Ondes électromagnétiques dans le vide ou dans un plasma
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- Raymond Roussy
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1 TD 11 Ondes électromagnétiques dans le vide ou dans un plasma Ondes électromagnétiques dans le vide 1. Exemple d onde électromagnétique On s intéresse à la propagation de l onde électromagnétique définie par 1 E(M,t) = E0 exp[i(ωt α(x+y))] 1 dans la base ( u x, u y, u z ), avec 0 E 0, ω et α des constantes positives. 1. Cette onde se propage-t-elle (si oui dans quelle direction) ou bien est-elle stationnaire? 2. Est-elle plane? 3. Donner le vecteur d onde k. 4. Que dire de sa polarisation? 5. Évaluer le champ magnétique B(M,t). 6. Que vaut la densité volumique de charge? 7. Sachant que la densité volumique de courant est de même nulle, en déduire une relation entre α, ω et c, vitesse de la lumière dans le vide. 8. Calculer le vecteur de Poynting moyen. Commenter son expression. 2. OPPM électromagnétique de direction quelconque On étudie une onde électromagnétique dont le champ électrique est donné par : [ ( )] k E = Ex u x +E y u y avec E x = E 0 exp i (2x+2y +z) ωt. 3 L onde se propage dans le vide et sa longueur d onde est λ = m. 1. Calculer la fréquence de l onde. 2. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde? 3. Calculer la valeur numérique de la constante k. 4. Établir l équation cartésienne d un plan d onde. 5. Exprimer E y en fonction de E x. 6. Calculer le champ magnétique B de cette onde. 7. Calculer la densité moyenne d énergie électromagnétique associée à cette onde. 8. Calculer le vecteur de Poynting de cette onde et sa moyenne temporelle. Commenter. 3. Laser : faisceau gaussien Une onde plane étant d extension infinie, elle ne peut représenter de manière réaliste le faisceau d un laser dont la sections est en pratique inférieure au mm 2. Dans un modèle plus réaliste, on considère l onde électromagnétique émise dans le vide par un laser en z = 0. Cette onde se propage selon la direction u z et peut être mise sous la forme suivante, dans la zone z 0 : E(M,t) = E(r,z)exp[i(ωt kz)] ux, avec k = 2π, et en coordonnées cylindriques d axe (Oz) : λ ( iz 0 r 2 ) E(r,z) = E 0 exp ik, z +iz 0 2(z +iz 0 ) où E 0 et z 0 sont des constantes positives (z 0 est appelée distance de Rayleigh). 1. Montrer que le carré du module de E se met sous la forme E(r,z) 2 = A 2 (z)exp ( ), 2r2 w(z) 2 avec w(z) = w 0 1+ z2 z0 2. Déterminer la constante w 0, nommée waist en fonction de z 0 et λ. 2. Montrer que w(z)a(z) = w 0 E Représenter le graphe de w(z) pour z Représenter le graphe du module E(r, z) du champ électrique en fonction de r pour z = 0, puis pour une valeur z 0 fixée. TD 11 - Ondes électromagnétiques dans le vide ou un plasma Lycée Buffon - MP*
2 5. Quelle signification physique peut-on donner à w(z) ainsi qu au waist w 0? 6. Montrer que lorsque z z 0, le faisceau laser a une forme de cône de sommet O et de demi-angle au sommet β, qui sera exprimé en fonction de w 0 et z 0, puis en fonction de w 0 et λ. 7. Calculer β en degrés pour un laser YAG Nd 3+ possédant pour caractéristiques w 0 = 0,50 mm et λ = 1,1 µm, puis pour un laser CO 2 de même waist mais de longueur d onde 10 fois plus grande. Commenter. 8. Que dire du comportement du faisceau laser pour z z 0? 4. Pression de radiation 1. Soit une onde plane, monochromatique, de fréquence ν, se propageant dans la direction et le sens de u x, dont le champ électrique est E = E 0 cos(ωt kx) u y. On rappelle que l éclairement E est la puissance moyenne qui traverse une surface d aire unité perpendiculaire à la direction de propagation. Exprimer E en fonction de ε 0, c et E On considère cette onde comme un faisceau de photons se propageant dans la direction et le sens de u x. (a) Exprimer le nombre N 0 de photons traversant par unité de temps l unité de surface perpendiculaire à(ox) en fonction dee, de ν et de la constante de Planck h. (b) L onde arrive sur une surface plane perpendiculaire à (Ox), d aire S, parfaitement réfléchissante. On étudie le rebondissement des photons sur cette surface. Quelle est la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d un choc photon-paroi? Quelle est la force subie par la paroi en fonction de E, S et c? Exprimer la pression p subie par la paroi en fonction de E et c puis en fonction de ε 0 et E 0. (c) Reprendre la question ci-dessus lorsque la paroi est parfaitement absorbante. (d) Calculer E, E 0 et p sur une paroi totalement absorbante pour un laser ayant un diamètre d = 5,0 mm et une puissance moyenne P = 1, W (laser utilisé industriellement pour la découpe de feuilles). 3. L onde est maintenant absorbée par une sphère de rayon a, bien inférieur au rayon du faisceau. (a) Quelle est, en fonction de E, a et c la force F subie par la sphère? (b) Le Soleil donne au voisinage de la Terre (juste au dessus de l atmosphère terrestre) l éclairement E = 1, W m 2. L émission est isotrope, la distance Terre-Soleil est égale à D = km et sur une surface de dimensions petites devant D, l onde arrivant du Soleil est quasi-plane. Quelle est la puissance P 0 émise par le Soleil? Un objet sphérique, de rayon a, de masse volumique µ, est, dans le vide interplanétaire, à la distance r du Soleil et absorbe totalement le rayonnement solaire. Évaluer le rapport entre la force due à l absorption du rayonnement solaire et la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur cet objet dans les deux cas suivants : cas d une météorite : µ = 3, kg m 3 et a = 1,0 m cas d une poussière interstellaire : µ = 1, kg m 3 et a = 0,10 µm Commenter. On donne la constante de gravitation universelle G = 6, N m 2 kg 2 et la masse du Soleil M S = 2, kg. Ondes électromagnétiques dans un plasma 5. Compléments de cours On considère la propagation d une OPPM transverse dans un plasma, que l on décrit en notation complexe par E(M,t) = E 0 exp(i(ωt k r)). On rappelle la relation de dispersion : k 2 = 1 c 2(ω2 ωp 2). 1. Cas où ω > ω P TD 11 - Ondes électromagnétiques dans le vide ou un plasma Lycée Buffon - MP*
3 (a) À partir des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère, donner la structure de l OPPM électromagnétique dans le plasma, en faisant intervenir la vitesse de phase v ϕ et la direction de propagation u. (b) Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à cette onde, ainsi que la valeur moyenne de la densité volumique d énergie électromagnétique. (c) Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d énergie cinétique des électrons (on prendra une densité particulaire n 0 pour les électrons de masse m e et de charge e) sous l action de l onde. En déduire la densité volumique moyenne d énergie totale, puis la vitesse de propagation de cette énergie. 2. Cas où ω < ω P (a) D après la relation de dispersion, le module d onde est désormais imaginaire pur. Donner son expression dans le cas où la propagation se fait selon la direction u z. Quel signe faut-il choisir pour que l onde obtenue ait un sens physique? Exprimer le vecteur d onde k dans ce cas. Donner l expression du champ électrique résultant et commenter sa forme mathématique. (b) Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à une telle onde. 6. Système GPS et ionosphère Le système de localisation GPS (Global Positioning System est si précis qu il est nécessaire de prendre en compte la dispersion due à la traversée de l ionosphère. L ionosphère, d épaisseur H, est un plasma globalement neutre : il contient des électrons de masse m, de charge e et de densité particulaire n, ainsi que des ions de masse M, de charge +e et de densité particulaire n. On supposera que le plasma est suffisamment dilué pour considérer que ses éléments constitutifs ne sont pas en interaction. 1. On envisage une onde plane progressive monochromatique de la forme E = E 0 exp(i(ωt k r)). Établir la relation de dispersion du plasma, ainsi que l expression de la pulsation de coupure ω P. Pourquoi la nomme-t-on ainsi? 2. On envoie un train d onde depuis un satellite vers la Terre. Donner l expression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe en fonction de la fréquence f de l onde et de la fréquence plasma f P. On suppose que l atmosphère est assimilable à du vide vis-à-vis de l onde enviagée. Calculer le temps τ que le train d onde met pour parcourir la distance D qui sépare le satellite du sol. On supposera que f f P, ce qui permet un développement limité pour simplifier l expression obtenue. 3. Pour prendre en compte la dispersion ionosphérique, on envoie deux trains d onde de fréquences f 1 et f 2 et on mesure l écart t entre leurs temps de parcours. Exprimer t lorsque f 2 > f 1 f P. 4. Montrer que D = cτ d, avec d = f2 1 f2 2 c t f 2 (f2 2 On trouve que d est de f2 1 ). l ordre de quelques mètres. Commenter. 7. Influence du champ magnétique terrestre Un plasma est plongé dans un champ magnétique externe B 0. Une onde électromagnétique plane polarisée rectilignement se propage dans ce plasma dans une direction k perpendiculaire à B La relation de dispersion du plasma est-elle modifiée lorsque le champ E de l onde est parallèle à B 0, ou bien lorsque le champ E de l onde est perpendiculaire à B 0? TD 11 - Ondes électromagnétiques dans le vide ou un plasma Lycée Buffon - MP*
4 2. Dans le cas où la relation est modifiée, on admet qu elle s écrit alors k 2 c 2 = (ω2 ωp 2)2 ωc 2ω2 ω 2 ωp 2, où ω c = eb 0 ω2 c m. Tracer l allure de la fonction k 2 c 2 = f(ω 2 ). En déduire pour quelle gamme de pulsation les ondes peuvent réellement se propager dans le plasma. 3. On envoie verticalement selon (Ox) une onde sur l ionosphère terrestre dont la densité électronique n 0 est supposée ici uniforme. Lorsque l émission de l onde est telle que la direction du champ électrique est parallèle à celle du champ magnétique terrestre B 0 il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d onde émise supérieure à λ 0 = 42,70 m. Lorsque les directions du champ électrique de l onde et de B 0 sont perpendiculaires, l écho se produit pour une longueur d onde supérieure à λ 0 = 38,90 m. (a) Déduire de ces deux mesures le nombre n 0 d électrons par mètre cube de l ionosphère ainsi que la valeur du champ magnétique B 0 qui y règne. (b) Le champ magnétique terrestre décroît en fonction de l altitude suivant la loi ) 3/2 B 0 (x) = B 0 (0) (1+ x2 R 2, où B 0 (0) = 4, T est sa valeur au sol et R = 6360 km le rayon terrestre. Calculer l altitude de la couche réfléchissante. Quel peut être l intérêt de cette propriété? TD 11 - Ondes électromagnétiques dans le vide ou un plasma Lycée Buffon - MP*
5 Éléments de réponse 1. k = α( u x + u y ); B(M,t) = 2 α ω E 0exp[i(ωt α(x+y))] u z ; ω = cα 2 < 1 Π >= E2 0 1 cµ f = Hz, domaine du visible; un plan d onde a pour équation 2x + 2y + z = K 0 ; E y = E x ; B = E x 3c ( u x + u y 4 u z ); < u em >= ε 0 E0 2 ; < Π >= ε 0 ce0 2 u, où u est la direction de propagation. 2z0 k = z0 λ π, A(z) = E 0. β = w 0 = λ. z 0 πω 0 3. w 0 = 1+ z2 z 2 0 Le laser CO 2 diverge 10 fois moins que le laser YAG Nd 3+. Dans le cas z z 0, le faisceau est quasiment cylindrique w(z) w E = 1 2 ε 0cE 2 0 ; N 0 = E hν ; F = N 0 S 2hν c u x = 2E S c u x ; p = 2 E c = ε 0E 2 0. Si la paroi est totalement absorbante p = 1 2 ε 0E 2 0. Pour le laser p = 3, Pa, très faible. Le Soleil émet une puissance P 0 = E4πD 2 = 4, W. On définit α = F abs F gravi : α = 2, pour la météorite, et α = 5,0 pour la poussière E = v ϕ B u, B = 1 v ϕ u E. < Π >= 1 2µ 0 ω E 2 k ; < ut >=< u em > + < u c >= ε 0 2 E 2 ; v e < Π > < u t > = c2 ω k. 2. k = ik u z ; E = E 0 e k z e iωt, il s agit d une onde évanescente; < Π >= k 2 = 1 c 2(ω2 ωp 2) avec ω ne 2 P = ; v ϕ = ω mε 0 k et v g = c 1 f2 P f 2 ;τ = D c ( 1+ H f 2 ) P 2D f 2 ; t = Hf2 P f2 2 f2 1 2cD f1 2. f Il faut E B 0 pour modifier la relation de dispersion. Il faut k 2 pour que la propagation soit possible, soit ω en dehors de l intervalle [ω 1,ω 2 ] avec ω 1 = 1 ( ) ω c + ωc ωP 2 et ω 2 = 1 ( ) ω c + ωc ωP 2. 2πc(λ 2 0 λ 2 0 )) n 0 = 4π2 m e µ 0 e 2 λ 2 0 = 6, m 3 ; B 0 = m e e λ 0 λ2 0 = 4, T ( ) 2/3 B0 On peut mesurer l altitude de la couche ionisée x = R B(0) 300 km. TD 11 - Ondes électromagnétiques dans le vide ou un plasma Lycée Buffon - MP*
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