applications et compléments : nappes de courant et discontinuité de B calcul des coefficients L et M; calcul de moments magnétiques

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1 applcaton et complément : nappe de couant et dcontnuté de calcul de coeffcent L et M; calcul de moment magnétque (on touea c le pncpau éultat de calcul déeloppé en cou et en taau dgé) 1. denté de couant ufacque j S pou une dtbuton en "nappe" d'épaeu e tè fable : di = j.edln = ( je).dln = j.dln donc j = ρe = σ et = j.d n l dl e n eemple : en aute féquence, la denté de couant décot eponentellement à pat de la uface z=0 d'un z / a conducteu j = j e u aec a<< le couant taeant la ecton l 'éca : z= = z / a j0e dz z= 0 o l = la(1 e ) j al on poua donc poe / a j0 0 j = j0a u dcontnuté du camp à la taeée d'une nappe de couant.1 nappe de couant plane nfne on condèe la nappe de couant uante : j = j u aec j = cte étude de méte : naance de ( j ) pa tanlaton uant O et O et A ne dépendent que de z plan de méte de ( j ) : tout plan // () poté pa u, A // () plan d'antméte de ( j ) : tout plan // () // (), A poté pa u l en découle que = (z) u et A = A (z) u de plu le plan (O) et plan de méte pou ( j ) donc d'antméte pou ot : (z) = (z) et pa conéquent (0) = 0 applcaton du téoême d'ampèe : j (z > j j O O (z < 0) 0) d l z penon un contou ectangulae oenté comme c-deu : µ 0 j µ 0 j (z) ( z) = µ 0 j ou (z > 0) = et (z < 0) = on éfe que ce éultat ont contenu dan une epeon plu généale qu tadut la dcontnuté du camp magnétque à la taeée d'une nappe de couant épaant deu mleu: 1 = µ 0 j n1 j n1 1 1

2 ecece d'un potentel ecteu : A à pat de = ota, et A = A (z) u, l ent : (z) = on en dédut : z µ 0 j µ j 0 A (z 0) = z A (z 0) = z en coant A (0) = 0 et on a ben d A = 0 A (z) (z) emaque : pou un camp unfome on monte que 1 A =. nappe de couant clndque nfne on utle la métode déeloppée c-deu pou obten le éultat uant : l' étude de méte condut à : = () et A = Aθ() uθ z u z le téoême d'ampèe applqué à contou ectangulae etéeu, pu ntéeu condut à : j un et unfome, et nt unfome le téoême d'ampèe applqué à un contou ectangulae à ceal u la nappe donne : nt et = µ 0 ju z et en penant et =0 (obeaton d'un olénoïde long, ou ca lmte d'un toe dont le aon tend e l'nfn) on obtent enfn : nt = µ 0 ju z (ce camp éfe encoe la elaton de dcontnuté = µ j n ) nt et 0 et nt ecece d'un potentel ecteu : on peut utle la elaton ntégale : A.dl =.d applquée à de contou cculae d'ae : (en gé : ecton de la nappe clndque) aec A = Aθ() uθ la cculaton 'éct A = π.d l Aθ ().d = µ 0 j π² pou le contou ntéeu,.d = µ 0 j πa² pou le contou etéeu µ j on en dédut : A ( a) 0 µ j a² θ = et A ( a) 0 θ = j j

3 d'où le gape : z () A θ () a a 3.calcul de coeffcent L et M 3.1 coeffcent d'auto-nducton condéon un ccut femé, pacouu pa un couant I, et céant un camp magnétque ; l'ntenté de ce camp et popotonnelle à I, et donc le flu de à tae le ccut également. On peut donc poe Φ = LI où Φ et le "flu pope" du ccut (flu cée pa le ccut à tae lu-même ). L et le coeffcent d'auto-nducton (ou nductance) en Hen. Le en de, et le en de la nomale à la uface du ccut étant le même (mpoé pa le en du couant), L et toujou potf. Pou calcule un coeffcent d'auto-nducton, on commence pa calcule le camp, on flu à tae une pe, pu à tae toute le pe, et on en dédut L. le couant ae au cou du temp, l appaaît une foce électomotce d'auto-nducton Φ e = = L (lo de Faada-Lenz) e=-ld/dt céma équalent : en égme nuoïdal, on défnt l'mpédance complee z L = jlω. e=-ld/dt I n u = z L ce qu pemet d'utle le téoême généau pou le dpole lnéae en epéentaton complee. 3. coeffcent d'nducton mutuelle oent deu ccut pacouu pa de couant I 1 et I, placé de façon telle qu'une pate eulement de lgne du camp céé pa un ccut, taee l'aute ccut. appelon Φ 1 le flu enoé pa le ccut 1 pacouu pa I 1 à tae le ccut, et Φ 1 le flu enoé pa le ccut pacouu pa I à tae le ccut 1 On poe : Φ 1 = M1I1 et Φ1 = M1I et on monte que M1 = M1 = M 1 contaement à L, le coeffcent M peut ête négatf, puque le gne de flu dépend du en de couant qu oentent le ccut. I 1 I n 3

4 on montea pa alleu que M² L 1 L où L 1 et L ont le nductance pope de deu ccut le flu total à tae le ccut 1 'éct : Φ 1 = Φ11 + Φ1 = L 1I1 + M1I le flu total à tae le ccut 'éct : Φ = Φ + Φ1 = L I + M1I1 et en égme aable (pénomène d'nducton) : Φ1 1 = = L1 M et e1 e Φ = = L 1 M on ot donc que le calcul de coeffcent L et M e amènent à de calcul de flu. 4. calcul de moment magnétque ce gandeu, utlée dan le calcul de acton (foce éultante et moment éultant) u un dpole magnétque placé dan un camp etéeu, ont défne pa le elaton uante : 4.1 pe (ou de manèe généale ccut femé) pacouu pa le couant : M = S en A.m - M 4. dtbuton de couant, décompoable en ccut élémentae pacouu pa le couant d: M = Sd M eemple : dque ou pèe cagée en otaton, modèle du pn d'une patcule élémentae (o TD) 3.3 epeon généale : pou de couant olumque : 1 M = jdτ 4

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