Quadripôles électriques

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1 Retour au menu! Définition des quadripôles Quadripôles électriques De nombreux circuits peuvent être représentés par une «boîte» munie de deux bornes d entrée et de deux bornes de sortie, que l on nomme quadripôle l est souvent possible de décomposer un dispositif électrique ou électronique complexe en un ensemble de U U modules fonctionnels qui sont des quadripôles Ces modules sont ensuite associés en cascade : les grandeurs de sortie de l un constituent les grandeurs d entrée du suivant Fig L étude des quadripôles linéaires est facilitée par l usage du calcul matriciel Cette représentation des circuits est également bien adaptée aux méthodes de calcul numérique modernes Quatre grandeurs électriques caractérisent un quadripôle : le courant et la tension U d entrée, le courant et la tension U de sortie Par convention, on donne le sens positif aux courants qui pénètrent dans le quadripôle CAS PARTCULR : Le tripôle Une borne d entrée est alors commune avec une borne de sortie Les transistors sont modélisables par des tripôles U U Fig xemples de quadripôles " Quadripôle série Fig 3 l contient une seule impédance La loi des mailles donne : et Soit sous forme matricielle : 0 On peut noter que pour ce quadripôle, le déterminant de la matrice liant les grandeurs d entrée aux grandeurs de sortie est égal à " Quadripôle parallèle Fig 4 ; + ; / Soit sous forme matricielle : 0 ci encore, le déterminant de la matrice est égal à Ne pas confondre avec les quadrupôles de l électrostatique

2 " Transformateur idéal en régime sinusoïdal (cf 8) On néglige toutes les pertes (résistives et dues aux courants de Foucault) L M Fig 5 L L d /dt + Md /dt Md /dt + L d /dt jl ω + jmω jmω + jl ω 3 Matrices représentatives des quadripôles Fig 6 " Matrice impédance " Matrice admittance Y Y Y Y " Matrice de transfert T T T T M j ω L M L Pour les quadripôles ne contenant que des dipôles linéaires les 4 grandeurs fondamentales,, et sont liées par des équations linéaires Plusieurs représentations matricielles sont possibles et le choix de l une de celles-ci sera fait en fonction du problème étudié On exprime les tensions en fonction des courants Les éléments de la matrice ont la dimension d impédances On exprime les courants en fonction des tensions Les éléments de la matrice ont la dimension d admittances On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d entrée T est un nombre, T est une impédance, T une admittance et T un nombre Bien noter dans cette représentation le signe moins affecté à La matrice inverse de la matrice de transfert donne les paramètres d entrée en fonction des paramètres de sortie " Matrice hybride H H H H L intérêt de cette représentation apparaît lors de l étude des transistors H est une impédance, H est un nombre, H un nombre et H une admittance On utilise parfois la matrice [G] [H] Les relations étant linéaires, il est facile de déduire les coefficients d une représentation à partir de ceux d une autre " Caractéristiques des quadripôles passifs Ce sont les réseaux de courbes qui représentent les variations des tensions en fonction des courants Par exemple, pour le réseau g(), on prendra ou comme paramètre : chaque courbe de ce réseau est tracée pour une valeur donnée et constante de (ou de ) " Propriété des quadripôles passifs Soit un quadripôle passif dont la tension d entrée est et le courant de court-circuit en sortie est S D après le théorème de réciprocité, le courant dans l entrée en court-circuit est S si la tension de sortie est

3 s e Fig 7 Les relations entrée sortie pour la matrice de transfert s écrivent : T T T T Sortie en court-circuit : 0 T T ntrée en court-circuit : 0 T T T 0 T S L égalité S implique que : (T) TT TT Des calculs analogues montrent que pour un quadripôle passif on a aussi : 4 Associations de quadripôles et H H " Association en cascade Les deux sorties du premier sont reliées aux deux entrées du second On utilise les matrices de transfert [T] et [T] des deux quadripôles associés 0 ' Q ' Q Q Fig 8 ' [ T ] [ T ] 0 0 ' [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] La matrice de transfert du quadripôle équivalent est donc égale au produit de la seconde matrice de transfert par la première Attention car ce produit n est pas commutatif! APPLCATONS : Quadripôle en T On considère l association de trois quadripôles en cascade et on recherche la matrice de transfert équivalente U 3 T T T3 Fig 9 U q [Tq] [T3][T][T] (Attention à l ordre!) [ T ] [ T ] 0 0

4 [ T ] q Quadripôle en Π [Tq] [T3][T][T] 0 [ T ] [ T ] 3 0 U U T T T3 + [ T ] q Fig " Association en série Dans ce cas, il y a additivité des tensions aux bornes des quadripôles ; les courants sont identiques On en déduit simplement la matrice impédance équivalente ' Q' [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [] [ ] + [ ] '' Q'' [] [ ] [ ] Fig [] [ ] + [ ] " Association en parallèle '' ' Q' Q'' Fig 5 Grandeurs fondamentales des quadripôles 3 l y a additivité des courants et identité des tensions : la matrice admittance du quadripôle équivalent est la somme des matrices admittance des quadripôles : [Y] [Y ] + [Y ] l est possible de définir pour un quadripôle des grandeurs caractéristiques comme les impédances d entrée et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance " mpédance d entrée C est l impédance / vue à l entrée quand la sortie est chargée par une impédance U On utilise la matrice impédance du quadripôle u + + U (U + ) /( + U) Fig 3 { - /( + U)} + U

5 " mpédance de sortie C est l impédance S S /S vue à la sortie quand l entrée est fermée par une impédance G qui est l impédance du générateur Un calcul analogue au précédent donne : g S + G Fig 4 " Gain en tension C est le quotient de la tension de sortie par la tension d entrée : A / T T T T Or : U T T T + / U T (T T / T ) T / T U Cas particulier : les quadripôles passifs On a alors : (T) + T T T T U T A v U T U T + T Si U (quadripôle non chargé) alors : A / T 6 Schémas équivalents des quadripôles linéaires On remplace le quadripôle étudié par un circuit équivalent (dont les équations sont les mêmes que celles du circuit étudié), mais dans lequel entrée et sortie sont séparées Plusieurs schémas de quadripôles équivalents sont utilisés : " Paramètres «impédances» T T Le circuit équivalent comporte des impédances et des générateurs de tension + Fig 5 " Paramètres «admittances» Y Y Y Y Fig 6 + Le circuit équivalent comporte des admittances et des générateurs de courant Y + Y Y + Y " Paramètres «hybrides»

6 H H /H H Fig 7 Pour le modèle hybride, on obtient : H + H H + H Attention aux dimensions des paramètres : H mpédance, H Nombre " Modèle amplificateur d un quadripôle linéaire Dans ce modèle, le circuit d entrée est réduit à s l impédance d entrée Celui de sortie comporte un générateur de tension de fem A en série avec e Av l impédance de sortie S Fig 8 A + S 7 Schémas équivalents des quadripôles non linéaires Les composants utilisés en électronique sont très souvent non linéaires et une étude analytique rigoureuse du circuit est alors impossible Pour étudier le comportement du circuit, on peut utiliser des méthodes graphiques Supposons connues les caractéristiques d un quadripôle non linéaire : ce sont les réseaux de courbes f(, ) et g(, ) Par exemple dans le plan, on trace le réseau des courbes f() en prenant la valeur du courant comme paramètre De même dans le plan,, on trace le réseau des courbes g() en prenant la valeur de comme paramètre On impose à l entrée les valeurs de et de ; les valeurs de sortie sont et Ces 4 valeurs définissent le point de repos ou point de fonctionnement Comment évolue ce point si varie de d? PF v i cte Au voisinage du point de repos, on peut écrire les variation des valeurs «statiques» : d d d + d d d + Fig 9 C C i Les dérivées partielles sont les pentes des tangentes aux caractéristiques au voisinage i PF du point de repos et ont la dimension d une impédance : d z d + z d d z d + z d Les paramètres z ij sont les dérivées des paramètres «statiques» ij au voisinage du point de repos : ce sont des paramètres «dynamiques» Cette notation des différentielles est rigoureuse mais lourde à utiliser # n électronique, on note la différentielle da de la grandeur A avec la lettre minuscule a La minuscule a correspond à la variation de la grandeur statique représentée par A Ainsi, en posant v d ; i d, on obtient pour la matrice impédance : C C

7 v z i + z i v z i + z i Dans une région où les caractéristiques sont linéaires, ce modèle permet une représentation correcte des propriétés du quadripôle l est également possible de modéliser le quadripôle par un circuit linéaire équivalent dont les valeurs sont celles du quadripôle au voisinage du point de fonctionnement Ainsi pour le modèle hybride, on obtient (comparer avec la figure 7) : i h i v h i + h v /h i h i + h v v v h v h i Ne pas confondre les Hij et les hij Fig 0 8 xemple de quadripôle : le transformateur idéal On admet que les inductances sont des solénoïdes de section S ayant N et N spires, des longueurs! et! et que les pertes sont négligeables Si Φ est le flux d induction à travers l enroulement primaire, on a : µ N Φ µ N L + M N B S + N B S ; B ; B!! µ SN L M SN N µ ; ; L k N M k NN LL!! Avec ces hypothèses, on obtient en régime sinusoïdal : M jl ω + jmω jmω + jl ω L L u M U U j ω L M L A partir de l expression de la matrice du transformateur, on détermine l expression de l impédance vue à l entrée quand le transformateur est chargé par une impédance u M ω jl u jlω + Soit : + u jlω + u ω u + jlω Cette impédance est équivalente à une impédance ul /L en parallèle avec une impédance jl ω Si le produit L ω est assez grand, l impédance présentée par le transformateur chargé est donc ul /L u(n /N ) un (n N /N est le rapport de transformation) Le transformateur permet donc l adaptation en puissance des impédances entre une source d impédance s et une charge d impédance u l suffit d utiliser un transformateur de rapport n s/u RMARQU : Comme on néglige les pertes, ce quadripôle passif possède un gain en puissance égal à Le gain en tension peut être supérieur ou inférieur à (transformateur élévateur ou abaisseur de tension) Retour au menu!

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