Devoir Surveillé n 1 MATHÉMATIQUES. SÉRIE ES (enseignement obligatoire) SÉRIE L (enseignement de spécialité) Durée de l épreuve : 2 heures.

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1 Devoir Surveillé n 1 LYCÉE MATHÉMATIQUES SÉRIE ES (enseignement obligatoire) SÉRIE L (enseignement de spécialité) Durée de l épreuve : 2 heures L utilisation d une calculatrice est autorisée Le sujet comporte 4 exercices, tous indépendants La présentation et la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation

2 Exercice 1 : 5 points Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d épargne sur lequel elle dépose 6000 euros Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu à atteindre le plafond autorisé de euros On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25 % par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année Première partie 1 Calculer le montant des intérêts pour l année 2014 et montrer que Monica disposera d un montant de euros sur son livret le premier janvier 2015 M n 2 On note le montant en euros disponible sur le livret le 1er janvier de l an 2014+n On a donc M 0 = 6000 et M 1 = 7035 Montrer que pour tout entier naturel n : M n+1 = 1,0225M n Deuxième partie Monica souhaite savoir en quelle année le montant du livret atteindra le plafond autorisé 1- Première méthode : On considère la suite G définie pour tout entier naturel n, par G n = M n a) Montrer que la suite G est une suite géométrique de raison 1,0225 On précisera le premier terme b) Donner l expression de G n en fonction de n En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : M n = ,0225 n c) En déduire, avec la calculatrice, l année à partir de laquelle le plafond de euros sera atteint 2- Deuxième méthode : L algorithme ci-dessous permet de déterminer l année à partir de laquelle le plafond sera atteint : a) Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu il détermine l année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de euros et des versements annuels de euros Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées b) Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l algorithme affiche également à l écran le montant disponible au premier janvier de chaque année

3 Exercice 2 : 5 points En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents Chacune des années suivantes on a constaté que : 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ; 20 nouvelles personnes s inscrivaient au club On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans Partie A : On donne l algorithme suivant : 1 Pour la valeur n = 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme? 2 Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur n = 2 saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme Partie B : 1- On considère la suite a définie par a 0 = 80 et, pour entier naturel n, a n+1 = 0,9a n + 20 Pour tout entier naturel n, on pose : b n = a n 200 a) Démontrer que b est une suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme b) Exprimer en fonction de n b n 2- En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : a n = ,9 n 3- Quelle est la limite de la suite a? Justifier Partie C : 1- L objectif du président du club est d atteindre au moins 180 adhérents Cet objectif est-il réalisable? Justifier la réponse 2- Même question si l objectif du président est d atteindre au moins 300 adhérents

4 Exercice 3 : 4 points La production de perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française En 2011, le montant réalisé à l exportation des produits perliers était égal à milliers d euros Chaque année, depuis 2011, ce montant réalisé à l exportation diminue de 8% En modélisant ce problème à l aide d une suite, calculer le montant cumulé des produits perliers que l on peut prévoir entre l année 2011 (comprise) et l année 2020 (comprise) Exercice 4 : 6 points On considère la fonction f définie par f : x! x2 + 2x +1 x 1 1- Déterminer l ensemble de définition de la fonction f 2- On note f la fonction dérivée de f Montrer que f vérifie l égalité suivante : f '(x) = x2 2x 3 x 1 ( ) 2 3- a) Établir le tableau de signe de la fonction f sur son ensemble de définition b) Dresser le tableau de variation de la fonction f On indiquera la valeur exacte des deux extremums locaux de cette fonction 4- a) Résoudre l équation f(x) = 0 b) Déduire de l ensemble des questions précédentes le tableau de signe de la fonction f

5 DS1 TES-L Exercice 1 : Première partie 1- Le montant des intérêts pour l année 2014 est égal à ,25 euros Au premier janvier 2015, Monica disposera alors de = Pour tout entier naturel n : M n+1 = M n 1+ 2, = 1,0225M n Deuxième partie 1- Première méthode : a) Pour tout entier naturel n : 100 = 135 euros ( ) ( ) G n+1 = M n = 1,0225M n G n+1 = 1,0225M n = 1,0225 M n Donc G est une suite géométrique de raison 1,0225 Son premier terme est G 0 = M = G n+1 = 1,0225G n b) On en déduit que pour tout entier naturel n : Et M n = G n = ,0225 n G n = ,0225 n c) À l aide de la calculatrice, on lit M 11! et M 12! Ainsi au 1er janvier 2026, le plafond du livret est atteint 2- Deuxième méthode : a) Ligne 4 -> «Affecter à MONTANT la valeur 5000» Ligne 8 -> «Affecter à MONTANT la valeur 1,0225 x MONTANT » b) On ajoute entre les lignes 9 et 10 la ligne suivante : «Afficher à l écran MONTANT» Exercice 2 : Partie A : 1- Pour n = 2 saisie, la valeur affichée à la sortie de l algorithme est 102,8 En effet, la variable X prend successivement les valeurs suivantes : Initialement ; Pour i=1, ; Pour i=n=2, X = 80 X = 0, = 92 X = 0, = 102,8 2 On en déduit que le nombre d adhérents au club en 2007 est d environ 103 En effet, en notant a n le nombre d adhérents au club en 2005+n, la suite a ainsi définie vérifie pour tout entier naturel n : a n+1 = 0,9a n + 20 et a 0 = 80 Et l algorithme donne a 2 = 102,8 Partie B : 1- a) Pour tout entier naturel n : b n+1 = a n = 0,9 a n + 20 On en déduit que la suite b est une suite géométrique de raison 0,9 Son premier terme est b 0 = a = 120 0,25 pt b) On en déduit que pour tout entier naturel n : b n = 120 0,9 n ( ) 200 = 0,9a n 180 = 0,9( a n 200) = 0,9b n 0,25 pt 2- Pour tout entier naturel n, on a : a n = b n = ,9 n 0,75 pt 3- La suite b est une suite géométrique de raison 0,9 Comme 0<0,9<1, sa limite est 0 Par conséquent, comme a n = b n + 200, la limite de la suite a est égale à 200

6 0,75 pt Partie C : 1- On a vu que la limite de la suite a est égale à 200 D autre part: - la suite a est strictement croissante car pour tout entier naturel n, on a : ( ) ( ,9 ) n = 120 0,9 n ( 1 0,9) > 0 a n+1 a n = ,9 n+1 - le premier terme de la suite est a 0 = 80 Ainsi l objectif d atteindre au moins 180 adhérents sera réalisé car 80 < 180 < 200 À l aide de la calculatrice, on lit que cet objectif sera atteint après 17 années 2-En revanche, l objectif d atteindre au moins 300 adhérents ne sera jamais réalisé car le nombre d adhérents, bien qu il augmente, de dépassera jamais 200 Exercice 3 : Soit le montant (en milliers d euros) réalisé à l exportation en n u n On a alors u 0 = et pour tout entier naturel n : u n+1 = u = 0,92u n n On en déduit que la suite u est géométrique de raison 0,92 et de premier terme Le montant cumulé (en milliers d euros), réalisé à l exportation des produits perliers, que l on peut prévoir entre l année 2011 et l année 2020 est égal à : S = u 0 + u u 9 S la somme des 10 premiers de la suite géométrique u d où : S = Ainsi, on peut prévoir un montant cumulé de euros Exercice 4 : 1- La fonction f est définie pour tout réel x tel que x 1 0 Ainsi 1 0, ,92! ,860 D f = ;1 1;+ 2- On note f = u où v u(x) = x 2 + 2x +1 u'(x) = 2x + 2 v(x) = x 1 v'(x) = 1 u'v uv' On a alors d où f '(x) = (2x + 2)(x 1) (x2 + 2x +1) f ' = v 2 x 1 3-a) Étudions le signe du trinôme x 2 2x 3 : le discriminant est Δ = ( 2) ( 3) = 16 > 0 Comme x 1 pour tout x, on en déduit : Le trinôme s annule deux fois, en : x et x 2 = D autre part a = 1 > 0 2 = 3 1 = = 1 ( ) 2 > 0 b) Voici le tableau de variation : 4- a) f(x) = 0 pour x 2 + 2x +1 = 0 et x 1 0 (x +1) 2 = 0 x = 1 Ainsi l ensemble des solutions est x 1 S = { 1} = x ( ) 2 ( x 1) 2 x f (x) f b) x 2 2x f (x) ,5 pts +