CALCUL LITTÉRAL ET PRODUIT NUL

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1 CALCUL LITTÉRAL ET PRODUIT NUL Ce chapitre va compléter ce qui a été fait en 4ème avec le calcul littéral. La dernière partie du chapitre fait appel à la résolution d'équations du 1er vue en 4ème. I/ Développer et réduire une expression littérale 1) Définitions et premiers exemples Définition du développement: Développer, c'est transformer un produit de facteur en une somme (ou une différence) de termes Remarque: Pour développer on utilise souvent les propriétés de simple et double distributivité vues en 4ème Exercice «type» de développement utilisant la distributivité A= x 3 x 2 B= 5x 3 2 x 4 A= x 3 x 2 Pour développer l'expression A on utilise la simple distributivité: B= 5 x 3 2 x 4 A=21 x 2 14 x a b c =a b a c B=10 x 2 20 x 6 x 12 Pour développer l'expression B on utilise la double distributivité: a b c d =a c a d b c b d Définition de la réduction: Réduire, c'est écrire une somme (ou une différence) avec le moins de termes possibles Remarque: Réduire revient en fait à «regrouper» les termes semblables (les x avec les x, les x² avec les x², les nombres avec les nombres) afin de «simplifier» l'écriture d'une expression littérale. Réduire l'expression suivante: C=8 x 2 3 x 9 5 x 2 x C=8 x 2 5 x 2 3 x x 9 C=13 x 2 4 x 2 Exercice «type» de réduction d'une somme de termes Ici on rassemble chaque «famille». Il est habituel d'écrire les plus grandes puissances de x en premier et de finir par les nombres «sans x». IMPORTANT: On commence à réduire une expression littérale uniquement lorsque tous les développements ont été faits. Exercice «type» de développement et réduction d'une expression littérale Développer puis déduire l'expression suivante: D= x 3 6 x 8 9 x 4 x 5 D= x 3 6 x 8 9 x 4 x 5 On commence par faire apparaître les multiplications afin de déterminer les produits Calcul littéral Cours Page 1 sur 6

2 D= x 3 6 x 8 [ 9 x 4 x 5 ] D=42 x 2 56 x 18 x 24 [ 9 x 2 45 x 4 x 20] D=42 x 2 56 x 18 x 24 9 x 2 45 x 4 x 20 D=33 x x 4 Le deuxième produit étant précédé du signe «-», on le met entre crochets afin de ne pas faire d'erreur de signe Une fois les développements faits et les crochets défaits (en faisant bien attention aux signes!), on réduit l'expression obtenue 2) Les identités remarquables a) Développer le carré d'une somme Propriété: Carré d'une somme Soit A et B deux expressions, on a alors: A B 2 =A 2 2 A B B 2 Remarque: La propriété se démontre en remarquant que: distributivité A B 2 = A B A B, on utilise alors la double Exercice «type» de développement du carré d'une somme E= 4 x 5 2 E= 4 x x E=16 x 2 40 x 25 On reconnaît le carré d'une somme: c'est le carré de la somme de 4x et de 5 On remplace donc A par 4x et B par 5 dans la formule précédente F= 3 x 2 F= x x 2 F=9 42 x 49 x 2 On reconnaît le carré d'une somme: c'est le carré de la somme de 3 et de x On remplace donc A par 3 et B par x dans la formule précédente b) Développer le carré d'une différence Propriété: Carré d'une différence Soit A et B deux expressions, on a alors: AB 2 =A 2 2 A B B 2 Remarque: La propriété se démontre en remarquant que: distributivité AB 2 = Ab AB, on utilise alors la double Exercice «type» de développement du carré d'une différence G= 2 x1 2 G= 2 x x G=4 x 2 4 x 1 On reconnaît le carré d'une différence: c'est le carré de la différence de 2x et de 1 On remplace donc A par 2x et B par 1 dans la formule précédente H= 93 x 2 H= x 3 x 2 H=8154 x 9 x 2 On reconnaît le carré d'une différence: c'est le carré de la différence de 9 et de 3x On remplace donc A par 9 et B par 3x dans la formule précédente Calcul littéral Cours Page 2 sur 6

3 c) Développer le produit d'une somme par une différence de deux termes Propriété: Produit d'une somme par une différence de deux termes Soit A et B deux expressions, on a alors: A B AB =A 2 B 2 Remarque: La propriété se démontre en utilisant la double distributivité Exercice «type» de développement du produit d'une somme par une différence de deux termes I= x 8 x8 I= x I=x 2 64 On reconnaît le produit d'une somme par une différence On remplace donc A par x et B par 8 dans la formule précédente J= x4 x 4 J= x J=49 x 2 16 On reconnaît le produit d'une somme par une différence On remplace donc A par x et B par 8 dans la formule précédente Remarque: Il est important de connaître par coeur ces trois identités remarquables, elles permettent en effet de «gagner du temps» dans un développement. II/ Factoriser une expression littérale 1) Définition Définition de la factorisation: Factoriser, c'est transformer une somme (ou une différence) de termes en un produit de facteurs Remarque: Factoriser est le «contraire» de développer. C'est pourquoi on va utiliser les mêmes formules que pour le développement, mais en les lisant en «sens inverse»! 2) Factoriser lorsqu'il a un facteur commun La factorisation d'une expression littérale dans laquelle il y a un facteur commun a été vue en classe de 4ème. Elle repose en fait sur la propriété de simple distributivité. Dans la pratique, on commence par faire apparaître clairement les multiplications afin de repérer les facteurs. On recherche alors s'il y a un facteur commun à chaque terme de la somme. Remarque: Un facteur commun peut être un nombre (par exemple 2; -4...), une lettre (par exemple x...) ou une expression littérale (par exemple 3x + 1; x 1...) Exercice «type» de factorisation avec un facteur commun Factoriser les expressions suivantes: K=12 x 2 8 x 6 K=2 6 x x 2 3 K=2 6 x 2 4 x 3 K=2 6 x 2 4 x 3 On remarque que tous les nombres sont pairs. On peut donc penser à faire apparaître 2 comme facteur dans chaque terme Ensuite, on place 2 «en facteur» et on ré écrit le reste de l'expression entre parenthèses Calcul littéral Cours Page 3 sur 6

4 L=9 x 2 6 x L=3 x 3 x 2 3 x L=3 x 3 x 2 L=3 x 3 x 2 On remarque que x apparaît dans les 2 termes, et que tous les nombres sont multiples de 3. On peut donc penser à faire apparaître 3x comme facteur dans chaque terme Ensuite, on place 3x «en facteur» et on ré écrit le reste de l'expression entre parenthèses EXERCICE «TYPE BREVET» Factoriser l'expression suivante puis réduire le deuxième facteur M= x 3 5 x4 9 x 2 x 3 On remarque que(x + 3) apparaît dans les deux termes. M= x 3 5 x 4 9 x 2 x 3 On doit donc penser à faire apparaître (x + 3) comme facteur dans chaque terme On place (x + 3) «en facteur» et on ré écrit le reste de l'expression entre parenthèses M= x 3 5 x 4 9 x 2 Pour réduire le second facteur, on doit commencer par enlever «petites» les parenthèses: M= x 3 5 x 4 9 x 2 ATTENTION AU SIGNE SI IL Y A «-» M= x 3 14 x 2 3) Factorisation lorsqu'il n'y a pas de facteur commun Pour factoriser une expression littérale dans laquelle il n'y a pas de facteur commun que l'on peut faire apparaître, il va falloir utiliser les identités remarquables. Dans la pratique, on va «transformer» l'expression littérale de façon à ce qu'elle «ressemble» à la forme développer d'une identité remarquable, puis on utilisera cette identité «à l'envers»! Exercice «type» de factorisation sans facteur commun Factoriser les expressions suivantes: O=25 x 2 20 x 4 O= 5 x x O= 5 x 2 2 Comme il y a trois termes et que des «+», on a pas le choix, c'est forcément le carré d'une somme P=81 x x 2 P=81 x 2 18 x 2 1 P= 9 x x P= 9 x 1 2 Comme il y a trois termes avec un «-», on a pas le choix, c'est forcément le carré d'une différence Q=49 16 x 2 Q= 2 4 x 2 Q= 4 x 4 x Comme il n'y a que 2 termes, on a pas le choix, c'est forcément le produit d'une somme et d'une différence EXERCICE «TYPE BREVET» Factoriser l'expression suivante puis réduire les facteurs R= x R= x R= x 5 8 x 5 8 R= x 3 x 13 Comme il n'y a que 2 termes, on a pas le choix, c'est forcément le produit d'une somme et d'une différence Calcul littéral Cours Page 4 sur 6

5 III/ Expressions littérales égales Toutes les formes d'une même expression littérale (forme de départ, forme factorisée, forme développée, forme réduite...) sont égales: si on remplace x par n'importe quelle valeur dans chacune des expressions, on trouvera le même résultat. Dans la pratique, il faudra être attentif à choisir la forme la mieux adaptée afin de répondre le plus simplement possible à la question posée (avec le moins de calcul possible!) Exercice illustrant l'égalité d'écritures différentes d'une même expression littérale Soit S = 5x(3x 2) (3x 2). 1) Développer puis réduire S, factoriser S. 2) Remplacer x par 2 dans chaque expression trouvée. Que remarque-t-on? 1) S=5 x 3 x 2 3 x 2 S=5 x 3 x 2 3 x2 1 S=15 x 2 10 x 3 x2 S= 3x 2 5 x 1 FORME FACTORISEE S=15 x 2 10 x 3 x 2 S=15 x 2 13 x 2 FORME DEVELOPPEE REDUITE 2) Forme de départ Forme développée réduite Forme factorisée Pour x = 2 S= S= S= S=40 4 S=36 Pour x = 2, S=36 Pour x = 2 S= S= S= S=34 2 S=36 Pour x = 2, S=36 Pour x = 2 S= S= S=4 9 S=36 Pour x = 2, S=36 On remarque que l'on trouve la même valeur lorsque l'on remplace x par 2 dans les 3 expressions. Cela aurait aussi été le cas pour n'importe quelle valeur de x. Remarque: Très souvent, on utilise la forme factorisée quand il faut remplacer x par une fraction. Le forme de départ n'est que très rarement la plus adaptée: elle fait intervenir trop de calculs. IV/ Les équations produit Propriété: Règle du Produit Nul: Si un produit de facteur est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. C'est-à-dire: Si A B=0, alors A=0 ou B=0 Définition d'une équation produit: On appelle équation produit, toute équation du type ax b cx d =0 Remarque: La forme factorisée d'une expression littérale va nous permettre de résoudre des équations produit. Calcul littéral Cours Page 5 sur 6

6 Exercice «type» de résolution d'une équation produit Résoudre l'équation (6x 3)(x + 2) = 0 D'après la règle du produit nul, on a: 6 x 3=0 ou x 2=0 6 x=3 ou x=2 x= 3 6 x= 1 2 ou ou x= 2 x= 2 On résout deux équations du 1er degré Les solutions de l'équation 6 x 3 x 2 =0 sont x= 1 2 et x= 2 ATTENTION aux mots: on place un «ou» entre les deux équations que l'on résout et un «et» dans la phrase de conclusion (car les deux valeurs sont solutions) Remarque: Une équation produit a, en général, deux solutions. EXERCICE «TYPE BREVET» SUR L'ENSEMBLE DU CHAPITRE On considère l'expression T = (x 3)(5x + 8) (x 3)² 1) Développer puis réduire T 2) Factoriser T, on réduira le deuxième facteur 3) Que vaut T lorsque x vaut 3 4) Résoudre T = 0 1) T= x 3 5 x 8 [ x 3 2 ] T=35 x 2 56 x 15 x 24 [ x 2 2 x ] T=35 x 2 56 x 15 x 24 [ 49 x 2 42 x 9] T=35 x 2 56 x 15 x x 2 42 x 9 T=14 x 2 83 x33 3) Pour x = 3, on a: T= T= T vaut 0 lorsque x vaut 11 T= T=0 3 2) T= x 3 5 x 8 x 3 x 3 T= x 3 5 x 8 x 3 T= x 3 5 x 8 x 3 T= x 3 2 x 11 4) D'après la règle du produit nul, on a: x 3=0 ou 2 x 11=0 x=3 ou 2 x=11 x= 3 ou x= 11 2 Les solutions de l'équation T = 0 sont x= 3 et x= 11 2 Calcul littéral Cours Page 6 sur 6

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