Ici «ch» désigne le cosinus hyperbolique, défini à partir de la fonction exponentielle : y(x) = a x

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1 L chînette Vidéo prtie. Le cosinus hyperbolique Vidéo prtie 2. Éqution de l chînette Vidéo prtie 3. Longueur d'une chînette Introduction L chînette est le nom que porte l courbe obtenue en tennt une corde (ou un collier, un fil,... ) pr deux extrémités. Sns plus trder voici l éqution d une chînette : x y = ch Ici «ch» désigne le cosinus hyperbolique, défini à prtir de l fonction exponentielle : y(x) = x 2 e + e x, nous y reviendrons. Le prmètre dépend de l chînette : on peut écrter plus ou moins les mins. Ou, ce qui revient u même, si l on grde les mins fixes, on peut prendre des cordes de différentes longueurs. C est donc une courbe que vous voyez tous les jours : l chîne qui pend à votre cou ou le fil électrique entre deux pylônes. Mis on le retrouve dns des endroits plus surprennts : vous pouvez voir des chînettes vec des films de svon. Trempez deux cercles métlliques prllèles dns de l eu svonneuse. Il en sort une surfce de révolution dont le profil est une chînette. Enfin, si vous souhitez fire une rche qui s ppuie sur deux piles lors l forme l plus stble est une chînette renversée. Gudi beucoup utilisé cette forme dns les bâtiments qu il construits.

2 LA CHAÎNETTE. LE COSINUS HYPERBOLIQUE 2 Pour finir sur un bteu, si une voile rectngulire est mintenue pr deux mts horizontux et que le vent souffle perpendiculirement lors le profil de l voile est une chînette. Stop! Plce ux mths : nous llons expliquer comment clculer l éqution d une chînette.. Le cosinus hyperbolique.. Définition Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont l prtie pire et impire de l exponentielle : ch x = ex + e x, sh x = ex e x. 2 2 ch x e x 0 0 sh x Voici quelques propriétés dont nous urons besoin : Proposition.. ch 2 x sh 2 x =, pour tout x. 2. ch x = sh x et sh x = ch x. Remrque. Le nom cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ne sont ps un hsrd : souvenez-vous des formules d Euler pour le cosinus et sinus clssiques (dits ussi «circulires») : cos x = ei x + e i x, sin x = ei x e i x. 2 2 i L nlogie vec l définition de ch x et sh x justifie les termes «cosinus» et «sinus». Reste à justifier le terme «hyperbolique».

3 LA CHAÎNETTE. LE COSINUS HYPERBOLIQUE 3 sin t M t sh t M t cos t ch t Si nous dessinons une courbe prmétrée pr (x(t) = cos t, y(t) = sin t) lors x(t) 2 + y(t) 2 = cos 2 t + sin 2 t =. Donc nous vons ffire à un cercle (d où le terme «circulire»). Pr contre si on dessine une courbe prmétrée pr (x(t) = ch t, y(t) = sh t). Alors x(t) 2 y(t) 2 = ch 2 t sh 2 t =. C est l éqution d une brnche d hyperbole!.2. Fonctions réciproques Proposition 2. L fonction x ch x est une bijection de [0, + [ dns [, + [. S bijection réciproque est notée Argch x. Donc : ch Argch(x) = x x [, + [ Argch ch(x) = x x [0, + [ L fonction x sh x est une bijection de dns. S bijection réciproque est notée Argsh x. Donc : sh Argsh(x) = x Argsh sh(x) = x x sh x ch x (y = x) (y = x) rgsh x rgch x 0 Pour résoudre une éqution différentielle nous urons besoin de l dérivée de Argsh x. Proposition 3. Les fonctions x Argch x et x Argsh x sont dérivbles et Argch x = x 2 Argsh x = x 2 +.

4 LA CHAÎNETTE. LE COSINUS HYPERBOLIQUE 4.3. Expression logrithmique En fit, les fonctions hyperboliques inverses peuvent s exprimer à l ide des fonctions usuelles : Proposition 4. Argch x = ln Argsh x = ln x + x + x 2 x 2 +, pour x., pour x..4. Les démonstrtions Nous donnons les preuves des propositions précédentes pour l fonction cosinus hyperbolique. Les formules pour le sinus hyperbolique s obtiennent de fçon similire. Preuve de l proposition.. ch 2 x sh 2 x = 4 (e x + e x ) 2 (e x e x ) 2 = 4 (e 2x +2+ e 2x ) (e 2x 2+ e 2x ) =. 2. d d e (ch x) = x +e x 2 = ex e x 2 = sh x. Preuve de l proposition 2. Étudions l restriction de l fonction ch : [0, + [ [, + [. Comme ch x = sh x 0, pour x 0, lors l restriction de l fonction ch est croissnte. Elle est même strictement croissnte (l dérivée ne s nnule qu en 0). Comme ch 0 =, que ch x + lorsque x +, lors pr continuité et l stricte croissnce, l restriction ch : [0, + [ [, + [ est une bijection. Pr définition, l bijection réciproque de cette restriction est Argch x : [, + [ [0, + [ et vérifie : Argch ch x = x ch Argch x = x pour tout x [0, + [ pour tout x [, + [. Preuve de l proposition 3. Comme l fonction x ch x ne s nnule ps sur ]0, + [ lors l fonction Argch est dérivble sur ], + [. On clcule l dérivée pr dérivtion de l églité ch(argch x) = x : Argch x sh(argch x) = puis on utilise l identité ch 2 u sh 2 u = vec u = Argch x : Argch x = sh(argch x) = = ch 2 (Argch x) x 2. Preuve de l proposition 4. Notons f (x) = ln x + x x f x 2 + (x) = x + x 2 + = x 2 + = Argsh x. Comme de plus f (0) = ln() = 0 et Argsh 0 = 0 (cr sh 0 = 0), on en déduit que pour tout x, f (x) = Argsh x..5. Dérivée des physiciens, dérivée des mthémticiens Deux nottions pour l dérivée s ffrontent : celle du mthémticien f (x) et celle du physicien d f. Comprons-les. L dérivée de f en x est pr définition l limite (si elle existe) du tux d ccroissement : f (x + h) f (x), x + h x lorsque h tend vers 0. Notons h = et d f = f (x + h) f (x) = f (x + ) f (x) lors le tux d ccroissement vut d f d f et comme est un nombre ussi petit que l on veut (il est infinitésiml), on identifie ce quotient vec l limite lorsque 0. L vntge de l nottion des physiciens est que cel peut correspondre à un risonnement physique. On peut risonner sur des petits morceux (de longueur petite mis ps nulle) et en déduire une reltion vec des dérivées. C est ce que nous ferons dns le prgrphe 2.3.

5 LA CHAÎNETTE 2. ÉQUATION DE LA CHAÎNETTE 5 Autre vntge de cette nottion, il est fcile de retenir l formule : d f = d y d f d y. Il s git juste de «simplifier» le numérteur vec le dénominteur. Cette opértion est justifiée, cr il s git de l dérivée de l composée f y (x) = f y(x) qui est bien (f y) (x) = y (x) f y(x). 2. Éqution de l chînette Soit (O, i, j) un repère orthonormé direct, j est un vecteur verticl dirigé vers le hut (c est-à-dire opposé u chmp de pesnteur). 2.. Découpge infinitésiml de l chînette Nous découpons l chînette en petits morceux, chque morceu étnt compris entre les bscisses x et x +. Ici désigne donc un réel ussi petit que l on veut. Nous noterons dl l longueur de ce petit morceu de chînette. Trois forces s ppliquent à notre mini-bout de chînette : T(x + ) dl T(x) P x x + Le poids P. C est une force verticle, proportionnelle à l msse du morceu. Si µ est l msse linéique (c est-à-dire l msse que ferit un mètre de chîne, exprimée en kg/m), l msse de notre petit bout est µ dl. Si g dénote l constnte de grvittion (vec g 9, 8 m/s 2 ) lors le poids est P = P j = µ dl g j. L tension à guche T(x). L tension à guche, s pplique u point dont l bscisse est x. Pr un principe physique, les forces de tension de notre morceu à l équilibre sont des forces tngentes à l chînette. L tension à droite T(x + ). L tension à droite s pplique u point d bscisse x +. Comme notre morceu est en équilibre elle s oppose à l tension à guche du morceu suivnt compris entre x + et x + 2. L tension à droite de notre morceu est donc l opposée de l tension à guche du morceu suivnt, cette force est donc T(x + ). Une remrque : pour cette modélistion nous supposons que est le même pour tous les morceux de chîne. Pr contre x vrie, et ussi l longueur du morceu de chîne entre les bscisses x et x +, qui devrit donc plutôt être notée dl(x) u lieu de dl. Le poids d un morceu de chîne dépend lui ussi de x et devrit plutôt être noté P(x).

6 LA CHAÎNETTE 2. ÉQUATION DE LA CHAÎNETTE Principe fondmentl de l mécnique Le principe fondmentl de l mécnique nous dit que, à l équilibre, l somme des forces est nulle, donc : P + T(x) T(x + ) = 0. () Décomposons chque force de tension, en une tension horizontle et une tension verticle : T(x) = T h (x) i T v (x) j. L convention pour le choix des signes permet d voir des vleurs T h (x) et T v (x) positives. T h (x) i T(x) Alors le principe fondmentl de l mécnique devient : T v (x) j P j T h (x) i T v (x) j T h (x + ) i T v (x + ) j = 0. Comme ( i, j) est une bse, nous reformulons le principe fondmentl de l mécnique en deux équtions, correspondnt ux forces horizontles et ux forces verticles : T h (x + ) T h (x) = 0 (2) T v (x + ) T v (x) P = Tension horizontle L première éqution du système (2) nous permet de montrer que l tension horizontle est constnte. Lemme. L tension horizontle est indépendnte de x : T h (x) = T h. Démonstrtion. En effet, fixons x, nous svons T h (x + ) T h (x) = 0, donc le rpport T h (x + ) T h (x) = 0. x + x Ceci est vri quelque soit l élément infinitésiml. Ce tux d ccroissement étnt toujours nul, l limite lorsque tend vers 0 est nulle. Mis l limite est pr définition l dérivée T h (x). Biln : T h (x) = 0. L fonction T h(x) est donc une fonction constnte comme nous l vions nnoncé Tension verticle et poids Nous noterons y(x) l éqution de l chînette. Nous considérons que chque morceu infinitésiml de l chîne est rectiligne, nous pouvons lors ppliquer le théorème de Pythgore, dns un petit tringle rectngle dont l hypoténuse est dl : dl 2 = 2 + d y 2. y(x) dl d y

7 LA CHAÎNETTE 2. ÉQUATION DE LA CHAÎNETTE 7 Cel conduit à : dl 2 d y 2 = +. D où dl = d y 2 +. Nous llons mintennt nous concentrer sur l deuxième éqution du principe fondmentl (2), le poids étnt P = µgdl : Cel donne en divisnt pr : T v (x + ) T v (x) = µgdl. T v (x + ) T v (x) = µg dl = µg d y 2 +. En terme de dérivée d y vut à l limite y (x) et T v(x+) T v (x) vut à l limite T v (x). Nous vons donc montré : T v (x) = µg + y (x) 2. (3) 2.5. Clcul de l éqution Théorème. Une éqution de l chînette est x y(x) = ch où est une constnte qui vut = T h µg. Démonstrtion.. Lien tension verticle/tension horizontle. Tout d bord nous lions l tension horizontle T h et l tension verticle T v en fonction de l ngle que forme l chînette vec l horizontle. T dénote l norme de T. T h (x) i α(x) T v (x) j T(x) On obtient : T h (x) = T(x) cos α(x) et T v (x) = T(x) sin α(x). Ce qui conduit à T v (x) = T h (x) tn α(x). Mintennt, dns le tringle infinitésiml, nous vons ussi que tn α(x) = d y = y (x). y(x) dl α(x) d y

8 LA CHAÎNETTE 2. ÉQUATION DE LA CHAÎNETTE 8 Ce qui nous mène à l reltion : T v (x) = T h (x) y (x). 2. Équtions différentielles. Nous svons que l tension horizontle est constnte (lemme ), donc en dérivnt l églité précédente, nous vons T v (x) = T h y (x). Avec l éqution (3) nous écrivons C est une éqution différentielle du second d ordre : µg + y (x) 2 = T h y (x). y (x) = µg T h + y (x) 2. (4) Soit l constnte = T h µg. Posons z(x) = y (x). Cel nous conduit à une éqution différentielle du premier ordre z (x) = + z(x)2 ou encore : z (x) + z(x) 2 =. 3. Solutions de l éqution différentielle. z Une primitive de (x) est Argsh z(x), donc +z(x) 2 Argsh z(x) = x + α où α est une constnte. En composnt des deux côtés pr le sinus hyperbolique : x y (x) = z(x) = sh + α. Une primitive de sh x étnt ch x, il ne reste plus qu à intégrer : x y(x) = ch + α + β. 4. Choix des constntes. Si l on suppose que le point le plus bs de l chînette pour coordonnées (0, ) lors y(0) = et y (0) = 0. On choisit α = 0 et β = 0 pour les deux constntes. (0, ) L éqution est lors y(x) = ch x.

9 LA CHAÎNETTE 3. LONGUEUR D UNE CHAÎNETTE 9 3. Longueur d une chînette 3.. Longueur d une chînette Proposition 5. L longueur de l portion de l chînette de prmètre entre le point le plus bs (0, ) et le point d bscisse x 0 est : l = sh x 0. (x 0, y 0 ) (0, ) l Démonstrtion. On rppelle l éqution de l chînette : y(x) = ch x. Pr définition l longueur vut x0 l = + y (x) 2. Ainsi : l = x 0 0 = x sh 2 x cr ch x = sh x ch 2 x cr + sh2 u = ch 2 u = x 0 ch x 0 = sh x = sh x 0. x Clcul du prmètre L chînette ne dépend que du seul prmètre. Ce prmètre vut = T h µg et est fonction de l msse µ du fil pr unité de longueur, de l constnte de grvittion g et de l tension horizontle T h, qui elle dépend de l écrtement de deux points pr lesquels psse l chînette. Ce qui fit qu il n est ps fcile de clculer insi. Fixons deux points, pour simplifier nous supposerons qu ils sont à l même huteur (même ordonnée). Prenons une chînette de longueur 2l fixée (et connue!). Nous llons clculer le prmètre en fonction de l longueur 2l et de l flèche h. L flèche est l huteur h entre les deux points d ccroche et le point le plus bs de l chînette. ( x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) h l

10 LA CHAÎNETTE 3. LONGUEUR D UNE CHAÎNETTE 0 Proposition 6. Pour une chînette de longueur 2l et de flèche h lors = l2 h 2 2h. Démonstrtion. Soient (±x 0, y 0 ) les coordonnées des points d ccroche. L éqution de l chînette étnt y = ch x, lors y 0 = ch x 0 qui vut ussi y 0 = + h. Qunt à l longueur elle vut 2l = 2 sh x 0. Nous vons donc les équtions : Nous obtenons donc : Ainsi = l2 h 2 2h. l = sh x 0 h = ch x 0 l 2 h 2 = 2 sh 2 x 0 ch x 0 2 = 2 sh 2 x 0 2 ch 2 x ch x 0 = 2 + ch x 0 cr ch 2 u sh 2 u = = 2h Éqution prmétrique Proposition 7. Une éqution prmétrique de l chînette est : pour t > 0. x(t) = ln t y(t) = 2 t + t Démonstrtion. Nous connissons l éqution crtésienne y = ch x y, qui est équivlente à Argch = x. Utilisons l forme logrithmique de l fonction Argch : Argch u = ln u + u 2 (pour u ). Nous obtenons : y y 2 ln + = x. Nous cherchons mintennt une prmétristion (x(t), y(t)) de l chînette, posons x(t) = ln(t) (ce qui est toujours possible cr ln est une bijection de ]0, + [ dns ). Alors l éqution précédente conduit (près simplifiction des ln) à : ou encore y(t) + y(t) 2 = t, y(t) 2 = t y(t) ce qui implique en élevnt u crré : y(t) 2 y(t) 2 = t 2 + 2t y(t) d où y(t) = t2 + 2t, et donc y(t) = 2 t + t Clcul de l tension Proposition 8. Nous pouvons clculer l tension en un point (x 0, y 0 ) de l chînette. On note h l flèche correspondnte et l l longueur entre le point le plus bs et (x 0, y 0 ).

11 LA CHAÎNETTE 4. EXERCICES T h (x 0, y 0 ) h T v T l L tension horizontle T h est constnte et vut : Le tension verticle u point (x 0, y 0 ) est : L tension totle u point (x 0, y 0 ) est : T = L tension croît donc vec l huteur du point. T h = µg = l2 h 2 2h µg. T v = T h sh x 0 = T h l. T 2 h + T 2 v = T h ch x 0 = T h + h. Démonstrtion. On vu dns le lemme que l tension horizontle est constnte. L formule T h = µg provient de l définition même de l constnte (voir le théorème ). Enfin, l dernière églité est donnée pr l proposition 5. Pr l preuve du théorème : T v (x 0 ) = T h y (x 0 ) = T h sh x 0 = T h l. Le vecteur tension est T(x) = T h (x) i T v (x) j, donc l norme u point d bscisse x 0 est T(x 0 ) = T(x 0 ) = T 2 h + T 2 v = T h + sh 2 x 0 = T h ch x 0 = T h +h. L dernière églité est juste le fit que y 0 = + h = ch x Exercices Exercice (Tension minimle). On se donne deux poteux distnts d une longueur 2x 0 fixée et d une huteur suffisnte. Prmi toutes les chînettes pssnt pr les sommets de ces poteux, on cherche celle qui les forces de tensions minimles. Nous svons que l tension totle (voir l proposition 8) vut T x () = µg ch x.

12 LA CHAÎNETTE 4. EXERCICES 2 Pour une chînette donnée, l tension est donc mximle u point d ccroche (en x = x 0 ) cr le cosinus hyperbolique est une fonction croissnte sur [0, + [. Pour un fixé, l tension mximle est donc T x0 (). Notre problème, x 0 étnt fixé, est de trouver le qui minimise T x0 (). ( x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) T x0. Considértions physiques : Que vut l tension si l chînette est rectiligne (l longueur de l chînette est celle de l écrtement)? Que vut l tension si l longueur de l chînette est infinie? 2. Montrer que l éqution ch t = t sh t est équivlente à l éqution (t )e 2t = t +. Montrer que, sur [0, + [, cette éqution une unique solution τ. Une vleur pprochée de τ est τ =, Montrer que l tension T x0 () est minimle en = x 0 τ. 4. Clculer l longueur correspondnte, insi que l flèche. Exercice 2 (Pont suspendu). Nous llons clculer que l courbe du câble d un pont suspendu est une prbole. Soit le tblier d un pont de longueur L et de msse totle M. Un gros câble est ccroché entre deux pylônes. À ce câble sont ccrochés un grnd nombre de petits câbles de suspension verticux relint le gros câble u tblier. Pylône Câble Câbles de supension Tblier Nous llons clculer l éqution y(x) du câble. On s inspirer pour les premières questions des clculs sur l chînette.. Quelles sont les forces qui s ppliquent à une portion de câble dont l bscisse est entre x et x +? 2. Écrire l éqution du principe fondmentl de l mécnique, ppliqué à cette portion. 3. Montrer que l tension horizontle est indépendnte de x. 4. Montrer que l tension verticle vérifie l éqution différentielle : T v (x) = T h y (x). 5. Dns toute l suite nous supposerons que l msse du câble est négligeble devnt celle du tblier. Cel revient à supposer que le poids P(x) du câble est négligeble devnt l chrge C(x) du tblier. Nous posons donc P(x) = 0. Montrer que le principe fondmentl de l mécnique s écrit lors : T h y (x) = M L g.

13 LA CHAÎNETTE 4. EXERCICES 3 6. Quelle est l éqution y(x) du câble? 7. Clculer une éqution du câble du Golden Bridge (Sn Frncisco). Le tblier mesure 280 mètres de long, les pylônes ont une huteur de 60 mètres (u-dessus du tblier) et le câble descend jusqu u tblier (u milieu du pont). Auteurs du chpitre Arnud Bodin Relu pr Lur Desideri. Photos : fdecomite, sopbubble.dk, N. Jml, G. Sivills, M. Gunn.