Statistique 1 L2S

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1 Statistique 1 L2S

2 Chapitre I Rappel du calcul des probabilités I- Défiitio d ue probabilité Ω est u esemble d élémets ou d évéemet appelé uivers (ou référetiel). A est u sous esemble de Ω, il est iclut das Ω soit A Ϲ Ω e est u eviroemet de l esemble Ω doc du sous esemble A : e ϵ A Ve est la représetatio sythétique Ω e A La probabilité : ue probabilité est ue foctio d esemble otée soit P soit Prob qui a u sous esemble A de Ω faisat correspodre u réel positif compris etre 0 et 1 : A P P (A) ϵ [0,1] Trois propriétés à cette applicatio : - P (A) 0 - P (Ω) = 1 (axiome de ormalisatio) - Axiome de simple additivité Si A et B sot deux sous-esemble disjoits de Ω alors la P de l uio est égale à la somme des probabilité : P (A U B) = P (A) + P (B) II- Algèbre de Boole 1- Défiitio Soit Ω (l uivers). O cosidère ue famille de partie de Ω otée Ƒ. O dit que Ω est mui d ue algèbre d évéemet ; Propriétés : - O cosidère A Ϲ Ω, A ϵ Ƒ Prop 1 A ϵ Ƒ O dit que la famille Ƒ est fermée par groupes complémetaires où Ƒ est fermée par u rapport à la complémetatio relativemet à Ω - (A 1, A 2,, A i,, A ) Ϲ Ω A i ϵ Ƒ Prop 2 U A i ϵ Ƒ i=1 Si Ƒ possède les propriété 1 et 2, o dit que Ƒ est ue algèbre de boule (défiitio est toujours doé lors d u exercice) - La famille Ƒ possède les propriétés 1 et 2, o dit que Ƒ est fermée par rapport à l uio fiie déombrable. 2

3 - Nous avos A 1, A 2,, A i,, ϵ Ƒ Prop 3 U Ai ϵ Ƒ i=1 Si Ƒ possède les propriété 1 et 3, o dira que Ƒ possède la structure d u corps de Boel (G algèbre ou tribu) 2- Coséqueces - Ω ϵ Ƒ : A Ϲ Ω, A ϵ Ƒ P1 A ϵ Ƒ A ϵ Ƒ Prop2 A U A ϵ Ƒ doc Ω ϵ Ƒ - Ø ϵ Ƒ Ω ϵ Ƒ Prop1 Ω ϵ Ƒ ou Ø ϵ Ƒ - Ƒ est fermé par rapport à l itersectio : A 1, A 2,, A i,, A Ϲ Ω ; V i A i ϵ Ƒ Par la propriété 2 : A 1 U A 2 U A i U A ϵ Ƒ U A i ϵ Ƒ Idetité de Morga : A 1 U A 2 U A = A 1 A i A U A i ϵ Ƒ A 1 A 2 A 1 ϵ Ƒ i=1 P1 A 1 A i A ϵ Ƒ III- Probabilité sur ue algèbre d évéemet doc sur ue algèbre de boole 1- Défiitio L algèbre de Boule sera dite probabilisée si pour tout sous esembles A (A Ϲ Ω, A ϵ Ƒ) ous pouvos défiir ue applicatio otée P ou Prob. Nous avos u espace probabilisé (Ω, Ƒ, P) 2- Propriétés : P1 : P (A) 0 ; P (Ω) = 1 est u axiome de positivité : toute probabilité de réaliser u évéemet est toujours positifs Soit A 1, A 2,, A des sous esembles disjoits : A 1, A 2,, A Ϲ Ω, Si V i A i ϵ Ƒ Si V i j A i A j = Ø Axiome d additivité restreite : P ( U A i ) = ƩP A i ) i=1 Axiome d additivité totale : P ( U A i ) = Ʃ P( A i ) toujours si sous esemble disjoit i=1 i=1 + + i=1 i=1 + P2 : P est ue foctio croissate Cosidéros A et B : A Ϲ B avec A, B Ϲ Ω et A, B Ϲ Ƒ P (A) et P (B) existet O cherche à démotrer que A Ϲ B ; P (A) P (B) 3

4 A B Ω B = A U (B A) P (B) = P (A U (B A )) A (B A) = Ø Axiome additivité restreite : (P C B) = P (A U (B A) ) = P (A) + P (B A) A C B P (A) P (B) et P est croissat P (Ø) = 0 ; Ω ϵ Ƒ Ø ϵ Ƒ P (Ω) =1 Ω = Ω U Ø Ω Ø = Ø Axiome d additivité restreite : P (Ω) = P (Ω U Ø) = P (Ω) + P (Ø) P ( A) = 1- P (A) A Ϲ Ω A Ϲ Ω (Ω, Ƒ, P) Doc A ϵ Ƒ A ϵ Ƒ Alors A A = Ø Axiome d additivité restreite : P (A U A) = P (A) + P( A) P (A U A) = P (Ω) = 1 P (A) + P ( A) = 1 P ( A) = 1 P (A) P3 : P (Ø) = 0 soit u évèemet quelcoque A. O sait que A Ø = Ø et A Ø U A (tout évèemet est icompatible avec l'évèemet impossible). A partir de l'axiome d'additivité P (A U Ø) = P (A) + P (Ø) = P (A) Si B C A, alors P (B) P (A) III- Théorème de probabilités composées 1- Les probabilités coditioelles ou liées Soiet 2 évèemets A et B tels que A B Ø. La probabilité de réalisatio de l'évèemet B lorsque l'évèemet A est réalisé s'appelle "probabilité coditioelle de B par rapport à A", que l'o ote P (B / A). O dit égalemet "probabilité de B si A" ou ecore "probabilité de B sachat A". O calcule cette probabilité de la maière suivate : P (B / A) = P (B A) P (A) Exemple : Soit u jeu de 52 cartes. Les cartes ot été regroupées selo leur couleur. Quelle est la probabilité d'extraire la hauteur "roi" sachat que l'o a puisé das le paquet des "coeur"? P (cœur) = 13 et P (roi cœur) = 1 o calcul alors P (roi / cœur) = 1 / 52 = / Les probabilités composées A partir du résultat précédet, ous pouvos écrire : P (A B) = P (B / B). P (A) = P (A / b). P (B) 4

5 Chapitre II Elémet de bases des Variables Aléatoires I- Défiitios 1- Variables aléatoires Soit u uivers Ω muie de la structure aléatoire de boule probabilité : (Ω, Ƒ, P) A Ϲ Ω A ϵ Ƒ A P (A) ϵ [0 ; 1] Maiteat o va défiir ue applicatio X image Ve : X : e ϵ Ω X (e) ϵ R Soit A x la partie de Ω image iverse de l itervalle] - ; x [ P (A x ) [----] 0 1 Ω X X - 1 R Ici : - e ϵ A x X (e) ϵ ] - ; x [ - e ϵ A x X (e) < x O dit que l applicatio X est ue variable aléatoire quelque soit A, A x ϵ Ƒ. Ce qui veut dire que la variable aléatoire X est ue applicatio c'est-à-dire ue trasformatio qui à u évéemet fait correspodre u réel. 2- Processus aléatoire (ou stochastique) U processus aléatoire est ue famille de variable aléatoire idicé par le temps 3-Loi de probabilité O appel loi de probabilité la loi qui à chacue des valeurs possibles de la variables aléatoire X o associe la probabilité de l évéemet correspodat. Notatio : X = VA (variable aléatoire) x = image de la VA Ӿ = esemble des x de i = 1 à oté { x i } i = 1 Loi de probabilité : {x, P x } Ex : O lace successivemet deux fois ue pièce de moaie. O défiie la VA X par le ombre de face obteu lors de ces deux lacée. Défiir la loi de probabilité X : «ombre de face obteues lors des deux lacés» 5

6 Loi de probabilité {x, P x } Elémet X i P i P 1, P 2 0 ¼ P 1, F 2 1 ¼ + ¼ = ½ F 1, P 2 F 1, F 2 2 1/4 Ʃ P i = 1 Ӿ = {0, 1, 2} 4- La foctio de répartitio (cumulative) Défiitio : Soit ue VA x et X (e) = x O appel doc foctio de répartitio la probabilité d avoir les images de X à iférieur à X soit : F (x) = Prob [X (e) x] = Prob [X x] Propriété (ou coditio d existece) : P 1 : 0 < F (x) 1 valable pour tout x P 2 : F (x) 1 pour x tedat e + P 3 : F (x) 0 pour tout x tedat e - P 4 : Soit x 1 x 2 o a par défiitio : F (x 1 ) = Prob [X x 1 ] = Prob [X ϵ ]- ; x 1 ]] F (x 2 ) = Prob [X x 2 ] = Prob [X ϵ ]- ; x 2 ]] x 1 ] - ; x 1 ] Ϲ ]- ; x 2 ] Prob[ ] - ; x 1 ] ] Prob [ ]- ;x 2 ]] F(x 1 ) F (x 2 ) avec x 1 x 2 La foctio de répartitio est doc croissate P 5 : La foctio de répartitio caractérise la VA, o a motrée que l étude d ue VA X peut s effectuer soit de l algèbre de boole {Ω, Ƒ, P} soit à partir de la foctio de réactio F(x). Utilisatio de F(x) das le calcul d ue probabilité d itervalle O cosidère deux foctios : F (a) = Prob [X a] = Prob [X (e) ϵ ] - ; a] F (b) = Prob [X b] = Prob [X (e) ϵ ] - ; b] O se place das a < b doc : ] - ; b] = ]- ;a] U ]a, b[ a b R x 2 R ]- ; a] ]a, b[ = Ø Prob[ ]- ; b] ] = Prob[ ]- ; a]] + Prob[ ]a, b[ ] F (b) = F (a) + Prob [ ]a, b] ] Prob [ ] a, b ] ] = F (a) F (b) Prob [ a < X b] = F (b) F (a) Typologie des variatios aléatoires Selo la ature de F(x) et de l esemble de défiitio Ӿ o a des atures différetes de VA : 6

7 - Si Card Ӿ est fii ou ifii déombrable la VA sera dite discrète - Si Card Ӿ est ifii, la Va sera dite cotiu - Si Ӿ est égale à la réuio d u esemble à cardial fii ou déombrable et d u esemble à Cardial ifii, la VA sera dite mixte. II- Variable aléatoires discrète 1- Défiitio Ue VA est dite discrète si ces différetes valeurs possibles sot : - e ombre fii : X = {x 1, x 2,, x } avec x 1 < x 2 < < x i < <x -ou e ifiité déombrable : X{x 1, x 2,,x i,,x, } avec x 1 < x 2 < < x i < < x < 2- Loi de probabilité Elle associe à chacue des valeurs possibles de la VA discrète X la probabilité idividuelle de l évéemet correspodat. Les probabilités correspodates à des poits, e dehors de ces poits la probabilité est ulle. La représetatio graphique est doc le diagramme e bâto. Loi de probabilité : {x, p x } [x i, Prob [X = x] x P x ou Prob[X = x] x 1 P 1 P x x 2 P 2 x P ƩP x = 1 0 x 1 x 2 x 3 x i 3- Foctio de Répartitio Par défiitio la foctio de réactio c est la probabilité d avoir X x F (x) = Prob [X x] x 1 < x 2 < < x i <.< x x x 1 F(x) = 0 x 1 x x 2 F(x) = Prob [ X = x 1 ] = P 1 x 2 x x 3 F(x) = Prob [ X = x 1 ] + Prob [ X = x 2 ]= P 1 + P 2 x i x x i+1 F(x) = Prob [ X = x 1 ] + Prob [ X = x 2 ] Prob[ X = x 2 ] = P 1 + P 2 + +P = 1 La représetatio de la foctio de répartitio s appelle la courbe cumulative. La courbe cumulative est ue foctio e escalier qui présete des sauts pour les valeurs de l esemble de défiitio. x 7

8 E x 1 saut P i = Prob [X = x i ] F(x) x 1 x 2 x 3 0 x 4 x i x x 4- Exemples Ex 1 : Exemple précédat vue au I-3 X = «ombre de face obteu lors des 2 lacés» Ӿ = {0, 1, 2} Loi de probabilité : {x i, P i } ou {x i, Prob [X = x i ]} x i P i 0 ¼ 1 ½ 2 ¼ Foctio de répartitio : F (x) = Prob [x x] Si x < 0 F(x) = 0 0 x 1 F(x) = Prob [X = 0] = 1 1 x 1 F(x) = Prob [X = 0] + Prob [X = 1]= ¼ + ½ = ¾ x 2 F(x) = ¾ + ¼ = 1 ½ ¼ ¾ ½ ¼ x i 1 2 Ex 2 : La variable idicatrice de l évéemet A est ue variable aléatoire qui pred la valeur 1 si A se produit et 0, et 0 si A e se produit pas. X = {0, 1} Prob [X = 0] = q p + q = 1 ½ Prob [X = 1] = p q = 1 p x P i ¼ 0 1-p x i 1 P 1 Ʃ P i = 1 1 x i F(x) = Prob [X x] x < 0 F(x) = 0 0 x < 1 F(x) = Prob [X = 0] = 1 - p x 1 F(x) = Prob [X = 0] + Prob [X = 1] = 1 p + p = 1 ½ 1 x i 8

9 Ex 3 : La variabale certaie Soit X la VA qui associe à tout élémet e de Ω le ombre a et X est appelé VA certaie. X(e) = a : Prob[X(e) = a] = 1 X(e) a : Prob[X(e) a] = 0 III- VA aléatoire absolumet cotiue 1- Défiitio - La VA X est dite absolumet cotiue si so esemble de défiitio est à cardial ifiie et si sa foctio de répartitio (F(X) est cotiue à droite et à gauche doc X sera pourvu d ue dérivé premières à droite et à gauche et gééralemet ces dérivées premières sot égales pour tout x ϵ Ӿ. L esemble de défiitio Ӿ est u itervalle où ue réuio d itervalle avec Ӿ ϵ R - La probabilité attachée à u poit est ulle lorsque la VA X est cotiue e raiso de la cotiuité de la foctio de répartitio : X est cotiu ; Ӿ Ϲ R ; x ϵ Ӿ (a, b) > 0 R x - a x x + b x a Ϲ Ӿ x b Ϲ Ӿ Prob (X (e) ) 0 x ϵ ]x - a, x - b[ Prob [X (e) = x] Prob [X (e) ϵ ]x - a, x - b[ ] = F (x + b) F(x - a) Si a ted vers 0 F(x - a) F(x) cotiue à gauche Si b ted vers 0 F(x + b) F(x) cotiue à droite 0 Prob [X(e) = x] F(x) F(x) = 0 Prob [X(e) = x] = 0 - Probabilité attaché à u itervalle, desité liéaire moyee de probabilité : la probabilité attaché à u itervalle (idifféremmet fermé, ouvert ou semi-ouvert) est égale à la différece des valeurs prises par la foctio de répartitio aux extrémité de l itervalle. Prob [a X b] = F(b) F(a) Prob [a < X < b] = Prob [a X b] = Prob[a < X b] O appel desité liéaire moyee de probabilité sur l itervalle a, b ; la variatio de a, b (Δ a,b ) est le rapport de la probabilité attaché à l itervalle à la logueur de l itervalle F(b) F(a) Δ b-a = b - a - Desité de probabilité e u poit : O appel desité de probabilité ou desité liéaire de probabilité au poit d abscisse X la limite de la desité de probabilité sur l itervalle (X ; X + h) lorsque la logueur h ted vers 0. F(x + h) F(x) F(x) F(x - h) Δ x, x+h = Δ x-h, x = h h Lim Δ x, x+h = f (x + 0) droite à droite h 0 Lim Δ x-h, x = f (x - 0) droite à gauche h 0 9

10 Si f(x + 0) = f (x 0) foctio dérivable au poit x et F (x) = f(x) - Probabilité élémetaire : La probabilité attachée à u itervalle ifiitésimal de logueur dx etourat x appelé probabilité élémetaire est égale au poit de la desité de la probabilité au poit x par la logueur de l itervalle f(x) dx 2- Les propriétés - La desité de probabilité f(x) est à valeur o égative sur l esemble Ӿ sur la variable X : f(x) 0 si x ϵ Ӿ - La desité de probabilité de probabilité est à valeur ul e dehors de l esemble de défiitio : f(x) = 0 si x ϵ Ӿ - So itégrale de probabilité sur l esemble de défiitio X de la VA est égale à 1 : ʃ x f(x)dx = 1 - F(x) = f(x) doc F(x) = ʃ x - f(x) dx Prob [a < X b] = F (b) F(a) = ʃ b - f(x) dx - ʃ a - f(x) dx Prob [a < X b] = ʃ b a f(x) dx 3- Histogramme : courbe cumulative O appel histogramme de la VA X la courbe représetative de sa desité de probabilité f, l aire situé sous l histogramme état égale à 1. La probabilité attachée à l itervalle AB est égale à l aire comprise sous l histogramme etre le segmet [AB] et les deux droites X = a et X = b : Prob [a < X < b] = ʃ b a f(x) dx = ʃ f(x) dx = 1 F(x o ) ʃ xo - f(x)dx Aire = 1 F(x) x a b Courbe cumulative x F(a) F(b) F(x 0 ) x 0 a b x Loi de probabilité d ue VA : {x, f(x)} S écrit : X f(x) = x ϵ Ӿ Ϲ R f(x) = 0 si x ϵ Ӿ 10

11 Chapitre III : Caractéristiques des variables aléatoires à ue dimesio I- Les caractéristiques de tedace cetrale 1- L espérace mathématique a- Défiitio L espérace mathématique de X que l o ote E[X], est la moyee arithmétique des valeurs possible podérée par les probabilités correspodates. Cas des variables aléatoires discrètes : X est ue VA {x, P x } ou {x i, P i } E[X] = Ʃ x. P x = Ʃ x i P i x ϵ Ӿ i = 1 Cas d ue variables aléatoires cotiue : {Ӿ, f(x)} et {Ӿ, F(x)} E[X] = x.f(x) dx Ӿ b- Propriété de l espérace mathématique Elles sot vraies aussi bie das le cas cotiu que das le cas discret. P1 : L espérace d ue variable certaie ou d ue costate est égale à cette costate : E[a] = a avec a costate X = a E[X] = Ʃ x i.p i = a.1 = a E[a] = a P2 : L espérace mathématique est u opérateur liéaire défiie à partir de la somme et d u produit par u scalaire. Rappel : foctio liéaire f (x + y) = f (x) + f (y) f (a.x) = a.f (x) Soiet deux variables aléatoire discrètes X et Y Pour X x i x 1 x P i P 1 P Pour Y Y i Y 1 Y p i P 1 p Alors X+Y X i + y i X 1 +Y 1 X +Y p i P 1 p O veut : E[X + Y] = Ʃ (x i + y i ) P i = Ʃ (x i.p i + y i.p i ) = Ʃ x i.p i + Ʃ y i.p i E [X + Y] = E [X] + E[Y] O peut doc e coclure que : E [X - Y] = E [X] - E[Y] Soit deux variables aléatoires discrètes et a costate avec Y = a. X 11

12 Pour X x i x 1 x P i P 1 P Pour Y= a.x a.x i a.x 1 a.x P i P 1 P E [Y] = E [a.x] = Ʃ y i.p i = Ʃ (a.x i ).P i = a.ʃ x i.p i E [ax] = a.e [X] P3 : La variable cetrée X : VA ; pour cette VA o coaît so espérace E[X] La variable cetrée est la différece etre la VA et l espérace : X E[X] E [X - E[X] ] = E [X]- E [E [X] ] E [X] E [X] = 0 P4 : L espérace d u produit de variable aléatoire est égale aux produits des espéraces si ces deux VA sot idépedates : E [X.Y] = E [X].E [Y] avec X, Y idépedate X, Y sot des VA discrète : E [X.Y] = Ʃ Ʃ x i.y j.p ij i j X et Y sot idépedates : P ij = P i..p.j E [X.Y] = ƩƩ i j P.i P j. x i x j = Ʃ x i P i. Ʃ P.j E [ X.Y] id i j = E [X]. E[Y] P5 : L espérace mathématique d ue moyee de variables aléatoires Soit {X 1, X 2,,X,} des VA suivat ue loi de probabilité (quelcoque) qui aurot la même Espérace mathématique E [X 1 ] = E [X 2 ] = = E [X ] = m O cherche E [ X ] X = X 1 + X X X est ue VA E [ X] = E [ X 1 + X X ] = 1 E [x1 + x 2 + +x ] = 1 [ E [X 1 ] + E [X 2 ] + + E [X ] ] = x m E [ X] = m L espérace de la moyee d ue suite de VA est égale à la moyee de la variable aléatoire X c- Exemples Ex 1 : Variable idicatrice E [X] = Ʃ xp x = 1p + 0 q = p x ϵ Ӿ 12

13 Ex 2 : X «ombres de face» E [X] = Ʃ xp x = 0. ¼ + 1.½ +2.¼ =1 x ϵ Ӿ Ex 3 : Variables aléatoire cotiue f(x) = x pour x ϵ [0, 1] f(x) = 2 x pour tout x ϵ [1, 2] f(x) = 0 pour tout x ϵ [0, 2] E [X] = Ӿ x.f(x) dx = 1 0 x.f(x) dx x.f(x) dx = 1 0 x² dx + 2 1(2 - x) x dx = [ x 3 / 3] [x² - (x 3 ) /3]² 1 = 1 2- Les quatiles O appel quatile d ordre b ou fractile d ue variable aléatoire X dot la foctio cumulative est F, la solutio x p de l équatio F(x.p) = p avec 0 < p < 1 C est doc : Prob [X x.p] = p - La médiae : la médiae d ue variable aléatoire est le quatile d ordre 1/2, o la ote x Mé. Le x Mé est la valeur qui partage la masse de la distributio e deux masses égales, c est-à-dire que la foctio de répartitio de la médiae est égale à ½ Prob [x x Mé ] = ½ t F (x Mé = ½) VA discrète : F(x) x Mé ϵ Ӿ x x i x i + 1 x VA Cotiue : 1 F(x) Itervalle média 0.5 x x Mé ϵ Ӿ - Les quartiles : Les quartiles partage la distributio e quatre masse égales. Q 1 = x ¼ F(x ¼ ) Q 2 = x Mé = 3/4 F(x Mé ) Q 3 = x¾ = ¾ F(x ¾ ) = ¼ x ¼ / Prob [X x ¼] = 1/4 13

14 [Q 1, Q 3 ] est l itervalle iterquartile il reseige sur la répartitio de la distributio. [Q 1, Q 3 ] : Prob [ Q 1 < X Q 3 ] = Les déciles : partaget la distributio e 10 masses égales à 1/10 d i : F(d i ) = 1 10 d 5 : F(d 5 ) = 5 = d 5 = x Mé 3- Le mode Le mode d ue variable aléatoire est la valeur otée x Mo pour laquelle le diagramme e bâto (ou histogramme) présete so maximum. Va discrète : Das le cas discret le mode est u poit de l esemble de défiitio tel que la probabilité attachée à ce poit soit supérieure au deux probabilités adjacetes. x Mo = x k : P k > P k+1 et P k > P k-1 P k P k-1 P k+1 VA cotiue : Lorsque la desité f est ue foctio cotiue est pourvu des dérivés premières et secodes, le mode otée x Mo doe : f (x Mo ) = 0 et f (x Mo ) <0 Le mode sur ue variable cotiue correspod à u poit d iflexio de la courbe cumulative. Ue variable aléatoire est dite uimodale si elle possède u mode uique, c'est-à-dire si elle a pas de mode relatif. O appel mode relatif ue image x Mo pour laquelle le diagramme e bâto ou l histogramme présete u maximum local : x Mo Max globale d ue uimodale Max globale x Mo x x Mo x Mo Max absolu Max local Max globale (Mode relatif) Mode relatifs Cas particulier : x m = x Mo 14

15 II- Caractéristique de dispersio 1- Les momets a- Les momets o cetrés Soit X ue variable aléatoire et k u etier positif, o appel momet o cetré d ordre k de X. k = 0 E [X ] = 1 = m o k = 1 E [X 1 ] = E [X] = m 1 k = 2 E [X 2 ] = m 2 M k [X] = m k = E [X k ] X : VA discrète, {x, p x } {x i, p x } m k = E [X k ] = Ʃ x i k.p i = Ʃp x.x k avec x ϵ Ӿ X : VA cotiue {Ӿ, f(x)} m k = E [X k ] = ʃ i x x k.f(x)dx X k : VA b- Les momets cetrés X est ue variable aléatoire pour laquelle o coaît so espérace X O appel momet cetré d ordre k (avec k positif) l espérace mathématique de [X E [X] ] k X : VA avec E[X] = m μ k [X] = μ k = E[X E[X]] k X : VA discrète μ k = Ʃ (x i E[X] ) k. p i X : VA cotiue μ k = ʃ (x - m) k.f(x)dx avec m = E(x) k = 0 μ 0 = E[X E[X] ] = 0 k = 1 μ 1 = E[X E[X] 1 = 0 k =2 μ 2 = E[X E[X]² ] = V [X] Variable cetrée Relatio etre momets cetrés et momets o cetrés : μ 2 = E[X E[X]² ] = E [ [X²] - 2.E[X] + E[X]² ] = E [X²] - 2.E[X].E[X] + E[X]² = m 2 2m 1 ² + m 1 ² μ 2 = V[X] = m 2 m 1 ² μ 3 = m 3 3m 1 m 2 +2m 1 3 V[X] = E[X²] (E[X] )² E[X²] = m² = ʃ Ӿ x² f(x)dx = ʃ 1 0 x 3 dx + ʃ 2 1 (2 x) x² dx = [ x 4 / 4] [ (2x 3 / 3) (x 4 / 4)] 2 1 = 7/6 V[X] = (7 / 6) 1² = 1/6 c- Momet factoriel Soit X ue VA et k u etier positif, o appel momet factoriel d ordre k : μ [k] [X] = μ [k] = E[X (X -1) (X k +1)] jusqu à k facteurs Les momets factoriels sot surtout utilisés das le cas de VA discrète dot les valeurs possible sot les etiers o égatif {0,1 } 15

16 μ [k] = Ʃ x i (x i - 1) (x i k + 1).p i i = 1 Relatio etre les momets factoriels et les momets o cetrés : μ [1] = E[X] = m μ [2] = E[ X(X 1)] = E[ X² - X] = E[X²] - E[X] = m 2 m 1 μ [3] = E[ X(X 1)(X - 2)] = E[ X(X² - 3X + 2)] = E[ X 3-3X² + 2X)] = m 3 3m 2 + 2m 1 2- La variace Défiitio : m 1 = μ [1] m 2 = μ [2] m 1 = μ [2] + μ [1] m 3 = μ [3] 3μ [2] + μ [1] μ [2] = V[X] = E[X E[X] ]² = m 2 m 1 ² V[X] = σ² [X] La variace mesure la dispersio de la distributio autour de la moyee. Propriété : P1 : X est ue VA avec E [a. X + b] = a. E[X] + b Y = a. X + b V[Y] = E [Y E[Y] ]² = E [(a.x + b) (a. E [X] + b] = E [a.x E [X]]² = E [a.(x E [X] ]² = E [a² (X² - E [X] )² = a² E [X E [X] ]² V[a. X + b] = a² V[X] P2 : Calcul de la variace de la variable cetrée réduite X est ue VA pour laquelle o coaît so espérace E[X] = m et sa variace V[X] = σ² [X] E[X - E[X]] = 0 Y = X E [X] E[Y] = 0 σ [X] V[Y] = V [Y E[Y] ]² = E [X - E[X] 0] σ[x] = 1 V[X E [X] ]² σ = V [X] = 1 V [X] Quad o s itéresse à la variable aléatoire cetrée, so espérace est ulle et sa variace est égale à u Y = X E[X] E[Y] = 0 Σ V[Y] = 1 P3 : Variace d ue somme de VA X, Y : VA ; o coaît E[X], E[Y] et V [X], V[Y] o chercher V [X + Y] O appel Z = X + Y, o coaît E[Z] = E[X] + E[Y] V[Z] = V[X + Y] = E [ (X + Y) - E[X + Y] ]² 16

17 = E[X + Y - E[X] E[Y] ]² = E[ (X - E[X]) + (Y E[Y])]² = E[ (X - E[ X])² + (Y - E[ Y])² + 2(X - E[ X])² (Y - E[ Y])² = E[X - E[ X])² + E[Y - E[Y])²+ 2(X - E[ X]) (Y - E[ Y]) V[X + Y] = V[X] V(Y) + 2 Cov (X,Y) avec Cov (X,Y) = E[(X - E[ X]) (Y - E[Y]² Propriété de la Covariace P1 : Cov (ax, by) = ab Cov (X,Y) P2 : Si X et Y idépedat : Cov(X,Y) = E[(X - E[X]) (Y - E[Y])] = E[XY - E[X] - E[Y] + E[X]E[Y]] = E[XY] - E[X]E[Y] E[Y]E[X] + E[X]E[Y] Cov (X, Y) = E[XY] E[X]E[Y] E[X, Y] id = E[X]. E[Y] Cov (Y + Y) = E[X]. E[Y] E[X]. E[Y] = 0 Cov (X, Y) id = 0 P3 : Cov (Y, X 1 ) avec Y = X 1 + X 2 doc o calcul : Cov(X 1 + X 2, X 1 ) Cov(X 1 +X 2, X 1 ) = Cov(X 1, X 1 ) + Cov(X 2, X 1 ) P4 : La variace réalise le miimum des expressios du type E [X - c]² où c est ue costate. E[X - c]² est ue mesure de dispersio de la distributio autour d u pôle c. E[X - c]² = E[(X - m] + (m - c)]² = E[(X - m)² + (m - X)² + 2(X - m) (m - c)] = E[x - m]² + E[m- X]² + 2 E[(X - m) (m - c)] = V[X] + (m - c)² + 2(m - c) E[X - m] ] = E[X - c]² = V[X] + (m - c)² V c E[X - c]² V[X] E[X - c]² = V[X] m - c = 0 doc c = m P5 : Variace d ue moyee de variable aléatoire idépedate. O a ue suite de variable de X 1, X 2,,X ; elles sot idépedate, elles ot ue loi de probabilité quelcoque par cotre leurs espéraces est la même E[X i ] = m ; V[X i ] = σ ² V [ X] = V [X 1 + X X ] = 1 V [X 1 +X 2 +.+X ] ² = 1 [V(X 1 ) + V(X 2 ) +.+ V(X )] = 1 (σ² + σ² +.+ σ²) = σ² = σ² ² ² ² V [ X] = σ² σ² = V[X] E [ X] = m 2- Ecart absolu moye O appel écart absolu moye d ue VA X par rapport à l espérace mathématique des valeurs absolu des écart X - a. ea[x] = E[ X - a ] ou a = m(oyee) ea[x] = E[ X-m ] ou o a = x mé alors ea[x] = E[ X-x Mé ] 17

18 L écart absolue moye par rapport à la médiae réalise le miimum des caractéristique de dispersio du type E[ X - a ] mi E[ X - a ] E[ X - x Mé ] III- Iégalité de Markov X est ue Va uiquemet à image positive. Prob[X t] E[ X ] avec t > 0 t IV- iégalité de Bieaymé et Tchebicheff O part d ue iégalité de Markov, o cosidère ue VA X avec E[X] = m et o VA Y avec T = (X - m)² = (X - E[X])² 0 Prob [Y t] E[Y] avec t = ε² t Prob[(X - E[X])² ε² E[X - E[X]]² ε² Prob[ X - E[X] ε ] V[X] ε² Prob[ X - E[X] ε ] V[X] ε² V- Foctio géératrice des momets 1- Défiitio Soit X ue VA discrète à valeur possible etière et o égative, o appel foctio géératrice de X otée g x [U] = E[U X ] où u 0. {x, px} g x [U] = Ʃ ux.px 2- Propriété O se place das le cas où 0 u 1 ; das ce cas cette foctio o décroissate de u est cotiue. La série qui la défiie est absolumet et uiformémet covergete e U. 0 u 1 u 1 ux 1x = 1 g x [U] = Ʃ ux.p x Ʃ p x = 1 g x [0] = 0 ; g x [1] = 1 ;. Cette somme est borée doc o peut dériver sous le sige σ : g x [U] = Ʃ px. ux -1 x Ʃ p x.x = E [X] g x [U] = Ʃ (x - 1). x u x-2 p x Ʃ p x. x - 1 = V[2] g (k) x[u] = Ʃ p x. x (x - 1)(x - 2) (x k + 1)u x-k De là o déduit que la foctio géératrice des momets fourie les momets factorielles par ses dérivés e u = 1 g x [1] = E[1] = μ[1] ; g x [2] = E[2] = μ[2] Si o pose u = 1 + v ; v voisi de 1et v voisi de 0 Doc o peu effectuer u développemet au voisiage de 0. 18

19 g x [U] = g x [1 + v] = g x [1] + (v / 1!) g x [1] + (v² / 2!) +. + (v k / k!) gk x [k] g x [U] = g x [1 + v] = 1 + (v / 1!) / μ [1] + (v² / 2!)/ μ[2] + + (v k / k!) / μ [k]+ Le développemet e série de la foctio g x (1 + v) doe comme coefficiet de vk / k! Le momet factoriel d ordre k au voisiage de v = 0. Cette propriété de la foctio géératrice est utilisée pour le calcul des momets factoriels qui à leurs tours permettet de calculer les momets o cetrés puis cetrés. O s e sert aussi pour trouver la loi de probabilité d ue VA coaissat ces momets factorielle. Ex : X {0, 1,2 i } μ[k] = m k avec m costat Détermier la probabilité e X g x [U] = E[U x ] g x [1 + v] =1 + (v / 1!) + (v² / 2!) + + (v k / k!) + μ[1] μ[2] μ[k] = 1 + m (v / 1!) + m² (v² / 2!) + + m k (v k / k!)+ = Ʃ (m.v) k / k! k = 0 Rappel e x = 1 + x + x² x k +. = Ʃ x k 2! k! k=0 1 g x [1 + v] = e mv u = 1 + v doc v = u - 1 g x [1 + v] = g x [U] = e m(u-1) g x [U]= E [U x ] = Ʃ u x P x Ʃu x P x = e m(u-1) g x [U] = e -m. e mu = e - m + (mu / 1!) + ((mu)² / 2!) ((mu) k / k!) = Ʃ m x. (u x / x!) + = Ʃ (e - m m x / x!) u x x = 0 g x [U] = Ʃ ( (e - m.m x ) / x!) u x g x [U] = Ʃ p x ux Px = e -m.m x /x! VI- Les foctios caractéristiques 1- Défiitios Soit X ue VA quelcoque, o appel foctio caractéristique de cette VA, o la ote ph x [t]= E [e itx ] Avec i² = -1 e itx = cos tx + i si tx e itx = 1 La foctio caractéristique est ue foctio de variables complexe. 2- Propriétés P1 : La foctio caractéristique est ue gééralisatio de la foctio géératrice φx[t] = E [e itx ] = Ʃ e itx px discret ʃ e itx f(x) d x φ x [t] = E [(e it ) X ] G x [u] = E [U X ] + VA cotiue P2 : La foctio caractéristique d ue somme de VA aléatoire idépedate X : VA φ x [t] = E[e itx ]] Y : VA φ y [t] = E[e ity ] 19

20 φ x+y [t] = E [e it(x+y) ] = E [e ity + itx ] = E [e itx + e ity ] id = E [e itx ] E [ e ity ] φ X+Y [t] id = φ x [t] φ Y [t] P3 : Foctio caractéristiques d ue forme liéaire de la VA X X : VA et Y = ax+b doc Y : VA φ y [t] = φ ax+b [t] = E[e ity ] = E[e it(ax+b) ] = E[e itax + itb ] =E[e itax. e itb ] = e itb E[e itax ] φ ax+b [t] = e itb φ ax [t] = e itb φ x [at] P4 : Le développemet de la foctio caractéristique selo les puissaces croissate de it doe les momets o cetrées φ [t] = E [e itx ] x : Variable réelle ex = a + (x / 1!) + (x² / 2!) +.+ (x k / k!) +. W variables complexe : ew = a + (w / 1!) + (w² / 2!) +.+ (w k / k!) +. e itx = 1 + (itx / 1!) + ((itx)²/2!) +. + ((itx) k / k!) E[e itx ] = E [ 1 + (it / 1!)x + ( (it)² / 2!)x² +... ( (it) k / k!)x k +... =1 + (it / i) E [X] + ( (it)² / i) E [X²] +...( (it) k / i) E [X k ] φx[t] = 1 +m 1 (it / 1!) + m 2 (it² / 2!) m k (it k / k!) Aisi doc de faço aalogue à foctio géératrice qui fourie par ses dérivés successives e u =1 les momets factorielles la foctio caractéristique fourit les momets o cetrés P5 : La foctio caractéristiques idetifie la VA it X : VA avec {Ω, F,P} Ӿ, F(x) (Px pour X VA discrète et f(x) pour X VA cotiue) X, φx[t] Ex : Référece à l exercice V paragraphe 2 P[X = x] = e -m. (m x / x!) {0 ;1 ;2 ;. ;.} φ x [t] = E[e itx ] = Ʃ e itx p x = Ʃ e itx e -m (m x / x!) = e m [Ʃ ((me it ) x / x!)] Développemet limité e meit φ x [t] = e -m e meit = e m (e it - 1) 3-2 e foctio caractéristique Soit ue VA X ayat ue première foctio caractéristique φx[t] = E[e itx ], o appelle 2 e foctio caractéristique oté ψ x [t] = l(φ x [t]) O l utilise lorsque la foctio caractéristique 1 er se présete sous forme d u produit ou d ue puissace 20

21 VII- Les itégrales eulériees 1- Itégrale eulériee de 2 e espace Itégrale eulériee de deuxième espèce ou foctio gamma Г(a) = ʃ+ 0 e -x x a-1 dx a > 0 Г(a) = ʃ + 0 e -x x a-1 dx a > 0 = (a - 1) Г(a - 1) Les particularités - si : a = Г() = ( - 1) Г( - 1) = ( - 1)( - 2)( - 3). 1 Г(1) Г(1) = ʃ + 0 e -x x 0 dx = ʃ + 0 e -x dx = [-e-x] + 0 = 1 Г() = (-1)! - si - a =.δ Г(.δ) = ( 1 + δ) Г( 1 + δ) = ( 1 + δ) ( 2 + δ) δ Г (δ) Autres formes: Г(a) = ʃ + 0 e -x x a-1 dx a > 0 X = t² dx = 2 t dx Г(a) = ʃ + 0 e -t² t²( a-1 ) 2t dt Г(a) = 2 ʃ + 0 e -t2 2 2a-1 dt Г(7) = ʃ + 0 e -x x 6 dx = 6! Itégrale eulériee de deuxième espèce β : La foctio eulériee de deuxième espèce o la ote β(p,q) = ʃ 1 0 t p-1 (1-t) q-1 dt p,q > 0 Cette relatio etre β(p,q) et Г(a) β(p,q) = Г(p).Г(q) Г(p+q) 21

22 Chapitre IV : Les lois loi de distributio statistiques : Les modèles discrets à ue dimesio I- La loi discrète uiforme 1- Défiitio O appel loi discrète uiforme la loi suivi par la variable aléatoire discrète X dot les valeur possible sot les etiers auquel sot attaché des probabilités égales. Ӿ {1,2,,3,} ; Prob {X = 2 }= 1/ = Px Px Fx 1 y x 1 x 2- Caractéristiques - La foctio géératrice g x [U] = E[U x ] = Ʃ u x p x = u u -1 u-1 μ [k] = (+1)(-1)! (k+1)(-k)! α.k μ [1] = (+1)(-1)! = +1 = E[X] 2(-k)! 2 μ [2] = ²+1 3 μ [k] = (²+1)(-2) 4 maque 3 caractéristiques - Foctio caractéristique φ x [t] = E [eitx] = Ʃ e itx px = Ʃ e itx C x p x q x dx = Ʃ C x (e it p) x q - x dx = (e it p + q) = φ x [t] φ x [t] = (pe it + q) x berouilli φ x [t] = φ B(m,p) (t) = [φ B(1,p) (t)] - Calcul des momets o cetrées d ordres 1 et 3 et de la variace à partir de la foctio caractéristique 22

23 φ x [t] = 1 + m 1 (it) + m 2 (it) ² +. + m k (it) k 1 2 k = (p e it + q) m p e it + q = q + p (1 + it + (it)² (it) k ) 1! 2! k! (p e it + q) = (q + p + it p+ (it)² p (it) k p) 1! 2! k! = (1 + X) Rappel : (1 + X) = 1 + X + ( 1) X² + 2 (a + pe it ) = 1 + ( pit + p (it)² + ) + ( - 1) (pit + p (it)² + )² + 1! 2! 2 1! 2! = 1 + p it + (p + ( - 1) - p²) (it)² + 1! 2! m1 = mp = E [X] m2 = mp + ( 1) p² = p + 1 p 2 + p² V [X] = m 2 m 1 2 = p + 2 p 2 p 2 2 p 2 - Somme de ces deux variables aléatoires X 1 = B ( 1 p 1 ) X 1 + X 2 avec X 1 et X 2 idépedat X 2 = B( 2 p 2 ) P 1 =P 2 = P φ x1 (t) = (pe it +q) 1 φ x2 (t) = (pe it +q) 2 φ x1+ x2 (t)i d = φ x1 (t) φ x2 (t) = (pe it +q) 1 (pe it +q) 2 = (pe it q) = (pe it +q) N N = N caractéristique d ue loi biomiale X 1 + X 2 B ( 1 + 2, p) Ʃ Xi = Ʃ B id (,p) B (Ʃ,p) i = 1 i = 1 x Mo : - Calcul du mode p q < x Mo <p + p Px Mo -1 < Px Mo et Px Mo >Px Mo -1 P x > 1 et P x+1 < 1 P x-1 P x P x+1 = C x+ p x+1 q -x-1 =! = x!( - x)! p = x p C x p x q -x (x + 1)!( x +1)!! q x + 1 q P x+1 = ( x) p < 1 P x x + 1 q P x = ( x+1) p > 1 P x-1 x q ( - k)p < q(x + 1) et ( x + 1)p > xq p xp < qx + q et p xp + p > xq 23

24 p q < qx + px et p + p > xq + xp p+ q < x(p + q) p + p > x(p + q) p q < x et p + p > x p q > x Mo < p + q Si p q = i p q = p q + p q = p + p + = p +p = p q = Loi de probabilité et caractéristique d ue fréquece biomiale Soit X = B (, p) ; E [X] =. p et V [X] =. p. q Jusqu à préset o s est itéressé au ombre X de boule blache prélevé au cours de épreuve idépedate, maiteat o s itéresse à la fréquece relative de cet évéemet. Cette variable représete la proportio des épreuves où l évéemet «obtetio d ue boule blache» s est réalisé, otée : F = X / F obéit à ue loi biomiale d où le om de fréquece biomiale. E[F] = E[X / ] = (1/) E[X] = p / = p V[F] = V[X/] = (1/²)V[X] = (pq)/² = (pq)/ - théorème de berouilli Prob [X - m] ε]σ²/ε² avec m = E[X] X F = X / Prob [ F E [F] ε ] V [F] ε² Prob [ (X / ) - P ε ] (pq / ) ε² pq ε² pq Si ted vers plus l ifiie, la probabilité pour que la fréquece relative d u évéemet s écarte e valeur absolu de p (prob de l évéemet) d ue quatité εalors cette probabilité ted vers 0 ce qui veux dire que la fréquece biomiale ted vers p quad ted vers plus l ifiie IV- Loi de poisso La loi de poisso coviet à la descriptio des évéemets dot les chaces de réalisatio sot faibles. O l appel la loi des faibles probabilité. 1- défiitio O appel variable de poisso de paramètre λ (λ > 0), la VA discrète défiit sur l esemble X etiers des etiers o égatifs par la probabilités suivates : X = P(λ) P[X = x] = e -λ λ x / x! λ>0 χ = {0, 1,., } ƩPx = Ʃ e -λ λ x = e -λ Ʃ λ x = e -λ e λ = 1 x! x! La distributio de poisso est dite symétrique avec étalemet sur la droite, elle ted à deveir symétrique quad λ augmete das ce cas elle se rapproche de ce qu o appel la loi ormale 24

25 2- Caractéristiques a- L espérace E[X] = Ʃx px =Ʃ x e -λ λ x x! =e -λ Ʃ + x=1 λ x = e -λ Ʃ x=1 λ x-1 (x-1)! (x-1)! = λe -λ Ʃ + x=1 λ x-1 = e -λ λ e λ (x-1)! E[x] = λ b- La variace V[X] = E[X²] E[X]² = m 2 - m 1 ² m 2 : E[X²] = Ʃx² px = Ʃx².e -λ λx x! m 1 = e -λ [Ʃ + x=0 x(x-1)λ x + Ʃ + x=0 xλ x ] x! x! = e -λ [Ʃ x=2 λ x + λ Ʃ x=1 λ x ] (x-2) (x-1)! m 2 = e -λ [ Ʃ x=2 ( λ x-2 )λ² + Ʃ x=1 (λ x-1 )λ] (x-2)! (x-1)! = e -λ [λ² Ʃ x=2 ( λ x-2 ) + λ Ʃ x=1 (λ x-1 ) ] (x-2)! (x-1)! m 2 = e -λ [λ²e λ + λe λ ] = λ² + λ V [X] = m 2 - m 1 ² = λ² + λ - λ² = λ V[X] = λ = E[X] c- Le mode Le mode est la valeur de la variable aléatoire pour laquelle la probabilité est assez élevé : Px mo 1 < 1 et (Px Mo + 1 / < 1 Px Mo Px Mo Px Mo 1 = e -λ λ x-1 = x! = x Px Mo (x - 1)! e -λ λ x λ Px Mo +1 = e -λ λ x+1 = x! = λ Px Mo (x+1)! e -λ λ x x+1 x Mo < 1 et λ + 1 < 1 x Mo x Mo < 1 et λ < x Mo +1 x Mo < λ et λ - 1< x Mo λ -1< x Mo < λ Si λ est u etier, il exister 2 valeur modal, λ+1 et λ-1 sio il existe qu ue valeur modal d- La foctio géératrice g x [U] = E[U x ] = Ʃu x px =Ʃ x=0 u x e -λ λ x = e -λ Ʃ (λu) x x! x! g x [U]= e -λ e λx =.. 25

26 Utilisatio de la foctio géératrice pour trouver les momets factorielles - u = 1 + v g x [U] = g x [1 + v] = 1 + μ [1] v / (1!) + +μ [k] v k / k! - u = 1 + v v = u - 1 g x [1 + v] = g x [U] = e λ(u-1) = e λv = 1+ (λv)1! +.+ (λv) k / k! = e λv = 1 + λv1! +. + (λ k v k) / k! Par idetificatio : μ [1] = λ μ [2] =λ² μ [k] =λ k e- La foctio caractéristique φ x [t] = E [e itx ] = Ʃ e itx px = Ʃ e itx e -λ λ x / x! = e -λ Ʃ (e it λ) x / x! = e - λ e λeit φ x [t] = e λ (e it-1 ) Utilisatio de la foctio caractéristique pour prouver les momets o cetrée φ x [t] = 1+ m 1 (it /1!) + m 2 (it)² / 2! + + m k (it) k / k!+... φ x [t] = e λ (eit-1) e it = 1+ it + (it)² + + (it) k ! 2! k! λ(e it - 1) = λ( it + (it)² (it) k +...) 1! 2! k! φ x [t] = e λ(eit-1)d = e y y = λ (e it - 1) φ x [t] = 1 + y + y² + + y k +. 1! 2! k! = 1 + λ (it/ 1! + (it)² +.) + λ² (it + (it)² + )²+. 2! 2! 1! 2! φ x [t] = 1+ λ it + (λ + λ²) (it)² + (λ + λ² 3! + λ 3 ) 1! 2! 2! m 1 = λ m 2 = λ² + λ m 3 = λ + 3λ² + λ 3 V[X] = λ h- Somme de variable de poisso idépedate La somme de 2 VA de poisso idépedate de paramètre respectif λ 1 et λ 2 est ellemême ue variable de poisso de paramètre λ 1 + λ 2 φ x1 [t] = e λ1 (e it - 1) φ x1+ x2 [t] Id = φ x1 [t]. φ x2 [t] = e λ1 (e it - 1). e λ2 (e it - 1) φ x2 [t] = e λ2 (e it - 1) = e (λ1+λ2) (e it - 1) = e λ (e it - 1) 3- Les coditios d applicatios La loi de poisso peut être itroduite comme u cas particulier de la loi biomiale ou o peut la cosidérer comme la résultate d u processus d u résultat particulier, le processus de poisso 26

27 a- approximatio de la loi biomiale par la loi de poisso B (,p) La Loi de poisso est la loi limite de la loi biomiale lorsque das la variable biomiale de paramètre (, ) o a p qui ted vers 0 et qui ted vers + l ifiie, alors (,p) tedra vers λ B(,p) P(λ = p) Démostratio X B (,p) Px = C X p x q -x p + q = 1 p x =! / (x!( - x)!. p x (1 - p) -1 O remplace p h / p x =! / (x /( - x)!. (λ / ) x (1 - (λ / )) -1 p x =λ x / x!. [ ( - 1) ( x + 1)]/ x. (1- λ / ) -x p x =λ x / x!. (1- λ /). /. ( - 1) / ( - 1) ( x + 1) / ( x + 1). 1/ (1 λ /) x p x = λ x / x! (1 - λ / ) p x = λ x /x!. e -λ P(λ) λ = p B(,p) p (λ = p) >50 p<10% b- Le processus de poisso U processus ce rapporte à la d évéemet aléatoire das le temps (ex : pae de machie, les arrivés de bateau das u port, arrivée téléphoique ), ils obéisset à u processus de poisso. O dira qu ue suite idéfiie d évéemet A1, A2. Se réalisat aux date T1,T2. Est u processus de poisso SI les Trois hypothèses suivates se réalises : - le ombre d évéemet qui apparaît etre les dates T et T+h est idépedat du ombre d évéemet qui est apparu etre les dates 0 et T - la probabilité qu u évéemet A qu apparaisset au cours d ue petite période de temps d t est proportioel à la durée de cette période - la probabilité de 2 apparitios successives de cet évéemet sur u même petit itervalle de temps d t est égligeable Das u exercice comme pour les lois précédetes, o doit justifier les hypothèses par rapport à l éocer Ex : arrivée d ue voiture e u poit doé sur ue route L hypothèse 1 est satisfaite si les arrivé de voiture sot idépedate : il y a pas de feu de circulatio das le voisiage et arrivé de voiture loi d ue agglomératio L hypothèse 2 est satisfaite si au cours de la période d observatio le rythme d arrivé des véhicule est costat, la période d observatio est homogèe (mati ou après-midi) L hypothèse 3 exprime qu au cours d u itervalle de temps ifiitésimal la probabilité de plous de 2 véhicules est très petite par rapport à la probabilité d ue seule voiture qui est ellemême petite 27

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