Chapitre5 : Equations-Inéquations

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1 Chapitre5 : Equations-Inéquations Objectifs : *Savoir développer et factoriser des expressions à l aide de la distributivité et des identités remarquables. * Savoir résoudre des équations du premier degré, de produit nul et quotient. * Savoir résoudre des équations du premier degré et de produit nul et quotient. *Savoir résoudre des équations et des inéquations se ramenant aux deux objectifs précédents. *Utiliser un algorithme de dichotomie Concrètement : * Les équations et inéquations servent à résoudre des problèmes concrets. Nous avons par exemple deux entreprises qui proposent deux salaires différents à leurs commerciaux. L un est de 1200 plus 10% des ventes ; l autre est de 1500 plus 4% des ventes. Savoir lequel est le plus avantageux en fonction des ventes revient à résoudre une inéquation. *Le développement et la factorisation sont des outils pour notamment résoudre des équations et des inéquations. Rappel de 3ème : Dans une entreprise, le bénéfice en euros est donné par : le nombre d objets produits. où x est 1) Vérifier que 2) Résoudre. Que peut on en conclure concernant le Bénéfice de cette entreprise? 3)a) Résoudre b) Faire de même avec c) Comment résoudre? d) Que peut on en conclure concernant le Bénéfice de cette entreprise?

2 I Développement, factorisation Dans chacune des formules suivantes passer de la forme de gauche à celle de droite s appelle développer et passer de la forme de droite à celle de gauche s appelle factoriser. 1) Distributivité et double distributivité : k(a+b) =ka+kb (a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 2)Identités remarquables: (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² (a-b)(a+b)=a²-b² 3) Exemples : Développer f lorsque : Factoriser f lorsque : Exercices : Indice seconde 2009 Bordas 26,28,29,30,31p67+35,36,37,41,44,45,46p68 1à25p66(révision du collège) + 27,32p67+33,34,38,39,40,42,43p68+47,48p69+58,59,60p70 II Equations 1)Premier degré : Rappel : Si l on ajoute (ou l on retranche) un même nombre aux deux membres d une équation, on obtient une équation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul les deux membres d une équation, on obtient une équation équivalente.

3 Exemple1 : La solution de l équation est 2. On peut écrire S={2} Exemple2 : Julia et Mathis ont tous les deux fait un devis auprès de deux agences de transport. Voici les devis : Julia: 10 le kilomètre et 50 de frais d agence Mathis : 7 le kilomètre et 149 de frais d agence L un et l autre vont au final payer la même somme. Combien vont-ils parcourir de kilomètres dans leur voyage? 2) Produit nul : Rappel : Un produit est nul, si et seulement si, l un des facteurs est nul. Autrement dit, Si A B=0 alors A=0 ou B=0. Plus généralement, Si A B C=0 alors A=0 ou B=0 ou C=0 et ainsi de suite. Exemple 1: Les solutions de l équations sont. On peut écrire S={ ; } Exemple 2: voir l exemple du rappel

4 3)Quotient : Exemple : 2-6x=0 et 3x-2 (car le dénominateur ne peut pas être égal à 0). 4)Autres équations : On se ramène alors à l un des deux types d équations vues précédemment lorsque cela est possible sinon on ne peut pas pour l instant les résoudre. Exemple 1: Exemple 2: voir l exemple du rappel Exercices : Indice seconde 2009 Bordas 2,3,4,5,6,10p115+17,18,20,24p115+53,58p120 1,7,8,9,11,12,13,14,15p115+16,19,21,22,23,25,26p115+51p118 III Résolution algébrique d inéquation i. Inéquation du premier degré Rappel : Si l on ajoute (ou l on retranche) un même nombre aux deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul positif les deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul négatif les deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente en changeant le signe de l inégalité.

5 Exemples1 : Les solutions de l équations sont tous les nombres plus grand que. On peut écrire S=. Les solutions de l équations sont tous les nombres plus petit que On peut écrire S Exemple2 : Julia et Mathis ont tous les deux fait un devis auprès de deux agences de transport. Voici les devis : Julia: 10 le kilomètre et 50 de frais d agence Mathis : 7 le kilomètre et 149 de frais d agence Quel est le devis le plus intéressant en fonction du nombre de kilomètres? ii. Inéquation produit Exemple1 : 0 Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux facteurs. On en déduit que pour x. Les solutions sont donc tous les nombres de l intervalle Exemple 2: voir l exemple du rappel

6 iii. Inéquation quotient Exemple : Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux expressions. La double-barre dans le tableau signifie que le quotient n est pas défini pour x 2 6 x =. On en déduit que 0 3x 2 pour. On peut écrire : Exercices : Indice seconde 2009 Bordas 31,32,33,35,36,39p116+41,43,46,47p117 30,34,37,38p116+40,42,44,45.1.,48,49,50p117+52p118+79p123 IV Dichotomie

7 Exercices : Indice seconde 2009 Bordas 29p116+TP2p126 27,28p ,50,53p69+54,55p120

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