverse de la foncion de répariion es alors : = r+σ[-ln(1-f ())+(A r /σ) β ] 1/β -A r La durée de foncionnemen peu êre simulée par: i = r+σ[-ln(alea())+(a r /σ) β ] 1/β -A r sous Excel Les processus de mainenance de ype Jack 1 e Jack 2 son simulés ci-après pour une ceraine configuraion de leurs paramères (4 simulaions réalisées au moyen de l ouil SIMCAB). Les fichiers Excel correspondans son disponibles par double clic de la souris sur l icône correspondan. Modèle de Jack 1 Bêa : 2 Sigma : 6 ρc :,7 ρp :,3 Période mainenance : Processus de mainenance Jack Dae de Mainenance Panne Age panne 61 prévenive 3 effecive 21 viruel 371 T Temps avan 5 heures : ,7,6,5,4,3,2,1 Graphe de probabiliés Moyenne : 48,6 - Ecar-Type : 6,83 Moyenne Moy Min (9%) Moy Max (9%) Moy - 2 sigma Moy + 2 sigma Feuille de calcul Microsof Excel

4 Modèle de Jack 2 Bêa : 2 Sigma : 6 ρc :,7 ρp :,3 Période mainenance : Processus de mainenance Jack 2 Dae de Mainenance Panne Age panne 425 prévenive 3 effecive 21 viruel 892 T Temps avan 5 heures : ,2,15,1,5 4 5,2 Graphe de probabiliés Moyenne : 9,43 - Ecar-Type : 2,1 6,4 7,6 8,8 1 11,2 12,4 13,6 14, ,2 Moyenne Moy Min (9%) Moy Max (9%) Moy - 2 sigma Moy + 2 sigma Feuille de calcul Microsof Excel Ajusemen des modèles de Jack A parir de données de reour d expérience, l ajusemen d une loi de probabilié peu s effecuer au moyen d un ouil d opimisaion par la méhode du maximum de vraisemblance. Cee méhode consise à rechercher les paramères du modèle héorique qui donnen la densié de probabilié maximale pour les insans de défaillance (maximum du produi des densiés ou de la somme des logarihmes des densiés). L expression de la densié de probabilié es : f () = β(ar+- r ) β-1 /σ β exp[(a r /σ) β - ([A r +- r ]/σ) β ] Les données éan censurées par les acions de mainenance prévenive, il es nécessaire de modifier la vraisemblance en ajouan à la somme des logarihmes des densiés, aux insans de défaillance, la somme des logarihmes des fiabiliés, aux insans des acions de mainenance prévenive. L expression de la fiabilié es : R() = 1- F () = exp[(a r /σ) β - ([A r +- r ]/σ) β ] Effecué à parir de 2 valeurs simulées d acions successives de mainenance prévenive ou correcive, l ajusemen perme de rerouver approximaivemen la configuraion des paramères uilisée pour la simulaion dans le cas du modèle Jack 2 e dans une moindre mesure dans le cas du modèle Jack 1. En effe, ce dernier modèle présene le défau inrinsèque d engendrer une fore dépendance enre le paramère ρ p e le paramère Sigma de la loi de Weibull ; le paramère ρ c n ayan que rès peu d effe sur le processus de mainenance.

5 Processus de mainenance Jack 1 Ajusemen Iniial Bêa : 2,13 2 Sigma : 763,65 6 ρc : 1,,7 ρp :,2,3 LN V -758,66434 N d'acion de mainenance Prévenive Correcive Age viruel Durée de foncionnemen Densié de probabilié (logarihmes) Fiabilié (logarihmes) LN Variance , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Processus de mainenance Jack 2 Ajusemen Iniial Bêa : 2,21 2 Sigma : 623,14 6 ρc :,7,7 ρp :,26,3 LN V -489,74346 N d'acion de mainenance Prévenive Correcive Age viruel Durée de foncionnemen Densié de probabilié (logarihmes) Fiabilié (logarihmes) LN Variance , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , L inceriude des résulas de l ajusemen n es due qu aux dispersions des données simulées e en aucun cas à l ajusemen (réalisé au moyen de l ouil GENCAB) qui présene oujours une vraisemblance supérieure à celle obenue avec la configuraion de paramères ayan permis de générer le jeu de données. 2 - Opimisaion de la mainenance Sraégies de mainenance prévenive Dans le cas d un maériel soumis à usure, une mainenance périodique n apparaî pas opimale car les acions prévenives son rop fréquenes au débu e insuffisanes à la fin du processus. F()

6 D aures sraégies peuven êre envisagées elles que celles proposées-ci après. a) - La mainenance peu êre effecuée de manière à assurer un même niveau de risque α de défaillance enre deux acions de mainence prévenive. F() En considéran le coû moyen d une acion prévenive (Coû prévenive ), le coû moyen d une acion correcive (Coû correcive ), e le coû de renouvellemen du maériel (Coû renouvellemen ), l opimisaion de la mainenance consise alors à rechercher la valeur α e la durée d amorissemen du maériel (T amorissemen) els que le coû horaire moyen soi minimisé, soi : (N p * Coû prévenive + N c * Coû correcive + Coû renouvellemen ) / T amorissemen avec N p e N c le nombre moyen d acions de mainenance prévenive e correcive effecuées pendan la la durée d amorissemen du maériel. b) - La mainenance prévenive peu êre effecuée de manière à rendre le coû horaire moyen de la mainenance égal à une valeur fixée a priori. F() Le risque α i de défaillance enre deux acions successives de mainenance prévenive espacées l une de l aure de T i es el que : [α i * Coû correcive + (1-α i ) * Coû prévenive ] / T i = Coû objecif A la fin de chaque acion de mainenance, la dae prévue de la prochaine acion de mainenance prévenive ( p ) se calcule alors en résolvan l équaion : (1-exp[(A r /σ) β -([A r + p - r ]/σ) β ]) * (Coû correcive - Coû prévenive) + Coû prévenive = ( p - r ) * Coû objecif

7 2.2. Opimisaion d une sraégie de mainenance e de la durée d amorissemen La première des sraégies proposées a fai l obje d une opimisaion en couplan un ouil d opimisaion e de simulaion de Mone-Carlo. Afin de ne pas conduire à des emps de calcul rédhibioires, un algorihme original de couplage es implané enre les ouils GENCAB e SIMCAB qui perme de diviser la durée de raiemen par 16 environ dans ce exemple (2 simulaions par évaluaion). Opimisaion de la mainenance (modèle de Jack 2) Bêa : 2 Sigma : 6 T amorissemen : 2822 heures ρc :,7 ρp :,3 Risque :,32 Coû mainenance prévenive : 3 Coû mainenance correcive : 1 Coû renouvellemen : 5 T Prochaine mainenance prévue Prochaine défaillance Age viruel Σ Coû /hr 2, Coû ,8,7,6,5,4,3,2,1 1,84 1,96 2,8 2,2 Graphe de probabiliés Moyenne : 2,59 - Ecar-Type :,22 2,32 2,44 2,56 2,68 2,8 2,92 3,4 3,16 3,28 3,4 3,52 Coû horaire

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