THESE. présentée. pour obtenir LE TITRE DE DOCTEUR DE L INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE

Transcription

1 No d ordre 48 THESE préentée pour obtenir LE TITRE DE DOCTEUR DE L INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE École doctorale : Science de l Univer, Epace, Environnement Spécialité : Modéliation en hydrologie et hydrogéologie par : Ahmad AL BITAR Titre de la thèe Modéliation de écoulement en milieu poreux hétérogène D / 3D, avec couplage urface / outerrain et denitaire Soutenue le lundi 4 juin 007 devant le jury compoé de : M. Philippe RENARD Profeeur, CHYN Neuchâtel Préident, Rapporteur MM. Rachid ABABOU Profeeur, IMFT Touloue Directeur de thèe Claudio PANICONI Profeeur, INRS-ETE Québec Rapporteur Philippe ACKERER Profeeur, IMFS Strabourg Rapporteur Javier ELORZA Profeeur, ETSI Mina - Madrid Membre Manuel MARCOUX Maître de Conf., IMFT Touloue Membre Bernard CAUSSADE DR Honoraire CNRS Invité Gérard DEDIEU Ing. CNES, CESBIO Touloue Invité Jean-Michel TANGUY Ing.-Chef P.C, Dir. SCHAPI Touloue Invité

2 i Réumé Dan ce travail, on conidère la modéliation de écoulement dan de hydro-ytème comprenant de ol et de aquifère géologiquement complexe et hétérogène. On conidèrera par exemple le ca d un aquifère côtier oumi à l intruion aline, avec couplage denitaire (eau douce / eau alée), phénomène auquel peuvent e greffer d autre couplage (écoulement à aturation variable, couplage urface / outerrain). On choiit une approche ayant le caractéritique uivante : le modèle et patialement ditribué afin de repréenter l hétérogénéité du milieu ; le modèle et fortement couplé afin d appréhender le écoulement dan leur complexité phyique. On utilie dan ce but un modèle fortement intégré, à une eule équation générique de type EDP, baée ur une loi de Darcy généraliée permettant de décrire différent «régime» d écoulement la co-exitant dan un même domaine, tout en conervant robutee et efficacité. Le travail et divié en troi partie. Dan une première partie on élabore un nouveau modèle numérique 3D, pour la modéliation de écoulement en milieux poreux à denité variable dan l hypothèe d une interface abrupte. Ce nouveau modèle et baé ur de relation effective non linéaire de aturation et de perméabilité, dan une équation d écoulement de type Richard modifiée. La econde partie correpond à l élaboration et l implémentation d un modèle verticalement intégré d intruion aline en aquifère côtier, permettant d étudier l effet de l hétérogénéité tochatique de l aquifère. Le modèle, baé ur l hypothèe interface abrupte, et implémenté comme un module D dan le code volume fini BIGFLOW D/3D. Le nouveau module D et utilié pour analyer la variabilité de l interface eau douce / eau alée par imulation tochatique de type Monte Carlo à échantillonnage patial (réaliation unique). Ce réultat ont comparé à nouvelle théorie, où l interface aléatoire auto-corrélée et analyée par tranformation de variable, combinée à une méthode de perturbation et à une repréentation pectrale (Fourier / Wiener-Khinchine). Dan la troiième et dernière partie, on préente un modèle de couplage fortement «intégré» pour la modéliation de écoulement de urface et outerrain en hypothèe d écoulement plan, verticalement hydrotatique. On intéree au ca d une vallée fluviale avec cour d eau, plaine d inondation, et nappe d accompagnement. L écoulement en urface et modélié par l équation d onde diffuante et l écoulement outerrain par l équation de Dupuit-Bouineq. Ce modèle couplé et appliqué à la vallée fluviale de la Garonne dan la région de Touloue - Moiac (France). Cette application a néceité l élaboration d une méthode d interpolation géotatitique adaptée à l élaboration d un Modèle Intégré Numérique de Terrain ( MINT ), de façon à inclure le fond de la rivière au MNT topographique en haute réolution. Enfin, au-delà de cette application particulière, le modèle d écoulement couplé urface / outerrain et généralié au ca d un couplage denitaire eau douce / eau alée, lorque la nappe et ujette à l intruion aline au voiinage d une embouchure ou d un etuaire. Mot Clé Intruion aline Modeliation tochatique Couplage urface/outerrain Milieu poreux et hydrogéologie Aquifère et nappe outerraine Volume fini D / 3D Modèle Intégré Numérique de Terrain (MINT, MNT) Loi de Darcy Ward Equation de Richard Equation de Dupuit-Bouineq Equation d onde diffuante

3 ii Abtract In thi work, we conider water flow modeling in hydro-ytem that include geologically complex and heterogeneou oil and aquifer, e.g., a coatal aquifer undergoing eawater intruion, with denity coupling (frehwater / altwater), along with other coupled phenomena (variable aturation, urface / uburface coupling). The elected approach ha the following characteritic: the model i patially ditributed in order to repreent the heterogeneity of the medium the model i trongly coupled in order to apprehend the phyical complexity of flow ytem We ue for thi purpoe a trongly integrated model, governed by a ingle generic equation (PDE) baed on generalized Darcy law, to decribe different flow regime co-exiting in the ame domain, while conerving robutne and efficiency. The work i divided into three part: In the firt part, we develop a new 3D numerical model for variable denity flow in porou media under the harp interface approximation. Thi new model i baed on non-linear effective aturation and conductivity relation, in a modified Richard flow equation. The econd part correpond to the development and implementation of a vertically integrated altwater intruion model, to tudy the effect of tochatic heterogeneity in a coatal aquifer. The model, baed on the harp interface hypothei, i implemented a a D module in the finite volume code BIGFLOW D/3D. The new module i ued for analyzing the variability of the alt / freh interface through Monte Carlo imulation with patial ampling (ingle realization). Thee reult are compared to a new theory where the random field interface i analyzed via a tranformation combined to a perturbation method and a pectral repreentation (Fourier / Wiener- Khinchine). In the third and lat part, we preent a trongly integrated model to imulate coupled urface / uburface plane flow, uch a a river valley with tream, floodplain, and free urface aquifer. Surface flow i modeled via the diffuive wave equation, and uburface flow i modeled uing the Dupuit-Bouineq equation. Thi coupled model i applied to the Garonne river valley in the Touloue-Moiac region (France). Thi application ha required the elaboration of a geotatitical interpolation technique that produce an Integrated Digital Elevation Model ( IDEM ). The IDEM incorporate a high reolution repreentation of river channel into the topographic DEM. Finally, beyond thi pecific application, the coupled urface / uburface model i generalized to the cae of alt / freh denity coupling, where the aquifer i ubject to altwater intruion near a river mouth or an etuary. Keyword Saltwater intruion Stochatic modeling Surface / uburface coupling Porou media & hydrogeology Groundwater & aquifer Finite volume D / 3D Integrated Digital Elevation Model (IDEM, DEM) Darcy-Ward law Richard equation Dupuit-Bouineq equation Diffuive wave equation

4 iii Remerciement Je tien tout d abord à remercier en premier lieu mon directeur de thèe, Rachid Ababou, pour on outien cientifique. Se coneil promulgué durant ma thèe m ont permi d élargir me horizon. Je n oublie pa aui a chaleur humaine qui m a beaucoup touché. Je remercie aui le membre du jury devant lequel j ai eu l honneur de préenter ma thèe. Meieur Philippe Renard, Philippe Ackerer, Claudio Paniconi ont accepté de juger ce travail en tant que rapporteur, et je le en remercie. Il ont contribué par leur nombreue remarque et uggetion à améliorer la qualité de ce mémoire, et je leur en ui trè reconnaiant. J adree me remerciement à Meieur Gérard Dedieu, Jean-Michel Tanguy et Bernard Cauade. Leur regard externe et leur quetion pertinente durant ma outenance m ont permi d élargir me réflexion au delà de mon ujet de thèe. Me remerciement vont également à Monieur Michel Quintard pour m avoir accueilli au ein de l équipe GEMP de l IMFT, et pour m avoir fait découvrir le kart de gorge du Tarn! Je n oublie pa le membre de l équipe GEMP et le doctorant de l IMFT. Je remercie aui l équipe du Centre d Hydrogéologie de l Univerité de Neuchâtel en Suie pour m avoir accueilli chez eux pendant deux moi. Je remercie pécialement Philippe, Jawher, et Ellen. Merci à l'équipe LEH Laboratoire d Ecologie de Hydroytème du CNRS pour le donnée du ite de Monbéqui. Ce travail n aurait pa pu aboutir an la boure de thèe du Minitère de l Education et an le outien financier du projet européen SWIMED. Me remerciement le plu affectueux vont à ma femme Hanaa, me parent et me troi œur qui m ont toujour outenu dan me choix.

5 iv TABLE DES MATIERES Chapitre I Introduction... 1 I - 1 Contexte... 3 I Le défi... 3 I - 1. Modéliation de tranfert... 4 I Hétérogénéité, milieux aléatoire, et géotatitique... 4 I Modéliation tochatique... 5 I Type d écoulement, type de milieux, et loi phénoménologique... 6 I - Objectif de la thèe... 8 I - 3 Plan de la thèe... 9 Chapitre II Modéliation de écoulement à denité variable II - 1 Notion de bae II Volume Elémentaire Repréentatif (VER) II - 1. Définition II Notion de charge hydraulique II - Ecoulement en milieu poreux II -.1 Equation de conervation de mae II -. Equation de conervation de la quantité de mouvement Loi de Darcy II -.3 Critique et limitation de la loi de Darcy II -.4 Écoulement 3D variablement aturé à denité contante II -.5 Écoulement 3D aturé à denité contante... 1 II -.6 Ecoulement D en nappe à denité contante- Dupuit... 1 II -.7 Méthode de réolution numérique... 3 II - 3 Modéliation de écoulement à denité variable... 4 II Denité et concentration... 4 II - 3. Approche avec zone de mélange (diffuion)... 4 II Approche avec interface abrupte (an diffuion)... 9 II Dicuion ur le approche de modéliation II - 4 Claification de modèle hydrogéologique Chapitre III Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique III - 1 Introduction III - Formulation en 3D de l'intruion aline avec zone alée quai-tatique III -.1 Equation de conervation de mae et de conervation de QDM III -. Condition dynamique au niveau de l interface III -.3 Hypothèe d une zone alée quai-hydrotatique III - 3 Développement et paramétriation d un modèle de propriété hydraulique non-linéaire équivalente pour l'intruion aline III Zone d écoulement III - 3. Courbe de rétention et de conductivité... 4 III Capacité et Diffuivité III - 4 Solution numérique au problème de l'anti-diffuion III Courbe de rétention modifiée... 45

6 Introduction v III - 4. Courbe de conductivité modifiée III - 5 Validation avec la olution analytique de Glover III Configuration du problème III - 5. Poition de l interface III Courbe de rétention III - 6 Comparaion avec le probléme de Henry... 5 III - 7 Concluion Chapitre IV Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan Random Field Approach to Seawater Intruion in Heterogeneou Coatal Aquifer: Unconditional Simulation and Statitical Analyi Uncertainty analye of eawater intruion : numerical and tochatic approache Chapitre V Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline V - 1 Introduction V Introduction V - 1. Réumé du chapitre V - Modèle d onde diffuante D (hydraulique de urface) V -.1 Equation de Saint Venant D et coefficient de frottement V -. Equation d onde diffuive D et coefficient de frottement... 8 V - 3 Modèle équationnel d écoulement couplé urface/outerrain (D) V Introduction et réumé V - 3. Couplage urface-outerrain V Formulation mathématique du modèle bi-couche urface/outerrain V Formulation du modèle bicouche urface/outerrain avec intruion aline V - 4 Tet onde diffuante et couplage urface/outerrain V Validation de l onde diffuante Manning 1D permanent V - 4. Ecoulement couplé en géométrie implifiée V - 5 Génération d un Modèle Numérique de Terrain Intégré (Garonne) V Introduction V - 5. Méthode Géotatitique V MINT : Modèle Numérique Intégré de Terrain V Méthodologie pour la contruction d un MINT V Contruction du MINT pour la Garonne V - 6 Simulation couplée du ytème nappe rivière de la Garonne (Touloue-Moiac) V Echange rivière-aquifère dan la Garonne V - 6. Simulation couplée riviére-aquifére en D V - 7 Concluion Chapitre VI Concluion Référence Annexe... 16

7 Introduction 1 Chapitre I INTRODUCTION

8 Introduction TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE I I 1 Contexte 3 I Le défi 3 I - 1. Modéliation de tranfert 4 I Hétérogénéité, milieux aléatoire, et géotatitique 4 I Modéliation tochatique 5 I Type d écoulement, type de milieux, et loi phénoménologique 6 I Objectif de la thèe 8 I 3 Plan de la thèe 9

9 Introduction 3 I - 1 CONTEXTE I Le défi L eau douce contitue.5 % de l eau dan le globe, et 95% de l eau douce utiliable et dan le ou ol. Ce chiffre montrent l importance de cette ource d eau. Elle et d autant plu importante i l on conidère la pénurie d eau à laquelle le monde devra faire face dan le futur. Le nombre de pay touché par la urexploitation (à plu de 40%) de eaux outerraine va ignificativement augmenter d ici 05 comme on le voit dan la figure 1.1. Le pay riche et moin riche devront faire face à ce problème. Ce chiffre globaux ont encore plu alarmant lorqu on conidère la répartition inégale de reource en eaux dan un même pay et à traver le temp, et i l on conidère la concentration démographique dan le grande ville et ur le côte. Cette urexploitation combinée aux changement climatique majeur conduira éventuellement à une raréfaction et une dégradation de la qualité de reource en eaux. Population ouffrant de la rareté de l eau Fig. 1.1 Préviion de contrainte ur l eau douce (WMO, 96). Le défi majeur à prendre en compte en getion de reource en eaux ont : la déplétion de aquifère à caue de la urexploitation, l abaiement du niveau de certaine rivière à caue de changement climatique, l aèchement de lac, la alinification de ol à caue de la urexploitation agricole, la pollution de aquifère par le peticide, le engrai et autre ubtance chimique nocive, et l intruion aline. Cette dernière era accrue par la urélévation du niveau de la mer et par la urexploitation de nappe côtière. Ce différent problème font intervenir de hydro-ytème complexe formé de «compoante» diver comme le rivière, le lac, le eaux outerraine et la végétation. Le eaux outerraine peuvent elle-même être contituée par un aemblage de différente oucompoante telle que : nappe phréatique d eau douce, nappe confinée plu ou moin profonde, zone côtière oumie à l intruion aline, ol non aturé, etc. Ce compoante interagient entre elle. Un abaiement du niveau de rivière conduira à un rabattement du niveau de nappe en plaine alluviale. Une urexploitation de nappe conduira à un abaiement du niveau de rivière. Ce type d interaction dan le deux en néceite la conidération d un couplage fort entre le deux compoante. Ce couplage et encore plu complexe dan le ca d un aquifère côtier connecté à la mer. Dan ce ca l eau douce moin dene glie en

10 Introduction 4 deu de l eau de mer plu dene qui envahit l aquifère ou la forme d un bieau alé. Ce deux volume d eau interagient aui au niveau de la zone de tranition qui e forme entre l eau douce et l eau alée. Pluieur travaux de recherche ont été conacré à l élaboration d une approche globale de modéliation de écoulement ; citon parmi le plu récent : Putti et Paniconi (004), Panday et Huyakorn (004), Gunduz et Aral (005), Kollet et Maxwell (006). D autre projet ambitieux ont en cour actuellement, comme le projet SEVE de couplage de code hydrologique. Ce approche, combinée à de étude de cénario baée ur de règle d évolution ocio-économique, permettront aux décideur de gérer le rique de façon globale ur l enemble de l écoytème afin de prendre le meilleure déciion avec la plu faible incertitude. I - 1. Modéliation de tranfert La decription de compoante de l hydroytème à étudier doit e faire à l aide de modèle mathématique qui expriment, au minimum, le principe phyique de conervation de mae et de conervation d énergie, mai ceci avec différent degré de détail elon le modèle. Plu préciément, le modèle varient en complexité, depui le modèle «globaux» qui conidèrent eulement de bilan globaux, aux modèle mécanite et patialement ditribué, qui décrivent le comportement du ytème à l aide d Equation aux Dérivé Partielle (EDP) réolue à l aide de méthode qui ont numérique dan le ca le plu réalite. En réumé, on pourrait ditinguer eentiellement deux type de modèle : Modèle mécanite et ditribué (EDP) ; Modèle «globaux», par exemple modèle réervoir ou modèle de bilan (non ditribué en epace) et appuyant ur de modèle phénoménologique empirique. Cependant, cette ligne de éparation entre modèle ditribué ou non, mécanite ou non, et relativement floue et ubjective, d autant plu qu actuellement, il devient poible de coupler de façon «hétérogène» ce différent type de modèle. Dan ce travail, nou privilégion l approche ditribuée (comme indiqué plu loin). I Hétérogénéité, milieux aléatoire, et géotatitique En plu de l interaction inter-compoante, pluieur échelle d hétérogénéité exitent dan chacun de ce ytème (intra-compoante). Le milieux outerrain ont fortement hétérogène, et incertain, parce qu il et impoible de meurer de façon déterminite leur caractéritique (Gelhar 1993). L évaluation de caractéritique e fait à l aide de méthode tatitique appliquée à de meure multi upport (ponctuelle par perméamétrie, linéaire par forage, urfacique par analye de faciè). Troi type de méthode tatitique ont utilié pour la contruction de milieux ou de urface hétérogène : Le méthode géotatitique d interpolation, de Krigeage (Delhomme J.P. 1979) ; La génération conditionnelle de milieux aléatoire (Matheron 1973, Tompon et al. 1989) ; La génération d objet dicret aléatoire ou déterminite. Le eaux de urface évoluent aui dan de payage fortement hétérogène comprenant de objet multiple (topographie, haie, parcelle, canaux, rivière, etc.). Une de information néceaire pour le couplage et la urface de éparation de compoante de écoulement (par exemple la topographie, le lit de rivière). La modéliation numérique de la topographie - hor réeaux hydrographique et facilitée par l abondance de donnée mie à dipoition (meure topographique, télédétection) et par le méthode géotatitique (interpolation tatitique, krigeage) trè adaptée à ce type de donnée. Il n en et pa de même pour le lit de rivière, qui ont eentiellement de «ingularité» topographique (ligne de courbure). Celle-ci devraient néceiter de meure particulièrement

11 Introduction 5 dene. En pratique, on dipoe de meure qui ne recouvrent pa de façon uffiamment détaillée la topographie - ou bathymétrie - de la rivière. Dan beaucoup de ca le profil le long de la rivière ont trè éloigné le un de autre (pluieur centaine de mètre). De telle contrainte exigent de méthode d interpolation adaptée à ce type de problème en vue de l obtention d un Modèle Numérique de Terrain (MNT). Lorqu un tel MNT réulte de l intégration ou de la fuion de donnée variée (altimétrie ur grille régulière, altimétrie ponctuelle, profil en traver, profil en long), on pourrait parler plutôt de Modèle Intégré et Numérique de Terrain (MINT). I Modéliation tochatique La prie en compte de l hétérogénéité ou de l incertitude ur le donnée dan le modèle et l un de objectif de l hydrologie tochatique (Dagan 1989 ; Gelhar 1993 ; Zhang 00). Une modéliation tochatique et néceaire lorque l un ou pluieur de paramètre du domaine ont traité comme une variable aléatoire, un proceu tochatique, ou un champ aléatoire en epace. Par exemple, pour le aquifère hétérogène, la perméabilité peut être conidérée comme un champ aléatoire (Vanmarcke 1983). De plu, le condition limite peuvent être décrite comme de proceu tochatique (précipitation, niveau de la mer ). Enfin, d autre terme de forçage mal connu (par exemple le débit de puit de pompage) peuvent être conidéré comme de variable aléatoire. Sur le plan mathématique, la modéliation tochatique peut être formulée à différent niveaux du modèle, et recouvrir le méthode uivante (lite non exhautive) : Au niveau de modèle mathématique (EDP tochatique) : La réolution de ce type de problème demande l utiliation de méthode péciale pour l obtention de différent moment et corrélation entre la variable étudié (par exemple la preion) et le variable aléatoire (par exemple la preion et la perméabilité) (Dagan 1989). Comme le moment dépendent le un de autre, on obtient aini un ytème hiérarchique d EDP à réoudre. Dan certain ca imple il et poible d obtenir de olution analytique de moment d ordre 1 et à l aide de méthode perturbative comme la méthode pectrale/fourier, (Gelhar 1993) utiliée de façon modifiée dan le cadre de cette thèe au Chapitre 4. Dan le ca le plu complexe, de réolution numérique ont néceaire pour fermer le équation et calculer certaine tatitique (moyenne, corrélation, moment de différent ordre). Au niveau du modèle de réolution numérique : En appliquant une méthode de perturbation à la matrice globale du ytème à réoudre. Tang et Pinder (1979) utilie une méthode perturbative avec la méthode de différence finie pour faire une analye d incertitude de équation de tranport en 1D. Cette méthode et aui appliquée à la méthode de «élément fini tochatique» (Stochatic Finite Element Method - SFEM). Chaudhuri et Sekhar (005) préentent une amélioration à cette méthode perturbative et la comparent aux imulation de Monte Carlo (voir ci-deou). Ce type de méthode n a pa été utilié ici. Au niveau de la imulation (Monte Carlo) : Baée ur de algorithme dit de «Monte Carlo», cette méthode conite à générer un enemble de réplique de milieux aléatoire, conditionnel ou non, qui obéient à de règle tatitique prédéfinie (moyenne, écart-type, tructure patiale d hétérogénéité, longueur de corrélation). Pour générer ce milieux, on peut utilier une de méthode tatitique préentée plu haut («hétérogénéité, milieux aléatoire, géotatitique»). Par exemple, dan ce travail (Chapitre 4) nou avon généré de milieux inconditionnel. Le choix du nombre de réplique générée dépend de la taille et de l hétérogénéité du milieu (longueur de corrélation par rapport à la taille du domaine). De imulation numérique ont enuite effectuée à l aide de code de calcul déterminite (dan le cadre de cette étude le code BIGFLOW a été utilié) ur un ou-

12 I Introduction 6 enemble ou ur la totalité de réaliation générée. Enfin une recontitution de moment de la variable d intérêt et effectuée à partir de réultat de imulation numérique. Pluieur millier de réaliation ont néceaire pour obtenir de bonne etimation tatitique ur le moment. Type d écoulement, type de milieux, et loi phénoménologique Nou définion à ce tade quelque notion de bae qui eront développée et utiliée dan le chapitre uivant de ce travail. Ce notion ont été évoquée pour leur majorité dan Ababou et Al- Bitar (007). Certaine de ce notion ont originale, par exemple : milieux macroporeux 3D cinétique et dynamique ; aniotropie dan la loi généraliée de Darcy/Forchheimer ; et approche 3D de l intruion aline en interface abrupte. D autre ont de notion plu claique que l on peut retrouver dan de nombreue référence telle que Bear (197), Bear (1988), Freeze et Cherry (1979), de Marily (1986), entre autre. Ecoulement aturé : Ecoulement en milieu poreux aturé avec une poroité effective totalement remplie d eau. Ecoulement non-aturé : Ecoulement en milieu non aturé, la poroité étant eulement partiellement remplie d eau et le rete d air. La réitance à l écoulement de l air et négligée et la preion de l air et en équilibre avec la preion de l atmophère en permanence. Le équation claique régiant l écoulement non aturé (an aturation variable) ont le équation de Richard (Richard 1931). Ecoulement variablement aturé : L eau écoule dan un milieu partiellement aturé, i.e., contenant de zone aturée et d autre zone non aturée. Dan le ca général, pluieur zone aturée et non aturée peuvent coexiter, et leur ditribution patiale peut évoluer dan le temp, e.g.: écoulement partiellement aturé avec front infiltration decendant ver la urface libre d une nappe (Freeze 1971 ; Vauclin et al. 1979). Afin de modélier l écoulement en milieu partiellement aturé dan un eul domaine et avec une eule équation, l équation de Richard et reformulée en variable mixte et ou forme conervative, avec deux variable d état, la teneur en eau et la preion : voir Ababou et al. (1988, 199) et Celia et al. (1990), parmi d autre. La loi de Darcy, la perméabilité et la charge hydraulique : La loi de Darcy exprime la proportionnalité entre la denité de flux q [L T -1 ] à traver un milieu poreux et le gradient de charge hydraulique dan le milieu poreux. Noton que la vitee de l eau et donnée par V = q/θ, où θ et la poroité (ou la teneur en eau). La perméabilité [m ], intrinèque au milieu poreux, exprime l invere de la réitance viqueue au flux. La conductivité hydraulique [m/] exprime la même choe, mai elle dépend du fluide (eau). Dan la zone non aturée, la loi de Darcy et de la même forme quai linéaire avec une conductivité hydraulique fonction de la preion ou la teneur en eau. Parmi le référence hitorique liée à ce paragraphe nou citon par exemple Darcy (1856); Buckingham (1907); Richard (1931). Milieux macroporeux dynamique et cinétique : Un milieu macroporeux peut être conidéré comme un milieux ouvert, une couche uperficielle de ol couvert de végétation dene, ou un banc de galet, etc. Dan le code de calcul BIGFLOW par exemple, ce type de milieu et repréenté comme un milieu poreux à pore groier et à

13 Introduction 7 forte perméabilité, allant à l extrême ver une perméabilité quai-infinie et une poroité de 100% dan certain ou domaine (Ababou et al. 1996, 1998, 00, 006 ; Trégarot 000). Comme expliqué dan le référence précitée, cette approche originale conduit à prendre en compte explicitement deux effet ditinct pour le écoulement en macroporeux à aturation variable : a) Effet dynamique : à caue du fort nombre de Reynold, la perte de charge n et plu linéaire, le effet inertiel deviennent important, et la loi de Darcy et remplacée par la loi quadratique en vitee de Ergun-Ward-Forchheimer (e.g.,ward 1964) ; b) Effet cinétique : la courbe de rétention teneur en eau / preion et une fonction ecalier (ou quai-ecalier, vue la dicrétiation numérique), conduiant à une imbibition ou drainage intantané de la poroité en tout endroit où une urface libre exite. Ecoulement plan de Dupuit-Bouineq : En conidérant un écoulement verticalement hydrotatique quai plan, l équation de mae et la loi de Darcy peuvent être intégrée verticalement pour obtenir l équation de Dupuit-Bouineq en écoulement plan (x,y). Le variable d état deviennent : la charge hydraulique moyenne H [m], et le flux pécifique en D Q [L T -1 ]. La econde variable provient de l intégration de la vitee de Darcy. Dan ce ca, la zone non aturée et négligée (répone intantanée de la urface libre au proceu d imbibition et de drainage). Le coefficient de drainage et la poroité effective. Cette approche e bae ur le travaux de Dupuit (1863) et Bouineq (1904). Ecoulement plan de Saint-Venant : Le équation D de Saint-Venant (Saint Venant, 1871) ont une approximation verticalement hydrotatique et verticalement intégrée de Navier-Stoke (équation de conervation de mae et de quantité de mouvement) dan le ca d écoulement hydraulique à urface libre en canaux, rivière, plaine d inondation, etc. Le variable conidérée ont le vecteur de vitee de l eau en D, V [L 1 T -1 ], et la hauteur d eau H ou la lame d eau h. La formulation 1D de équation de Saint-Venant et largement utiliée en hydrologie de urface pour décrire le écoulement tranveralement intégré le long de rivière et de canaux. Ecoulement plan d Onde Diffuante et couplage nappe-rivière : L équation D d onde diffuante (cinématique et diffuive) et une implification upplémentaire de l équation de Saint-Venant (et donc de Navier-Stoke), valide eulement pour de écoulement à vitee lentement variée et uffiamment faible pour que le terme inertiel oient négligeable. Il exite une verion 1D pour le écoulement en canal, tandi que la verion D et utiliable pour décrire le ruiellement et inondation de urface en (x,y) ce qui et d intérêt dan notre travail ur le couplage urface/outerrain. En effet, l idée et de coupler un écoulement de urface avec un écoulement outerrain peu profond en utiliant l onde diffuante pour l eau de urface et l équation de Bouineq pour l eau outerraine. Voir Chow et al. (1988) ou Bedient et al. (00) pour une préentation «baique» du modèle d onde diffuante ; ce auteur préentent aui de table de valeur de coefficient de rugoité correpondant. Aniotropie : Le milieux poreux et macroporeux naturel peuvent être fortement aniotrope. Cependant, la définition de l aniotropie dépend aui de la réolution patiale du modèle. Par exemple, l aniotropie d un milieu tratifié n et pa importante i le modèle d écoulement et implémenté avec une réolution plu fine que l épaieur de trate. La loi de Darcy peut être formulée avec une perméabilité aniotrope avec un teneur ymétrique du econd ordre. Dan le modèle numérique BIGFLOW, le teneur et uppoé diagonal, mai une rotation peut être appliquée au domaine de calcul par rapport au ytème de référence «horizontal/vertical». Le modèle équationnel de BIGFLOW prend en compte l aniotropie dan pluieur forme de la

14 I - Introduction 8 loi de Darcy : aini dan le modèle D plan, la tranmiivité et le coefficient de rugoité ont aniotrope ; pour le écoulement 3D macroporeux à grand Reynold, la loi quadratique en vitee (Ward-Forchheimer) peut aui être aniotrope, comme indiqué dan Trégarot (000), d aprè Knupp et Lage (1995). Ecoulement à denité variable en milieux poreux (et hypothèe d interface abrupte) : Un écoulement en milieu poreux et à denité variable lorque la denité dépend de la poition et du temp, notamment à traver d autre variable d état (telle que concentration, température, etc.). On intéree ici au ca de l intruion aline en nappe côtière, où la concentration de l eau en el affecte l écoulement. L eau et le fluide porteur (olvant), et le el et le oluté. Ce problème pourrait être décrit par deux équation : une équation d écoulement d eau et une équation de tranport advectif / diffuif de el. Cependant, on peut mettre en oeuvre une verion implifiée en utiliant l hypothèe «interface abrupte». Ecoulement à denité variable en milieux poreux avec hypothèe d interface abrupte : Dan le modèle d interface abrupte, on conidère un écoulement à denité variable défini par deux zone fluide de denité ditincte éparée par une interface abrupte. En effet, à grande échelle et pour de faible contrate de denité (aquifère côtier), et étant donné la variabilité temporelle de forçage hydrologique (marée, précipitation, etc.), l épaieur de la zone de tranition due à la diffuion pure de el entre l eau de mer et l eau douce et relativement petite par rapport à la taille du domaine, et par rapport à la variabilité importante due à l hétérogénéité intrinèque du milieu. C et cette approche «interface abrupte» qui et utiliée dan le cadre de cette thèe, l une verticalement intégrée, et l autre, relativement novatrice, tridimenionnelle. OBJECTIFS DE LA THESE Dan ce travail, on conidère la modéliation de écoulement dan un hydro-ytème comprenant un aquifère géologiquement «complexe» (naturellement hétérogène) et en particulier un aquifère côtier oumi à l intruion aline (couplage eau douce / eau alée), auxquel peuvent e greffer d autre couplage (écoulement à aturation variable et couplage urface outerrain). Une approche de modéliation patialement ditribuée et néceaire pour appréhender ce phénomène dan leur complexité phyique et géométrique. Afin de faire un premier pa ver la modéliation ditribuée de tel problème couplé, il et néceaire de développer de modèle robute et efficace du comportement de différente compoante telle que ol inaturé, nappe, rivière, etc. (modèle intra-compoante). Ce modèle ont cené repréenter l hétérogénéité du milieu qui et le iège de écoulement. Enfin, il et néceaire de développer de approche de couplage fort entre le différente compoante (intercompoante). On verra que pour atteindre ce dernier objectif, on a privilégié une approche fortement couplée baée ur un modèle à une eule équation générique, permettant de décrire et donc de coupler de façon naturelle, en epace et en temp le différente «compoante» de écoulement. Le objectif de cette thèe ont été concrétié notamment par le réaliation uivante : L élaboration d un nouveau modèle numérique 3D, baé ur de relation non linéaire effective de aturation et de perméabilité (Richard modifié), pour la modéliation de écoulement à denité variable dan l hypothèe d une interface abrupte ; L élaboration et l implémentation d un modèle verticalement intégré d intruion aline permettant d étudier l effet de l hétérogénéité tochatique en D plan ; et l analye de la variabilité de l interface eau douce / eau alée à traver de imulation de Monte Carlo et de calcul analytique par perturbation et décompoition pectrale (Fourier-Wiener-Khinchine); Le couplage fortement «intégré» de écoulement plan de urface et outerrain, dan le ca d une vallée fluviale avec nappe d accompagnement. Ce modèle et appliqué à la vallée fluviale

15 I - 3 Introduction 9 de la Garonne (France) dan la région Touloue-Moiac. Au-delà de cette application, le modèle plan et enuite généralié au ca où la nappe et ujette à l intruion aline. PLAN DE LA THESE La thèe et tructurée de la façon uivante. Le chapitre préente à la foi une étude bibliographique et une introduction aux modèle équationnel développé dan le chapitre uivant. En premier lieu, on préente le équation de écoulement à denité variable - et à aturation variable - en milieu poreux hétérogène en 3D et en D plan. Enuite on préente différente approche de couplage écoulement/tranport à denité variable. Une première approche de couplage denitaire (non utiliée dan ce travail) coniterait à coupler le tranport advectif diffuif de el avec l équation d écoulement, en tenant compte notamment de la diffuion du el. Un econd type d approche (développée dan ce travail) uppoe une interface abrupte entre eau douce et eau de mer, en négligeant la diffuion du el. Cette dernière approche conduit à un modèle à deux fluide, avec hypothèe de non micibilité de phae fluide eau douce / eau alée. Le différente variante de ce approche et le hypothèe qui en découlent ont préentée et critiquée. Finalement, on préente une claification de code de calcul utilié dan la modéliation de écoulement à denité variable. Dan le chapitre 3, le problème de l intruion aline et abordé en 3D elon l approche interface abrupte. Le équation d écoulement ont formulée comme un problème d écoulement diphaique non micible 3D, dan lequel l interface n et pa tracée explicitement (ce qui évite le problème de r lage inhérent aux approche de type traçage de urface ). Aini, dan le modèle «diphaique» propoé ici, l interface et repréentée implicitement dan le équation d écoulement grâce à de relation effective non linéaire de type aturation et perméabilité relative. Cette méthode, relativement novatrice, et apparentée aux travaux de Larabi et de Smedt (1997), Sbai (1999), et Aharmouch (004), qui utilient aui de coefficient non linéaire pour repréenter l interface ; cependant, notre méthode diffère dan la formulation précie et rigoureue du problème (condition dynamique à l interface) et dan la détection et le traitement numérique d un problème d anti-diffuion localié à l interface, qui et inhérent au modèle équationnel peudo-diphaique propoé. Cette méthode et enuite tetée en coupe verticale (x,z) et comparée à de olution analytique du problème de Van der Ver et Glover (à interface abrupte) et, plu qualitativement, à une olution numérique du problème de Henry (1964) (qui tient compte de la diffuion de el). Le chapitre 4 porte ur l étude de l effet de l hétérogénéité tochatique d un aquifère côtier ur l intruion aline, et notamment, ur la ditribution patiale de l interface eau douce / eau alée Z(x,y). Le modèle - appelé «SWIMD» - et une verion patialement ditribuée du modèle claique d interface abrupte de Ghyben-Herzberg, avec écoulement plan d eau douce, et coin alé quai-tatique. L étude tochatique de l interface aline Z(x,y) et préentée ou la forme de deux publication. Dan la première publication, une repréentation pectrale Fourier-Wiener-Khinchine et appliquée à l EDP tochatique régiant l écoulement plan d eau douce - et l intruion aline quai-tatique. A partir de cette étude on obtient une olution analytique de l incertitude de la poition de l interface, fonction de la tructure et du degré de variabilité du réervoir poreux. Cette olution analytique et confrontée à de imulation numérique dan de milieux moyennement à fortement hétérogène. Dan la deuxième publication, le apect numérique lié à la modéliation de milieux fortement hétérogène ont développé : notamment la méthode de continuation utiliée pour la modéliation de milieux fortement hétérogène, et appliquée ici au problème de l intruion aline. Dan le Chapitre 5, on et intéreé à un autre type de couplage, le interaction «urface/outerrain», en préence ou non de l intruion aline. Le équation d écoulement plan (x,y) pour le eaux de urface ont développée avec le différente implification poible. Enuite une analogie et montrée entre le équation d eau de urface et le équation de Bouineq,

16 Introduction 10 aini qu avec le équation plu générale de milieux macroporeux à perte de charge quadratique (Ward-Forchheimer). Pui une procédure de couplage urface/outerrain et développée. Le modèle couplé et enuite appliqué, en premier lieu, à de ca implifié (méandre rectangulaire, etc.). Enfin la méthode et appliquée à l écoulement dan une partie de la vallée alluviale de la Garonne au niveau de Monbéqui, entre le ville de Touloue et Moiac. Pour faire cette imulation, un modèle numérique intégrant le fond de la rivière et la topographie était indipenable. Aini une méthode pour l obtention d un modèle intégré numérique de terrain (MINT) à partir d un nombre limité de ection de rivière et également élaborée et appliqué au ite «Garonne». Dan le chapitre 6 le concluion majeure, le réultat et le perpective découlant de ce travail ont préenté.

17 Modéliation de écoulement à denité variable 11 Chapitre II MODELISATION DES ECOULEMENTS A DENSITE VARIABLE

18 Modéliation de écoulement à denité variable 1 TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE II II 1 Notion de bae 13 II Volume Elémentaire Repréentatif (VER) 13 II - 1. Définition 13 II Notion de charge hydraulique 14 II - Ecoulement en milieu poreux 15 II -.1 Equation de conervation de mae 15 II -. Equation de conervation de la quantité de mouvement Loi de Darcy 16 II -.3 Critique et limitation de la loi de Darcy 17 II -.4 Ecoulement 3D variablement aturé à denité contante 17 II -.5 Ecoulement 3D aturé à denité contante 1 II -.6 Ecoulement D en nappe à denité contante- Dupuit 1 II -.7 Méthode de réolution numérique 3 II - 3 Modéliation de écoulement à denité variable 4 II Denité et concentration 4 II - 3. Approche avec zone de mélange (diffuion) 4 II Approche avec interface abrupte (an diffuion) 9 II Dicuion ur le approche de modéliation 35 II - 4 Claification de modèle hydrogéologique 35

19 Modéliation de écoulement à denité variable 13 II - 1 NOTIONS DE BASE Dan le paragraphe uivant le quelque notion de bae qui interviennent dan la decription de écoulement en milieux poreux eront préentée. II Volume Elémentaire Repréentatif (VER) Un volume élémentaire repréentatif et un volume pour lequel le propriété caractéritique moyenne (comme la poroité, la perméabilité dan le ca d un milieu poreux) peuvent être déduite. En réalité un milieu poreux et contitué de graine olide et vide pour lequelle il n et pa poible d attribuer de notion comme la poroité et la perméabilité qu à partir d une échelle upérieure de pluieur ordre de grandeur à l échelle de pore. Le choix du VER doit donc répondre aux critère uivant (de Marily 1994) : Le VER doit contenir un grand nombre de pore afin d avoir une moyenne globale ignificative ; Le VER doit être uffiamment petit pour que le variation de propriété d un domaine au domaine voiin puient être approchée par de fonction continue pour pouvoir introduire l analye infinitéimale, an introduire d erreur décelable par le intrument de meure à l échelle macrocopique. D aprè le critère ci-deu, un VER dépend non eulement de la tructure du milieu poreux, mai aui de phénomène phyique étudié. Un VER doit être aez grand pour repréenter la tructure du milieu poreux, mai aui petit pour que le variation de propriété, parfoi nonlinéaire (teneur en eau), oient continue. Une telle définition appliquée à l hydrogéologie, et ûrement ubjective car l hétérogénéité exite à toute le échelle d un milieu poreux naturel, et pluieur hypothèe de modéliation exitent pour chaque problème. II - 1. Définition Poroité φ : rapport du volume de vide au volume total V t du ol Vvide φ = (.1) V t Teneur en eau volumique θ (m3 /m3) : rapport du volume de l'eau Veau contenue dan le pore (ou vide) du ol, au volume total V t du ol conidéré : Veau 0 < θ = < 1 (.) V t Saturation S : rapport du volume d'eau au volume de vide dan le ol : S = θ φ (.3) La conductivité hydraulique et la perméabilité La conductivité à aturation peut 'exprimer ou la forme d'un produit de deux facteur, l'un dépendant de caractéritique du fluide (l'eau), l'autre dépendant uniquement de caractéritique de la phae olide et traduiant la facilité avec laquelle le ol e laie traverer par le fluide, appelée perméabilité intrinèque k (m ) : K ρg g = k = k (.4) μ ν où ν et μ ont repectivement le vicoité cinématique (m /) et dynamique (kg/m/) de l'eau.

20 Modéliation de écoulement à denité variable 14 eau adorbé air particule eau Fig..1 Repréentation d'un milieu poreux II Notion de charge hydraulique En hydrogéologie il et plu commun de remplacer la preion par la charge hydraulique équivalente. Bien que plu appropriée pour la modéliation de l'écoulement de l'eau dan de ytème à denité contante, elle et appliquée aui aux ytème à denité variable et le ytème multiphaique. La charge hydraulique totale H et donnée par la omme du potentiel de preion relatif à la preion de l'air h et du potentiel gravitaire H = h + g B x (.5) où : g B = -g / g, «g» étant le vecteur gravité ( g 9.81 m. - ) ; x et le vecteur de coordonnée du point (à l échelle du VER) dan le repère (Ox, Oy, Oz) ; h et le potentiel de preion capillaire [L]. Le potentiel de preion «h» meure la différence, exprimée en mètre d'eau, entre la preion de la phae liquide (l'eau) et celle de la phae gazeue (l'air): p < h = eau p ρ g air < + En zone aturée, «h» repréente la preion hydrotatique exercée en un point du ol par la colonne d'eau qui le urmonte. Comme le ytème et envahi d'eau, la preion de l'eau et plu forte que la preion de l'air (h > 0). En zone non aturée, «h» repréente l'intenité de force de capillarité et d'adorption qui attirent et lient la phae liquide à la phae olide (h < 0). Dan le ca d effet trictement capillaire, elle et directement reliée au rayon de courbure de ménique (interface eau / air formé dan le capillaire du ol) par la loi de Jurin (.7). (.6)

21 Modéliation de écoulement à denité variable 15 h = σ co( ϕ) ρ g r = A r (.7) où σ : Tenion uperficielle de l'eau, inverement proportionnelle à la température (σ Nm - à 0 C) ; ϕ : Angle de contact entre l'interface eau / air et la paroi du capillaire, uppoé nul dan le ol (en uppoant une mouillabilité parfaite de la phae olide vi à vi de l'eau) ; ρ : Mae volumique de l'eau (en négligeant celle de l'air) ; r : Rayon du pore aimilé à un tube capillaire, égal au rayon du ménique i ϕ = 0. En réumé, en zone non aturée, l'eau et en ou preion par rapport à la preion atmophérique (h < 0). Une preion trè fortement négative h - (ou forte uccion) ignifie une prédominance de force d'adorption face aux force de capillarité, le rayon de courbure de interface eau / air étant petit. Une preion faiblement négative (faible uccion) ou proche de zéro (preion proche de la preion atmophérique) ignifie au contraire que le rayon de interface eau/air ont grand, et/ou que le pore ont preque aturé. A l échelle macrocopique (upérieure au VER), l'interface entre la zone aturée et la zone non aturée et définie, en terme de preion, par h = 0, c et-à-dire, p = p ATM. L io-urface h(x,y,z,t) = 0 repréente, lorqu elle exite, une urface libre interne au milieu poreux (ca d un domaine poreux «partiellement aturé»). II - ECOULEMENT EN MILIEU POREUX L'équation générale de écoulement en milieux poreux variablement aturé (préence de zone aturée et non aturée en eau) à denité variable, écrite dan un ytème de coordonnée cartéienne (x, y, z) à l'échelle macrocopique, et déduite du principe de conervation de mae et de la loi de Darcy. II -.1 Equation de conervation de mae On conidère un volume élémentaire de contrôle de milieux poreux centré dan de coordonnée cartéienne. On conidère l'axe z vertical et dirigé ver le haut. A un certain intant 't' la mae d'eau dan le volume de contrôle et donnée par : Ma = ρ θ Δx Δy Δz (.8) avec θ la teneur en eau effective du milieu poreux en volume d'eau par volume de milieu poreux [L 3 /L 3 ], ρ la denité de l'eau en [M 3 /L]. Le principe de conervation de mae potule ou implique que la variation de mae tockée dan le milieu poreux et égale à la différence du flux entrant moin le flux ortant et le terme ource : Ma = flux entrant flux ortant + terme ource (.9) t Le igne du terme ource et conidéré par convention. En général le terme ource S et conidéré comme poitif pour un apport d'eau et négatif pour une extraction d'eau. En développant le flux en érie de Taylor juqu'au premier ordre dan le econd terme de l'équation (.8) on obtient :.( ρ q) Δx Δy Δz + ρ Q Δx Δy Δz (.10) S S

22 Modéliation de écoulement à denité variable 16 Pour dériver le terme de droite de l'équation (.9), on conidère la matrice olide comme rigide et immobile mai faiblement déformable dan la direction verticale, z. On conidère aui que la denité varie en fonction de la preion et de la concentration en oluté (Ackerer et al. 1999). On néglige la variation de la denité en fonction de la température. Aini on obtient : Ma p θ ρ p θ ρ C θ Δz p = ρ x Δy Δz t θ t p t C t z p t ρ ρ Δ Δ (.11) où p la preion de l'eau en [F/L ] et C et la fraction maique du oluté. On définit α le coefficient de compreibilité élatique du milieux poreux en [L /F], et β le coefficient de compreibilité élatique de l'eau [L /F] (Bear 197). Δz = 1 1 ρ α et β = Δz p ρ p En remplaçant (.1) et (.13) dan (.11) on obtient : (.1) et (.13) Ma p θ ρ C θ = ρ ( ) x Δy Δz t θ α + β + + t C t t ρ Δ (.14) Enfin en regroupant le terme de droite et de gauche, on obtient l'équation de conervation de mae : p θ ρ C θ 1 ρ θ + t ρ C t t ρ ρ ( α + β ) + + = ( ρq) S QS En introduiant la notion de charge hydraulique l'équation (.15) devient : où : M t θ ρ Cm = C ρ C [ M ( h, ) + Cm + θ( h, x) ] = ( ρq) + QS (.15) 1 x (.16) ρ : et le terme de tockage élatique (m 3 /m 3 ) qui traduit la compreibilité de l eau et de la matrice olide. Il peut être négligé dan le zone inaturée (M = 0 i h < 0), et proportionnel à la preion dan le zone aturée (M = S h i h > 0, où S et la torativité pécifique, en m -1 ). Dan la pratique de la modéliation hydrologique, M = 0, excepté dan un milieu totalement aturé (ca de nappe confinée). Il peut cependant ne pa être négligeable dan le milieux argileux ; : et le terme qui exprime la variation de la denité en fonction de la fraction maique du oluté. C=0 dan le ca où la modéliation ne fait pa intervenir un tranport de oluté à forte concentration. II -. Equation de conervation de la quantité de mouvement Loi de Darcy La loi de comportement à l'échelle macrocopique de écoulement en milieux poreux et la loi de Darcy (1856). Cette loi initialement obtenue ur de expérience 1D dan de colonne formée de able, homogène et iotrope, et généraliée aux écoulement aturé et non aturé (Buckingham 1907) en milieux hétérogène et aniotrope. Elle exprime la denité de flux q (m/ ou m 3 /m /) à traver le milieu poreux, comme étant proportionnelle au gradient de charge hydraulique H (m). Cette denité q et aui appelée vitee de filtration. Elle et reliée à la vitee réelle u de écoulement par q = θ u, où θ et la teneur en eau effective du milieu poreux. La loi de Darcy généraliée non aturée 'écrit : q = K( h, x) H (.17)

23 où : Modéliation de écoulement à denité variable 17 K et le teneur de conductivité hydraulique (m/) dan le repère xx K = K principal d'aniotropie (Ox,Oy,Oz) ; yy : Kzz H = h + g B x : et la charge hydraulique totale (m) ; θ : et la teneur en eau volumique effective (m 3 /m 3 ). Le équation de Darcy peuvent être obtenue à partir de équation de Navier-Stoke à partir de pluieur prie de moyenne et approximation (qui ne eront pa examinée en détail ici). II -.3 Critique et limitation de la loi de Darcy Pour que la loi de Darcy oit valide, il faut que l écoulement oit laminaire, ce qui et généralement le ca dan le milieux poreux. La vérification de cette condition e fait à l aide du nombre de Reynold, Re. En mécanique de fluide, Re meure l importance de force d inertie par rapport aux force de vicoité. Il et donné par : qd Re = (.18) υ avec q la vitee [L/T] υ la vicoité cinématique (μ/ρ) D la longueur repréentatif de l écoulement [L] Pour le écoulement en milieux poreux, q et conidéré comme la denité de flux, et D et égale au diamètre effectif de grain d 10 (la taille du filtre à traver duquel 10% en mae de grain pae). Afin que la loi de Darcy oit applicable il faut que Re 1. Mukat (1937) montre pluieur étude elon lequelle l'écoulement et tranitoire entre de valeur de Reynold comprie entre 1 et 1. A titre indicatif pour un able de diamètre moyen de 0.5 mm la vitee d'écoulement limite pour l'eau à température ambiante et de 0. cm/. Cette valeur peut être dépaée dan le ca d'écoulement en milieux fracturé ou kartique. Dan ce ca une loi de perte de charge quadratique (Darcy- Forchheimer) et utilié (voir Chapitre 5). II -.4 Écoulement 3D variablement aturé à denité contante II Equation de Richard Dan le ca général d'écoulement variablement aturé, l'effet de déplacement de l'air et négligé à caue de la grande différence avec la vicoité dynamique de l'eau. Dan ce ca le problème d'écoulement à deux phae (air/liquide) variablement aturée et réduit à un problème d'écoulement monophaique où l'air et conidéré en équilibre tatique. De plu, on aocie à cette approximation le fait que la phae air et connectée à l'atmophère (p AIR = p ATM ). Dan certain ca particulier en hydrogéologie cette approximation peut 'avérer faue notamment dan le ca de ol tratifié et de crue éclaire où l'air ne peut pa échapper et induit une augmentation de la preion au niveau du front (Touma et al. 1984). Cette approximation n'et pa valable aui pour la modéliation de réervoir pétrolier ou dan la modéliation de ytème indutriel comme le pile à combutible où une approche multiphaique et exigée. Le équation d'écoulement en 3D variablement aturé ont obtenue en inérant la loi de Darcy dan l équation de conervation de la mae, on obtient l'équation générale de écoulement en milieux poreux variablement aturé, ou équation de Richard (1931) ((.19) (.0)). θ t ( h, x) [ K( h, x) ( h + g B )] + Q =. x (.19)

24 ou encore : θ t ( h, x) [ K( h, x) h]. [ K( h, x) B ] + Q =. g Modéliation de écoulement à denité variable 18 (.0) On remarque que le terme de tockage élatique 'M' et négligé en comparaion au tockage dû à la variation de la teneur en eau (Freeze et Cherry, 1979). Le terme M peut être conidéré dan le zone aturée au cour d'une imulation d'un milieu poreux variablement aturé, urtout lorque la zone aturée et ujette à de forte variation de preion et dan le zone argileue ujette à de phénomène de gonflement et de retrait. Le terme C de variation de la denité en fonction de la concentration et nul car on conidère que la denité et contante. L'éq. (.0) aux Dérivée Partielle (EDP) et une forme conervative mixte en h/θ de l'équation de Richard exprimée à l'origine en h. Elle et de type parabolique en milieu non aturé (et non linéaire) et elliptique en milieu aturé (i le terme de portivité pécifique traduiant le effet de compreibilité et nul). Un terme M non nul préerve le caractère parabolique de l'équation, évitant aini certaine difficulté de convergence qui e préentent lorque l'équation devient elliptique dan le zone aturée (Trégarot 00). Elle et applicable à tout intant t et en tout point x à l'intérieur du domaine de calcul, la loi de Darcy étant utiliée pour traiter le frontière du domaine. La réolution de la forme mixte de l'équation de Richard (.0) permet donc de imuler le écoulement variablement aturé (h), en milieux hétérogène (x) et aniotrope. II -.4. Modèle caractéritique du ol On uppoe que la teneur en eau volumique et la conductivité hydraulique à un intant t dépendant eulement de la preion à cet intant t, et non de la denité de flux ou du gradient hydraulique. Aini le phénomène d'hytérèe 1 (voir figure.) ont omi. II Modèle de θ(h) Ce modèle décrit la variation de la teneur en eau en fonction de la preion. Ce comportement du ol et différent en imbibition (invaion) ou drainage. Il exite pluieur modèle empirique pour décrire la fonction θ (h). Le plupart intègre le notion/paramètre uivante : θ et la teneur en eau volumique à aturation. A la fin d'une imbibition le milieu poreux n'et pa complètement envahi par l'eau car le vide intertitiel ne ont pa tou connecté. Zammit (1999) montre que le rapport θ /φ et compri dan l'intervalle [0.8, 1]. θd et la teneur en eau réiduelle. A la fin d'une phae de drainage une petite quantité d'eau rete liée aux particule à caue de force d'aborption. Cette quantité d'eau et obtenue expérimentalement pour de faible valeur de h = -150m (théoriquement pour h - ). Wöten (1995) propoe une valeur arbitraire de θe et la teneur en eau effective qui correpond à la part de l'eau qui circule réellement dan le milieu θ = θ (.1) e θ d 1 Hytérèe. Dan la nature, un ol et oumi à de ucceion de phae de drainage et d'imbibition plu ou moin complète, uivant de courbe θ(h) non unique, comprenant de courbe primaire et de courbe de paage imbibition/drainage. Ce phénomène d'hytérèe peut expliquer en partie par le variation de l'angle de contact ϕ formé par le interface eau / air et eau / olide. Aini, à une preion h donnée, θ et plu importante lor d'une phae de drainage du ol que lor d'une phae d'imbibition Cependant, dan la pratique de la modéliation hydrologique à l'échelle d'un verant, ce phénomène d'hytérèe et négligé devant le effet de hétérogénéité, et une relation θ(h) univoque et conidérée pour définir localement le propriété du ol.

25 Se et la aturation effective du milieu poreux Modéliation de écoulement à denité variable 19 S e S S d d e = = = (.) S S d θ θ θ θ d θ θ e Fig.. Courbe typique de teneur en eau - uccion pour un able argileux (Croney 195). Le Tableau.1 préente une lite de modèle de θ(h) le plu utilié: Tab..1 Modèle de aturation effective (humidité) Se (h), d'aprè (Trégarot 000). Auteur() Modèle θ(h) Remarque Brook et Corey (1964) θ θ d θ θ θ d = hb h 1 / b θ = h > h b h < h b Modèle à 4 paramètre : θ, θ d, h b, b. Brutaert θ θ d 1 Modèle à 4 paramètre : (1966) = n θ θ θ 1 + ( αh), θ d, α, n. Campbell (1974) Van Genuchten (1980) d 1 / b θ hb = h < h b θ h θ = h > h b θ θ θ d θ θ d 1 = 1 + ( αh) n m Modèle à 3 paramètre : θ, h b, b. Modèle de Brook et Corey, privé du paramètre θ d. Modèle à 5(ou 4) paramètre : θ, θ d, m, n, α. m = 1 : modèle de Brutaert ; m = 1 - /n : modèle de Burdine ; m = 1-1/n : modèle de Mualem.

26 Exponentiel où : θ θd θ θ θ = θ d = e α ( h hb ) Modéliation de écoulement à denité variable 0 h < h b h > h b Modèle à 4 paramètre : θ, θ d, α, b. Modèle apparenté au modèle K(h) exponentiel de Gardner et de Rijtema. - le paramètre h b ou -1/α (négatif) et un facteur d'échelle, lié à la preion d'entrée d'air audeu de laquelle le ol et pratiquement aturé (θ θ ). Il repréente aui la hauteur de la frange capillaire e développant au-deu de zone aturée en eau. Cette frange correpond à peu prè à l'intervalle de preion préentant un palier ignificatif de teneur en eau. - le paramètre b ou 1/(m.n) (poitif) et un facteur de forme adimenionnel indiquant la «rapidité» de la cinétique de tranition entre l'état aturé et l'état ec en fonction d une variation de preion. Pour plu de détail ur l interprétation de ce paramètre, voir Ababou (1991, Chap.4). II Modèle de K { θ(h) } La conductivité hydraulique dépend de l état de aturation du ol, et donc de la preion. Lorque l humidité du ol augmente, le force capillaire deviennent plu faible et le particule du milieu poreux réite moin à l écoulement. La conductivité hydraulique diminue lorque le milieu e déature. Sa valeur maximale et obtenue à aturation K S. La conductivité hydraulique en écoulement variablement aturé peut être définie comme le produit de la conductivité à aturation K S et de la conductivité relative K R par analogie avec le ca de écoulement diphaique non micible : K ( θ ) = K S K ( θ ) (.3) R La conductivité relative K R varie entre 0 et 1. Le courbe K r (h) ont définie à partir de modèle K r (Se) ou K r (q) en utiliant un de modèle empirique de θ(h). Le modèle le plu connu de K r (Se) ont de fonction puiance. Il repréentent le milieu poreux comme de tube capillaire en parallèle. Parmi le modèle de K r (h) on peut citer le modèle de Child et Colli-George (1950) (voir éq. (.4)), le modèle de Burdine (1953) (voir éq. (.5)), et le modèle de Mualem (1976) (voir éq. (.6)). K r ( S e K ) r 1 [ S S ] d S [ 1 S ] S e n CCG e e e = S e h ( S ) 0 e 0 K ( S r e ) ( S e S e 1 n + 1 d S B e = S e h ( S ) 0 e 0 ) d S h ( S e h ( S S e 1 d S e d S e h ( S ) ( ) 0 e h S 0 e e e ) e d S ) 1 e 1 (.4) (.5) M (.6) n = S e Le modèle K(S e ) de Mualem (1976) aocié au modèle S e (h) de Van Genuchten (1980) donne: avec la relation : m = 1-1/n. n 1 n m [ 1 ( αh) [ 1 + ( αh) ] ] n / [ 1 + ( αh) ] K r ( h) = m (.7)

27 Modéliation de écoulement à denité variable 1 Le même modèle de K(Se) (Mualem 1976) aocié cette foi-ci au modèle Se(h) de Brook et Corey (1964) donne: K r ( h ) II -.5 Écoulement 3D aturé à denité contante +,5 / b hb = (.8) h Dan le ca de milieux poreux compreible complètement aturé (h > 0), l'équation d'écoulement et écrite en terme de la charge hydraulique ou potentiel total H = h + g B x, omme du potentiel de preion et du potentiel gravitaire. Elle peut être déduite de équation précédente et de écoulement variablement aturé, avec h > 0 : H S ( x) =. x) + t où : S [ K ( H ] Q (.9) : torativité pécifique (m -1 ) qui traduit la compreibilité de l eau et de la matrice olide ; K K = xx K yy K zz : teneur de conductivité hydraulique (m/) à aturation (h > 0) dan le repère principal d'aniotropie (Ox,Oy,Oz). L'équation (.9) et linéaire et parabolique (elliptique i le terme de torativité pécifique S = 0). II -.6 Ecoulement D en nappe à denité contante- Dupuit Dan le ca de modéliation à grande échelle ou de modéliation tochatique Monte carlo qui demande beaucoup de reource, l utiliation de l approximation de Dupuit, lorqu elle et applicable et une bonne alternative. L'approximation de Dupuit revient à intégrer verticalement le équation d écoulement (ou orthogonalement aux éponte de l'aquifère). L hypothèe principale et que le écoulement ont conidéré quai-horizontaux. Ce hypothèe ont aez bien atifaite loin de exutoire (ource, rivière, urface de uintement, etc.) ou de ligne de crête (plan de flux nul). Elle e jutifient, d'une part par le fait que le nappe étudiée ont une extenion horizontale de la dizaine à la centaine de kilomètre, bien upérieure à leur extenion verticale (de l'ordre de la dizaine à la centaine de mètre), et d'autre part par le fait que le aquifère ont une uperpoition de couche dont le pendage et faible, de l'ordre de 1 à quelque 1 %. Tout concourt donc pour laier un rôle econdaire à la coordonnée verticale de l'epace et remplacer le problème 3D par un problème D. L'équation de écoulement réultante et appelée équation de Bouineq de écoulement plan. La réolution de cette équation D peut e faire ur de trè large ytème et ne demande comme principale entrée que la ditribution verticalement intégrée de conductivité et poroité efficace (pour le nappe libre), obtenue généralement lor de eai de pompage dan le nappe. II Equation en écoulement D plan en nappe libre Ce équation correpondent, ou forme verticalement intégrée, à de écoulement aturé de type Darcy, comportant une urface libre au-deu de laquelle le milieu et uppoé ec (an écoulement interne). Le hypothèe de bae ont : (i) écoulement quai-plan (x,y), (ii) vidange et rempliage intantané de la poroité efficace au cour de mouvement de la nappe.

28 Modéliation de écoulement à denité variable La loi de comportement de Darcy exprime le débit pécifique Q (en m 3 //m), ou bien la denité de flux q (en m 3 //m ), comme uit : L'équation de conervation de mae écrit : Q = ηq = K η Z (.30) avec : Z φe = div[ Q ] = div[ ηq] (.31) t φ e = θ - θ d : poroité efficace de l'aquifère pour une nappe libre (m 3 /m 3 ) ; η = Z - Z inf : tirant d eau, puiance ou épaieur de la nappe (m), depui le toit du ubtratum de cote Z inf juqu'à la urface libre de cote Z ; K : teneur de conductivité hydraulique à aturation dan le repère xx K = principal d'aniotropie (m/). Kyy Nou en déduion l équation d écoulement : Z t = div [ η Z ] φe K (.3) Nou pouvon aui reformuler cette équation en faiant apparaître le tirant d eau η comme eule inconnue : φ e η = div[ K η η] + div[ K η Zinf ] (1) (.33) t où l on a, dan le ca général d une nappe phréatique dan un aquifère hétérogène et à ubtratum variable : η = η(x,y,t) = Z (x,y,t) - Z inf (x,y), K = K (x,y), φ e = φ e (x,y). L'équation (1) et non linéaire, de type parabolique. Elle fait apparaître la compoante gravitaire de l'écoulement ou la forme d'un terme d'advection ( ème terme de droite), 'ajoutant aux effet de diffuion hydraulique (1 er terme de droite). Lorque le plancher de la nappe et horizontal, l'écoulement et diffuif pur. L'équation (1) uppoe que la charge hydraulique totale H et contante ur une verticale et égale à la côte Z de la urface libre. On conidère aui et que la poroité φ e et la conductivité K ont également contante ur une verticale, ou faiblement variable autour d'une valeur moyenne. Cependant, nou pouvon aui trouver (1) ou la forme : η φe = div[ T η] + div[ T Z inf ] () (.34) t où T = T(x,y,t) et la tranmiivité hydraulique (m /), ouvent préférée à la conductivité hydraulique par le hydrogéologue, et définie par : Z T = K dz, avec cette foi, K = K (x,y,z) (.35) Z inf Lorque le variation temporelle de la urface libre Z ont négligeable par rapport à la valeur moyenne de l'épaieur η = Z - Z inf, ou lorque la répartition verticale de K et telle qu'elle entraîne de faible variation temporelle de T, alor T = T(x,y) et l'équation () devient linéaire.

29 II -.6. Equation en écoulement D plan en nappe captive Modéliation de écoulement à denité variable 3 Une nappe captive et une couche aquifère entièrement aturée en eau, confinée entre couche appelée éponte, imperméable (aquiclude) ou faiblement perméable (aquitard), et dan laquelle la charge hydraulique totale H de l'eau et upérieure à la cote du toit Z up de la nappe. De plu, la compreibilité de l'eau (ρ = ρ(x,t)) et du milieu poreux (φ e = φ e (x,t)), pore et grain olide compri ne ont cette foi pa négligé. Cependant, bien que le milieu poreux oit compreible, a vitee de déplacement et négligée par rapport à celle de l'eau. L'équation de écoulement en nappe captive 'écrit : avec : [ (Z Z ) H] H S = div K up inf (3) (.36) t S : coefficient d'emmagainement de la nappe captive (m 3 /m 3 ), obtenu par intégration verticale du coefficient d'emmagainement pécifique S (m -1 ) qui tient compte de la compreibilité de l'eau et du milieu poreux ; H : charge hydraulique totale (m) moyenne ur l'épaieur aturée Z up - Z inf ; K K = xx K yy : teneur de conductivité hydraulique à aturation dan le repère principal d'aniotropie (m/), itué dan le plan de éponte. Dan le ca général d une nappe confinée en aquifère hétérogène et à plancher et toit variable, nou avon : S = S(x,y), H = H(x,y,t), K = K (x,y), Z up = Z up (x,y), Z inf = Z inf (x,y). L'équation (3) et de type parabolique, linéaire en raion de la tranmiivité contante II -.7 Méthode de réolution numérique T(x, y) = K [Zup - Zinf ] (.37) L application de méthode numérique permet de remplacer une équation aux dérivée partielle ou un enemble d équation aux dérivée partielle, par un ytème d équation algébrique ou un enemble de ytème d équation algébrique. La réolution de l équation originelle e réume alor à la réolution du ytème d équation obtenue par application de ce méthode. Pour ce faire, pluieur méthode efficace exitent, et diffèrent principalement par la manière avec laquelle ont obtenu le ytème d équation algébrique équivalente et parfoi aui de l approche du problème. Le méthode numérique ont principalement baée ur le différence finie ou le élément fini. Une introduction à la modéliation numérique en hydrogéologie et diponible dan bon nombre de livre de bae tel que ceux de Bear et Verruijt (1987), Kinzelbach (1986), Wang et Anderon (198), et dan d autre travaux pécialié tel que ceux de Celia et Gray (199), Itock (1989), Gray (1984), Lewi et Robert (1984), Naraimhan (1984) et Huyakorn et Pinder (1983). D autre méthode numérique ont aui utiliée telle que le différence finie intégrée (volume fini) ou la méthode de l équation de l intégrale de la frontière (boundary integral equation method) (Liggett et Liu, 1983).

30 II - 3 MODELISATION DES ECOULEMENTS A DENSITE VARIABLE II Denité et concentration Modéliation de écoulement à denité variable 4 La denité intervient comme variable dan le équation d'écoulement en milieux poreux. Or la denité dépend aui de pluieur autre variable comme la température (T), la preion (p), et la concentration (Ci) de différent contituant du fluide. ρ = f ( Ci, p, T ) (.38) Cette interdépendance lorqu'elle ne peut pa être négligée, nou mène à conidérer le couplage à denité variable. Ce problème appliqué aux milieux poreux ont rencontré dan différent ytème naturel et indutriel en hydrogéologie (ou hydrologie outerraine), en géophyique, en génie de réervoir, en génie nucléaire, et en génie de matière. Le application varient du tranport de polluant dene, à l'intruion aline en aquifère côtier, à l'infiltration de lixiviat dan le décharge et le tockage de déchet indutriel, à la conception de ytème de chauffage géothermique, à la convection dan le couche de neige, et tant d'autre (Dierch et Kolditz, 00). La même analye peut être faite ur la vicoité cinématique qui varie en fonction de la concentration, mai on effet et négligeable dan le problème qui nou intéreent (II - 3..). L'un de problème majeur en hydrogéologie ujet à l'écoulement à denité variable et l'intruion aline. En fait l intruion de l eau de mer dan le aquifère d eau douce et un phénomène naturel qui e produit dan le zone côtière. Dan une configuration claique d intruion aline l eau douce glie ur l eau alée plu lourde dont la denité et upérieure à 10 kg/m3. L eau alée forme aini un bieau dan l aquifère d eau douce. A ce phénomène vient ajouter l effet du pompage dan le aquifère côtier. Dan cette configuration une zone alée de forme conique ce forme au niveau du puit (Dierch et al. 1984, Dierch et Nillert 1990, Reilly et Goodman 1987 et Holzbecher 1995). Deux famille de modèle dont chacune intègre pluieur variante ont utiliée pour la modéliation de écoulement à denité variable appliquée à l'intruion aline : La première repoe ur le équation couplée du tranport et d'écoulement de fluide micible. Parmi le travaux de recherche qui ont utilié cette méthode on peut citer : Segol et al. 1975, Huyakorn et al. 1987, Frind 198, Vo (1984,1999), Vo et Souza (1987), Putti et Paniconi (1995), Dierch (1988), Kolditz et al. (1998). Cette méthode a vu un fort développement avec l'augmentation de la performance et de la capacité de calculateur depui une 0 année. Dierh et Kolditz (00) préentent un état de l art de cette méthode. La econde conidère deux fluide non-micible avec une interface abrupte le éparant. Pluieur formulation exitent pour cette approche. Certaine ont baée ur le modèle de uivi d interface. D autre reemblent aux écoulement multiphaique en milieux poreux. Dan le ca où la zone alée et quai tatique, l'hypothèe de Badon-Ghyben (1888) et de Herzberg (1901) et appliquée. Nou utilieron cette approche pour développer notre modèle 3D d'intruion aline. Le deux approche eront préentée dan le deux ection uivante. II - 3. Approche avec zone de mélange (diffuion) II Equation de tranport en milieux poreux Le modèle mathématique du tranport de el dan le milieux poreux ont baé ur le travaux de Henry (1959) et Bear (197, 1979). L'approche conite à coupler l'équation d'écoulement et de tranport à l'aide d une équation d'état qui relie la denité du oluté à la concentration du oluté dan la olution. L'équation de tranport décrit troi mécanime de tranport : la convection la diffuion et la diperion (voir figure.3) :

31 Modéliation de écoulement à denité variable 5 l advection et le mécanime de déplacement du oluté par le fluide : la diffuion exprime le flux du oluté d une région de forte concentration à une région de faible concentration due au mouvement Brownien de ion et molécule. En condition permanente et en ca de faible gradient de concentration, ce phénomène et décrit par la loi linéaire de Fick : la diperion et le mécanime de diffuion du panache de concentration, dan la direction et à traver l écoulement due à l hétérogénéité préente à toute le échelle. La diperion conduit à une uniformiation du front de concentration. L'équation de conervation de mae de oluté et donnée par: ( θρc ) = j t adv j diff + ρ Q où j adv et le flux adjectif ; j diff et le flux diffuif réultant de la diffuion moléculaire et la diperion ; C et la concentration de terme ource ; Q et le flux de terme ource. C (.39) L'introduction de loi phénoménologique dan l'équation de conervation de mae de oluté donne l'équation uivante : ( θρc ) = ρφv C + ( ρφd C ) + ρqc (.40) t où V et le vecteur de vitee effective en [L/T] et D le teneur de diperion C Advection X C Advection et diffuion C Advection, diffuion et diperion X X Fig..3. Repréentation 1D de différent proceu intervenant en tranport. En développant cette équation on obtient : C ( θρ ) θρ + C = θ ( ρφv ) ρφv C + ( ρφd C ) + ρqc (.41) t t On multiplie l'équation de conervation de mae de l'écoulement par C :

32 ( ρθ ) C = C.( ρq) + Cρ t Modéliation de écoulement à denité variable 6 S Q S Enfin on outrait l'équation (.4) de l'équation (.41) : (.4) C θρ = ρφv C + ( ρφd C ) + ρq( C C ) (.43) t Le coefficient de diperion du teneur de diffuion ont obtenu par une de méthode uivante : Model géométrique (Taylor et Ari) : Dan ce modèle, le coefficient ont obtenu pour une configuration imple, déterminite. Par exemple, dan un milieu contitué de cylindre, le coefficient de diperion Dii et donné par : o écoulement parallèle aux cylindre : Dxx = 0.00 Pe (.44) D m o écoulement perpendiculaire aux cylindre : Dxx 1.7 = 0.07 Pe (.45) Dm où Pe et le nombre adimenionnel de Peclet qui exprime le rapport entre la convection forcée (advection) et la diffuion moléculaire. Le nombre de Peclet et donné par : V L Pe = (.46) D m où V et la vitee moyenne d écoulement [L/T] et L une longueur caractéritique [L] Méthode tochatique de changement d échelle (ou Method of Volume Averaging) : Dan le méthode de changement d échelle, le propriété macrocopique ont calculée pour pluieur configuration d hétérogénéité à partir de changement d échelle (Dagan 198, Gelhar et Axne 1983). Le réultat obtenu prennent la forme du modèle de puiance : D xx = b a Pe D (.47) m tel que 1 < b <. Pour de cylindre aléatoirement organié en couche : a=0.7 et b=1. Modèle tatitique (Bear 1961, Scheiddegger 1961) : Le teneur de diperion et donné par : VV D = Dm I + ( α L αt ) + α T V I (.48) V avec D m la diffuion moléculaire effective aprè prie en compte de la tortuoité en [L /T], I le teneur unité et α L et α T le coefficient de diperivité intrinèque, longitudinale et tranverale en [L]. Le coefficient α L et défini dan la direction principale de l'écoulement. Il varie de pluieur ordre uivant le degré d'hétérogénéité du domaine et la longueur de l'écoulement (Gelhar 198). Le coefficient α T et défini uivant la direction tranverale à la direction principale de l'écoulement, Il et plu petit. En pratique on prend α T = 0.1 à 0.01 α L. Le compoante du teneur de diffuion regroupant la diffuion moléculaire et la diperion obtenue par la méthode tatitique ont donnée par (Bear 1979):

33 Modéliation de écoulement à denité variable 7 D D D xx yy zz = = = 1 vx 1 vy 1 vz α L + αt + αt + θ v θ v θ v 1 vy 1 vx 1 vz α L + αt + αt + θ v θ v θ v 1 v v z 1 vx 1 y α L + αt + αt + θ v D D D xy xz yz = D = D = D yx zx zy = = = θ v ( α α ) L T ( α α ) L T ( α α ) L T θ v 1 vxv θ v 1 vxv θ v y z 1 vyv θ v z D D D m m m τ τ τ xx yy zz (.49) D m repréente la diffuion moléculaire et ( τ xx, τ yy, τ zz ) ont le compoante principale du teneur de tortuoité. Ce modèle a été largement étudié dan le travaux de Lever et Jackon (1985), Haanizadeh (1986), Kolditz et al. (1997) parmi d'autre. II Couplage de l'équation d'écoulement et de tranport Le couplage e fait à l'aide d'une équation d'état qui relie la denité à la concentration et une équation contitutive qui relie la vicoité à la concentration. Equation d'état Le équation d'état ont le relation entre le variable d'état d'un ytème à l'équilibre thermodynamique. La denité et exprimée en fonction de la concentration (à température contante). Henry (1964), Frind (198), Huyakorn et al.(1987) et Vo et Souza (1987) donnent la denité ρ en fonction linéaire d une denité de référence ρ 0 et de la concentration C : ρ = ρ0 (1 + ε c) (.50) où : ρ 0 et la denité de l eau douce [M/L 3 ]; ρ ρ0 ε = et le contrate de denité [-]; ρ0 ρ et la denité à concentration maximale [M/L 3 ]; C c = et la concentration normaliée [-]. C max ρ Kolditz et al. (1996) propoent d'utilier une loi exponentielle qui permet d'obtenir β c ρ C = : βc ( C C0 ) ρ ( C) = ρ0 e (.51) où β c et un paramètre qui rete à déterminer. Vogel (1995) propoe d'utilier une relation "parfaite", analogue à l équation de gaz parfait : C ρ C C + C max max = (.5) ( c) ρ0 ρmax

34 Modéliation de écoulement à denité variable 8 En prenant en compte l équation d'état linéaire ρ (C) de l équation (.50) et en l inérant dan l'équation d écoulement (.16), on obtient : avec : p θ ρ C θ 1 ρs θ S p + + = ρq + Q t ρ C t t ( ) ρ ρ S = S / ρ g. p f En introduiant maintenant la loi de Darcy, on obtient : S (.53) p ρ ε C θ ρ θ S p + θ + = [ ρ K ( p ρ g )] + QS t ρ C t t 1 0 (.54) max ρ ρ En conidérant la charge hydraulique de l eau douce comme variable d'état, on obtient enfin : h f ρ ε C f 0 1 f θ S + θ + = ρ K h f z + t ρ C t t ρ + ρ max f θ ( h ) Effet rétroactif de la vicoité ρ ρ ρ Q ρ (.55) La vicoité cinématique varie en fonction de la concentration en el et de la température. Dan notre ca, on conidère la vicoité à température ambiante. Le modèle qui donnent la variation de la vicoité en fonction de la concentration «c» ont de nature empirique. Herbert et al. (1988) propoent le modèle uivant : 3 3 μ = ( c c c ) (.56) La figure (.4) montre l évolution de la vicoité cinématique en fonction de la concentration à température ambiante. Cette variation et faible pour de faible valeur de concentration. Aini elle et négligée dan la plu part de ituation.,00e-03 1,90E-03 vicoité (m /) 1,80E-03 1,70E-03 1,60E-03 1,50E-03 1,40E-03 1,30E-03 1,0E-03 1,10E-03 1,00E , 0,4 0,6 0,8 1 II concentration Fig..4 Variation de la vicoité cinématique (m /) de l eau en fonction de la concentration en el à température ambiante. Condition limite Le troi condition limite claique appliquée ont le uivante.

35 Modéliation de écoulement à denité variable 9 Condition de Dirichlet : pécification d une concentration à la frontière c = f ( x, t) ; cette condition et appliquée par exemple à la frontière avec la mer, pour un problème d intruion aline. Condition de Neumann : pécification du flux normal de oluté à la frontière : ρ D c n = f ( x, t). Condition de Cauchy : cette condition et équivalente à pécificier un flux de oluté «limité» par une condition de concentration : ( ρ D c ρqc) n = f ( x, t). II Méthode de réolution numérique La réolution numérique du ytème d équation de tranport et d écoulement couplé et un vrai challenge numérique, à caue de la non-linéarité de deux équation et de leur interdépendance. Dan l équation de tranport, la difficulté majeure et le calcul du terme de diperion. Afin de faciliter le calcul, Eink (001) traite éparément l opérateur d advection et celui de diperion, avec de méthode numérique adaptée à chacun. Il utilie pour l opérateur d advection une méthode lagrangienne (méthode de caractéritique) tandi qu il utilie pour l opérateur de diffuion une méthode eulérienne (différence finie). L utiliation de méthode de caractéritique permet de diminuer le ocillation numérique et la diperion numérique. Paniconi et Putti (1995) montrent que l importance du couplage et le degré de non-linéarité dan l équation du tranport décroît dan le même en que le contrate de denité ou lorque la diperion devient dominante. Dan le ca de fort contrate de denité (> 0%), rencontré dan le problème de leivage de dôme de el, Herbert et al. (1988) propoent une technique de paramétriation graduelle (Parameter tepping) et une interpolation mixte pour le calcul de vitee. La technique de paramétriation graduelle et analogue à la méthode propoée pour la imulation de milieu fortement hétérogène que nou propoon dan le Chapitre 4. Dan l équation d écoulement, pour accélérer le calcul numérique, pluieur approximation ont utiliée pour la réolution du ytème d'équation d'écoulement et de tranport. La première conite à conidérer que la variation patiale de la denité et plu faible par rapport à la variation temporelle (Bear 197), ce qui donne l approximation : ( ρ q) ρ q La deuxième et l'approximation de Oberbeck Bouineq, qui conite à négliger la variation de la denité dan l'équilibre de mae ; avec cette approximation, eul le flux de Darcy dépend de la variation de denité. Youne (003) fait une étude comparative de ce deux approximation et de la olution complète en utiliant de problème tet claique. Il conclut que la première approximation donne le meilleur compromi entre exactitude de la olution et temp de calcul (40% de moin que la olution complète). II Approche avec interface abrupte (an diffuion) II Introduction Dan l approche «interface abrupte», on conidère l eau alée et l eau douce comme deux fluide non-micible éparé par une interface : voir figure (.5). L interface eau alée / eau douce et une urface imperméable en équilibre de preion. Autrement dit, la preion et continue de part et d autre de l interface. Par contre, la denité du fluide et dicontinue de part et d autre de l interface. Il agit donc d un modèle à deux fluide non micible, an diffuion de el.

36 Modéliation de écoulement à denité variable 30 zone eau alée pt interface abru e zone eau douce Fig..5 Repréentation du domaine dan l'hypothèe d'une interface abrupte. Deux méthode ont poible pour la réolution de l intruion aline avec une approche de type interface abrupte (voir figure.6). - La première et une méthode de uivi d interface (urface tracking) qui conite à divier le domaine en deux région ditincte dont chacune et aociée à une équation d écoulement. Enuite, la olution de deux équation et utiliée pour retrouve la poition de la urface qui repréente l interface eau douce / eau alée (Bear, 1999). La méthode de uivi d interface peut être appliquée aui dan le ca D ou quai 3D. - La deuxième méthode, dite multi-phaique, conite à conidérer l'eau alée et l'eau douce comme deux fluide non-micible éparé par une interface, l écoulement de chaque phae fluide étant cependant réolu dan l enemble du domaine, de telle façon que la poition de l interface et obtenue implicitement à la fin de la réolution du problème. Au niveau de l'interface il n'y a pa de mélange (pa d échange de mae) entre le deux phae fluide. Théoriquement aucune diffuion n'et permie au niveau de l'interface abrupte.

37 Modéliation de écoulement à denité variable 31 Modèle à interface abrupte Approche avec uivi d interface Approche Multiphae San uivi d interface Formulation en 3D Formulation en 3D Multiphae Formulation quai 3D (multicouche) Intégration verticale Formulation en D Hypothèe de G-H Formulation en D (G-H) Formulation en 3D (G-H) Formulation en 3D (G-H) II Fig..6 Le différente variante et approximation de modèle à interface abrupte pour la modéliation de écoulement à denité variable. Approche avec uivi d interface 3D Cette approche appartient plu généralement à la famille de approche de uivi d interface en mécanique de fluide. Elle et préentée par exemple dan Bear et al. (1999) pour le ca de l intruion aline en milieu poreux (aquifère côtier). Equation d écoulement dan l eau douce et l eau alée On conidère un écoulement en milieu poreux aturé, tant pour le fluide «eau douce» que pour le fluide «eau alée». Dan chaque fluide, on utilie la loi de Darcy claique pour obtenir le équation d écoulement (écoulement monophaique dan chaque zone). L équation d écoulement dan la zone d eau douce et donnée par : f f f [ K ( H ] Q f f H S ( x) =. x) + t L équation d écoulement dan la zone d eau alée et donnée par : [ K ( H ] Q H S ( x) =. x) + t (.57) (.58)

38 Equation de l interface éparant le deux fluide Modéliation de écoulement à denité variable 3 Le deux fluide ont éparé par une interface abrupte repréentée par une urface. Cette urface de éparation et définie par l équation : F ( x, y, z, t) = 0 aini que par a vitee u et par le vecteur normal n tel que : F F n =, u F = F t On déigne par τ la poition de l interface. A tout intant, la continuité de la preion de part et d autre de l interface donne : S f τ ( x, y, t) = H (1 + ε ) H ε (.59) f ρ où ε = repréente le contrate de denité entre l eau douce et l eau alée. f ρ ρ La condition de flux nul à traver l interface pour la région d eau douce et donnée par : f q φ u n = 0 En inérant le différente expreion dan l équation précédente, on obtient : f f f [ ( ) H ] [ z (1 + ε H + ε H ] (.60) f H H φε φ( 1 + ε ) = K x ) (.61) t t En appliquant le même calcul pour la zone d eau alée, on obtient de même : f [ ( ) H ] [ z (1 + ε H + ε H ] f H H φε φ( 1 + ε ) = K x ) (.6) t t II Approche multicouche quai 3D Dan ce type d approche, l aquifère et repréenté par un ytème multicouche, contitué de couche perméable parallèle (ub-horizontale) éparée par de couche emi-perméable ou confinante. L écoulement et intégré verticalement dan chaque couche perméable, tout en conidérant un terme d échange vertical entre le couche. Ce terme d échange provient de l intégration de l équation d écoulement 3D. De plu, l écoulement dan chaque couche et repréenté par deux équation : une pour l eau douce et une autre pour l eau alée. La poition de l interface et déduite de la olution de équation couplée d écoulement. Une méthode de uivi d interface et néceaire pour déterminer la poition exacte de l interface. L échange vertical entre le couche et implémenté d une façon empirique et il ne prend pa en compte la différence de denité entre le couche. Un terme ource vertical d une zone alée e dévere dan une zone d eau douce an prie en compte de la différence de denité. Ce type de modèle a été propoé par Eaid (1990a), et il et implémenté par exemple dan le code numérique SHARP (Eaid, 1990b). Le modèle D appliqué dan chaque couche et celui décrit dan le chapitre IV avec de terme ource qui expriment le échange entre le couche.

39 II Approche diphaique 3D Modéliation de écoulement à denité variable 33 Dan cette ection, on préente le équation d écoulement diphaique qui régient l écoulement de deux fluide non-micible et actif (en mouvement) dan un milieu poreux. Selon le contexte, on conidèrera oit le ca général de deux fluide (mouillant et non-mouillant), oit le ca plu particulier de l intruion aline à deux fluide de denité différente (qui nou intéree plu pécialement ici). Equation de conervation de mae et de conervation de QDM L équation de conervation de mae écrit, pour chaque phae : Θ α + q α = S α t (α=1,) (.63) La loi de Darcy, ou loi de quantité de mouvement dan chaque phae, écrit : q ρ ( p ) K ( pc ) [ p + ρ g z] (α=1,) (.64) α = α α α α α Modèle contitutif K(p) et Θ(p) Ce modèle ont le même que ceux préenté dan le.4, mai il doivent être redéfini ici pour le deux fluide de façon adaptée au problème de l intruion aline (voir Chapitre III). Contrainte phyique o Contrainte capillaire (fluide mouillant et non mouillant) La coexitence de deux preion différente entre la phae 1 non-aqueue et la phae aqueue dan un même volume et expliquée par la tenion interfaciale. La tenion interfaciale et prie en compte dan la preion capillaire qui dépend de la aturation. L équilibre de preion au ein d un même volume, en ituation tationnaire, nou donne aini : p c = p1 p = f ( Θ ) avec 1 = phae non aqueue ; = phae aqueue o Contrainte de conervation du volume : (.65) Cette contrainte relie la aturation de deux phae à la poroité effective du milieu. Elle exprime la conervation de mae au ein d un VER. Méthode de réolution θ Θ Θ 1 = + (.66) ρ1 ρ Le équation diphaique peuvent être formulée en preion, en aturation, ou en formulation mixte (preion pour la phae 1 et aturation pour la phae ). Wu et Foryth (001) font une étude comparative pour le choix de la meilleure variable appropriée pour le équation de Richard (milieux non aturé), le équation diphaique et tri-phaique en milieux fortement hétérogène. Il recommandent l utiliation de la formulation en aturation pour l équation de Richard, une formulation mixte en preion-aturation pour le ytème diphaique, et une formulation aturationpreion-aturation pour un ytème tri-phaique. L équation de Richard correpond bien à un problème diphaique avec deux phae fluide, eau / air, mai avec une eule de deux phae dynamiquement active, l eau.

40 II Hypothèe de Ghyben-Herzberg Modéliation de écoulement à denité variable 34 Une érie d hypothèe permet de implifier le traitement du problème d intruion aline dan le cadre de l approche interface abrupte à deux fluide. Ce hypothèe ont été initialement propoée par Badon-Ghyben (1888), pui enuite par Herzberg (1901). Elle peuvent e réumer aini : l eau alé et l eau douce ont immicible (interface abrupte) ; le bieau d eau alée et conidérée comme quai-hydrotatique ; la nappe d eau douce et uppoée verticalement hydrotatique (écoulement plan). Dan une configuration comme celle de la figure.7, avec un exutoire d eau douce uppoé réduit à un point, le principe de Ghyben-Herzberg permet d obtenir une relation entre h et H : ρ g(h + H) = ρ gh (.67) d Cette relation et obtenue en impoant la relation de continuité de preion de part et d autre de l interface douce/alée, et en appliquant le hypothèe quai-hydrotatique précédente dan le deux nappe (douce et alée). On uppoe aui que la preion atmophérique et contante. x L h mer interface H eau douce q eau alée plancher Fig..7 Aquifère côtier oumi à l intruion aline (la mer et à droite). On en déduit la relation entre la profondeur de l eau alée (H) et l épaieur de la lentille douce (h) : h H = (.68) ε ρ ρ0 où ε et le contrate de denité [-] : ε = avec, comme valeur indicative ε 1. ρ 40 0 La relation H = h/ε era modifiée plu loin, dan le Chapitre IV, de façon à prendre en compte une épaieur verticale non nulle de l exutoire de la nappe d eau douce à la mer, ce qui et évidemment plu réalite qu un exutoire de ection infinitéimale. En effet, dan ce dernier ca, l exutoire et un point triple ingulier triple ; la vitee de ortie de l eau douce à la mer y et infinie même i le débit de ortie de l eau douce rete fini. Finalement, en appliquant l hypothèe de Ghyben-Herzberg à l un de modèle numérique d interface abrupte (modèle de uivi d interface ou modèle diphaique), on voit que l on peut réduire le problème à deux équation en un problème à une eule équation...moyennant quand même l approximation aez retrictive d une zone alée quai-immobile.

41 Modéliation de écoulement à denité variable 35 Cependant, on verra que la zone alée peut être évolutive (quai-équilibre évolutif), et aui, que l hypothèe d écoulement plan dan l eau douce peut être levée i la continuité de preion à l interface (cf. Chapitre III) et appliquée de façon locale en 3D. II Dicuion ur le approche de modéliation Le critère de convergence de modèle de tranport en terme de taille de nœud font qu il ont inadapté pour de imulation détaillée à l'échelle régionale. Johannen et al. (00) montrent que, pour obtenir une convergence au en de grille numérique, en imulation à denité variable, il faut avoir une trè haute réolution, de plu de 18 million de nœud pour un ca tet 3D de cm. II - 4 CLASSIFICATION DES MODÈLES HYDROGÉOLOGIQUES Il et difficile d établir une claification unique de modèle hydrogéologique. Le critère ont multiple et le combinaion entre le option de chaque critère ont nombreue. Enuite une claification doit répondre à de objectif prédéfini dan le cahier de charge du projet de recherche ou d ingénierie. Dan le tableau. on préente une élection de critère de claification utiliée dan le projet de modéliation de écoulement denitaire et de projet de couplage urface/outerrain. Le tableau.3 et un exemple de tableau de claification. Ce tableau et celui du projet de recherche SALTRANS. Dan l Annexe A on préente une élection de code numérique adapté à la modéliation à denité variable (FEFLOW, SUTRA, etc.) et de modèle adapté aux écoulement couplé urface/outerrain (Mod HMS, MARTHE). Tab. Sélection de critère de claification de modèle hydrogéologique. Critère OPTIONS EQUATIONS D ECOULEMENT Saturé Non-aturé FORMULATION Charge capillaire : h Preion : h DIRECT/INVERSE Simulation directe Problème invere, optimiation DIMENSION Profil vertical 1D Section verticale D D plan 3D HETEROGENEITE Quai-analytique homogène Hétérogène COUPLAGE SURFACIQUE Couplage fort (voir chapitre 5) Couplage faible COUPLAGE DENSITAIRE Advection - diffuion Interface abrupte DISCRETISATION SPATIALE Elément fini Différence finie Volume fini Elément analytique TRANSFERT CHALEUR DE Iotherme Equation de Fourier couplée La convergence au en de grille numérique ignifie que la olution n et pa améliorée «ignificativement» en raffinant le maillage.

42 Modéliation de écoulement à denité variable 36 COMPOSANTES CHIMIQUES Pa de compoante Une compoante Multi-compoante SOLVEURS Direct Itératif Tab.3 Exemple de claification de modèle hydrogéologique utilié dan SALTRANS. Code AD EF S/U NC NF CV HT DIM SD CODEBRIGHT * p S/U 3C /3 FE d3f * p S/U 1C * /3 FV FEFLOW * h S/U 1C * (*) * /3 FE HYDRUS-D * h S/U MC * FE MOCDENSE * p S C AE MOCDENS3D * h S 1C /3 AE PSED * p S 1C AE RETRASO * p S/U MC * FE ROCKFLOW * p S/U 1C * /3 FE SALTFLOW * h S 1C /3 FE SEAWAT * h S MC /3 FD/AE SUTRA/SUTRA3D * h/p S/U 1C * * /3 FE TRANSDENSE * h S/U 1C * /3 FE AD Advection-Diperion model EF Equation Formulation in term of h = head, p = preure S/U Saturated/Unaturated NC Number of Component, MC = Multicomponent NF Non-Fickian diperion CV Conitent Velocity approximation HT Heat Tranport DIM Dimenion SD Spatial Dicretization, FE = Finite Element, FD = Finite Difference, FV = Finite Volume, AE = Analytical Element

43 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 37 Chapitre III DEVELOPPEMENT D UN MODELE 3D D INTRUSION SALINE AVEC INTERFACE ABRUPTE ET ZONE SALEE QUASI-STATIQUE

44 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 38 TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE III III - 1 Introduction 39 III - Formulation en 3D de l'intruion aline avec zone alée quai-tatique 39 III -.1 Equation de conervation de mae et de conervation de QDM 39 III -. Condition dynamique au niveau de l interface 39 III -.3 Hypothèe d une zone alée quai-hydrotatique 41 III - 3 Développement et paramétriation d un modèle de propriété hydraulique nonlinéaire équivalente pour l'intruion aline 41 III Zone d écoulement 41 III - 3. Courbe de rétention et de conductivité 4 III Capacité et Diffuivité 44 III - 4 Solution numérique au problème de l'anti-diffuion 45 III Courbe de rétention modifiée 45 III - 4. Courbe de conductivité modifiée 47 III - 5 Validation avec la olution analytique de Glover III Configuration du problème 50 III - 5. Poition de l interface 50 III Courbe de rétention 51 III - 6 Comparaion avec le problème de Henry 5 III - 7 Concluion 54

45 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 39 III - 1 INTRODUCTION Dan ce chapitre un modèle d intruion aline à interface abrupte et propoé. Ce modèle et baé ur l approche multiphaique à un fluide évoquée dan le chapitre. Contrairement à l approche multiphaique à deux fluide avec une peudo capillarité propoée par Huyakorn (1996) eul l écoulement dan l eau douce et modélié. L approche conite à adapter le modèle d écoulement non-aturé baé ur le équation de Richard aux problème de l intruion aline. Dan ce modèle le domaine et divié en troi zone : la zone aturée en eau douce, la zone non-aturée, et la zone aturée en eau alée. La diviion du domaine e fait à l aide de courbe de rétention adaptée. L écoulement en zone alée et conidéré comme quai-tatique. La zone alée et conidérée comme une zone dépourvue d eau douce et qui adapte automatiquement aux variation de l écoulement dan la zone d eau douce. L adaptation e fait en appliquant la condition de flux nul et de continuité de preion à l interface entre l eau douce et l eau alée. Cette approche a été propoée par Larabi et De Smedt (1997), Sbai (1999), et Aharmouch (003) avec de courbe de retention qui préente un problème d anti-diffuion. Dan notre modèle le problème de l anti-diffuion qui apparaît au niveau de la tranition entre la zone eau douce / eau alée et traité en propoant de courbe de retention adaptée. III - FORMULATION EN 3D DE L'INTRUSION SALINE AVEC ZONE SALEE QUASI-STATIQUE III -.1 Equation de conervation de mae et de conervation de QDM La formulation multiphaique du problème de l intruion dan le ca où le deux fluide ont actif (mobile) et baée ur la olution imultanée de équation de équation d écoulement de deux fluide aimilée à deux phae (Huyakorn 1996, Bear 1999). L équation de conervation de ma pour chaque phae écrit : Θ α + q α = S α avec α=1, (3.1) t La loi de quantité de mouvement de Darcy pour chaque phae écrit : Q ρ ( p ) K ( pc ) [ p + ρ g z] avec α=1, (3.) α = α α α α α Le deux fluide non micible (eau douce et eau alée) ont aimilé à deux phae. En plu la troiième phae (air) et conidérée de façon implicite dan chacune de deux phae. Cette troiième phae et conidérée comme non-active. III -. Condition dynamique au niveau de l interface Pour coupler ce deux équation il faut définir de condition dynamique et cinétique au niveau de l interface. Le courbe de rétention eront enuite modifiée pour répondre aux condition. La condition dynamique au niveau de l interface et donnée par la continuité de la preion à traver l interface (voir figure 3.1): P1 = P enσ( x, t) (3.3)

46 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 40 P 1 Zone d eau douce P Σ ( x, t ) Zone d eau alée Σ ( x, t) + Fig. 3.1 Repréentation de l interface abrupte entre la zone d eau alée et la zone d eau douce. On aocie à chaque fluide la charge hydraulique donnée par : H p1 p ρ g atm 1 = 1 1 p patm + z = h + z et H = + z = h + z ρ g (3.4) et (3.5) Au niveau de l interface la condition dynamique e traduit alor par: p1 p ρ g 1 atm p p = ρ g 1 atm en Σ ( x, t) (3.6) A partir de cette définition on peut définir le preion critique pour chaque fluide pour lequelle la condition dynamique et vérifiée. La preion critique exprime un état tatique ou l eau douce et l eau alée ont en équilibre. Dan ce ca eule la diffuion moléculaire exite. Mai cette diffuion faible par rapport à la taille du domaine et négligée. Pour le fluide 1 (eau douce) la valeur de la preion critique et donnée par : p patm h1 crit = ρ = ( 1+ ε ) ( H ( x, y, z, t) z) en Σ ( x, t) + (3.7) ρ1 ρ g Pour le fluide (eau alée) on a : ρ1 p1 patm h crit = = ( H1( x, y, z, t) z) /(1 + ε ) ρ ρ1 g en Σ ( x, t) (3.8) Si la preion dan un de fluide dépae la preion critique, il peut potentiellement envahir l autre fluide. On peut aini définir le potentiel d invaion. Le potentiel d invaion de l eau douce dan l eau alée en chaque point et donné par : h Pf = h P1 = (h 1crit -h 1 ) ou H pf = (H 1crit -H 1 ) (3.9) Le potentiel d invaion de l eau alée dan la zone d eau douce et donné par : h P = h P = (h crit -h ) ou H p = (H crit -H ) (3.10)

47 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 41 Si en un point de l interface, h pf ou h p ne ont pa nul, alor ce point de l interface n et pa en équilibre dynamique. Aini le potentiel d invaion peuvent être utilié comme paramètre dan le courbe de rétention pour définir de façon implicite la tranition entre la zone d eau douce et d eau alée. La réolution itérative ou imultanée de deux équation avec le courbe de rétention aini définie donnera la poition finale de l interface an avoir recour à de méthode ophitiquée de uivi d interface et d impoition de condition limite interne avec r lage. III -.3 Hypothèe d une zone alée quai-hydrotatique On conidère maintenant que la zone alée et immobile par intervalle de temp. La zone d eau alée adapte de façon ytématique aux variation de preion au niveau de l interface. Cette hypothèe et applicable : i le temp caractéritique de variation de condition limite et trè différent du temp caractéritique de l écoulement ; il n y a pa de puit de pompage dan la zone alée. Le puit fortement touché par l intruion aline ont abandonné. Alor l équation de l écoulement de l eau alée et négligée, et la preion dan la zone d eau alée et replacée par la preion hydrotatique de la mer H SEA. h SEA 1 crit ( z 1+ ε ) ( H ) ( 1: eau douce et : eau alée) (3.11) Cette relation et identique à la formulation de Ghyben-Herzberg dan la zone alée mai elle et différente dan la zone d eau douce qui n et pa verticalement intégrée. Aucune hypothèe n et formulée pour la zone d eau douce, i.e., l écoulement dan la zone d eau douce et 3D nonhydrotatique. III - 3 DEVELOPPEMENT ET PARAMETRISATION D UN MODELE DE PROPRIETES HYDRAULIQUES NON-LINEAIRES EQUIVALENTES POUR L'INTRUSION SALINE III Zone d écoulement En uivant l hypothèe de Ghyben-Herzberg, le domaine et divié en troi zone : la zone 1 non-aturée où la preion et négative à caue de la uccion : h(x,t) < 0 (3.1) la zone d eau douce définie par une preion poitive plu faible que la preion de la zone alée hydrotatique. 0 h(x,t) h crit (3.13) la zone 3 d eau alée définie par une preion upérieure à la preion hydrotatique critique. Cette zone et aturée en eau alée. Dan ce modèle la zone alée et une zone imperméable à l eau douce donc qui ne contient pa de l eau douce. L eau alée n et préente que conceptuellement. Cette zone a une teneur nulle en eau douce. h(x,t) > h crit (3.14)

48 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 4 III - 3. Courbe de rétention et de conductivité Le courbe de rétention et de conductivité ont changée pour prendre en compte cette modification. Le courbe propoée doivent traduire la dynamique de l écoulement de l eau douce en incluant le preion critique. La première et la preion critique qui définit la zone de frange capillaire. La deuxième et la preion critique qui définit l interface entre l eau douce et l eau alé. Dan un premier lieu on propoe de courbe de rétention qui peuvent décrire le deux tranition. Aini la courbe de la teneur en eau du modèle de Van Genuchten Mualem devient : pour h < 0 pour 0 h h crit pour h > h crit θ θd 1 = θ θd 1+ ( αh) n m θ = θ (3.15) θ 1 n' 1 ( hpf ) = θ + α m' avec h pf =h crit -h La courbe de la teneur en eau pour le modèle exponentiel devient : pour h < 0 θ θd θ θ d = e β h h ) ( b pour 0 h h crit pour h > h crit θ = θ (3.16) θ θ ( h b ) pf h = e β avec h pf =h crit -h La courbe de conductivité pour le modèle de Van Genuchten Mualem et donnée par : pour h < 0 pour 0 h h crit K K K r K r = n ( ) / ( 1 ( ) ) n m + α h 1+ ( α h) K = K at (3.17) 1 m K K pour h > h crit K K r 1+ ( α h ) r = avec h pf =h crit -h n ( ) ' pf n m ( ) '/ 1+ ( α h ) La courbe de conductivité pour le modèle exponentiel et donnée par : pour h < 0 K K K r K r = e pf α ( h hb ) 1 m pour 0 h h crit pour h > h crit K = K at (3.18) K K K r K r = e α ( h pf hb ) avec h pf =h crit -h

49 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 43 On voit dan le figure 3. et 3.3 le courbe de teneur en eau et de conductivité hydraulique repectivement et pour le modèle Van Genuchten Mualem et exponentiel. Le différente zone (1, et 3) obtenue ont indiquée ur la figure ,40 0,35 h=0.0 h cri 0,30 Mualem Exponentielle 0,5 θ(h) 0,0 0,15 Zone1 Zone Zone 3 0,10 0,05 0, h (m) Fig. 3. Première propoition de courbe de rétention pour le modèle de l intruion aline en 3D. 1, 1,0 h=0.0 h cri Mualem 0,8 Exponentielle K(h) 0,6 Zone 1 Zone Zone 3 0,4 0, 0, h (m) Fig Première propoition de courbe de conductivité pour le modèle de l intruion aline en 3D.

50 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 44 III Capacité et Diffuivité Dan la uite de ce paragraphe, on calcule la capacité (figure 3.4) et la diffuivité dan le ca du modèle de Van Genuchten Mualem. On montre que le modèle propoé induit une diffuivité négative au niveau de la tranition de la zone aturée en eau douce à la zone 3 aturée en eau alée. dθ La capacité définit par C( h) = donne dan le ca de Van Genuchten Mualem : dh mn α ( θ θ d ) ( αh) C ( h) = m ( αh) pour h < 0 n 1 [ ] pour 0 h h crit C ( h) = 0 (3.19) n 1 mn α ( θ θ d ) ( α h C ( h) = m ( α h ) pour h > h n 1 crit [ ] avec h pf =h crit -h pf pf ) n 1 0,5 0,0 0,15 h=0.0 h cri C(h) Mualem 0,10 C(h)=dθ/dh 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15-0,0-0, h Fig. 3.4 Capacité obtenue pour le premier modèle de Van Genuchten Mualem propoé. A partir de la capacité on calcule la diffuivité donnée par : C( h) D ( h) = (3.0) k( h) Etant donné que la capacité et négative ur la tranition de la zone ver la zone 3 et de la zone 3 ver la zone, la diffuivité era aui négative (voir figure 3.5). Ce réultat et fortement contraignant car il implique de valeur diagonale négative dan la matrice du ytème linéaire. Aini la matrice ymétrique du ytème n et plu définie poitive et la olution de la matrice n et plu table.

51 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 45 6,0E+0 4,0E+0 D(θ) Mualem tranition zone --> zone 1,0E+0 D(θ) 0,0E+00 -,0E+0 tranition zone --> zone 3-4,0E+0-6,0E+0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 θ Fig. 3.5 Diffuivité obtenue pour le premier modèle de Van Genuchten Mualem propoé. III - 4 SOLUTION NUMERIQUE AU PROBLEME DE L'ANTI-DIFFUSION Pour palier au problème de l anti-diffuion obtenu par la conception même de courbe de rétention, de nouvelle courbe de rétention ont définie. Ce courbe permettent d obtenir le même effet que le courbe définie dan le paragraphe précédent mai en contournant le problème de l antidiffuion par un Dirac au niveau de l interface. III Courbe de rétention modifiée Le nouvelle courbe de teneur en eau pour le modèle de van Genuchten Mualem ont définie de la manière uivante : pour h < 0 θ θ d θ θ d 1 = 1+ ( αh e1 ) n m avec h e = min(,0) (3.1) 1 h pour h 0 θ θ d θ θ d 1 = 1+ ( αh n' e ) m' avec h = min( h h,0) e crit Etant donné que h crit dépend de la poition et plu pécifiquement de l élévation, il exite pluieur courbe de rétention. La figure 3.6 préente le poition de courbe obtenue par rapport à la configuration de l aquifère. La figure 3.7 montre le courbe de θ(h) pour pluieur poition en élévation ou profondeur dan un aquifère de 30 m de profondeur

52 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 46 a b Zone 1 : zone non-aturée Mer c Zone : zone aturée en eau douce d Zone 3 : zone aturée en eau Fig. 3.6 Localiation de poition pour lequelle le courbe de rétention, de conductivité et diffuivité ont montrée dan le figure 3.7, 3.8 et 3.9 repectivement. (a) (b) (c) (d) Fig. 3.7 Courbe de rétention de Van Genuchten Mualem modifiée pour le problème de l intruion aline 3D.

53 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 47 III - 4. Courbe de conductivité modifiée De façon analogue on peut définir le courbe de conductivité K(h) modifiée à partir du modèle de Van Genuchten Mualem : pour h < 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 / = m n e m n e r r h h K K K K α α avec ),0 min( 1 h h e = (3.) pour h 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ' '/ ' = m n e m n e r r h h K K K K α α avec ),0 min( crit e h h h = Fig. 3.8 Courbe de conductivité de Van Genuchten Mualem modifiée pour le problème de l intruion aline 3D. La diffuion théorique obtenue à partir de courbe précédente et montrée dan la figure 3.9. On remarque que la diffuion ne préente plu de valeur négative. (a) (b) (c) (d)

54 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 48 (a) (b) (c) (d) Fig. 3.9 Courbe de diffuivité du modèle de Mualem modifié pour le problème de l intruion aline 3D. III - 5 VALIDATION AVEC LA SOLUTION ANALYTIQUE DE GLOVER 1964 Le modèle et validé face à la olution analytique de GLOOVER 1964 en ymétrie plane (problème de Glover). On peut le traiter oit comme un écoulement à débit fixé, oit comme un problème à deux réervoir (alé à gauche, eau douce à droite). Le flux de la nappe d eau douce ver la côte, q, peut être du à une différence de charge, c et-à-dire un gradient hydraulique régional J = - grad H, dirigé ver la côte. La olution et obtenue par réolution de l EDP du problème d intruion aline avec l hypothèe de Ghyben-Herzberg en 1D en appliquant le condition limite du problème aux réultat généraux de la première partie dan le ca de la ymétrie plane. De cette manière on détermine toute le contante inconnue.

55 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 49 x L h mer interface H eau douce q eau alée plancher Fig Repréentation de la olution analytique de Gloover. Dan la zone du coin alé 0 < x < L La réolution de l EDP du problème permet d obtenir le profile h(x) et H(x). h( x) = H ( x) = K εqx ( ε + 1) Kε qx ( ε + 1) Longueur de pénétration du coin alé (L) : (3.3) et (3.4) On peut déterminer la longueur L du coin alé (L et la ditance par rapport à la mer de l interection entre l interface alée et le plancher de l aquifère). En x=l, H(L)=H0 L = Kε ( ε + 1) q H 0 Profil pour x > L (au-delà de la zone du coin alé, ver l intérieur de terre) : Si on veut déterminer la forme de la nappe pour x>l, il faut réécrire la loi de Darcy intégrée verticalement comme uit : q = K(h + H 0 De plu on a la condition limite en x=l : h(l)=εh 0 En intégrant, on obtient pour x > L : h ) x q h( x) = H0²(1 + ε )² ( x L) H0 (3.5) K Cette olution correpond à une certaine interprétation du problème de Glover (1964), cité par exemple dan Cheng et Ouazar (003).

56 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 50 III Configuration du problème On conidère un domaine rectangulaire en ection vertical et mince. Le domaine et contitué de nœud dan le coordonnée X, Y et Z repectivement. La dicrétiation du domaine et de Δx = 0.5 m et Δy = 1.0 m et Δz = 0.5 m. On impoe une condition de charge contante en x = 0 et en x = 49.5 et une condition de flux nulle ur toute le autre face du domaine (voir figure 3.11). La condition initiale correpond à une ditribution hydrotatique de preion dan le milieu poreux avec une urface libre (h = 0) au milieu du domaine. Le niveau de la mer et de Hea = 15m et le contrate de denité et de 1/ Hea = 5.0m ε = 1/35 Preion capillaire +15 Z X +15 LX = 49.5m LZ = 9.75m +0 Fig Configuration du problème de Gloover pour le ca tet. III - 5. Poition de l interface La figure 3.1 repréente la poition de l interface obtenue par la olution de Gloover et la olution numérique obtenue par BIGSWIM. La olution numérique et repréentée par deux ioligne. La première repréente la valeur à aturation et la deuxième repréente le milieu ec. C et la valeur à aturation qui ert de référence face à la olution de Gloover. Le calcul de l interection de l interface avec le ubtratum de la olution numérique et de la olution analytique donne la même valeur de m à 10-3 m pré.

57 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 51 teneur en eau Solution analytique BFSWIM 3D (contour) L=40.8 Fig. 3.1 Réultat de la imulation numérique avec BIGFLOW SWIM3D et la olution analytique de Gloover (1964). III Courbe de rétention Dan la figure 3.13, on remarque que le courbe de retention obtenue correponde vraiment aux courbe initialement propoée pour le problème et qui ont été modifiée pour le palier au problème de l anti-diffuion. Aini la olution numérique propoée n affecte pa la olution finale obtenue. La validité de réultat et confirmé par de bon réultat numérique de convergence du olveur et de conervation de ma (<0.03%). Par contre on remarque une ingularité au niveau de l exutoire de courbe de retention. Cette ingularité et due à l épaieur impoée par olution analytique de l exutoire dan la définition de courbe de rétention. L implémentation d une méthode de réactualiation de cette valeur erait plu convenable et réalite pour réoudre ce problème. Noton que ce type de problème et aui rencontré dan le modèle de tranport adjective et diffuive et qu il et réolut par une approche de réactualiation (Eink 001).

58 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 5 Fig Courbe de rétention obtenue numériquement ur pluieur ection du domaine. III - 6 COMPARAISON AVEC LE PROBLEME DE HENRY Dan ce deuxième tet, notre modèle interface abrupte 3D et comparé à une olution numérique du problème de Henry (Henry 1964). Ce problème a été repri par de nombreux auteur, qui l ont réolu oit par la méthode quai-analytique de Henry, oit par de méthode numérique de type différence finie, volume fini ou élément fini (Segol et al. 1975, Frind 198, Huyakorn et al et Vo et Souza 1987). Ici, nou avon utilié en coupe verticale, le code de calcul FEFLOW pour réoudre le équation couplée du problème de Henry en terme de concentration de el. Le principale caractéritique du problème ont le uivante : Taille du domaine (x,z) : m de longueur 1 m de hauteur Condition limite du problème de Henry : o o Frontière du haut : flux nul, dc/dz = 0 Frontière du ba : flux nul, dc/dz = 0 o Latérale gauche : charge fixé, c=1 o Latérale droite : flux fixé, c=0 Conductivité hydraulique iotrope et homogène : K = 0.01 m/ ; Coefficient de diffuion moléculaire : D = m /. Poroité : 0.35 m 3 /m 3 La figure 3.14 uperpoe le profil de l interface abrupte (notre modèle) et du champ de concentration C(x,z) (le problème de Henry) aux temp long, c et-à-dire en régime quaipermanent).

59 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 53 On oberve que l interface abrupte de notre modèle correpond aez bien à une courbe ioconcentration médiane (C = 0.5 en adimenionnel). Cependant, le bieau alé ur le ubtratum imperméable n a pa la même forme pour le modèle interface abrupte (abence d inflexion). Cette forme et modifiée dan le problème de Henry lorqu on tient compte de la diperion hydrodynamique (en plu de la diffuion moléculaire) (Abarca et al., 006). Or le réultat de la figure 3.15 montrent que le nouvelle io-concentration obtenue de cette façon ont une forme plu proche de notre modèle interface abrupte. m q=0 & dc/dz = 0 1m c =1 BIGSWIM3D q = cte - c = 0 q = 0 & dc/dz=0 Fig Comparaion entre la poition de l interface abrupte imulée par SWIM3D et la ditribution normée de la concentration de el du problème de Henry imulé avec FEFLOW. La tranition entre le couleur jaune et verte correpond à l io-concentration C=0.5 (normaliée). Fig Comparaion entre la poition de l interface abrupte imulé par SWIM3D et la ditribution normé de la concentration de el du problème de Henry modifié (avec diperion) imulé d aprè Abarca (006). Chaque courbe correpond à un pourcentage de el de 10% (pour la ligne blue) à 90% (pour la ligne rouge).

60 Développement d un modèle 3D d intruion aline avec interface abrupte et zone alée quai-tatique 54 III - 7 CONCLUSIONS Dan ce chapitre nou avon adopté l approche d interface abrupte à deux fluide non micible pour la modéliation de l intruion aline. Nou avon formulé le équation régiant le comportement de l interface abrupte éparant l eau douce et l eau alée. Nou avon développé une méthode numérique, qui ne néceite pa un uivi lagrangien d interface ni un r lage dynamique. Notre méthode préente un avantage par rapport à l approche avec diffuion de el par le fait que eule le équation concernant l écoulement d eau douce, dan le zone aturée et non aturée, ont réolue. Dan cette approche, l eau alée et conidérée comme étant quai-hydrotatique (vitee quai-nulle), mai cet état d équilibre de l eau alée peut évoluer en temp. La zone alée n et donc immobile, elle varie en temp. L écoulement en zone non aturée, et décrit à l aide de courbe caractéritique de rétention Θ(h) et de conductivité hydraulique K(h), qui ont ré-interprétée comme de fonction caractéritique effective pour le ytème compoé de l eau douce, l eau alée, et la zone non aturée. Nou avon teté une verion continue de fonction Θ(h) et K(h) propoé par d autre auteur. Cette verion a préenté de problème d anti-diffuion. Enuite on a propoé de nouvelle fonction préentant un Dirac au niveau de l interface. Cette atuce numérique a réolu le problème de l anti-diffuion. Deux tet on été effectué pour comparé l approche. Le tet effectué montrent que la technique propoée et capable de déterminer avec préciion la poition de l interface eau douce/eau alée. La validation, en régime permanent, de réultat numérique avec ceux de la olution analytique de Glover et concluante. Une deuxième comparaion et effectuée avec le réultat numérique de la imulation du problème de Henry (1964) qui utilie l approche diffuive. La comparaion montre qualitativement que l interface modélie par notre approche et proche de l io urface C=0.5.

61 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 55 Chapitre IV MODELISATION STOCHASTIQUE DE L'INTRUSION SALINE EN D PLAN

62 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 56 TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE IV Chapitre 4 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 55 Réumé 57 Random Field Approach to Seawater Intruion in Heterogeneou Coatal Aquifer: Unconditional Simulation and Statitical Analyi Introduction and ummary 58. Groundwater flow equation with eawater intruion Unconditional Random Aquifer (Single Replicate) Numerical olution with the BIGFLOW code Simulation reult and tatitical analyi of alt wedge Aquifer flow configuration and tatitical input Effect of heterogeneity level on mean alt wedge Statitical analyi of alt wedge fluctuation (1000 x 1000 grid) 6 6. Stochatic analyi of alt wedge via Φ-tranform Tranformation of Z SALT into a potential Φ 6 6. Statitic of tranformed potential via pectral theory Numerical moment of eawater of interface and comparion Summary and concluion Acknowledgment Reference 69 Uncertainty analye of eawater intruion : numerical and tochatic approache _ INTRODUCTION 71. PROBLEM FORMULATION AND NUMERICAL MODEL CONTROL OF NUMERICAL ACCURACY AND ROBUSTNESS Continuation method for highly heterogeneou media 7 3. Numerical accuracy for high contrat imulation Robutne of the linear and non-linear ytem olver NUMERICAL RESULTS AND ANALYSES CONCLUSIONS AND OUTLOOK Acknowledgement REFERENCES 77

63 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 57 Réumé Ce chapitre et contitué de deux publication en anglai : un chapitre de livre (Albitar et Ababou, 005) et un article de conférence (Albitar et Ababou, 006). Dan ce chapitre on préente de réultat numérique et analytique de modéliation tochatique de l intruion aline dan de domaine D plan hétérogène juqu'à fortement hétérogène. L objectif principale et de déduire une relation entre l incertitude de la poition de l interface eau douce/eau alé et l hétérogénéité du milieu poreux repréenté à traver de la tranmiivité hydraulique. Dan la première partie du chapitre l accent et mi ur le équation mathématique, la olution numérique et la olution analytique tochatique du problème. Tandi que dan la econde partie, le méthode numérique utiliée pour la modéliation de l écoulement en milieu fortement hétérogène ont préentée. L annexe D complète ce chapitre on preentent la méthode pectrale, et le réultat numérique complet.

64 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 58 Random Field Approach to Seawater Intruion in Heterogeneou Coatal Aquifer: Unconditional Simulation and Statitical Analyi Ahmad Al-Bitar 1 and Rachid Ababou 1 1 Intitut de Mécanique de Fluide de Touloue, Allée Camille Soula, Touloue, France. 1 Introduction and ummary Seawater intruion in coatal aquifer i a growing concern in Mediterranean region, due to overpopulation and over-exploitation of coatal groundwater reource. Under thee circumtance, it i eential to model the extent of eawater intruion and to locate the altwater-frehwater interface taking into account heterogeneity and parameter uncertainty. There are different way to couple alt tranport and frehwater flow in groundwater model. We chooe here the vertically integrated harp interface approach, with two immicible fluid region (frehwater and eawater). We ue thi model to analyze the effect of aquifer variability on the altwater wedge in plane view, baed on large numerical imulation of D eawater intruion in randomly heterogeneou unconfined aquifer. Groundwater flow equation with eawater intruion We conider an unconfined coatal aquifer with an imperviou bedrock at z = Z INF (x,y) and a freh water table of elevation z = Z S (x,y). In addition, becaue we ue a plane flow model, the vertically averaged frehwater hydraulic head H(x,y) coincide with the free urface elevation, i.e. : H(x,y) Z S (x,y). In thi D framework, all variable and parameter are patially ditributed in (x,y). A chematic repreentation of the coatal aquifer and it alt wedge i hown in Fig. 1. We aume that eawater and frehwater are eparated by a harp interface. More preciely, we rely on the Ghyben-Herzberg approximation(), that i: the eawater and frehwater fluid are aumed immicible (harp interface); the uburface eawater wedge i aumed quai-hydrotatic; the frehwater i aumed vertically hydrotatic (negligible vertical velocitie).

65 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 59 Fig. 1 Schematic view of eawater intruion (ea level ZSEA hown at right) into a free urface aquifer (hown at left), with altwater interface ZSALT(x,y) and ubtratum ZINF(x,y) Now, let Z SALT (x,y) be the elevation of the alt/freh water interface. Applying the hydrotatic aumption and the preure continuity condition at the interface, and modifying the Badon- Ghyben-Herzberg configuration to account for a finite outflow face of height ΔZ located underea, we obtain: ρf g ( H ZSALT ) = ρs g ( ZSEA ZSALT ΔZ ) + ρf g ΔZ (6) Thi give finally the deired cloure relation: ( H ZSEA ) ZSALT = ZSEA δz (7) ε In thee equation, ρ F i frehwater denity, ρ S i altwater denity, and ε i the altwater-tofrehwater denity contrat: ρs ρf ε = 1 ρf 40 (8) Parameter ΔZ i the vertical depth of the frehwater outflow face at the horeline, aumed much maller than aquifer thickne. It can be obtained from exact olution of eawater intruion in a vertical lice (x,z) of a homogeneou confined aquifer, without depth-averaging. Here, ΔZ i about 0.77 m, compared to 30 m aquifer thickne. For frehwater flow, we ue the Dupuit-Bouineq plane flow approximation. The frehwater thickne i defined a: η( x, y) = H( x, y) Zinf ( x, y) or η ( x, y) = H( x, y) Zalt( x, y) (9) depending on patial location (x,y), within the alt wedge or not. The frehwater tranmiivity T(x,y) i then inferred from frehwater thickne η(x,y) a follow : T ( x, y) = K( x, y) η( x, y) (30) Note that T i patially variable via K and Z INF, and alo, nonlinear via the unknown variable H and Z SALT on which it depend. Finally, we obtain the following ytem of vertically integrated flow equation (teady tate cae): 1. Steady-tate ma conervation (frehwater): Θ = div(q) where Θ i the water content (31) t. Darcy law (vertically integrated): ( H,Z,Z,x,y) grad( H ) Q = -T (3) SALT INF

66 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan Frehwater tranmiivity: K( x, y) ( H Z T = K( x, y) ( H Z INF SALT ( x, y)) if Z ( x, y)) if Z SALT SALT < Z INF Z INF (33) 3 Unconditional Random Aquifer (Single Replicate) In thi paper, we chooe to tudy uncertainty without regard for pecific data. That i, we chooe to imulate eawater intruion in large unconditional ingle-replicate of the heterogeneou aquifer. We ue the XIMUL code to generate iotropic log-normal random field K(x,y) on 1 million node grid (1000º º1000). The XIMUL code deal more generally with Bayeian etimation and conditional imulation of 1,,3-D random function of pace or time [Ababou et al 1994]. The unconditional generator ue the Fourier Turning Band method baed on a repreentation theorem of Matheron (1973): ee [Tompon et al. 1989] and reference therein. 4 Numerical olution with the BIGFLOW code Numerical imulation of eawater intruion are carried out uing the BigFlow code BF 000 [Ababou and Trégarot 00]. It olve a generalized model equation for flow in heterogeneou, aniotropic, partially aturated media. It can efficiently follow multiple interacting free urface in 3D, and it can repreent open or macroporou media [Trégarot 000]. A vertically integrated D flow module i alo available, including Bouineq-Dupuit aquifer flow, free urface hydraulic baed on kinematic-diffuive wave, Darcy-Forchheimer flow in rough fracture [Spiller 004], and the eawater intruion module SWIMD ued here. The BF 000 code i baed on implicit 3D finite volume formulation of flux divergence equation in conervative form (mixed form). It olve fully coupled tranient and teady flow problem, uing a ingle infinite time tep for teady tate. It ue Preconditioned Conjugate Gradient for matrix olution, and modified Picard iteration for nonlinear olution. The matrix-vector data tructure i very pare. For more detail on the numeric, ee [Ababou et al 199; Ababou and Bagtzoglou 1993; Ababou 1996]. 5 Simulation reult and tatitical analyi of alt wedge 5.1 Aquifer flow configuration and tatitical input We conider teady flow in a heterogeneou unconfined coatal aquifer in a quare domain (1 km 1 km). The mean frehwater flow i directed along the x axi. We apply contant head boundary condition (Dirichlet) on boundarie orthogonal to mean flow: Z SEA =30 m (eawater level) and H 1 = 31 m (frehwater inland). The hydraulic gradient, directed along (x), i m/m, a typical value for regional flow in coatal region. Lateral boundarie orthogonal to eahore are aumed imperviou. Other tatitical-geometric parameter concerning the planar grid and the random logpermeability field lnk (x,y) are hown in Table 1.

67 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 61 Table 1 Summary of tatitical parameter for two et of imulation (mall and large) Parameter Set 1 Set ni (number of node) Δxi (dicretization cell ize) (m) 10/3 1 Li (domain length) (m) λ (lnk- correlation cale) (m) 100/3 10 Δxi/ λ (grid reolution) 1/10 1/10 Li/ λ (ampling number) ΔH/Lx (mean gradient) 1/1000 1/1000 σ (tandard deviation of lnk) 1,, 1.6,, ln(10) 1,, 1.6,, ln(10) A tatitically iotropic log-normal random field K(x,y) wa generated on a one million node grid ( cell), with either mooth (gauian) or noiy (exponential) covariance tructure. A good fit wa obtained when comparing theoretical v computed patial autocorrelation function of lnk(x,y) for the gauian covariance with σlnk = 1 on a grid. Smaller field were then extracted from the center of the domain, and ingle replicate imulation of eawater intruion were conducted, with variability ranging from σlnk = 1 to ln10. In order to increae numerical accuracy, we ued an iterative continuation method (or homotopy method) with repect to the σ parameter, where σ i the tandard deviation of lnk (degree of heterogeneity). Thu, the output of a heterogeneou problem i ued a initial condition for imulating a more heterogeneou problem. Thi procedure add an external loop to the flow olver. Ma balance error, in term of net dicharge rate normalized by global outflow rate, did not exceed about 1%, for all imulation preented here. 5. Effect of heterogeneity level on mean alt wedge Fig. and Fig. 3 diplay perpective view of imulated eawater intruion for a highly variable permeability (σ lnk = ln10.30). Two urface are diplayed in each figure : Z SALT (x,y), the alt/freh interface level (mapped with color-coded logk value), and Z S (x,y), the frehwater piezometric urface (or hydraulic head), alo mapped with the ame color-coded or grey-cale logk value. On Fig., one can clearly oberve the harp local gradient of the altwater interface occuring in low permeability zone, which act a barrier to eawater (it hould be kept in mind, however, that K(x,y) i the depth-averaged permeability). Fig. 4 depict the effect of heterogeneity level on the mean penetration of the alt wedge, for a grid. The mean Z SALT (x) profile i plotted veru ditance from ea (x), after averaging Z SALT (x,y) along the horewie direction (y). The three profile correpond to: σ lnk = 0 (homogeneou), σ lnk = 1 (moderate heterogeneity) and σ lnk = ln10 (high heterogeneity). A the level of variability σ lnk increae, the mean elevation Z SALT (x) increae and the mean alt wedge penetrate farther inland. The extra penetration of the mean wedge due to heterogeneity i about 00 m, for the mot heterogeneou cae. A imilar reult (not hown here) wa obtained for the larger grid with heterogeneity level σ lnk = 0, 1.0,, 1.6, and ln10. It confirm the monotonic increae of the mean penetration length of the alt wedge a σ lnk increae, compared to a homogeneou aquifer with geometric mean permeability.

68 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan Statitical analyi of alt wedge fluctuation ( grid) A a firt tep toward uncertainty analyi (next ection), let u develop further the tatitical analyi of the imulated alt wedge, baed on ingle replicate unconditional imulation obtained on the larget grid ( cell). The alt wedge i characterized by the hape of the altwater interface elevation Z SALT (x,y) and it horizontal extenion inland. We conider Z SALT (x,y) a a random field and we analyze it tatitically. We focu in particular on the firt and econd order moment of Z SALT (x,y), including it mean and it tandard deviation. Thi analyi i applied to the 1000x1000 grid, with large variability (σ lnk = ln10). Given the ymmetrie of the problem and the tatitical tationarity of K(x,y), we expect the urface Z SALT (x,y) to be tationary (tatitically homogenou) along the y direction parallel to the eahore. However, it will not be tationary along the x direction parallel to flow (tranvere to eahore). Indeed, Fig. 5 how 100 tranect Z SALT (x,y n ) along with the average profile, all plotted a function of the x-coordinate (perpendicular to ea hore). The profile Z SALT (x) are clearly nontationary. 6 Stochatic analyi of alt wedge via Φ-tranform It i clear from both Fig. 4 (mean Z SALT ) and Fig. 5 (random Z SALT ) that the interface elevation Z SALT (x,y) follow a nonlinear trend along x (for fixed y) and cannot be a tationary random function of x. Thi obervation ha two conequence: 1. Given a ingle replicate of the coatal aquifer in (x,y), we can only ample in the horewie direction (y) to produce a tatitical decription of the alt wedge.. For theoretical purpoe, we may eek a convenient tranformation ZSALT Φ to obtain an approximate tationary field Φ from the non-tationary field ZSALT. 6.1 Tranformation of Z SALT into a potential Φ Following thi idea, conider firt the analytical olution of the homogenou problem (σ = 0) uing the Badon-Ghyben-Herzberg aumption, modified to include a ubmarine outflow face of height ΔZ at the eahore : Z SALT 1 SEA ε ΔZ x H Z ( ε + 1) ε ΔZ ( x) = Z SEA ΔZ + ε + 1 ε L ε ( ε + 1) ε + 1 X (34) Equation (34) hold for 0 x L SALT, where x=l SALT i the interection of the altwater interface with the ubtratum. Thu, if the bedrock i at z = 0, the value of L SALT i defined by Z SALT (x) = 0. Other variable in equation (34) are defined below: L X i the domain ize in the x-direction, between the two fixed head boundarie H=H 0 (ea at left) and H=H 1 (frehwater at right); Z SEA = H 0 i the elevation and depth of the ea level above the ubtratum, at the ea boundary x=0; H 1 i the depth of the frehwater level above the ubtratum at the inland boundary x=l X ; Z SALT i the elevation of altwater/frehwater interface above the ubtratum; L SALT i the x-wie penetration length of the alt wedge inland, on the bedrock; ΔZ i the vertical length of the ubmarine frehwater outflow face into the ea.

69 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 63 The term (ε ΔZ)/(ε+1) can ometime be neglected in equation (9); we have here: (ε ΔZ)/(ε+1) = m, which i indeed mall compared to Z SEA = 30 m and to ΔH = H 1 -Z SEA = 1 m. Alo, to implify the above expreion Zalt(x), we define a new parameter h 0 : h 0 = H 1 ZSEA ( ε + 1) ε ( ε + 1) Thi parameter, h 0, i a length cale on the ame order a the thickne of the frehwater len impoed at the inland boundary (uptream). The olution of the homogenou problem σ = 0 can now be expreed a: Z SEA 0 δz ZSALT x) X (35) h x ( (36) ε L Thi imple analytical expreion (36) how that there exit, for the homogeneou cae, a quadratic tranform which make the altwater profile exactly linear in x. For the heterogeneou cae, with random field permeability, thi ugget applying the ame quadratic tranform to the nonlinear random function Z SALT (x,y). The tranformed field i a new random potential field φ SALT (x,y) with: Φ SALT = ( Z SEA δ Z Z SALT ) (37) We may expect that the random Φ SALT (x,y) ha a roughly linear trend. Furthermore, it i poible to derive analytically the mean and variance of Z SALT from the moment of the random field Φ SALT (x,y). Let u firt normalize Z SALT and Φ SALT by Z SEA a follow: Z=(Z SALT -δz)/z SEA ; φ = Φ SALT /Z SEA. The Φ-tranform i now: ( x, y) = ( 1 Z( x, y) ) φ (38) with φ = 0 (exactly) on the ea boundary x = 0, and φ = 1 at ome fixed ditance L 1, the characteritic length of penetration of the alt wedge. The latter i given, to order O(σ), by the analytical olution for a homogeneou aquifer: L1 = LSALT ( σ ) LSALT ( 0) ( 1 + O( σ )) (39) Thu, we may write the (approximate) boundary condition of the random cae a: ( σ ) x = 0 : φ = 0; x = L1 : φ 1+ O (40) The main idea, here, i that we prefer to olve for the Φ-field becaue it i more eaily amenable to tatitical analyi than the Z-field (more on thi below). With thi goal in mind, let u define the random fluctuation of φ and Z: ϕ( x, y) = φ( x, y) φ( x) and z( x, y) = Z( x, y) Z( x) (41) where the mean potential i given by: φ ( x) = (1 Z)². The bracket < > repreent either the horewie patial average (patial mean of a ingle replicate along direction y ), or the mathematical expectation E( ) over an enemble of replicate : the two are equivalent if ergodicity i aumed. Now, ubtituting the random fluctuation in equation (38) and taking average, we obtain: φ = ( 1 Z ) + z² and = φ ( 1 Z ) σ (4) Z where the mean <Z> remain to be determined. On the other hand, from equation (38) : 1/ Z = 1 φ (for 0<x<L 1 and 1>Z>0). (43) Z = 1 φ 1 / ( 1 + κ ) 1 / with ϕ κ = <1 (44) φ

70 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 64 Fig. Perpective view of ZSALT (x,y), H(x,y), and log K(x,y) for a gauhaped iotropic covariance with σ = ln10 and L/λ = 30. Simulation grid: Fig. 3 Perpective view of Z SALT (x,y), H(x,y), and log K(x,y) for a gau-haped iotropic covariance with σ = ln10 and L/λ = 100. Simulation grid:

71 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan homogenou field Zalt(x) Mean for N(1,1) Zalt(x) Mean for N(1,ln(10)) 5 0 Zalt (m) x (m) Fig. 4 Mean Z SALT (x) profile tranvere to eahore for a grid : analytical olution for σ = 0 and computed mean profile for σ = 1.0 to ln10 (Z SALT increae with σ) Fig. 5 Tranvere profile of Z SALT (x) (the eahore i at left) : comparion of mean Z SALT (x) (horewie average) with 100 ditinct tranect of Z SALT (x,y n ) ampled at equally paced horewie poition (y n ). Simulation grid : 1000x1000. Heterogeneity: σ = ln10

72 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 66 Uing a Taylor expanion cut off to nd order, yield: 1/ 1 3 σφ ϕ Z 1 φ 1 τ + O( κ ) ; τ = ; κ = (45) 8 φ φ We finally ubtitute Eq. (45) into Eq. (4) to calculate the tandard deviation of Z. Neglecting τ 4 /64 and other higher order term ( h.o.t. ), we obtain: 1 σφ σ Z + h. o. t. (46) φ Thi analytical expreion can be ued to predict σ Z uing either numerical etimate or theoretical pectral etimate of φ-tatitic : the two procedure yield imilar reult (ee comment about Fig. 6 further below). 6. Statitic of tranformed potential via pectral theory We know need to determine the tatitical moment of Φ, e.g. mean and variance. Two approache are poible concerning the tranformed potential Φ: a) Empirical evaluation of Φ-moment (ampling numerical imulation); b) Theoretical evaluation of Φ-moment (analytical pectral perturbation). Empirically, the firt two line in Table how ome of the numerically computed moment of Φ SALT, auming a linear trend <Φ>, and tationary fluctuation ϕ(x,y) around the linear trend: Φ ( x, y) = Φ( x) ax ( x, y) Φ( x, y) ax ϕ (47) 1 / σ = ϕ ( x ) contant (48) Φ Note: Thee relation hold only in a ubdomain compried between the ea boundary x = 0 (where φ = 0) and the tip of the alt wedge x L 1 +O(σ) (where φ 1+O(σ)). On the other hand, we demontrate that the Φ-equation in the alt wedge zone i a tochatic PDE, analogou to the Bouineq equation for vertically averaged groundwater flow with random K(x,y). Indeed, from eq.(30), (31), (3), we have: H K( x1, x) ( H ZSALT ) x (i=1,) (49) i xi The frehwater head H i given by the Ghyben-Herzberg relation Eq.(.68): H = ( 1 + ε ) Z ε ΔZ ε (50) SEA Z SALT Subtituting H in Eq.(49), and uing the Φ-tranform, we obtain: φ ( 1, ) K x x = 0 (i=1,) (51) xi x i We oberve that thi φ-equation i equivalent to a tochatic groundwater flow equation with D random field tranmiivity in a confined aquifer (cf. infinite domain pectral perturbation olution by [Mizell et al. 198]). Thu, σ Φ can be evaluated from the pectral olution of Eq.(51), at leat far enough from the ea and the altwedge tip. The theoretical tandard deviation of φ i deduced from the Mizell et al (198) olution, for a modified Wittle correlation tructure: ( σ ) c σ ln K λln K J x Φ THEORY c σ ln K λln K a (5) where J x i the mean Φ-gradient denoted a in thi paper. The coefficient c i a dimenionle contant of order 0(1) [Mizell et al 198]. For the problem at hand, the value of c can be obtained by matching numerical and theoretical σ Φ at low level of heterogeneity (σ lnk 1). Thi procedure give:

73 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 67 c 1.10 (53) Similarly, the relevant value of the mean Φ-gradient, a = <dφ/dx>, can be obtained from the exact analytical olution Φ(x) in a homogeneou aquifer, which correpond to the aymptotic cae σ lnk 0. Thu, aymptotically: σ h THEORY 0 + ε L x 0 0 : ( a ) = a + O ( σ ) = O ( σ ) (54) Table. Empirical and theoretical moment of the tranformed potential ΦSALT(x,y). σ ln K ˆ a NUM = dφ dx a = 1.54 a ˆ a ˆ a ˆ σˆ σ = 0 ˆ σ 17 ˆ σ 7 ˆ σ 4 Φ NUM Φ Φ Φ Φ σˆ Φ THEORY σ Φ = 0 σ Φ 17 σ Φ 7. σ Φ To check whether a i nearly contant and cloe to it predicted value a 0, conider the reult ummarized in Table. We conclude that the theoretical prediction of σ Φ given by equation (5) with a a 0 i robut. Finally - after ome manipulation involving tatitic from the Z-Φ tranform (Eq.(45),(46)) and the pectral olution for σ Φ - one obtain, to firt order: c a c Z (a): σz SALT ( x) σlnk λlnk or (b): σ Z ( x) K K x SALT σln λln (55) x Both verion of thi equation require mean gradient information: the firt equation (a) require knowledge of the (tationary) mean φ-gradient a, while the econd verion (b) require knowledge of the (non-tationary) mean interface elevation gradient. 6.3 Numerical moment of eawater of interface and comparion Fig. 6 how 100 uperimpoed tranect of the potential Φ SALT (x,y n ), ampled at equally paced horewie location y n, and plotted veru (x), for σ = ln10. The figure alo how the analytical profile Φ SALT (x) for a homogeneou aquifer (σ = 0), a well a the numerical average of Φ SALT (x,y). The fluctuation of Φ SALT (x,y) around it mean trend were alo plotted a tranect (not hown here). Thee numerical plot indicate the level of fluctuation of the alt interface in term of the tranformed field Φ SALT. They alo confirm the quai-linear trend of Φ SALT. We computed the fluctuation of Z SALT around it nonlinear mean trend, and we etimated σ Z by ampling Z SALT parallel to the eahore and plotting the reulting moment σ Z a a function of ditance (x) from the ea. One reult i hown in Fig. 7 for large heterogeneity (σ=ln10). The tandard deviation of Z SALT eem approximately tationary far enough from the eahore (x = 0) and far enough from the alt wedge tip (x 700 m). In the tationary region of Fig. 7, we find σ ZSALT 1.3 m. The 95% confidence band of the alt interface i everal meter, which repreent a rather ignificant fraction of the total aquifer thickne of 30 m.

74 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 68 Fig. 6 One hundred tranect of ΦSALT (tranformed from ZSALT); analytical mean curve ΦSALT (homogeneou aquifer); and "numerical mean" curve ΦSALT (mean of ΦSALT ampled horewie along y ). The ea hore i at left. Grid: 1000x1000. Heterogeneity: σ = ln(10) The reult appear different for leer heterogeneity: ee Fig. 8 for σ = 1.60, and note that imilar reult were obtained for σ in the range 0 σ.0. In all thee cae, σ ZSALT (x) i non-tationary with repect to (x) and decreae with (x), a predicted by the theoretical Φ-tranform analyi. Thi can be een by comparing the numerical and analytical (Eq.(55).a) σ ZSALT (x) curve in Fig. 8. Fig. 7 Standard deviation of Z SALT v. ditance (x) from eahore (ea located at left), obtained by ampling Z SALT fluctuation in the horewie direction (y). The global value of σ Z appear to be about σ Z 1.3 m. Grid: 1000x1000 cell. Heterogeneity: σ lnk = ln10 =.30

75 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 69 Fig. 8 Numerical and theoretical σ ZSALT v ditance from ea (x) for σ lnk = Summary and concluion We have preented numerical experiment of eawater intruion baed on unconditional imulation of random permeability field K(x,y), where K(x,y) repreent a depth-averaged permeability. The effect of planar heterogeneity on the extent and hape of the alt wedge were dicued, and we preented a tatitical tudy of interface elevation Z SALT (x,y) on a 1 million node grid (ingle replicate). The tatitic (σ ZSALT ) can be viewed a the root-mean-quare vertical uncertainty of the eawater interface due to heterogeneity. It i found to be more or le proportional to the mean gradient of Z SALT, at leat for low and moderate variability, which validate our perturbation theory. However, for higher variability, the oberved tandard deviation of Z SALT tend to a contant value more or le independent of x, which i not quite reproduced by the ame perturbation theory. Overall, our reult indicate that σ ZSALT can be typically on the order of everal meter. 8 Acknowledgment Thi tudy i part of the european project SWIMED on coatal aquifer management, funded by the European Commiion (Sutainable Water Management In MEDiterranean coatal aquifer): 9 Reference Ababou R (1996) Random Porou Media Flow on Large 3D Grid: Numeric, Performance, and Application to Homogenization, Chap.1, pp.1-5. In: IMA Vol 79 Mathematic and it Application: Environmental Studie (Math. Comput. Statit. Anal.). Wheeler MF (ed.), Springer, NY, 410 pp. Ababou R, Bagtzoglou AC (1993) BIGFLOW: a Numerical Code for Simulating Flow in Variably Saturated, Heterogeneou Geologic MediaTheory and Uer Manual Ver.1.1. NUREG/CR- 608, US NRC Report, Wahington DC.

76 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 70 Ababou R, Bagtzoglou AC, Wood EF (1994) On the Condition Number of Covariance Matrice Ariing in Kriging, Etimation & Simulation of Random Field. Math.Geol.6(1), pp , Ababou R, Trégarot G (00) Coupled Modeling of Partially Saturated Flow : Macro-Porou Media, Interface, and Variability. Proc. CMWR 0, Comput Meth Water Reour, 3-8 June 00, Delft, The Netherland, Elevier, 8 pp. Ababou R, Sagar B, Wittmeyer G (199) Teting Procedure for Spatially Ditributed Flow Model. Advance in Water Reource, Vol.15, pp , 199. Matheron G. (1973) The Intrininc Random Function & Application. Adv.Appl.Prob., 5, Mizell SA, Gutjahr AL, Gelhar LW (198) Stochatic Analyi of Spatial Variability in Two- Dimenional Steady Groundwater Flow Auming Stationary and Nontationary Head. Water Reour Re 18(4) Spiller M (004) Phyical and Numerical Experiment of Flow and Tranport in Heterogeneou Fractured Media : Single Fracture Flow at High Reynold and Reactive Particle Tranport. PhD thei, Aachen Univ. (Germany) & Intitut Nat. Polytech. Touloue (France), October 004. Tompon AFB, Ababou R, Gelhar LW (1989) Implementation of the Three-Dimenional Turning Band Random Field Generator. Water Reour. Re., 5(10), Trégarot G (000) Modéliation Couplée de Ecoulement à Saturation Variable avec Hétérogénéité, Forçage, et Interface Hydrologique. PhD thei, Intitut Nat. Polytech. Touloue, May 000.

77 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 71 Uncertainty analye of eawater intruion : numerical and tochatic approache A. AL-BITAR & R. ABABOU Intitut de Mécanique de Fluide de Touloue (IMFT), Allée du Profeeur Camille Soula, Touloue, France ababou@imft.fr Abtract We conider immicible altwater-frehwater flow in heterogeneou coatal aquifer ubject to eawater intruion (harp interface approach). We focu on the numerical modelling of the altwater wedge, taking into account the variability and uncertainty due to highly heterogeneou random permeabilitie. In thi work, we focu on plane flow problem, with vertically integrated permeabilitie, without hydrologic ink/ource term. We ue a continuation method to obtain olution for highly variable aquifer. The long term goal i to analye the reulting uncertainty of the alt wedge penetration inland by variou method, uch a patial ampling; Monte-Carlo imulation; analytical perturbation method. In thi paper, we preent tatitical reult (moment) obtained by patial ampling of large ingle replicate numerical imulation baed on the tatitical homogeneity of the alt wedge in the eahore direction. The variable of interet are the random interface elevation (Zalt(x,y)), and the penetration length of the alt wedge toe (Xalt(x,y)). Key word Seawater intruion; altwater; coatal aquifer; porou media; random media; uncertainty; hydrogeology; numerical modelling; perturbation method; upcaling. 1 INTRODUCTION Seawater intruion i a well known problem occurring in coatal aquifer. Thi phenomenon can take the form of a eawater wedge extending inland below frehwater. Here we focu on the effect of permeability heterogeneity on the extent of the eawater wedge in a phreatic coatal aquifer. Seawater intruion i analyed uing D plane flow Dupuit-Bouineq approximation, combined to a harp interface approach (Ghyben-Herzberg). Aquifer heterogeneity i repreented via a D random field permeability (vertically integrated). The imulation are conducted for mildly to highly heterogeneou random field, with natural log-permeability tandard deviation (σ lnk ) ranging from 1.0 to 4.0. Thi paper focue on the need for numerical accuracy in the cae of highly heterogeneou aquifer. An optimized continuation method for modelling flow in highly heterogeneou domain i introduced and implemented in a Graphical Uer Interface (GUI) environment. While the domain geometry i imple, the main computational challenge i to olve the eawater intruion problem on large numerical grid, with both nonlinear and highly variable coefficient. The numerical reult are then analyed in term of patial tatitic, uch a the tandard deviation of the eawater interface elevation veru ditance from the eahore (σ ZSALT (x)). PROBLEM FORMULATION AND NUMERICAL MODEL Seawater intruion i modeled in the framework of the harp interface approach, while till retaining the eential feature of aquifer variability in the D plane. Our approach aume that eawater and frehwater are immicible fluid, and relie on preure equilibrium relation (Ghyben-Herzberg) to cloe the reulting ytem of equation. In thi D

78 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 7 framework, all variable and parameter are patially ditributed in (x,y). Applying the hydrotatic aumption and the preure continuity condition at the interface, and modifying the Badon-Ghyben-Herzberg configuration to account for a finite outflow face of height ΔZ located underea, we obtain: ( H ZSALT ) = ρ g ( ZSEA ZSALT ΔZ ) + ρ g ΔZ ρ g (1) F S where H i the total frehwater hydraulic head (m), Z SALT i the alt/frehwater interface level (m), g i the gravitational acceleration (m - ), ρ F i the frehwater denity (kg m -3 ), ρ S i the altwater denity (kg m -3 ), and ΔZ i the vertical depth of the frehwater outflow face at the horeline (m). The Ghyben-Herzberg cloure relation (above) i inerted in the vertically-averaged Bouineq equation for frehwater, leading to a nonlinear ytem of equation, namely : teady-tate ma conervation for frehwater (); vertically integrated Darcy law (3); & frehwater tranmiivity (4) : Θ = div(q) t ( H,Z,Z,x,y) grad( ) Q = -T H (3) SALT INF F () K( x, y) ( H Z T = K( x, y) ( H Z INF SALT ( x, y)) ( x, y)) if if Z Z SALT SALT < Z Z INF INF (4) where K(x,y) i hydraulic conductivity (m -1 ), Z INF i the imperviou ubtratum level (m), Z SALT i the alt/frehwater interface level (m), Q i the Darcy pecific dicharge rate (m² - 1 ), Θ i the water content (m 3 m -3 ), and T the tranmiivity (m -1 ). Here we focu on teady tate problem. For more detail, ee Ababou & Al-Bitar (005). Numerical imulation of eawater intruion are carried out uing the BigFlow code BF 000 (Ababou & Trégarot, 00). The model i baed on a ingle generalized flux-divergence equation (conervative, mixed form) for either 3D or D plane flow. Space-time dicretization i baed on implicit finite volume, leading to pare nonlinear ytem. Thee are olved uing two interpered loop: the outer loop implement fixed point (modified Picard) iteration; the inner loop olve the linearized ytem by preconditioned Conjugate Gradient (DSCG). The D plane flow option wa pecialized for harp interface eawater intruion problem (BF-SWIMD). 3 CONTROL OF NUMERICAL ACCURACY AND ROBUSTNESS 3.1 Continuation method for highly heterogeneou media Some pecial conideration were given to the non-linear apect of the SWIM problem. Indeed, Seawater Intruion Modeling i doubly non-linear becaue of the non-linearity of the Dupuit Bouineq equation (head-dependent tranmiivity) and becaue of the nonlinearity due to the interception of the alt interface by the aquifer ubtratum. Thi non-linearity i even tronger when the domain i highly heterogeneou (K(x,y). For thee cae, we ued a pecial iterative re-tart method, alo known a continuation or homotopy method. The continuation parameter i choen to be σ lnk, the tandard deviation of lnk.

79 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 73 The method i implemented iteratively a follow. Step 1: we generate an aquifer with mildly heterogeneou log-permeability (lnk(x,y)) characterized by it mean, tandard deviation, and covariance function, uing the turning band method (Tompon et al., 1989). Step : we imulate eawater intruion with the SWIMD module for thi firt lnk field. Step 3: we increae the heterogeneity of lnk by incrementing σ ln(k) while maintaining the other parameter contant. Step 4: we imulate eawater intruion uing the lnk field from tep 3. Step 3 and 4 are then iterated. Since the numerical difficulty increae a σ lnk increae, we ue a logarithmic function to control the σ lnk increment: σ i σ N ( i + 1) ln = ln( N + 1) where σ i i the tandard deviation of the i th lnk field, N i the number of increment, σ N i the tandard deviation of the objective (final) tandard deviation. Other incremental function have been teted; the logarithmic increment proved to be the mot efficient. Fig. 1(a) how the value of σ lnk for 10 continuation tep (final value σ lnk = 4.0). The reult are analyed in Fig. 1(b), in term of error norm v iteration number. The root-meanquare norm of δh i ued, where δh i the head variation over two ucceive iteration. Thi δh i to be compared to the total head variation of 1 meter along the mean flow path. The D random eawater intruion problem wa olved on a 1000x1000 node grid. The total CPU time for the 10 continuation tep wa on the order of one day on a PC Intel Pentium-4 proceor, in double preciion. Inide each continuation tep, there are two interlooped olver: (1) the inner loop i the iterative DSCG olver (topping criterion δh < ε =10-9 (m), and ITER 1000); () the outer loop i the fixed point (Picard) iteration olver (topping criterion δh < ε = 10-6 and ITER 0). In Fig. 1(b), the average number of iteration within each continuation tep i However the actual number of iteration per tep increae with ucceive tep. The problem i more difficult a σ lnk increae. The continuation algorithm, a well a file management and graphic tak, have been implemented a an option in the GUI application (BF-Py) under development for the BigFlow code. The BF-Py application ha been implemented under Python 3 and uing the wxpython library. (5) Fig. 1 a Evolution of σlnk in the homotopy method with N = 10 and σn = 4.0 (left) 3 Python i a freeware, Object Oriented Programming Language, available at wxpython i a freeware, GUI library, for the Python programming language, baed on wxwindow.

80 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 74 Fig. 1 b Error norm for ten continuation tep (ten of thouand of iteration). 3. Numerical accuracy for high contrat imulation One iue in imulating highly heterogeneou flow i to enure numerical accuracy. For thi purpoe, double preciion computation need to be implemented, rather than ingle preciion. To inpect the olver robutne under double preciion computation, a imple configuration with high contrat field propertie wa ued, a hown in Fig. (a). The computational domain conit of a quare domain with contant permeabilitie in which a bar hape with a different permeability i inerted perpendicularly to the flow direction and over the entire width. Fixed head are applied in the direction of flow, and no flux Neumann condition perpendicular to the flow. Thi heterogeneou bar hape configuration ha a lnk contrat that can be expreed in term of a geometric mean and a tandard deviation (Ababou, 1988): α 1 α α ( ) 1 α ( K ) ( ) K K ( ) 1 K G = 1 K σ ln K = ln + ln (6) KG KG where α i i the area fraction of the domain aociated with permeability K i (α 1 +α =1). We conducted eawater intruion imulation for everal value of the permeability contrat (K 1 /K or σ lnk ) and we analyed ma balance (not hown here for lack of pace). Ma balance remain quite good even for extremely high contrat: the relative error on the net computed flux i 0.5 % for K 1 /K = 10 8 or σ lnk = Fig. (b) how the analytical olution and the numerical hydraulic head tranect H(x) in the middle of the domain, for K 1 /K = ; the local relative error i le than Fig (a) Domain configuration (left). Fig (b) Numerical ( ) and analytical (-) reult for K1/K = 10+8 (right). 3.3 Robutne of the linear and non-linear ytem olver To complete the non-linear tudy, we examine in more detail the robutne of the DSCG olver interlooped with the nonlinear Picard olver. Firt, note that a teady imulation with BigFlow conit of one infinite time tep. Thi i obtained by etting the ma torage term in the linearized equation to zero. The Picard iteration are ued to linearize the reulting ytem.

81 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 75 Let u conider the 1D homogeneou cae. In thi cae the linearized ytem i tri-diagonal. The CG-baed olver hould theoretically converge with a number of iteration maller than or equal to the matrix dimenion (Golub & Van Loan, 1989).. Thi theoretical reult wa oberved experimentally with our double preciion imulation uing the DSCG olver. Fig. 3(a) illutrate the reult of the CG olver for one outer loop of the Picard iteration. The grid ha internal node. The reult how that convergence i low until the 999 th iteration i reached; then convergence occur abruptly at the 999 th iteration, within machine preciion. Thi behaviour wa alo oberved by Ababou (1996) for linear aturated flow problem. Fig. 3(b) how the numerical reult for all interlooped iteration (Picard and DSCG). There i an increae in error at the beginning of each new Picard iteration, due to update of the matrix coefficient. However, thi error decreae with iteration, i.e., there i a global convergence of the nonlinear Picard iteration. Fig. 3(a) Error norm of the DSCG matrix olver within a ingle Picard tep; notice the abrupt convergence occuring at the 999th iteration (left). Fig. 3(b) Error norm of the DSCG matrix olver for all Picard iteration (right). 4 NUMERICAL RESULTS AND ANALYSES We now analye the patial tatitic of the eawater wedge (interface elevation Z SALT (x,y)) for the 10 different level of aquifer variability, a pecified in the numerical continuation method. Thi i hown in Fig. 4(a) and Fig. 4(b).

82 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 76 Fig. 4(a) Saltwater/frehwater interface Zalt(x,y) for σlnk = 4.0 (left). Fig. 4(b) Tranvere profile of σzalt veru ditance (x) from eahore, for 10 different value of σlnk ranging from 1.0 to 4.0 (right). Due to the randomne of the vertically integrated permeability K(x,y), the reulting eawater wedge i very heterogeneou. Thi can be een from Fig. 4(a), where Z SALT (x,y) i hown for the cae of larget variability (σ lnk = 4.0). In addition, Fig. 4(b) how the patial moment σ ZSALT (x) plotted a a function of ditance from the eahore, for σ lnk = 1.0 up to σ lnk = 4.0. Thi extend reult by Ababou & Al-Bitar (005); they analyed σ ZSALT (x) uing a perturbation approximation, valid up to σ lnk = CONCLUSIONS AND OUTLOOK The eawater intruion problem (harp interface approach) in randomly heterogeneou coatal aquifer i computationally challenging for three reaon: (1) the problem i nonlinear due to the preence of two unknown urface (frehwater and altwater); () large grid are needed in order to compute patial tatitic; (3) the condition of the ytem become wore with both grid ize and random permeability contrat (σ lnk ). We ued different criteria and procedure to control numerical accuracy and performance. Ma balance wa cloe to zero for mot random aquifer imulation. Convergence of both inner iteration (CG) and outer iteration (Picard) were carefully controlled via topping criteria and a poteriori analye of convergence rate. We found that double preciion computation were neceary for highly heterogeneou permeabilitie. Finally, in order to overcome convergence problem due to large K contrat (σ lnk >>1), we introduced a σ-continuation method (homotopy). The continuation method and other procedure developed in thi paper are aimed at a better undertanding of σ ZSALT (x), i.e., the variability of eawater intruion in highly heterogeneou aquifer. A robut perturbation theory i currently being conidered for interpreting the reult for σ lnk >>1. A previou perturbation theory (Ababou & Al-Bitar 005) provided a fairly good fit for σ lnk up to Poibly, the correct interpretation of the preent numerical experiment require, for σ lnk >>1, larger ampling domain (10 million node) and/or multiple replicate (Monte-Carlo). Other numerical development include pumping well modelling, and efficient algorithm to deal with irregular D and 3D grid geometry for field application.

83 Modéliation tochatique de l'intruion aline en D plan 77 6 Acknowledgement Thi tudy i part of the European project SWIMED on coatal aquifer management, funded by the European Commiion (Sutainable Water Management In MEDiterranean coatal aquifer): 7 REFERENCES Ababou R (1988) Three-dimenional flow in random porou media. Ph.D. thei. M.I.T., Cambridge MA, USA. Ababou R. (1996) Random Porou Media Flow on Large 3-D Grid: Numeric, Performance, and Application to Homogenization. Chap.1, pp.1-5, in IMA Vol. N.79 Mathematic and it Application: Environmental tudie - mathematical, computational and tatitical analyi. M.F.Wheeler ed., Springer, New-York, 410 pp. Ababou R. & Al-Bitar A. (005) Random field approach to eawater intruion in heterogeneou coatal aquifer: unconditional imulation and tatitical analyi. In: Geotatitic for Environmental Application, Renard P., Demougeot-Renard H., Froidevaux R. (ed.), Springer Verlag. Ababou R & Trégarot G (00) Coupled Modeling of Partially Saturated Flow : Macro-Porou Media, Interface, and Variability. In: Proc. CMWR 0, Comput. Meth. Water Reour., June 00, Delft, The Netherland, Elevier, 8 pp. Ababou R & Bagtzoglou A.C. (1993) BIGFLOW: a Numerical Code for Simulating Flow in Variably Saturated, Heterogeneou Geologic Media - Theory and Uer Manual Ver.1.1. NUREG/CR-608, Wahington DC., USA. Tompon AFB, Ababou R, Gelhar LW (1989) Implementation of the Three-Dimenional Turning Band Random Field Generator, Water Reour. Re. 5(10). Golub G.H. & Van Loan C.F. (1989) Matrix computation. nd Ed., J. Hopkin Univ. Pre, Baltimore, Maryland, 64 pp.

84 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 78 Chapitre V MODELISATION D COUPLEE SURFACE / SOUTERRAIN AVEC OU SANS INTRUSION SALINE

85 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 79 TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE V V - 1 Introduction 80 V Introduction 80 V - 1. Réumé du chapitre 80 V - Modèle d onde diffuante D (hydraulique de urface) 81 V -.1 Equation de Saint Venant D et coefficient de frottement 81 V -. Equation d onde diffuive D et coefficient de frottement 8 V - 3 Modèle équationnel d écoulement couplé urface/outerrain (D) 86 V Introduction et réumé 86 V - 3. Couplage urface-outerrain 86 V - 3.3Formulation mathématique du modèle bi-couche urface/outerrain 88 V Formulation du modèle bicouche urface/outerrain avec intruion aline 89 V - 4 Tet onde diffuante et couplage urface/outerrain 90 V Validation de l onde diffuante Manning 1D permanent 90 V - 4. Ecoulement couplé en géométrie implifiée 95 V - 5 Génération d un Modèle Numérique de Terrain Intégré (Garonne) 100 V Introduction 100 V - 5. Méthode Géotatitique 100 V MINT : Modèle Numérique Intégré de Terrain 103 V Méthodologie pour la contruction d un MINT 104 V Contruction du MINT pour la Garonne 105 V - 6 Simulation couplée du ytème nappe rivière de la Garonne (Touloue-Moiac) _ 106 V Echange rivière-aquifère dan la Garonne 106 V - 6. Simulation couplée riviére-aquifére en D 107 V - 7 Concluion 110

86 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 80 V - 1 INTRODUCTION V Introduction Dan pluieur configuration, l écoulement dan un ytème hydrologique et régi par le interaction entre l écoulement en urface et l écoulement outerrain. Dan ce type d écoulement il et important de prendre en compte le couplage entre le milieu outerrain et le volume d eau en urface (rivière, lac, ruiellement ). Le couplage peut e faire implicitement ou itérativement. Le couplage itératif conite à faire de échange entre le proceu phyique à de intant déterminé. Le temp d échange dépend du temp caractéritique de chaque proceu et de la difficulté à réoudre le problème pour le code à pa de temp adaptatif. Cette approche permet de faire du calcul équentiel ou parallèle indépendant durant un ou pluieur pa de temp. Une telle approche permet de réduire le demande en mémoire de tockage, mai elle préente un algorithme moin table car la olution de chacun de ytème non-linéaire et obtenue en conidérant une olution contante de l autre proceu durant un pa de temp donné. Aini le pa de temp doivent être petit, et la demande en temp calcul peut avérer coûteue. A cet inconvénient vient ajouter le temp d échange de donnée. La méthode de couplage implicite conite à écrire le équation de chacun de proceu en conidérant de terme d échange (ource/puit) entre le différent proceu et à le dicrétier. Enuite, le ytème d équation doit être aemblé dan un ytème algébrique global. L inverion de la matrice globale de ce ytème, correpondant aux deux proceu imultanément, permet d obtenir une olution plu table que dan le couplage itératif. Par contre, cette méthode et coûteue en mémoire et elle implique un temp calcul commun aux deux proceu. De méthode de décompoition de domaine et de calcul parallèle permettent de pallier à ce problème. Une autre façon de faire du couplage implicite et de conidérer une équation unique dont le coefficient ont modifié dan pluieur partie du domaine de calcul, aocié à de proceu phyique différent. Cette approche et inpirée principalement de l analogie entre le équation décrivant l écoulement en milieu outerrain et en urface. Elle permet d aurer une certaine continuité de variable telle que la preion aux interface de différente zone d écoulement. C et cette approche qu on utilie dan ce chapitre. Le problème du couplage et encore plu complexe lorque le ytème rivière/outerrain et ujet à l intruion aline, comme c et le ca dan le aquifère côtier. La méthode la plu utiliée pour réoudre le problème de l intruion aline et l approche de zone de diffuion, où l on couple le équation d écoulement à denité variable et l équation de tranport de el (oluté). Cette dernière approche et paée en revue dan le chapitre. Or, en préence d un écoulement de urface à cinétique rapide, ce modèle couplé écoulement-tranport convergent plu difficilement. L approche interface abrupte à deux fluide (eau alée / eau douce) utiliée ici et plu adéquate. Cette approche conduit au couplage de deux équation d écoulement, mai i l on conidère de plu que la zone alée et immobile, le ytème e réduit à une eule équation avec de coefficient nonlinéaire et variable uivant la configuration du ytème. V - 1. Réumé du chapitre Dan ce chapitre, le équation d écoulement de pleine eau à urface libre ont préentée. Le équation d écoulement de urface ont mie ou la forme d une équation d onde diffuante avec coefficient non-linéaire. Cette équation provient d une implification de équation de Saint- Venant, qui ont elle-même verticalement intégrée (ou verticalement hydrotatique). Il agit donc d écoulement plan en (x,y) (D). Cette formulation et reprie de travaux de Trégarot (00). De plu, un nouveau modèle couplé urface/outerrain et préenté. Ce modèle utilie la

87 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 81 formulation diffuive en urface et le équation de Dupuit-Bouineq en outerrain. Enfin une nouvelle complexité et ajoutée à ce ytème en introduiant l intruion aline. Pluieur application et validation ont montrée dan ce chapitre, notamment : une validation en 1D de l équation diffuive ; de tet imple pour le ytème couplé urface/outerrain avec ou an intruion aline ; et enfin une application aux écoulement couplé nappe-rivière-banc de galet dan la vallée fluviale de la Garonne. L application ur la Garonne a conduit à l élaboration d une nouvelle méthodologie pour créer un Modèle Intégré Numérique de Terrain (MINT). Le MINT et un MNT (Modèle Numérique de terrain) qui intègre de forte aniotropie morphologique, aini que de forte variation locale et de forte diparité de la réolution de meure, notamment au voiinage de cour d eau. Le MINT repréente une information indipenable pour la modéliation couplée urface/outerrain. Le modèle numérique utilié pour faire le imulation et le code de calcul volume fini BIGFLOW (D/3D). Une decription plu complète de ce code et préentée dan le chapitre. Dan ce chapitre, eule l option D du code et utiliée (écoulement plan). V - MODELE D ONDE DIFFUSANTE D (HYDRAULIQUE DE SURFACE) On développe d abord le équation de Saint-Venant D (écoulement plan) avec différente loi de frottement, pui on montre comment on peut en déduire une équation de type onde diffuante D, et enfin, on montre que ce type d équation peut être reformulé ou la forme d un modèle de Darcy généralié, prenant en compte de perte de charge quadratique en vitee, de la forme : - grad H = a V + b V V. Cette ection et baée principalement ur le travaux développé à l Intitut de Mécanique de Fluide de Touloue ce dernière année, référence uivante : Ababou et Trégarot (00), et Hénine (006). V -.1 Equation de Saint Venant D et coefficient de frottement Equation de Saint Venant D (Barré de St Venant 1871), qui peuvent être conidérée comme une approximation de équation de Navier-Stoke verticalement intégrée. En incluant le terme empirique de frottement (voir loi de perte de charge plu loin), ce équation écrivent comme uit, dan un repère cartéien (avec axe z vertical pointant ver le haut). L équation de conervation de mae écrit : ( ηu x x ) ( ηu + y y ) Z + t = 0 (5 56) Le équation de conervation de quantité de mouvement écrivent : ( ηu t x ) ( ηu + x x ) ( ηu xu y ) Z + = gη + S y x fx (5 57) ( ηu t y ) ( ηu xu + x y ) ( ηu + y y ) Z = gη y + S fy (5 58) avec : Z (x,y,t), Z inf (x,y) : côte de la urface libre Z (m) et du fond Z inf (m), par rapport à un repère fixe tel que le niveau de la mer (axe Oz vertical, ver le haut); η(x,y,t) : tirant d'eau (profondeur, water depth) : η(x,y,t) Z (x,y,t) Z inf (x,y) U x (x,y,t), U y (x,y,t) : compoante horizontale uivant Ox et Oy de la vitee U (m/),

88 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 8 S fx, S fy : repréentant la moyenne verticale de la vitee locale u ur le tirant d'eau (de z=z inf à z=z inf +η) ; compoante du gradient de perte d'énergie (m/m) dan le direction Ox et Oy (parfoi appelée friction lope ) ; On donne ci-deou une expreion emi-empirique de la loi de perte de charge, en terme du gradient de perte d énergie (S fx, S fy ). Dan ce ca bidimenionnel, le rayon hydraulique R H et confondu avec le tirant d'eau η (cette hypothèe et également valable dan le modèle filaire 1D pour de cour d eau large et/ou peu profond) : S S fx fy = c = c xx yy U ( η) U η U ( η) U η où c ii et un coefficient non-linéaire donné par : avec c ii (η) en [(L/T) /L], oit [m -1 ] c c xx yy ( η) = C ( η) = C xx yy η η α α x y (5 59) (5 60) Le c ii (η) ont de coefficient de frottement elon le direction Ox et Oy, uppoée direction principale d'aniotropie. En général, le cii (η) ont oit contant, oit faiblement variable en fonction du tirant d'eau η. Le cii(η) ont donné ci-deou (Tab.1) d aprè le formule de Chézy, Manning et Darcy-Weibach (Carlier, 1986 ; Chow et al., 1988). Tab.5.1 Expreion de terme de frottement donnée par Chézy, Manning et Darcy-Weibach. Formule de Chézy Formule de Manning Formule de Darcy-Weibach 0 1/ 3 c ii ( η) = Czii η (5 61) c ii( η) = Maii η (5 6) λii 0 cii ( η) = η (5 63) 8g unité : [Cz ii ] = [m 1/. -1 ] unité : [Ma ii ] = [m -1/3.] unité : [λ ii ]=[8g/Cz ii ] = [adim.] Dan ce tableau Cz : et le coefficient de Chezy et Ma : et le coefficient de Manning (ouvent noté «n» dan la littérature) [L -1/3 T] et λ : et le coefficient adimenionnel de Darcy-Weibach. Le coefficient Cz ii, Ma ii, et λ ii (i = x,y) ont tou de paramètre de frottement dépendant entre autre de la nature du fond (able, gravier, galet, etc.), de a morphologie, de divere obtruction à l'écoulement (embâcle), de la végétation, etc. V -. Equation d onde diffuive D et coefficient de frottement Pour modélier le écoulement de «pleine eau» de type rivière ou plaine d inondation, nou utilion une verion dégradée de équation de Saint Venant, dite équation d onde diffuive ou diffuante (et plu exactement : onde cinématique diffuive). On montre en effet mai eulement en 1D - que l équation de Saint Venant donne une équation d onde diffuive i l on peut négliger le taux de variation temporelle de la quantité de mouvement (ou de la vitee), ce qui revient eulement à négliger l accélération locale U/ t (mai pa Z S / t ni le terme d accélération convective inertielle) dan le équation de Saint Venant. De même, dan le plan (x, y), une équation d onde diffuive et enviageable. On acceptera ici la généraliation D, iotrope ou aniotrope, de l équation d onde diffuive pour le phénomène à

89 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 83 variation lente, en gardant tout de même à l eprit que le paage Saint Venant à l onde diffuive fait intervenir de hypothèe plu forte en D (x,y,t) qu en 1D (x,t) 4. V -..1 Onde diffuive D (ca général) Si l on néglige tou le terme d accélération (locale et convective/inertielle) dan l équation de quantité de mouvement D de Saint Venant, alor on obtient : = 0 + fx S x Z et 0 = + fy S y Z (5 64) En inérant la loi de perte de charge ci-deu dan ce équation, on obtient : x xx U c x Z η η U ) ( = et y yy U c y Z η η U ) ( = (5 65) et (5 66) Ce expreion, une foi mie au carré, et additionnée, nou permettent d'exprimer le module de la vitee moyennée verticalement : 4 1/ yy xx 1/ y Z ) ( c 1 x Z ) ( c 1 η + η = η U (5 67) Ceci, avec le équation (5.64) et (5 65), nou permet de ré-exprimer le vitee moyennée Ux et Uy en fonction du tirant d'eau η et de pente locale de la urface libre : x Z y Z ) ( c 1 x Z ) ( c 1 ) ( c 1 U 1/ 4 1/ yy xx xx x η η + η η = (5 68) y Z y Z ) ( c 1 x Z ) ( c 1 ) ( c 1 U 1/ 4 1/ yy xx yy y η η + η η = (5 69) avec (5.14) et (5.15), l'équation de conervation de mae devient : = y Z y Z c x Z c c y x Z y Z c x Z c c x t Z yy xx yy yy xx xx η η η η η η η η η η 4 1/ 1 1/ 4 1/ 1 1/ ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( (5 70) Cette dernière équation de conervation de mae 'écrit aui : 4 R. Ababou (circa 000) montre que l équation obtenue en négligeant le terme d accélération dan Saint Venant D, et différente de la verion D de l équation d onde diffuive, même i elle en et qualitativement proche. Voir par exemple le rapport du projet «EiCRIN» (000) ur la propagation de crue rapide et le rique d inondation.

90 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 84 + = y Z T y x Z T x t Z yy xx ˆ ˆ (5 71) avec le expreion de xx Tˆ et de yy Tˆ uivante : η η η η η 1/4 1/ ) ( 1 ) ( 1 ) ( ˆ + = y Z c x Z c c T yy xx xx xx (5 7) η η η η η 1/4 1/ ) ( 1 ) ( 1 ) ( ˆ + = y Z c x Z c c T yy xx yy yy (5 73) L équation finalement obtenue et l'équation d onde diffuive D dan le ca le plu général (aniotrope), exprimée dan un repère horizontal. Cette forme de l'équation d onde diffuive, aociée à la formule de Manning comme loi de perte de charge, a été notamment propoée et réolue numériquement par Hromadka et al. (1985) et Di Giammarco et al. (1996). V -.. Onde diffuive D iotrope avec formule de Manning On obtient, dan le ca de coefficient de frottement iotrope (c xx = c yy =c) : η η η η 4 1/ 1/ ) ( ) ( ˆ + = y Z c x Z c T (5 74) Ceci peut encore écrire ou la forme η K T ˆ ˆ = avec : 1/ 1/ 1/ 4 1/ 1/ 1/ ) ( ) ( ˆ Z S = + = η η η η c y Z x Z c K (5 75) Dan le ca d une loi de frottement de type Manning, avec c ii (η)=(ma ii ) η -1/3, on obtient : 1/ 3 5/ ˆ ˆ Z S = = Ma K T η η et 1/ 3 / ˆ Z S = Ma K η (5 76) On remarque qu il apparaît de coefficient effectif de conductance et de tranmittance, et que ce coefficient hydraulique ont non linéaire : il dépendent non eulement du tirant d eau η = Z S - Z INF, mai aui du gradient piézométrique Z S. Note : il ne faut pa confondre le coefficient de conductance effectif de l onde diffuante, avec le diver coefficient de conductivité dénoté K et Kr dan la loi de Darcy-Ward. V -..3 Analogie entre l onde diffuive D et l écoulement de Darcy-Ward 3D La paramétriation de l équation d onde diffuante D et implémentée par analogie avec le ca de écoulement en milieux poreux 3D à aturation variable θ(h) et à perte de charge

91 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 85 linéaire/quadratique, i.e., la loi de Darcy/Ward-Forchheimer implémentée dan BIGFLOW (Trégarot, 00). La loi de Darcy-Ward fait intervenir le notion de conductivité abolue K, conductivité à aturation K S et conductivité relative K R. Dan le ca iotrope, la formulation en 3D et la uivante (rappelon qu il agit ici de milieux poreux 3D où n apparaient que de conductivité, pa de tranmiivité) : θ t e Conervation de mae : = div( K h) + div( K g ) Loi de perte de charge : ~ K( h, H ) = ~ δ + ~ K B 3/ ( δ + 4γK ( h) H ) avec: δ = 1 : perte de charge linéaire (Darcy claique) ; γ = C/(gν) 1/ ; C = 0.55 (contante adimenionnelle d Ergun) ; K h = K K h. ( ) ( ) S R S 1/ K R ( h) (5 77) (5 78) Cette formulation et, eentiellement, la formulation générique du code BigFlow. Elle provient d une reformulation de la loi généraliée linéaire/quadratique combinant additivement Darcy et Forchheimer. Pour obtenir l équation d onde diffuante D / Manning, il faut utilier la table de correpondance uivante : Correpondance Darcy Ward 3D Onde diffuante D h η (rappel : η = Z S Z INF ) preion capillaire tirant d eau H Z S charge hydraulique cote piézométrique (urface libre) ( η) 1η θ e. (poroité rivière=1) teneur en eau tock d une colonne d eau ~ K( h, H ) = Tˆ η, conductance non linéaire tranmittance non linéaire g B Z INF ( ) ( x, y) Z force de volume gravitaire pente du lit et le paramètre uivant : δ = 0 : ceci traduit l abence de perte de charge linéaire dan l onde diffuante claique 5 ; γ = 1 : perte de charge quadratique (le coefficient ont implémenté par K et Kr) h K K R h ). K ( ) = S (ceci tout en conervant le terme ( ) En ubtituant ce variable et paramètre, on obtient : 5 Ceci et néceaire pour implémenter le formule claique de type Chézy, Manning, etc. Cependant, en réalité, pour le écoulement trè faible, rampant et/ou à trè faible tirant d eau, il y a un régime de perte de charge linéaire de type Darcy-Stoke (Ababou, 1998).

92 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 86 1/ 4 ˆ K S T ( η, Z S ) = K ( h) 1/ R (5 79) Z S Enfin, pour implémenter en particulier la loi de Manning, il uffit d identifier l équation précédente avec : 5/3 ˆ η T ( η, Z S ) = 1/ (5 80) Ma Z S Pour obtenir identité, on voit qu il uffit de prendre dan le coefficient de BIGFLOW : 4 5 / 3 K S = Ma et K ( η ) = η. R Par ailleur, une autre formulation de cette identification et poible en ré-écrivant la loi de Manning ou la forme : α c ( η) = C η avec C = Μa et α = 1/ 3. On voit alor qu on peut identifier le coefficient générique de BIGFLOW comme uit en fonction de coefficient de perte de charge C et α : ( 3 α )/ K S = 1/ C et K R ( η) = η (5 81) Plu généralement, la relation d équivalence ci-deu devrait être valable pour toute loi de perte de charge : Manning : C ii = Ma - et α = -1/3 ; Chézy : C ii = Cz et α = 0 ; Darcy-Weibach : C ii = λ/8g et α = 0. V - 3 MODELES EQUATIONNELS D ECOULEMENTS COUPLES SURFACE/SOUTERRAIN (D) V Introduction et réumé Dan ce paragraphe, on préente une méthode de couplage intégré (fortement implicite) de écoulement urface/outerrain, baée ur un modèle à une eule équation qui uppoe la continuité de la cote de la urface libre ou de la charge hydraulique H(x,y,t) à l interface nappe-rivière (ou plu généralement entre le deux zone d écoulement urface/outerrain). Le couplage propoé en D implique une continuité de la charge hydraulique, et ceci implique que le décrochement de nappe ne peuvent pa être pri en compte, et que le volume d eau napperivière doit reter connexe. Dan ce chapitre, deux ca ont prévu : le couplage urface/outerrain an intruion aline ; le couplage urface outerrain avec intruion aline. V - 3. Couplage urface-outerrain On conidère un ytème à deux couche correpondant aux région d écoulement de urface et d écoulement outerrain. On définit le urface uivante (voir fig. 5.1) : Z SUP (x,y) : repréente le MINT (Modèle Intégré Numérique de Terrain) qui correpond à un MNT incluant le cour d eau ; une méthode combinant interpolation et géotatitique pour le calcul du MINT et préentée dan la ection V.5 de ce chapitre. Z INF (x,y) : cette urface définit la cote du ubtratum ( bathymétrie de la nappe).

93 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 87 Z S (x,y): c et la urface libre de l eau ; elle repréente la charge hydraulique et donc l inconnue du problème ; dan le ou ol elle et aociée au niveau de la nappe et en urface elle donne le niveau de la rivière ; elle et continue à l interface de deux région. η(x,y): on peut aui définir le tirant d eau (ηr) dan la rivière et dan l aquifère (ηa). Le modèle à bi-couche et utilié pour coupler le écoulement D au ein de deux couche uperpoée : une couche dite inférieure, comprie entre deux urface de cote repective Zinf (x,y) et Zup (x,y), et une couche dite upérieure repoant ur la urface de cote Zup (x,y). La nappe et comprie entre la urface inférieure de cote Zinf (x,y) ur laquelle elle repoe, et l'unique urface libre de cote Z (x,y,t), ituée oit dan la couche inférieure, oit dan la couche upérieure. La zone aturée délimitée par le ubtratum Zinf et la urface libre Z, et donc continue, comme pour le modèle à une couche. Le écoulement au ein de chaque couche peuvent être de même nature (e.g., régi dan chaque couche par l'équation de Bouineq), ou de nature différente (e.g., équation de Bouineq dan une couche, et onde diffuive dan l autre). Aini, pluieur configuration d'écoulement ont poible : écoulement dan un aquifère tratifié horizontalement (bi-couche); écoulement dan une plaine alluviale contituée d'un cour d'eau connecté à a nappe d'accompagnement (figure 5.1) ; affleurement de nappe en un point ba d'un verant (dan un modèle comme MODFLOW, ce affleurement ont modélié par une limite à potentiel impoé, là où le taux d'infiltration de la pluie et upérieur aux poibilité de tockage de la nappe) ; écoulement dan un réeau de rivière outerraine (couche inférieure), alimentée par le drainage d'un maif poreux u-jacent (couche upérieure). z Z up (x,y) (MINT) Z (x,y,t) η = ηa ηr η ηa Zinf (x,y) ubtratum Zone B x = L Zone A Zone B x Fig. 5.1 Repréentation chématique en perpective d'un modèle d'écoulement plan à deux couche. (Voir la ection V.3. pour la decription de variable).

94 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 88 V Formulation mathématique du modèle bi-couche urface/outerrain V Equation de la zone A : ytème aquifère/rivière On conidère la configuration décrite dan la figure 5.1. Dan la Zone A (zone compoée d un ytème aquifère/rivière), l écoulement et décrit par le équation uivante. Dan la rivière, l équation d écoulement et donnée par : θr ηr = div( Tr ηr + Tr Z up ) (5 8) t Dan l aquifère, l écoulement et décrit par : θ a ηa = div( Ta ηa + Ta Z inf ) (5 83) t où : θr, θa ont repectivement la poroité effective dan la rivière (θa = 1) et dan l aquifère ; Tr, Ta ont repectivement la tranmiivité équivalente dan la rivière et dan l aquifère ; ηr, ηa ont repectivement le tirant d eau dan la rivière et dan l aquifère. Dan le ca de la rivière, le gradient gravitaire et donné par la pente de la urface du fond de la rivière, tandi que dan le ca de la nappe, le gradient gravitaire dépend de la pente du ubtratum. Pour obtenir une équation unique couplant le écoulement nappe rivière dan la zone A, on propoe de uperpoer le équation d écoulement dan la rivière et dan l aquifère. Cette opération et aimilable à une intégration verticale de deux équation de conervation de mae, dan le cadre de hypothèe d écoulement plan régnant dan chaque couche. En additionnant l écoulement verticalement dan le deux ytème on obtient : θ r r a a r r r up a a a Z inf (5 84) t [ η + θ η ] = div( T η + T Z + T η + T ) Cette opération implique que la lame d eau et continue entre la rivière et l aquifère. L hypothèe ou jacente et qu il ne peut y avoir un décrochage entre la rivière et a nappe d accompagnement. D aprè la configuration géométrique de couche dan la Zone A, on a : η = η r + η a et η a = Z up Zinf (5 85) où η et le tirant d eau total. En remplaçant η a et η r dan l eq (5 84), on obtient donc : V θ r r a a r r inf a Z up (5 86) t [ η + θ η ] = div( T η + T Z + T ) Zone B : écoulement outerrain eul Dan la Zone B (zone d écoulement outerrain eul), l écoulement dan l aquifère et régi par : Dan ce ca on a : θ a ηa t = div ( T η + T ) η a Aini l équation d écoulement écrit : a a a Z inf (5 87) η = et η = 0 (5 88) r

95 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 89 θ a η = div t ( T η + T ) a a Z inf (5 89) V Equation unique d écoulement pour le deux zone A et B A partir de équation élaborée dan le zone A et B on peut propoer un modèle unique qui applique aux deux zone : θe t = div T ( ˆ η + Tˆ Z + Tˆ Z ) où θe et la poroité effective donné par : θ = θ η + θ η De même, η et un tirant d eau total, donné par : η = η r + η e inf a a up r r a (5 90) Troi terme de gradient interviennent dan cette équation : un terme de gradient de charge hydraulique, un terme de gradient gravitaire qui dépend de la pente du ubtratum, et un terme de gradient gravitaire qui dépend de la pente du fond de rivière. Le coefficient T et T traduient le tranmiivité effective de l aquifère, de la rivière, et/ou de l enemble du ytème nappe-rivière : Tˆ = ω T a + λt r (5 91) Tˆ = λ ( T a + ωt r ) où pour η r = 0 {ω = 1 et λ = 0} pour η r 0 {ω = 0 et λ = 1} On peut enfin vérifier la continuité de preion ou de charge à l interface de zone A et B. On e place au niveau de l abcie x = L entre la zone A et la zone B (voir figure 5.1) : η ηa pour x L : η a = Zup Zinf η r 0 En inérant ceci dan l équation (5 90) pour x L on obtient : θ a η = div t ( T η + T ) a a Z inf Et en inérant ce même réultat dan l équation (5 90) pour θ a η = div t ( T η + T ) a a Z inf + x L on obtient : Aini la continuité de la charge hydraulique et bien aurée entre le zone A et B. (5 9) (5 93) V Formulation du modèle bicouche urface/outerrain avec intruion aline Dan le ca où l aquifère et oumi à l intruion aline, on utilie pour l écoulement dan l aquifère le modèle D plan préenté dan le chapitre IV. Le même modèle développé dan le paragraphe précédent rete valable auf que le terme de tranmiivité dan la zone aquifère et modifié de façon à prendre en compte la préence de la zone d eau alée (voir figure 5.). La poition du bieau et déterminée à l aide de l hypothèe de Ghyben-Herzberg par : ( H ZSEA) ZSALT = ZSEA ΔZ (5 94) ε où : Zea et le niveau de la mer ;

96 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 90 ρs ρf ε = 1 et le contrate de denité ; ρf 40 ΔZ et l épaieur de l exutoire d eau douce, calculée éparément par olution analytique. Le bieau alé et pri en compte dan le calcul du tirant d eau en modifiant comme uit la variable Zinf(x,y) : Z inf = max( Z inf, Z alt ) (5 95) Cette modification revient à remplacer le paramètre Zinf(x,y) par l inconnue Zalt(x,y,t) dan la zone du bieau alé. Fig. 5.. Repréentation chématique d'un modèle de écoulement plan bicouche avec intruion aline (vu ici en perpective). V - 4 TESTS ONDE DIFFUSANTE ET COUPLAGES SURFACE/SOUTERRAIN V Validation de l onde diffuante Manning 1D permanent Le code BIGFLOW a été préalablement validé pour un certain nombre de configuration d écoulement (Trégarot 000) : aquifère horizontal à 1 couche et couche ; écoulement de urface 1D ur un lit incliné ou non (an couplage). De olution analytique imple ont diponible pour ce ca tete. Une de ce olution et reproduite ci-deou (validation analytique onde diffuante 1D permanent). V Tet onde diffuante 1D permanent (lit horizontal) Le modèle d onde diffuive et comparer à la olution analytique de l onde diffuante en régime permanent 1D ur un canal (ou une rivière) à fond horizontal avec une ection uniforme.

97 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 91 Nou imulon avec BIGFLOW l'écoulement permanent 1D dan un canal horizontal, de ection uniforme, de coefficient de rugoité de Manning Ma uniforme, d'extenion longitudinale L et limité en amont et en aval par deux réervoir de cote repective Z 0 et Z L. Le valeur de paramétre utilié ont : Ma = m -1/3. L = 100 m Z 0 = 1.5 m Z L = 0.5 m Pour ce problème d'écoulement permanent 1D, l'équation qui régit l écoulement dan le canal 'écrit : 1/ Ma 5/ 3 Z η = 0 1/ 4 (5 96) x 1 Z x 4 Ma x Soit en uppoant le gradient (5.97) de même igne ur toute la longueur du canal. et d'où : 1 Ma Z x η Z = + x x Z η = Cη x inf (5 97) 3 x η 5 / C (5 98) = Z x 10 / 3 inf (5 99) Cette équation différentielle admet une olution imple pour un canal horizontal, ( Z inf / x = 0 η = Z ), et avec le condition limite Z (0) = Z 0 et Z (L) = Z L. Nou obtenon, avec Z L > Z 0, la olution analytique uivante pour la cote de la urface libre : 13/ 3 13/ 3 3/13 13/ 3 Z Z ( ) 0 L x = Z 0 x Z (5 100) L Ce qui donne, de plu, le débit pécifique (m /) contant : Q x 3 13/ 3 1 Z 13/ 5/ Z L = Z x η = (5 101) Ma Ma 13 L La figure 5.3 montre la comparaion du profile Z(x) analytique et du profile Z(x) numérique (BigFlow). Le profile et correctement imulé. Le débit pécifique et aui correctement calculé : Calcul analytique : Q -ana m -1 ; Calcul numérique : Q -num m -1 ; L'erreur relative ur le débit et de 0.03 %.

98 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline Z (m) V x (m) Fig. 5.3 Poition de la urface libre Z (x) dan le ca d'un canal uniforme ur un fond horizontal. Comparaion entre olution numérique ( ο ) et analytique ( - ) (d aprè Trégarot 000). Onde diffuive 1D en régime tranitoire (rupture de pente) Le tet précédent a été repri en régime tranitoire par Ababou R. et Trégarot G. (000). Ce tet tranitoire a été nommé «rupture de digue» ou «rupture d un barrage». Introduction Le équation, dite aui «hallow water equation», 'appliquent à de écoulement à urface libre, large et peu profond. Ce ont le équation de Barré de Saint Venant (1871), mie ou la forme D. Elle ont établie à partir de équation de Navier-Stoke, moyennée ur le tirant d'eau η, et de hypothèe uivante: la denité de l'eau et contante (écoulement incompreible) et uniforme; la ditribution verticale de preion et hydrotatique : dan un repère cartéien (O,x,y,z), l'axe Oz étant vertical orienté ver le haut, H = h + z Z. Cette dernière hypothèe implique un écoulement quai-horizontal, ce qui peut e jutifier pour de pente du fond (z = Z up ) et de la urface libre (z = Z ) relativement faible. On obtient le équation de Saint-Venant (voir plu haut), avec : Z (x,y,t), Z up (x,y) : cote de la urface libre et du fond (η = Z Z up ); U(x,y,t), V(x,y,t) : vitee moyennée de l'écoulement dan le direction x et y; S fx, S fy : pente de frottement dan le direction x et y; En ignorant le terme d'accélération locale et convective, on obtient le équation d onde diffuante (voir plu haut et ci-deou) : ( ηu) ( ηv) Z + + = 0 x y t Z + Sfx = 0 x Z + Sfy = 0 y

99 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 93 1/ n x ( U + V ) n y ( U + V ) avec Sfx = U et S V 1/ 3 fy = 1/ 3 η η η η où n x et n y ont le coefficient de frottement de Manning (en m -1/3.) dan le direction x et y, uppoée direction principale d'aniotropie pour ce coefficient. Ce ont ce dernière équation qui ont réolue par BIGFLOW. Application Nou imulon avec BIGFLOW l'écoulement 1D dan un canal de pente I = , de ection et de coefficient de rugoité n = uniforme, d'extenion longitudinale L = 000 m et limité en amont et en aval par deux réervoir de hauteur repective η 0 = 10 m et η L = 5 m. Initialement, un "barrage" partage pratiquement le domaine en deux (itué en X = 105 m): le niveau et à 10 m en amont, et de 5 m en aval. Pour t > 0, le "barrage" et "rompu". Nou avon réalié la imulation juqu'à t = 3. Le temp de ortie ont 0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1 et 3 unité de temp (). La taille de maille choiie et de 1.5 m (domaine de 161 noeud elon la direction X). Voici pour exemple, la tructure du fichier d'entrée principal utilié par BIGFLOW 000 : FICHIER INPUT1 DU TEST «RUPTURE DIGUE 1D» (BIGFLOW 000) IDATE (DAY-MONTH-YEAR): IDRUN (SIMULATION ID NUMBER): LRUN (0:TEST RUN/1:FULL RUN): 1 NGRID1,,3 (FULL GRID SIZE: TOTAL No.of NODES): MESH SIZE DX1,DX,DX3: GRAV1,,3 (GRAVITY VECTOR, DEFINES AXES): E E E+00 TYPE OF BNDRY CONDITIONS: LTYPA(j),LTYPB(j),j=1,,3: 1 1 Boundary condition:(fixaj,fixbj)j=1,,3: 10E+00 5E E E E E+00 LHIN (0:Hin UNIFORM, 1:Hin NONUNIFORM): 1 HIN (INITIAL OR REFERENCE HEAD VALUE): 10 FLOW REGIME: SATURATED/UNSATURATED (LFLOW=1/): TRANSIENT/STEADY FLOW (LTRANS=1/0): 1 DELTA,GAMMA (TERMS OF WARD HEAD DROP LAW): E+00 ISOTROPIC/ANISOTROPIC CONDUCTIVITY (LKANIS=0/1,): 0 Kat_11(x) in K_11(h): VALUE & STATISTICS (FKGM,FKDEV): E+00 Kat_(x) in K_(h): VALUE & STATISTICS (FKGM,FKDEV): E+00 Kat_33(x) in K_33(h): VALUE & STATISTICS (FKGM,FKDEV): E+00 S(x) or So in K(h) or T(h): VALUE & STATS (CAPGM,CAPDEV): E E+00 1/

100 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 94 COEFF TTat(x) in T(h): VALUE & STATS (TTGM,TTDEV): E+00 COEFF ALFA(x) in K(h) or T(h): VALUE & STATS (ALFGM,ALFDEV): E E+00 COEFF BETA(x) in K(h) or Th(h): VALUE & STATS (BTGM,BTDEV): E E+00 COEFF HBB(x) in K(h) or Th(h): VALUE & STATS (HBBGM,HBBDEV): E E+00 K(h) or T(h) Ctant Coeff: VGN: E+00 K(h) Ctant Coeff: FKDRY : E+00 T(h) Ctant Coeff: TTDRY: E+00 TIME STEP (DTIN,DTMIN,DTMAX,DTMUL): E E DHSTAB (TYPICAL HEAD DIFFERENCE FOR T-STEP CONTROL): E+00 ERMIN (ERROR NORMS/INNER ITER: E<ERMIN-->CONV): E+00 ITEND (MAX. NUMBER OF LINEAR SOLVER ITERATIONS): 100 ENLHA,ENLHR,ENLTA (ERR. NORM/OUTER ITER: E<ENL->CONV): E E E+00 INLMAX (MAX.No.NONLINEAR OUTER ITERATIONS): 0 LFLUP (FLUX UPDATING SCHEME): 0 LKWNOD=1,,3,4 (MIDNOD.KSAT:GEOM,HARMON,ARITHM MEAN,MAX): 1 MACHINE DEPENDENT CSTANTS: SRELPR,RSMALL: E E-41 KTMAX (MAX. OR TOTAL NUMBER OF TIME STEPS): 0 TYMAX (MAX. OR TOTAL TIME OF TRANSIENT SIMULATION): 3. LTOUT (OPTION FOR OUTPUTS AT GIVEN TIMES): 1 KTOUT (NUMBER OF EARLY OUTPUT TIMES): EARLY OUTPUT TIMES TYMOUT(1),...,TYMOUT(ktout): SAVE 3-D T(x) AND K(x) along with h(x) (LTHETOUT=0/1): 0 SAVE 3-D mid nodal fluxe along with h(x) (LMIFLUX=0/1): 0 OUTPUTS OPTIONS KOUT11,KOUT1: LOCATION OF NODE/LINE/PLANE FOR THE PROBE (IPROBj): SPECIAL OPTIONS LBFLUX,LMASS,LIFLUX: ACTUAL NAMES OF ALL INPUT FILES (INPUT1/.../INPUT9): INPUT1 INPUT INPUT3 INPUT4 INPUT51 INPUT5 INPUT53 INPUT6 INPUT7 INPUT8 INPUT9

101 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 95 Fig.5.4 Réultat du problème de rupture de digue : imulation BIGFLOW ( - ) et olution analytique ( ) (Ababou et Trégarot 000). V - 4. Ecoulement couplé en géométrie implifiée Le tet uivant ont pour objectif de prouver la capacité du modèle numérique à réoudre de problème couplé : vérification du bilan de mae, convergence, et comportement phyique de la urface libre rivière nappe. V Plaine et rivière rectiligne 70 km 4 km Il agit, dan cette étape préliminaire, de faire une modéliation trè implifiée (qualitative) de l écoulement couplé rivière- nappe de la Garonne avec on lit majeur et a nappe d accompagnement (tronçon de 70 km x 4 km environ) (voir figure 5.5). Le objectif de cette étape ont : de teter le comportement numérique du code (réglage du pa de temp, convergence de itération, bilan de mae et débogage éventuel du couplage nappe-rivière) de vérifier qualitativement le effet de différent type de condition limite et de la paramétriation de propriété hydraulique (nappe : perméabilité ; rivière : Manning) La géométrie trè imple du domaine et un rectangle traveré un tronçon linéaire de rivière au milieu du domaine. La grille du domaine et rectangulaire et régulière. La ection de la rivière et rectangulaire en U. La dicrétiation du domaine et la uivante : Lx = 4 km ; Ly = 70 km ; Δx = 5 m ; Δy = 100 m ; Nx = 10 ; Ny = 700 ( N total = nœud.)

102 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 96 B A A Section AA coupe tranverale du domaine de calcul B Vue plan du domaine de calcul Section BB coupe longitudinale du domaine de calcul Fig 5.5 Configuration du problème tet du modèle de couplage urface/outerrain. Le dénivelé axial (uivant y) de la urface du ol Zup et du lit de la rivière Zinf = 70 m. Le gradient axial moyen (uivant y) de Zinf et de Zup : gradz (axial) = m / 70 m = 1/1000. On prend grad(zinf) = grad(zup) = 0 axialement (uivant y) : Zup = 100 m o auf dan la rivière où Zup = 95 m (rivière en «U» de profondeur 5m) Zinf = 95 m Le condition limite de cote piézométrique uffiront à produire un écoulement amont-aval : CL amont : Hnappe = Hrivière = 99 m à l amont (frontière y = 0) CL avale : Hnappe = Hrivière = 96 m à l aval (frontière y = Ly = 70km) CL latérale : Flux nul ur le frontière x = 0 et x = Lx Le condition initiale : Hinit = 96m partout La figure 5.6 montre le réultat numérique de la imulation couplé urface/outerrain. On remarque qualitativement que l eau écoule plu rapidement dan la rivière que dan l aquifère. De plu on remarque l alimentation de la nappe par la rivière.

103 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 97 Fig. 5.6 Réultat numérique d une imulation couplée urface/outerrain avec le code BIGFLOW. V Série de tet couplé avec méandre en «U» Une autre érie de tete de imulation, comme celle de la figure 5.7 a été effectuée. Ce tet concernent de configuration extrêmement implifiée en D, mai avec couplage urface outerrain et urface outerrain en préence d intruion aline. Vu le manque de olution analytique pour le couplage urface outerrain, le réultat ont validé par comparaion qualitative et par inpection de la conervation de mae. L exemple de la figure 5.7 et 5.8 concerne le paage d une inondation dan un ytème couplé rivière/aquifère dan un méandre. Dan cet exemple on voit l avancement de l eau dan la cour d eau et l échange avec le milieu poreux. On remarque à partir de contour dan le méandre de la figure 5.8 la circulation de l eau à traver le méandre. Ce type de comportement peut expliquer la mobiliation et le tranport d un polluant par le cour d eau au niveau de méandre. Le figure 5.9 et 5.10 préentent le même exemple mai avec de l intruion aline. On remarque dan la figure 5.10 que l intruion aline et accentuée au niveau de l exutoire de la cour d eau.

104 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 98 Fig. 5.7 Simulation tranitoire implifiée rivière/aquifère avec le modèle couplé D plan de BIGFLOW (méandre rectangulaire an pente) (t=45). Fig. 5.8 Simulation tranitoire implifiée rivière/aquifère avec le modéle couplé D plan de BIGFLOW (méandre rectangulaire an pente) (t=100).

105 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 99 Fig Simulation tranitoire implifié rivière/aquifère en préence d intruion aline avec le model couplé D plan de BIGFLOW (méandre rectangulaire an pente) (t=45). Fig Simulation tranitoire implifiée rivière/aquifère en préence d intruion aline avec le model couplé D plan de BIGFLOW (méandre rectangulaire an pente) (t=100).

106 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 100 V - 5 GENERATION D UN MODELE NUMERIQUE DE TERRAIN INTEGRE (GARONNE) V Introduction Cette ection décrit un travail d etimation, interpolation patiale et fuion de donnée en vue de la recontruction de la topographie et/ou bathymétrie de urface (ol, lit de rivière, ubtratum) à partir de donnée analogique et numérique. Le donnée utiliée incluent : carte géographique de l IGN, Modèle Numérique de Terrain du bain de la Garonne (pixel 100mx100m), profil en traver le long de la Garonne, etc. Le réultat, appelé MNT «intégré», et une grille de pixel haute réolution (10mx10m à 0mx0m). Nou dipoon de donnée uivante fournie par le LEH (Laboratoire de l Ecologie de Hydroytème) (voir figure 5.11) : le tracé de la ligne centrale de la rivière de la Garonne (donnée vectorielle Polyligne (x,y)) ; le tracé de berge de rivière (donnée vectorielle Polyligne (x,y)) ; le profil en traver de la rivière (type point X, Y et Z); le MNT (Modèle Numérique de Terrain) d une réolution de 100m; un enemble de point IGN (X,Y,Z). V - 5. Méthode Géotatitique L interpolation patiale en géotatitique et le problème d etimation d une fonction F(x), où x = (x,y), en un point x p du plan à partir de valeur connue de F en un certain nombre, m, de point environnant x i : F ( x W F( x (5 10) = m p ) i i ) i= 1 avec W i coefficient de pondération. Le coefficient Wi peuvent être déterminé par pluieur méthode. On peut procéder à l interpolation linéaire (en fonction de l invere de la ditance), ou à la méthode de pleen cubique (ajutement de polynôme cubique). Le krigeage choiit plutôt le poid à partir du degré de imilarité entre le valeur F, etimé à partir de la covariance entre le point en fonction de la ditance entre ce point (Gratton 00).

107 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 101 V Fig Repréentation de donnée diponible dan la bae de donnée SIG de la Garonne au niveau de Montbéqui. Krigeage Le krigeage conite à calculer le coefficient W i de la fonction F à l aide de valeur du variogramme. L hypothèe principale indipenable pour utilier le krigeage et que la moyenne μ et la variance Var de la fonction F oient tationnaire, donc qu elle ne dépendent pa de la poition de point, mai eulement de la ditance entre le point. { Z( )} μ ( x ) = E x (5 103) Var Z( x ) = E [ Z( x ) μ( x )] (5 104) { } { } Cette hypothèe et applicable dan le ca où le tructure qu on meure préentent une forme aez régulière. V Etimation du variogramme L apect central dan toute le étude géotatitique et l etimation du variogramme. Le variogramme et la variance totale moin la covariance en fonction de la ditance entre le point. Le krigeage utilie le emi-variogramme pour déterminer le poid dan l (5 10). Pour n(h) point, x i et y i éparé par la ditance h = x i y, le emi variogramme et donné par la valeur : i

108 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 10 n( h) 1 γ ( h) = ( x i y i ) (5 105) n( h) i= 1 A l aide de la méthode de moindre carré, une fonction et ajutée ur le valeur expérimentale du emi-variogramme. On obtient aini la fonction du emi-variogramme. Le choix et l ajutement de la fonction au emi variogramme contituent la partie délicate du krigeage (Gratton, 00). V Type de krigeage Il exite troi type de krigeage à une variable (Gratton, 00) : krigeage imple : variable tationnaire de moyenne connue ; krigeage ordinaire : variable tationnaire de moyenne inconnue ; krigeage univerel : variable non tationnaire. V Krigeage ordinaire ou ponctuel Le but et de trouver le coefficient W i qui donnent une valeur du emi-variogramme calculé à partir de x p égale au emi-variogramme ajuté. La méthode conite à multiplier le W i de chacun de point par la emi-variance de ce point. A.. W = B (5 106) avec A matrice de variance γ ( h ij ) calculée à partir de valeur meurée ; B vecteur de variance γ ( h ip ) calculée à partir de la fonction ajutée ; W vecteur de coefficient de pondération. Une variable libre λ et introduite pour vérifier la condition ur la omme de coefficient qui doit être égale à 1. L erreur tandard en chaque point et obtenue par : T = W.B (5 107) V Propriété du krigeage p Le propriété et caractéritique principale aociée au krigeage ont (Marcotte, 003): Le propriété et caractéritique principale aociée au krigeage ont (Marcotte, 003): Le krigeage et une interpolation linéaire, an biai, à variance minimale, par contruction. C et un interpolateur exact : i l on etime un point connu, on retrouve la valeur connue. Il préente un effet d écran : le point le plu prè reçoivent le poid le plu important. Cet effet d'écran varie elon la configuration et elon le modèle de variogramme utilié pour le krigeage. Plu l'effet de pépite et important, moin il y a d'effet d'écran. Il tient compte de la taille du champ à etimer et de la poition de point entre eux. Par l'utiliation du variogramme, il tient compte de la continuité du phénomène étudié (effet de pépite, aniotropie, etc.). le krigeage effectue généralement un liage, i.e. le etimation ont moin variable que le teneur réelle que l'on cherche à etimer. Il et preque an biai conditionnel. Ceci ignifie que lorqu'on applique une teneur de coupure à de valeur etimée, on récupèrera approximativement la teneur prévue. C'et une propriété trè importante pour le mine. Cette propriété implique que l'etimateur utilié oit plu lie que la valeur qu'il cherche à etimer, ce qui et le ca pour le krigeage. Si l on oberve en un point une valeur coïncidant avec la valeur krigée pour ce point, alor le valeur krigée en d'autre point ne ont pa modifiée par l'incluion de ce nouveau point dan le krigeage. Par contre le variance de krigeage, elle, ont diminuée. De même, i l on krige un certain nombre de point et que l on utilie le valeur krigée

109 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 103 comme i c étaient de nouvelle donnée, alor le krigeage ubéquent ne en trouvent pa modifié (auf pour la variance de krigeage). V MINT : Modèle Numérique Intégré de Terrain Afin de éparer le domaine d écoulement outerrain et de l écoulement en urface, une decription détaillée de la urface de éparation à l échelle de maille de calcul et néceaire. Une contruction intégrée du modèle numérique du terrain MINT impoe. La contruction du MINT à partir de donnée diponible par le méthode géotatitique claique comme la triangulation ou le krigeage ne donne pa de réultat atifaiant car ce méthode ne peuvent pa prendre en compte l aniotropie patiale du MINT dan la zone de la rivière. En faite le krigeage prend en compte la fonction de corrélation ou le emi-variogramme en fonction de la ditance de éparation. Pratiquement la valeur en un point X va dépendre de valeur d un enemble de point E choii à une certaine ditance de X (dan un rayon r pour la emi-variogramme phérique). Lorque le profile ont loin l un de l autre et que le tracé de la rivière préente de courbure prononcée, il et néceaire d ajoute plu information dan la zone de la rivière. Merwade et al. (006) préente une olution dan le ca où de information 3D ont diponible tout au long de la rivière. Mai il et rare de dipoer de cette information, urtout à l intérieur de la rivière. Pour palier à ce problème on propoe une interpolation de profile à l intérieur de la rivière. Afin d effectuer cette interpolation, on tranforme le ytème de coordonnée cartéien (x,y) en un ytème de coordonnée curviligne (τ,n) qui uit la ligne centrale de la rivière. Ce calcul conite à dicrétier la ligne centrale entre deux profil en N egment et d interpoler entre ce deux profile. Le cordonnée du point central de chaque tronçon ont donnée par : τ ci = d i co( α i ) et nc i = 0 (5 108) avec d la ditance entre deux profile ; α l angle entre la ligne centrale et l horizontale. ( yi yi 1) d i = ( xi xi 1 ) + ( yi yi 1) et tan( α i ) = (5 109) ( xi xi 1) L orientation de chaque profile par rapport à l horizontal et obtenue en interpolant linéairement l angle β uivant l axe τ : d 1 + i β 1 ( β ) β i = β (5 110) d où β et l angle entre l horizontale et le profile meuré P 1, 1,P défini. ( yb y ) 1, A1, par tan( β 1, ) = avec A et B ont le point extrême de chaque profile. La poition ( xb x ) 1, A1, ur l axe n de chaque point de profile interpolé et donnée par : 1 π τ i = τci = d i co( α i ) et n co j i = Pi α i β j j i (5 111) et (5 11) avec l ij = ( xij xci ) + ( yij yci ) la ditance entre le centre et un point du profile L interpolation entre deux ligne era effectuée de façon linéaire entre deux profile. La ditance entre le deux profile et donné par d N d 1 i. Pluieur pair de point ont conidéré entre le deux profile. Le paire de point uivant ont relié automatiquement entre deux profile : le point de centre ; la rive gauche du lit majeur ; la rive gauche du lit mineur ; la rive droite du lit majeur ; la rive droite du lit mineur.

110 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 104 L élévation du fond de rivière ur tou le profile intermédiaire et pour chaque paire de point et calculée avec la formule uivante : d i Z i = Z ( Z j Z ) j 1 + j 1 (5 113) j d Le calcul de coordonnée (x,y) à partir de coordonnée (t,n) pour le point interpolé e fait à partir de formule uivante : X i = Xci + lij co( β i ) = X i 1 + d i co( α i ) + lij co( β i ) (5 114) j Y i j = Yc i + lij in( β i ) = Yi 1 + d ico( α i ) + lij co( β i ) (5 115) A X i C i P d i B y A γ n P 1 τ α 1 B β 1 P Fig. 5.1 Tranformation de coordonnée cartéienne en coordonnée curviligne V Méthodologie pour la contruction d un MINT L interpolation de profil era effectuée dan un repère curviligne pui elle era tranformée ver le repère cartéien (x,y). La méthode et décrite par le étape uivante : x 1. Analye préliminaire: Cette étape conite à projeter toute le donnée dan un eul ytème de référence géographique ; dan cette étude l IGN Lambert II étendue et choii. Enuite la cohérence de profile et tetée par rapport au tracé de la rivière et par rapport au niveau de la urface MNT. Ce type d analye a permi de détecter quelque anomalie dan le donnée du MNT 100x100 prè de la rivière (dan une zone de 300 m de la rivière) et d utilier eulement le point IGN. Le donnée MNT eront utiliée pour l etimation loin de la rivière.. Tranformation curviligne : La rivière et dicrétiée en pluieur egment. Pour chaque point initial, l angle α avec l axe OX et la longueur ont tocké. Le coordonnée dan le ytème curviligne ont aini obtenue à partir de longueur de tronçon. 3. Interpolation linéaire dan le repère (τ, n): une interpolation linéaire du niveau vertical par rapport à la ditance de éparation et appliquée dan chaque tronçon entre deux profile. Cette interpolation et effectuée en conidérant comme référence la ligne centrale, le berge du lit mineur, et le lit majeur. Cette interpolation peut être faite dan l outil HEC-RAS mai avec le coordonnée curviligne. 4. Tranformation invere (back-tranform) : le nouveaux profile aini obtenu ont retranformé dan le cordonnée (X,Y) en utiliant le point d origine et l angle α. 5. Interpolation de la zone rivière.

111 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline Interpolation intégrée ur la zone complète : finalement le donnée regroupée dan l étape (1) ont aociée aux donnée obtenue par l interpolation à l étape 5. Une dernière interpolation permet d obtenir le MINT (voir figure 5.13). Tranformation curviligne Tranformation Aemblage de donnée Triangulation P3 P3 P3 P3 P P τ P P y P1 x n P1 τ n P1 y x P1 y x Ligne centrale de la rivière Profil meuré Interpolation linéaire de profil Donnée altimétrique en dehor de limite de la rivière Fig Méthodologie pour l obtention du MINT. V Contruction du MINT pour la Garonne Aprè traitement de ce donnée, ou le ytème d information géographique (SIG), nou avon obtenu le MINT final du ite d étude avec de pixel de 0 0 m (voir la figure 5.14). On remarque que la morphologie du fond de la rivière et bien reproduite. Fig Vue 3D du MINT du ite de Monbéqui (à 40 Km de Touloue) avec une réolution de 0 0 m (Al Bitar et al., 006).

112 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 106 V - 6 SIMULATION COUPLEE DU SYSTEME NAPPE RIVIERE DE LA GARONNE (TOULOUSE- MOISSAC) Le ite d étude et localié ur la plaine de la Garonne à 40 Km en aval de Touloue. La moyenne annuelle de précipitation et de 500 mm, le débit moyen annuel de la Garonne au niveau du ite et de 00 m 3 /, mai cette valeur varie entre 50 m 3 / en période d étiage à 4000 m 3 / en période de crue (Weng et al. 003). Le autre donnée néceaire, que nou avon introduite dan le code ont : Le coefficient de rugoité du lit du cour d eau : Dan le tronçon d étude, La Garonne coule en de nombreux endroit ur le molae du ubtratum (Agence de l eau de la Garonne, 1989) ; Le coefficient de Chezy Correpondant et de l ordre de : 35 m 1/ / (Chow 1988) (Bedient 00) ; Le ubtratum et conidéré comme étant un plan horizontal ; La ditribution de perméabilité du ol et prie de Weng et al. (003). Nou avon donné de condition initiale nulle, c'et-à-dire qu il n y a pa d eau ni dan la rivière ni dan le cour d eau. Comme condition aux limite, nou avon donné une hauteur d eau contante au niveau de la rivière (H= 5m), et une condition en ortie libre, c'et-à-dire que le gradient de H et nul (grad (H) =0), l eau et évacuée eulement ou l effet de la gravité. Le valeur de n pour la Garonne ont pri à partir de l Atla Hydraulique de la Garonne, (SMEPAG, Tome 1, Tronçon 4). La Garonne coule dan de nombreux endroit ur le molae pendant le crue, ce qui correpond, dan la table donnant n en fonction de la nature du lit, à un cour d eau naturel avec un lit inueux dégagé, donc à un «n» de l ordre de 0.04 SI. V Echange rivière-aquifère dan la Garonne Cette modéliation incrit dan le contexte d une modéliation éco-hydrologique de la Garonne, qui a pour objectif de comprendre le échange hydro-bio-géochimique dan la zone humide de la Garonne. Plu préciément l objectif principal et de quantifier à l aide de meure in itu et de modéliation numérique - le interaction hydraulique ente la rivière et la nappe d accompagnement, et de voir leur effet ur le tranport de mae (dan ce travail on intéree à la modéliation hydraulique). La figure 5.15 illutre chématiquement ce échange dan une portion d un méandre de la Garonne. Le méandre, montré en arrière-plan dan la photographie, et proche du village de Monbéqui. Il et inclu dan le domaine de calcul utilié dan no modéliation. La flèche dan la figure 5.15 montre le échange d eau et de oluté à traver la zone hyporhéique, le banc de galet et le berge. Le chéma et adapté de Ababou,et al. (006). La zone d étude et un domaine de 75 km de plaine alluviale de la Garonne, entre le ville de Touloue et de Moiac (France). Le paramètre phyique du ytème rivière-aquifère ont exploré et utilié pour analyer le échange hyporhéique d eau et de leur effet ur l extraction biochimique. Dan ce contexte, il était néceaire de faire une modéliation couplée rétro-active (couplage implicite) entre l eau de urface et l eau outerraine. Cette analye aidera à quantifier le échange entre le différent compartiment de l hydroytème. La modéliation a été effectuée à l échelle méocopique (tronçon de 4-8 km). Le ite et intrumenté avec 0 piézomètre. Le niveaux d eau ont été enregitré de façon continue tout au long de l année 005 et 006, aini que le concentration ur de epèce chimique conervative comme le chlorure dan de condition hydrologique divere.

113 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 107 Fig Repréentation de interaction d eau et de oluté dan un méandre de la Garonne (d aprè Peyrard 006). Le lecteur et aiguillé ver Weng et al. (003) concernant le donnée diponible ur le ite, et pour le réultat de modéliation de l eau outerraine (non couplé) et pour la calibration effectuée. La calibration de la ditribution de la conductivité hydraulique effectuée dan Weng et al. (003) et utiliée dan cette étude. V - 6. Simulation couplée riviére-aquifére en D Le figure 5.16, 5.17 et 5.18 montrent le réultat de imulation couplée du flux, effectuée en utiliant la topographie actuelle de la Garonne et de a plaine alluviale à l échelle du méandre. La topographie intégrée (MINT) du ol et du fond de la rivière et obtenue à partir de différente ource, pui interpolée et fuionnée ur une eule grille (voir ection V-5). Le donnée d entrée et de ortie de imulation ont été organiée dan une bae de donnée SIG (Sytème d Information Géographique). Le imulation du flux ont montrée en vue plane aux temp (1h, h, 3h) et en perpective au temp (h) dan la figure Il faut noter que le flux dan la rivière et dan la nappe d accompagnement et forcée via une condition limite amont ; ce qui correpond à un événement de crue artificielle. Dan une étape ultérieure, de vraie meure limnigraphique eront utiliée pour forcer le événement de crue obervé en amant. De condition limite tranitoire à partir de érie de donnée temporelle eront utiliée facilement par le code d écoulement exitant. De l autre coté, en fonction de donnée et de l échelle d analye on peut avoir un problème avec la condition limite en amant. Dan ce ca on aura beoin d implémenter une condition limite tranparente en amant. Une condition limite raionnable erait d impoer un gradient de la profondeur d eau dan l aquifère et dan la rivière égal à zéro (flux diffuif nul). Mai cette condition limite ne marchera que i le flux gravitationnel et ignificatif comparé au flux cinématique e.g., pente du fond de la rivière et du ubtratum ignificatif dan la direction de l écoulement.

114 V Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 108 Réultat de la imulation Nou avon imulé ce ca tet, le réultat obtenu ont illutré ur le figure 5.13, 5.14 et Le troi figure nou permettent de ditinguer le deux type d écoulement : l écoulement rapide dan le cour d eau, et l écoulement lent dan la nappe. Dan la figure 5.16, on remarque que l eau écoule trè rapidement dan le cour d eau par rapport à la nappe. Dan la figure 5.17, le niveau piézométrique dan la nappe commence à élever et dan le cour d eau l eau continue à écouler. Dan la figure 5.17, au niveau du cour d eau nou avon un régime permanent, cela e voit par le fait que le io-valeur n évoluent pa entre le figure 5.16 et 5.17, dan la nappe le niveau piézométrique continue à élever. Fig.5.16 Le io-valeur de la urface libre au niveau du cour d eau et de la nappe à t = t1. Fig Le io-valeur de la urface libre au niveau du cour d eau et de la nappe à t = t3.

115 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 109 Fig.5.18 Le io-valeur de la urface libre au niveau du cour d eau et de la nappe à t = t (temp intermediare). On remarque aui que la taille du domaine d écoulement de l eau dan la rivière évolue de façondynamique dan le temp. Cela et perceptible en comparant l eau au niveau du banc de galet entre le figure 5.16 à Cette caractéritique rend le modèle pécialement adapté pour la modéliation de proceu d inondation lente. Fig.5.19 Repréentation en perpective de réultat de imulation du modèle couplé rivière-aquifère de la Garonne.

116 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 110 Dan la figure 5.0 le niveaux d eau dan le piézomètre en régime permanent ont comparée aux niveau d eau moyen annuel meuré dan le piézomètre (1 à 7). On remarque une bonne correpondance entre le réultat auf pour le piézomètre (3 et 6). Il et difficile d expliquer la différence au niveau de piézomètre 3 et 6, mai on uppoe que le paramètre de conductivité ne ont pa bien etimé. Fig.5.0 Comparaion de réultat du niveau d eau en état permanent et du niveau d eau moyen annuel dan le piézomètre (1 à 7). V - 7 CONCLUSIONS Dan ce chapitre, on et intéreé aux interaction «urface/outerrain», en préence ou non de l intruion aline. Le équation d écoulement plan (x,y) pour le eaux de urface ont développée avec le différente implification poible. Enuite une analogie et montrée entre le équation d écoulement d eau de urface et le équation d écoulement outerrain intégré verticalement (Dupuit-Bouineq). On montre l analogie avec la formulation plu générale de écoulement en milieux macroporeux à perte de charge quadratique (Ward-Forchheimer). Pui une procédure de couplage urface/outerrain et développée. La procédure conite à uperpoer le écoulement dan la rivière et l aquifère, en additionnant le équation de conervation de mae dan chaque couche. Cette procédure de couplage et généraliée au ca de l intruion aline en utiliant le modèle d intruion aline D plan propoé dan le chapitre 4 pour remplacer le module Dupuit-Bouineq de la couche ol. Le modèle d écoulement de urface et validé avec la olution analytique de l équation d onde diffuive en 1D en permanent et en tranitoire. Le tet montrent une bonne correpondance entre le profile de la ligne d eau et entre le flux calculée par le modèle numérique et la olution analytique. Il n exite pa de olution analytique pour le modèle couplé urface/outerrain. Celui là a été teté qualitativement par deux ca d écoulement dan de géométrie implifiée. Le premier tet et un domaine avec un canal à pente uniforme et un ubtratum à pente uniforme aui. La dynamique du tet montre le couplage entre la nappe et la rivière correctement. Le deuxième tete et un méandre

117 Modéliation D couplée urface / outerrain avec ou an intruion aline 111 en U. Dan ce ca on conidère le modèle couplé rivière aquifère avec intruion aline. Dan ce ca aui la dynamique emble être valide. Enfin la méthode et appliquée à la modéliation de l écoulement dan une partie de la vallée alluviale de la Garonne au niveau de Monbéqui, entre le ville de Touloue et Moiac. Pour effectuer cette imulation, un modèle numérique intégrant le fond de la rivière et la topographie était indipenable. Une méthode pour l obtention d un modèle intégré numérique de terrain (MINT) à partir d un nombre limité de ection de rivière et également élaborée et appliquée au ite «Garonne». Le réultat indiquent une bonne correpondance entre le réultat du modèle en permanent et le moyenne annuelle de meure piézoélectrique.

118 Concluion 11 Chapitre VI CONCLUSIONS

119 Concluion 113 En concluion, dan ce travail, on a traité de la modéliation de écoulement dan un hydroytème géologiquement «complexe» (hétérogène) pouvant comprendre en particulier un aquifère côtier oumi à l intruion aline (couplage eau douce / eau alée), auxquel peuvent e greffer d autre phénomène couplé (écoulement à aturation variable ; infiltration avec urface libre multiple ; couplage urface/outerrain). Une approche de modéliation patialement ditribuée et néceaire pour appréhender ce phénomène dan leur complexité phyique et géométrique. Pour ce faire, on a privilégié à traver le différent chapitre de ce travail une approche fortement couplée, baée ur un modèle à une eule équation générique, permettant de décrire de coupler différent régime d écoulement. Le différente analye et le réultat obtenu ont préenté de façon ynthétique dan le ection uivante, chapitre par chapitre. On peut cependant mettre en avant ici, an aller dan le détail, le réaliation uivante : L élaboration et la validation d un nouveau modèle mathématique et numérique 3D d intruion aline à interface abrupte, dit «peudo-diphaique», baé ur de relation nonlinéaire effective de aturation-preion et de perméabilité-preion (Richard modifié) ; L élaboration et l implémentation d un modèle verticalement intégré d intruion aline, permettant d étudier l effet de l hétérogénéité tochatique ur le bieau alé en D plan ; L analye de variabilité de l interface eau douce / eau alée à traver de imulation numérique de type «Monte Carlo», qui ont analyée tatitiquement et comparé à une olution analytique nouvelle de problème, que nou avon obtenue par tranformée, perturbation et repréentation pectrale (Fourier-Wiener-Khinchine) ; Le couplage fortement «intégré» de écoulement plan de urface et outerrain, dan le ca d une vallée fluviale avec nappe d accompagnement. Ce modèle et appliqué à la vallée fluviale de la Garonne (France) dan la région Touloue-Moiac. Au-delà de cette application, le modèle plan et enuite généralié au ca où la nappe et ujette à l intruion aline. Nou réumon maintenant point par point no différente analye et réultat. Modèle 3D d intruion aline à interface abrupte Un de objectif de cette thèe et l étude de l intruion marine dan le nappe outerraine côtière. Un modèle baé ur l approche de l interface abrupte en 3D et développé à partir du code BIGFLOW. Ce modèle reprend le équation de Richard (1931) en le adaptant au problème de l intruion aline. Cela et fait à l aide d une définition de nouvelle courbe caractéritique de rétention et de conductivité hydraulique adaptée aux problème. Ce fonction prennent en compte la diviion du domaine en troi zone : la zone aturée en eau douce, la zone non aturée en eau douce, et la zone aturée en eau alée. De plu, elle contournent le problème d anti-diffuion ou diffuion négative qui parvient au niveau de l interface eau douce/ eau alée. Une diffuion négative (même localement) et un obtacle majeur, car la matrice du ytème numérique n et plu définie poitive dan ce ca. Le modèle repoe ur une hypothèe principale qui et de conidérer la zone alée en équilibre hydrotatique. Bien que cette hypothèe oit proche de celle de Ghyben-Herzberg, elle permet néanmoin d avoir un écoulement 3D an aucune implification dan la zone d eau douce. Le modèle et teté dan le ca de la olution analytique de Glover. Le réultat montrent une bonne correpondance entre le deux modèle, auf au niveau de l exutoire. En effet, le modèle analytique conidéré a une épaieur à l exutoire nulle, ce qui et phyiquement irréalite car cela impliquerait une vitee infinie dan la nappe à l exutoire. Tandi que le modèle analytique va donner une poition de l interface plu réalite à l exutoire grâce à l utiliation de la condition

120 Concluion 114 dynamique entre l eau douce et l eau alée en chaque point du domaine. On peut ajouter que le modèle donne une etimation exacte de l interection de l interface avec le ubtratum. L implémentation du modèle à interface abrupte en 3D avec deux fluide en mouvement era un atout majeur ver la modéliation de aquifère côtier avec de fort taux de pompage. Ce modèle aura l avantage de ne pa ajouter de la diffuion numérique. En pratique le modéliateur urévaluent la diffuion pour de raion de tabilité numérique lor de l utiliation de modèle avec zone de mélange, dan le ca d étude à grande échelle. Par contre il era difficile d utilier le modèle a interface abrupte dan le ca de aquifère qui ont ujet à la diolution ou à la précipitation de el. Enfin le modèle à interface abrupte n et pa adapté au problème à fort contrate de denité ou de problème à double convection qui font intervenir de la thermoconvection. Modéliation tochatique analytique et numérique Un autre apect étudié au cour de cette thèe et l effet de l hétérogénéité du milieu poreux ur la poition de l interface entre l eau alée et l eau douce. Pluieur imulation numérique ont effectuée ur de milieux moyennement juqu'à fortement hétérogène en perméabilité. Ce réultat ont confronté à une olution analytique tochatique obtenue par analye pectrale Fourier. La poition de l interface, qui et la variable d intérêt, et tatitiquement non-tationnaire. Pour appliquer la méthode pectrale/fourier, on applique une tranformation quadratique de la poition de l interface. L étude pectrale Fourier et aini faire ur la tranformée (Φ) tatitiquement tationnaire obtenue. Enfin, on récupère le moment de la variable d origine (la poition de l interface) à partir de ceux de la variable tranformée (Φ). La comparaion entre le réultat de la olution analytique tochatique et le imulation numérique montre une bonne concordance loin de la mer. Le réultat montrent aui que l augmentation de l hétérogénéité en D plan de la perméabilité accentue le phénomène de l intruion aline en moyenne et l incertitude de la poition. L analye de l incertitude de la poition de l interface et de l ordre de pluieur mètre pour un aquifère, de profondeur 30 m et de longueur 1000 m. La olution analytique tochatique obtenue peut être utiliée pour une première etimation de l incertitude de la poition de l interface eau douce / eau alée dan le ca d une étude hydrogéologique préliminaire ur l intruion aline. Le donnée néceaire pour la formule ont : la decription de la tructure d hétérogénéité du milieu poreux à traver la moyenne, l écart type et le longueur de corrélation. Celle-ci peuvent être aociée à de longueur caractéritique de tructure d hétérogénéité obervée ur ite. Une future étude tochatique numérique et perturbative avec de modèle numérique et mathématique 3D permettrait d obtenir de réultat plu réalite. On peut attendre à ce que ce modèle 3D donnent une incertitude plu faible de l interface, vu que le chemin préférentiel eront plu nombreux que dan le ca d une configuration D. Une prie en compte de condition limite du bieau alé à traver une approche tochatique prenant en compte la non-tationnarité due aux condition limite, permettrait de e rapprocher de ca réel. Couplage urface / outerrain en écoulement plan Une méthode innovante et utiliée pour la modéliation couplée d un ytème rivière/aquifère en écoulement plan. Le modèle développé conidère une eule équation générique pour le deux domaine de calcul. Cette équation exprime un écoulement de urface régi par le équation d onde diffuive, et un écoulement en milieu poreux régi par le équation de Bouineq. Le réultat obtenu montrent le échange entre le deux ytème, urtout au niveau de tructure morphologique complexe de rivière, telle que le méandre.

121 Concluion 115 Ce modèle et appliqué à la Garonne au niveau du méandre de Monbéqui. L utiliation de l approche intégrée a néceité d élaborer une méthode d interpolation pour l obtention d un Modèle Intégré et Numérique de Terrain (MINT). Ce modèle intégré permet d obtenir une urface repréentant la topographie complète du ou de lit de rivière, à partir d un nombre limité de profil en traver combiné à d autre donnée altimétrique. Une approche intégrée et fortement implicite de couplage Le différent élément développé au cour de cette thèe ont pour objectif le développement et le tet d une approche intégrée pour la modéliation de régime d écoulement complexe, comprenant de hétérogénéité et de couplage entre différent compartiment» ou différent «régime» d écoulement dan une même imulation : milieu aturé et non aturé avec urface libre ; intruion aline et bieaux alé ; interaction eaux de urface / eaux outerraine ; L approche propoée, fortement couplée, repoe ur la formulation d un modèle à une eule équation générique, qui peut repréenter dan un même domaine de calcul différent type d écoulement. Cependant, on notera que deux ca retent encore diocié : écoulement plan «D» (verticalement intégré, verticalement hydrotatique) ; écoulement «3D» (ou bien en coupe verticale). Perpective Dan le futur, il erait ouhaitable d utilier l analogie entre écoulement verticalement intégré outerrain et écoulement de urface, et de l inérer dan le modèle d écoulement 3D général exitant. Ceci peut être réalié, oit en y inérant de approximation de type verticalement hydrotatique (dan le modèle 3D), et/ou, en généraliant le concept de milieux macroporeux au delà du trict ca de la loi d écoulement de type Darcy / Ward-Forchheimer déjà prévue dan le modèle général 3D. Ce généraliation pourraient permettre, tout en maintenant l avantage d un modèle à une eule équation, de imuler en troi dimenion de ruiellement avec infiltration/exfiltration ur de urface complexe, ou encore, de repréenter, pour de «vrai» écoulement en rivière, le échange et le traverée de tructure poreue uperficielle et outerraine (lit de rivière, banc de galet, nappe d accompagnement). Dan le ca de zone côtière de climat «méditerranéen», emi-aride par exemple, le interaction urface / outerrain (recharge de nappe par le oued, déplétion de nappe par pompage, etc.) ont compliquée par le arrivée de el. L approche «intégrée» 3D enviagée ici pourrait permettre de repréenter aui ce effet, du moin en partie, grâce au modèle d interface abrupte peudo-diphaique 3D dont une première verion a été tetée dan ce travail.

122

123 Référence 117 RÉFÉRENCES Ababou R. Random Porou Media Flow on Large 3D Grid: Numeric, Performance, and Application to Homogenization, Chap.1, pp.1-5. In: IMA Vol 79 Mathematic and it Application: Environmental Studie (Math. Comput. Statit. Anal.). Wheeler MF (ed.), Springer, NY, 410 pp Ababou R., Al-Bitar A., Peyrard D., Quintard M., Sanchez-Perez J.M., Sauvage S., Vervier P., Weng P. Modeling coupled urface / uburface flow interaction : implementation and comparion of three model baed on Darcy, Bouineq / Saint Venant, and Bouineq / diffuive wave, with application to the Garonne floodplain, Midi-Pyrénée, France. Proceeding IAHR-GW 006 on Groundwater Hydraulic in Complex Environment, Touloue, France, 1-14 June 006. Ababou R., Trégarot G. Coupled Modeling of Partially Saturated Flow : Macro-Porou Media, Interface, and Variability. Proceeding CMWR 00, Computational Method in Water Reource, 3-8 June 00, Delft, The Netherland, 8pp. Ababou R., Trégarot G., Larabi A. Partially Saturated Hydrological Flow : Numerical Experiment and Analye. XII Internat. Conf. on Computational Method in Water Reource (CMWR) Proceeding, The Cheronee, Crete, Greece, 8 pp., June Ababou R., Trégarot G., Bouzelboudjen M. Variably Saturated Suburface Flow with Layer and Interface : Perched Water Table and Stream-Aquifer Connection. ModelCare'96 Proc., International Groundwater Modeling Center (IGWC), GWMI Serie No.96-OX, Colorado School of Mine, 10 pp., 5-7 Sept Ababou R. et Bagtzoglou A.C. BIGFLOW: A Numerical Code for Simulating Flow in Variably Saturated, Heterogeneou Geologic Media (Theory & Uer' Manual, Verion 1.1), Report NUREG/CR-608, U.S. Nuclear Regulatory Commiion, Government Printing Office, Wahington D.C., U.S.A., 139 pp Ababou R., Sagar B., and Wittmeyer G. Teting Procedure for Spatially Ditributed Flow Model. Advance in Water Reource, Vol.15, pp

124 REFERENCES 118 Ababou R., Gelhar L.W., et McLaughlin D., Three-Dimenional Flow in Random Porou Media, Report No. 318, Ralph Paron Laboratory for Water Reource & Hydrodynamic, Maachuett Intitute of Tech., Cambridge, MA 0139, March 1988 ( vol., 833 pp.). Abarca E., Carrera J., Sanchez-Vila. Aniotropic Diperive Henry Problem., Advance in Water Reource, doi : /j.advwatre , 006. Ackerer Ph., Youne A., Moé R. Modelling variable denity flow and olute tranport in porou medium : 1. Numerical model and verification, Tranport in Porou Media, Vol. 35, pp , Aharmouch A. Intruion marine dan le aquifère côtier : développement et tet de modèle numérique à élément fini 3D, Thèe de doctorat Ecole Mohammadia d'ingénieur, Rabat, Maroc Albitar A. & Ababou R. Random Field Approach to Seawater Intruion in Heterogeneou Coatal Aquifer:Unconditional Simulation and Statitical Analyi, Chapter in GeoENV: Geotatitic for Environmental Application, Renard P., Demougeot-Renard H., Froidevaux R. (Ed.), ISBN: , Springer, 005. Al-Bitar A. & Ababou R. Modeling of Salt Water Intruion In Coatal Aquifer: Studying the effect of Heterogeneity and Uncertaintie toward eawater intruion remediation, Chapter in Monitoring Modeling and Management of Coatal aquifer. Benavente J., Larabi A., El Mabrouki K. (ed.), pp , Water Reearch Intitute, Univerity of Granada, Spain, 004. (ISBN: ). Al-Bitar A., Ababou R. Studying the effect of Heterogeneity and Uncertaintie of Salt Water Intruion In Coatal Aquifer. Proceeding of the 1t International Conference on Thermal Engineering Theory and Application (ICTEA), Beyrouth, Lebanon, 31 May 4 June 004. Proc. paper ICTEA-ES1-05 (9 pp.), 004. Al-Bitar A. & Ababou R., Coupled urface / groundwater flow via a Diffuive wave / Bouineq model and underharp interface altwater intruion condition. Extended abtract in Pre-Proceeding IAHR-GW006 International Conference on Groundwater Hydraulic in Complex Environment, Touloue, France, June 1-14, 006. Aharmouch, A, et Larabi A. Numerical Modeling of Saltwater Interface Upconing in Coatal Aquifer, in Proc. Firt International Conference on Saltwater Intruion and Coatal Aquifer- Monitoring, Modeling, and Management (SWICA-M3). Eaouira, Morocco, April 3-5, 001. Aharmouch, A., Larabi A., et Hilali M. A 3D model for groundwater flow and eawater intruion interface: Application to the Martil coatal aquifer ytem. In Proc XIV Int. Conf. on Computational Method in Water Reource, Vol, 1, Denity Dependent Flow and Tranport, ed. S.M. Haanizadeh, R.J. Schotting, W.G. Gray and G.F. Pinder. Elevier, pp , Delft, The Netherland, 00. Badon-Ghyben W. Nota in verband met de voorgenomen putboring nabij Amterdam [Note on the probable reult of well drilling near Amterdam] In: Tijdchrift van het Kononklijk Intituut van Ingenieur The Hague, vol p. 8. Bakker, M., Oude Eink, G.H.P., Langevin C.D. The rotating movement of three immicible fluid a benchmark problem. Journal of Hydrology 87, 70 78, 004.

125 REFERENCES 119 Bear J. Dynamic of fluid in porou media. New York: McGraw-Hill, 197. Bear J. Dynamic of fluid in porou media. Mineola, NY, Dover, Bear J., Cheng A.H.-D, Sorek S., Quazar D., and Herera I., Editor, Seawater Intruion into Coatal Aquifer-Concept, Method, and Practice, Kluwer Academic Publication, 65pp., Bedient P. B., Huber C. W. Hydrology and Floodplain Analyi (3rd ed.), 00. Bittinger, M, W.,Duke H. R., Longenbaugh R. A. Mathematical imulation for better aquifer management, Pub. No. 7, IASH, pp , Bouzouf B., Gloth O., Hanel D., Vilmeier R., Simulation of dicontinuou flow in porou media Firt international conference on Saltwater Intruion and Cotal Aquifer Monitoring, Modeling and Management. Eaouira, Morocco, April 3-5, 001 Bouineq J., Recherche théorique ur l'écoulement de nappe d'eau infiltrée dan le ol et ur le débit de ource, C.R.H Acad. J. Math. Pure Appliquée , Brook R.H., Corey A.T. Hydraulic Propertie of Porou Media. Hydrology paper 3, Colorado State Univerity, Fort Collin, Brutaert W. Probability law for pore-ize ditribution. Soil Sci. 101:85.9, Buckingham E. Studie on the Movement of Soil Moiture. Bulletin No. 8, Wahington, DC, US, Department of Agriculture, Bureau of Soil, Burdine N.T. Relative Permeability Calculation From Pore Size Ditribution Data. Petroleum Tranaction, AIME, Vol. 198, pp , Campbell G.S. A Simple Method for Determining Unaturated Conductivity from Moiture Retention Data. Soil Science, Vol. 117, No. 6, pp , Carlier M. Hydraulique Générale et Appliquée. Collection de la Direction de Etude et Recherche d'electricité de France, Edition Eyrolle, 570 pp., Celia M.A., Boulouta E.T., Zarba E.L. A General Ma-Conervative Numerical Solution for the Unaturated Flow Equation, Water Reour. Re., 6, , 1990 Chaudhuri, A and Sekhar, M Analytical Solution for Macrodiperion in a 3D Heterogeneou Porou Medium with Random Hydraulic Conductivity and Diperivity. Tranport in Porou Media 58(3):pp , 005. Cheng, A.H.-D. and Ouazar, D. (ed.), Coatal Aquifer Management-Monitoring, Modeling, and Cae Studie, Lewi Publiher, 80 p., 003. Child E.C., Colli-George N. The Permeability of Porou Material. Proceeding of the Royal Society of London, Serie A : Mathematical and Phyical Science, Vol. 01, pp , Chow V.T., Maidment D.R., May L.W. Applied Hydrology. Mc Graw-Hill International Edition, Civil Engineering Serie, 57 pp Croney D. The movement and ditribution of water in oil. Géotechnique, 3 (1), p (195).

126 REFERENCES 10 Dagan G. Flow and tranport in porou formation, Springer, Berlin, Darcy H.P.G. Le Fontaine Publique de la Ville de Dijon, Expoition et Application de Principe à Suivre et de Formule à Employer dan le Quetion de Ditribution d'eau. Pari, France, Victor Dalmont Ed., Delhomme, J.P. Spatial variability and uncertaintie in groundwater flow parameter : a tatitical approach. Water Reource Reearch, 15: 69-80, 1979 de Marily G. Hydrogéologie quantitative.maon,1981. de Marily G. Quelque réflexion ur l utiliation de modèle en hydrologie Rev Sci Eau 7(3) :19-34, Dierch H.J.G., Kolditz O. Variable-denity flow and tranport in porou media: approache and challenge Advance in Water Reource 5, , 00. Dierch H.J.G. Finite element modeling of recirculating denity driven altwater intruion procee in groundwater. Adv Water Reour, 11(1):5 43, Dierch H.J.G., Prochnow D, Thiele M. Finite-element analyi of diperion-affected altwater upconing below a pumping well. Appl Math Model, 8:305 1, Dierch H.J.G., Nillert P. Saltwater intruion procee in groundwater: novel computer imulation, field tudie and interception technique. Int Symp Groundwater Monitoring and Management 1987, Dreden, IAHS Publ no : Di Giammarco P., Todini E., Lamberti P. A Conervative Finite Element Approach to Overland Flow: the Control Volume Finite Element Formulation. Journal of Hydrology, Vol. 175, pp , Dupuit J. Etude Théorique et Pratique ur le Mouvement de Eaux dan le Canaux Découvert et à Traver le Terrain Perméable. nde édition, Dunod, Pari, Eaid H. I. A comparion of the coupled frehwater altwater flow and the Ghyben-Herzberg harp interface approache to modeling of tranient behaviour in coatal aquifer ytem, J. Hydrol., 86, , Eaid H. I. A multilayered harp interface model of coupled frehwater altwater flow in coatal ytem : Model Development and application, Water Reour. Re., 6(7), , 1990a. Eaid H. I. The computer model HARP, a Quai-Three Dimentional Finite-difference Model to Simulate Frehwater and Saltwater Flow in Layered altwater flow in coatal Aquifer Sytem, U.S. Geol. Syrvey Water-Re. Inv. Rept , 1990b Eink G. O. Improving freh groundwater upply - problem and olution. Ocean and Coatal Management 44:49-449, 001. Freeze, R. A. et J. A. Cherry Groundwater, Prentice-Hall, New Jerey, 604 pp.,1979. Freeze R.A. and Witherpoon P.A. Theoretical analyi of regional groundwater flow: analytical and numerical olution to the mathematical model: Water Reource Reearch, v., n. 4, p , 1966.

127 REFERENCES 11 Freeze R.A. Three-dimenional, tranient, aturated unaturated flow in a groundwater bain. Water Reource Reearch 7: , Freeze, R.A. and Cherry J.A. Groundwater. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliff, NJ, 604 pp., Frind E. Simulation of long-term tranient denity-dependent tranport in groundwater. Adv Water Reour 5:73 88., 198 Gambolati G., Pini G. & Zilli G. Numerical comparion of preconditionning for large paree finite element problem, Numerical Method for Partial Differential Equation, John Wiley & on, Inc., , (1988b). Gambolati G., Putti M. & Paniconi C. Three-dimenional model of coupled denity-dependent flow and micible tranport in groundwater. In Bear et al. (ed.) Seawater intruion in coatal aquifer: Concept, Method, and Practice, chapter 10, pp , Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherland, Gelhar, L. W. Stochatic Suburface Hydrology, Engelwood Cliff, New Jerey, Golub G.H. & Van Loan C.F. Matrix computation. nd Ed., J. Hopkin Univ. Pre, Baltimore, Maryland, 64 pp, Gunduz O. and Aral M.M. River network and groundwater flow: a imultaneou olution of a coupled ytem. J Hydrol ;301:16 34, 005. Haanizadeh S.M. and Leijne A. A non-linear theory of high concentration-gradient diperion in porou media, Adv. Water Reour., 4,03 15, Haverkamp R., Vauclin M., Touma J., Wierenga P.J. A comparion of numerical imulation model for one dimenional in_ltration, Soil Sci. Soc. Amer. J., 41: Henin H. Couplage entre modèle hydrologique, Rapport de Mater de Recherche IMFT/CESBIO, 006. Henry H.R. Effect of diperion on alt encroachment in coatal aquifer. In: Sea water in coatal aquifer US Geol Surv Water Supply Pap, 1613-C. p , Henry,H. R. Interface between altwater and frehwater in coatal aquifer, U.S. Geological Survey Water-Supply Paper 1613-C, Sea Water in Coatal Aquifer: C35 C70, Herbert A.W., Jackon C.P. and Lever D.A. Coupled groundwater flowand olute tranport with fluid denity trongly dependent on concentration, Water Reour. Re. 4(10), , Herzberg A. Die Waerverorgung einiger Nordeebader (the water upply of part of the North Sea coat in Germany). Z Gabeleucht Waerverorg;44:815 9, and 1901;45:84 4., Holzbecher E. Modeling of altwater upconing. In: Wang S, editor. II Int Conf Hydro-Science and Hydro-Engin Proc vol., Part A, Beijing. p , Hromadka T.V., Berenbrock C.E., Freckleton J.R., Guymaon G.L. A Two-Dimenional Dam Break Flood Plain Model. Advance in Water Reource, Vol. 8, No. 1, pp. 7-14, 1985.

128 REFERENCES 1 Huyakorn P.S., Anderon P.F., Mercer J.W., White Jr H.O. Saltwater intruion in aquifer: development and teting of a three-dimenional finite element model. Water Reour Re 1987;3: Johannen K., Kinzelbach W., Owald S., Wittum G. The altpool benchmark problem numerical imulation of altwater upcoming in a porou medium. Adv Water Reour 5(3):335 48, 00. Knupp P.M., Lage J.L. Generalization of the Forchheimer-Extended Darcy Flow Model to the Tenor Permeability Cae via a Variational Principle. Journal of Fluid Mechanic, Vol. 99, pp , Kolditz O, Ratke R, Dierch H.J.G., Zielke W. Coupled groundwater flow and tranport: 1. Verification of variable-denity flow and tranport model. Adv Water Reour 1998;1:7 46. Kollet S. J. and Maxwell R. M. Integrated urface-groundwater flow modeling: A free-urface overland flow boundary condition in a parallel groundwater flow model, Advance in Water Reource, (9)7, , 006. Larabi A., and De Smedt F., Numerical olution of a 3D groundwater flow involving free boundarie by a fixed finite element method, J. of Hydrology, 01, , Lecca, G. Implementation and teting of the CODESA-3D model for denity-dependent flow and tranport problem in porou media. CRS4-TECH-REP-00/40, Cagliari, Italy, 000. Lecca, G., & P. Cau. Etimating the impact of a dicontinuou confining layer on the eawater intruion uing a tochatic approach: the Oritano coatal aquifer ite (Sardinia, Italy). To be publihed in the Proceeding of the Third International Conference on Saltwater Intruion and Coatal Aquifer Monitoring, Modeling, and Management (SWICA M3). Merida, Mexico, March 30 April., 003. Liggett, J. A., and P. L-F. Liu. The Boundary Integral Equation Method for Porou Media Flow, George Allen and Unwin, Boton, Matheron G. The Intrininc Random Function & Application. Adv.Appl.Prob., 5, , 1973 Merwade V. M., Maidment D. R., and Goff J. A. Aniotropic conideration while interpolating river channel bathymetry. Journal of Hydrology, Volume 331, Iue 3-4, Page , 006. Mizell S.A., Gutjahr A.L., Gelhar L.W. Stochatic Analyi of Spatial Variability in Two- Dimenional Steady Groundwater Flow Auming Stationary and Nontationary Head. Water Reour Re 18(4) , 198. Mualem Y. A New Model for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unaturated Porou Media. Water Reource Reearch, Vol. 1, No. 3, pp , Mualem Y., Dagan G. Hydraulic Conductivity of Soil : Unified Approach to the Statitical Model. Soil Sci. Soc. Am. J., Vol. 4, pp , Mukat, M. The Flow of Homogeneou Fluid through Porou Media, McGraw-Hill Inc., New York. Reprinted by J. W. Edward, Ann Arbor, 1937.

129 REFERENCES 13 Oberbeck A., Ueber die Wärmelaitung der Flüigkeiten bei Beruckichtigung der Stromung infolge von Temperaturdifferenzen, Ann. Phy. Chem , Panday S., Huyakorn P.S. A fully coupled phyically-baed patially-ditributed model for evaluating urface/uburface flow. Adv Water Reour 7:361 8, 004. Pinder, G. H., & Bredehoeft J. D. Application of the digital computer for aquifer evaluation, Water Reour. Re.,4, , Putti M. and Paniconi C. Picard and Newton linearization for the coupled model of altwater intruion in aquifer. Adv Water Reour 18(3):159 70, Putti M. and Paniconi C. Time tep and tability control for a coupled model of urface and uburface flow. Proceeding of the XV International Conference on Computation Method in Water Reource (CMWR XV), vol.. Chapel Hill, NC, USA: Elevier; p , 004. Reilly T.E., Goodman A.S. Analyi of altwater upconing beneath a pumping well. J Hydrol ; 89:169 04, Remon, I.,Appel C. A., & Webter R. A. Groundwater model olved by digital computer, J.Hyd. Div. ASCE, Vol. 91, no. HY3, pp , Remon I., Hornberger G. M. & Molz F. G. Numerical method in uburface Hydrology, John Wiley, NewYork, 389 pp, Richard L.A. Capillary conduction of liquid through porou media, Phyic 1, , Sbai, M. A. Modeling three dimenional groundwater flow and tranport by hexahedral finite element.,ph.d. Thei of Free Univerity of Bruel (VUB), Sbai. M. A., De Smedt F. & Larabi A. A Generalized Approach for Modeling 3D Tranient Free and Moving Boundarie in Coatal Aquifer. In Proc. Firt International Conference on Saltwater Intruion and Coatal Aquifer- Monitoring, Modeling and Management. Eaouira Morocco, April 3-5, 001. Segol G., Pinder G.F., Gray W.G. A Galerkin-finite element technique for calculating the tranient poition of the altwater front. Water Reour Re;11():343 7, 1975 Tompon A.F.B, Ababou R, Gelhar LW Implementation of the Three-Dimenional Turning Band Random Field Generator, Water Reour. Re. 5(10), Tang D.H. and Pinder G.F. Analyi of ma tranport with uncertain phyical parameter. Water Reource Reearch, 15 (5), , 1979 Touma, J., Vachaud, G., and Parlange, J.-Y. Air and water flow in a ealed ponded vertical oil column. Soil Sci. 137: , Trégarot G. Modéliation Couplée de Ecoulement à Saturation Variable avec Hétérogénéité, Forçage, et Interface Hydrologique. Thèe de Doctorat - Intitut National Polytech. Touloue (Sci.Terr.Env.). Intitut Mécanique Fluide Touloue, France, May 000. Vanmarcke, E.H. Random Field: Analyi and Synthei, The MIT Pre, Cambridge, Maachuett, 1983.

130 REFERENCES 14 Vo C. and Souza W. R. Variable denity flow and olute tranport imulation of regional aquifer containing a narrow frehwater-altwater tranition zone, Water Reour. Re. 3(10), , Vo C.I. A finite-element imulation model for aturated-unaturated fluid-denity-dependent ground-water flow with energy tranport or chemically-reactive ingle-pecie olute tranport. US Geol Surv Water Reour Invet 409 pp. [Rep ], Vo C.I. USGS SUTRA Code Hitory, practical ue, and application in Hawaii. In: Bear J, Cheng AHD, Sorek S, Quazar D, Herrera I, editor. Seawater intruion in coatal aquifer. Dordrecht: Kluwer Publ; p , Vo C.I., Souza WR. Variable denity flow and olute tranport imulation of regional aquifer containing a narrow frehwateraltwater tranition zone. Water Reour Re;6: , Vogel P., Zur Theorie binärer Fluidgemiche in poröen Medien, Bundeantalt für Geowienchaften und Rohtoffe, Hannover, Volker R.E., Ruhton K.R. An aement of the importance of ome parameter for eawater intruion and a comparion of diperive and harp-interface modeling approache. J Hydrol ;56:39 50, 198. Ward J.C. Turbulent Flow in Porou Media. Journal of the Hydraulic Diviion, Proceeding of the ASCE. Vol. HY 5, pp. 1-1, Weng P., Sanchez.Perez. J.M., Sauvage.S., Vervier.P., and Giraud F. Aement of the quantitative and qualitative buffer function of an alluvial wetland : hydrological modelling of a large floodplain (Garonne River, France), Hydrological Procee, Vol.17 (), pp , 003 Wöten J.H.M., Finke P.A., Janen M.J.W. Comparion of Cla and Continuou Pedotranfer Function to Generate Soil Hydraulic Characteritic. Geoderma Vol. 66, pp. 7-37, Van Genuchten M.T. A Cloed-form Equation for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unaturated Soil. Soil Sci. Soc. Am. J., Vol. 44, pp , Wu Y.-S., Foryth P.A., On the election of primary variable in numerical formulation for modeling multiphae flow in porou media Journal of Contaminant Hydrology 48,77 304, 001 Youne A. On modelling the multidimenional coupled fluid flow and heat or ma tranport in porou media. International Journal of Heat and Ma Tranfer , 003 Youne A., Ackerer Ph., Moé R., Modelling variable denity flow and olute tranport in porou medium :. Re-evaluation of the alt dome flow problem, Tranport in Porou Media, Vol. 35, pp , Zammit C. Analye et Evaluation de Paramètre de Caractéritique Hydrodynamique de Sol. Prediction par un Modèle Analytique à Bae Phyique à partir de Donnée Texturale. Thèe de Docteur de l'univerité Joeph Fourier - Grenoble 1, 00 pp., Zhang D. Stochatic Method for Flow in Porou Media Coping with Uncertaintie Academic Pre, San Diego, CA. 350 pp. ISBN: , 00.

131 REFERENCES 15 Zheng, C. MT3D, A Modular Three-Dimenional Tranport Model for Simulation of Advection, Diperion and Chemical Reaction of Contaminant in Groundwater Sytem, Report to the U.S. Environmental Protection Agency Robert S. Kerr Environmental Reearch Laboratory, Ada, Oklahoma, 1990.

132 Annexe 16 ANNEXES ANNEXE A Revue de code de calcul numérique - Review of GW code 17 ANNEX B Code de calcul Bigflow Bigflow code 133 ANNEXE C - Memory requirement of BIGFLOW D SWIM 14 ANNEXE D- Spectral/Fourier Analyi and Up-caling 144

133 17 ANNEXE A Revue de code de calcul numérique - Review of GW code Baed on the claification and criteria preented in chapter, we preent here a repreentative election of computer code geared toward GW flow modelling, with at leat ome coupling apect taken into conideration (firt and foremot, the altwater denity coupling, and then, the coupling to urface flow and other hydrogeological procee). The lit below i meant to complete the lit given in Chapter even though it in t exhautive. To give jut one example, the FRAC3DVS code (Ed Sudicky, Univerity Waterloo, Canada) ha not been documented here, although it include everal feature of interet in the framework of thi review. Alo, it hould be noted that ome of the code are commercial, while other are noncommercial and/or reearch code (publicly available). We preent here a repreentative election of computer code geared toward GW flow Modeling, with at leat ome coupling apect taken into conideration: firt and foremot altwater denity coupling, and econdly, the coupling to urface flow and other hydrogeologic procee. A.1 - MODFLOW (MODular 3-D finite difference FLOW) Author: McDonald and Harbaugh 1988 Harbaugh and McDonald 1996 other contributor to different package (USGS taff and many contributor) Code tatu: Publicly available (USGS) Some package are not publicly available, e.g. AMG (Algebraic Multi Grid). Decription: Originally a 3D finite-difference GW flow code, MODFLOW ha evolved over the year to become a family of compatible code. Actually many package have been contituted a add-on to MODFLOW, mainly the SWI package preented later in thi ection. Several developer combined MODFLOW with other advection-diperion code to model altwater intruion. Similar code are preented in thi review, below (i.e. SEAWAT, MOCDENS3D). Some other commercial oftware are alo available for pot and pre proceing in MODFLOW. Web ite: A. - MT3D, MT3DMS (and SEAWAT) MT3DMS (Modular 3-D Tranport model with Multi-Specie add-on reaction package) Author: C. Zheng et al. Code tatu: Publicly available (The Hydrology Group - Univerity of Alabama) Decription: Three type of olution method have been implemented in MT3DMS : the tandard finite difference method; the particle-tracking-baed Eulerian-Lagrangian method; and the higher-order finite-volume TVD method. MT3DMS ue the flow computed from a finitedifference flow model to model the tranport of pecie auming that change in the concentration field will not affect the flow field ignificantly. Thi approximation i not uitable a priori for altwater intruion modeling. Web ite:

134 18 A.3 - SEAWAT 000 Author: Guo Bennett and Chritian D. Langevin (SEAWAT) Chritian D. Langevin, W. Barclay Shoemaker and Weixing Guo (SEAWAT 000) Code tatu: Publicly available (USGS) Decription: SEAWAT i baed on coupling MT3DMS with the TVD option for alt advectiondiffuion and MODFLOW with denity update for flow Modeling. The code i tructured in a way that the two lat code have been combined into a ingle programme. The code ha been ued by partner 6 of the SWIMED project tudy of the Gaza aquifer (Paletine). A more detailed decription of the code i preented in the next ection. SEAWAT ha alo been ued, for intance, for modeling eawater intruion in the Bicayne Bay (Florida), a doucmented in the web ite referenced below. Web ite: A.4 - MOC & MOCDENS MOC (Method Of Characteritic) i a D code capable of Modeling advective tranport hydrodynamic diperion mixing or dilution from fluid ource and ome chemical reaction. It i baed on a finite difference for the flow equation and method of characteritic for the tranport equation. The particle tracking procedure i ued for adjective tranport and explicit finite difference procedure for the hydrodynamic diperion. The advantage of the method i that it reduce numerical diperion, large numerical ocillation and non-convergence of the olute tranport equation becaue there are no retriction on pecial dicretization. Reference : Konikow and Bredehoeft, 1978 MOCDENS (Method Of Characteritic DENSity dependent flow) i baed on MOC. It imulate two contituent in a denity dependent flow ytem (not detailed here) Reference: Sanford and Konikow, MOC3D a 3D verion of MOCDENS that ue MODFLOW for olving the flow equation (flow ytem) not detailed here Reference: Konikow et al., 1996 A.5 - MOCDENS3D Author: G.H.P. Oude Eink, 001 Code tatu: (not available to u). Decription: MOCDENS3D i a modified verion of MOC3D. The groundwater model conit of an enhanced verion of MODFLOW taking into account vertical denity difference. The hydraulic head i computed from the fluid denity with repect to a reference denity (the frehwater denity). Introducing thi hydraulic head into the vertical component of the Darcian pecific dicharge, and dicarding the vicoity difference, give a buoyancy term. The dicretization of the o called buoyancy term in the flow equation give two term which are added to the right hand ide term (RHS term) of the original MODFLOW equation. However, the denity difference are neglected in the continuity equation: the author aume that denity variation are conidered mall compared with the value of the

135 19 reference denity in the ma conervation equation. The computed velocitie are then ued in the (non buoyant) olute tranport model, which i the original tranport model of MOC3D. A.6 - MARTHE BRGM Author : Thiery D., 1990, 1993; Thiery and Amraoui, 001 Code tatu: available for reearch tudie on demand (BRGM) Decription: MARTHE oftware package. MARTHE oftware package i developed by BRGM France. MARTHE i a hydrodynamic oftware that procee three-dimenional flow by olving a dicretized form of Darcy equation (Darcy, 1856) in a aturated environment or Richard equation (Richard, 1931) in an unaturated environment. Thi oftware alo ha module for the coupling of a drainage network, for matranport imulation, and for proceing the effect of denity and temperature in the aquifer. webite: A.7 - SUTRAD & SUTRA3D (Saturated-Unaturated TRAnport) Author: Clifford I. C. Vo and Provot, A.M. (SUTRAD3D) Code tatu: Publicly available (USGS) Decription: The original verion SUTRA i in D, and a beta releae of the 3D verion, called SUTRA3D i alo available now. The SUTRA D & 3D code can model denity dependent and/or unaturated flow (nonlinearitie) and tranport in uburface with/without ingle pecie chemical reaction. Exhautive documentation i available for the two verion. The ue of finiteelement and integrated-finite-difference hybrid method allow great numerical flexibility in the governing equation dicretization. The author tre that SUTRA will provide clear, accurate anwer only to well-poed, well-defined, and well-dicretized imulation problem thi would ugget that the ued numerical cheme i greatly enitive to dicretization parameter. The Peclet number criterion i Pe 4. In the cae of a not-well poed problem the code i preented a a hypothei teting tool. The code include the iterative matrix olver SLAP Common Mathematical Library (Vandevender and Hakell, 198). The SLAP package contain a CG olver (Conjugate Gradient), a GMRES olver (Generalized Minimum RESidual), and an ORTHOMIN olver. The CG i employed for ymmetric matrix ytem obtained generally in the GW flow equation. The GMRES and the ORTHOMIN are invoked to olve non-ymmetric ytem encountered in advective tranport equation or numerically analogou problem, e.g. flow equation treated with uptream weighting cheme. Web ite: A.8 - SWI package for MODFLOW Author: M. Bakker and F. Schaar Code tatu: Publicly available Decription: The SWI (Salt Water Intruion) package of MODFLOW i baed on the Dupuit- Bouineq approximation in each layer of a tratified aquifer (Strack 1995). Each aquifer can be modelled with a ingle layer of cell through vertical averaging of horizontal velocitie within each layer. Communication are poible through leaky layer. The effect of vicoity i neglected (a in mot other vertically integrated model). The SWI package i intended to model

136 130 eawater intruion on a regional cale. Water denity are conidered to vary either uniformly or linearly within in each layer. That i, in the cae of horizontal layer, the vertical denity profile are either linear or ele contant within each layer. A ingle input file i needed to obtained the required modification of MODFLOW to treat the flow problem with variable denity flow (pecification of a ditribution of ource). Web ite: A.9 - MOD-HMS (MODFLOW Hydrologic Modeling Sytem) Author: Sorab Panday and Don De Marco Code tatu: Commercial code (Hydrogeologic Inc.) Decription. HydroGeoLogic Inc. developed MOD-HMS (MODFLOW - Hydrologic Modeling Sytem) for numerical imulation of complex groundwater-urface water interaction. According to it author, MOD-HMS i a comprehenive, phyically-baed patially-ditributed model that overcome both the functional and computational limitation of previou model. In particular, MOD-HMS integrate all component of the hydrologic cycle in a ingle model that utilize a ma conervative approach whereby the urface water flow equation are fully coupled with the 3-D, variably aturated groundwater flow equation. The author claim that thi approach i ignificantly more robut than previou conjunctive approache that rely on linkage of eparate urface water and groundwater code. In other word : the fully implicit coupling approach ued by MOD-HMS provide for a ma conerved olution cheme eential for ytem with trong interaction between regime. The MOD-HMS code ha additional capability for contaminant tranport modeling. web ite: A.10 - SHARP Author: Hedeff Eaid Code tatu: Publicly available (USGS) Decription: SHARP i a pecialized GW flow code to imulate frehwater and altwater flow eparated by a harp interface in layered coatal aquifer ytem. It i quai-3d according to it author (D plane flow in each aquifer layer). Numerical method: An implicit finite-difference dicretization cheme, central in pace and backward in time (fully implicit) i ued to olve the frehwater and altwater flow equation for each model layer. Spatial dicretization i achieved uing a block-centered finite-difference grid that allow for variable grid pacing. In the central difference approximation for pace derivative, the thicknee at grid block boundarie are linearly interpolated, and the internode conductivitie are etimated a harmonic mean of nodal conductivitie. Treatment of altwater interface. At block containing pumping well, the amount of frehwater and altwater extracted depend on the poition of the interface relative to the elevation of the creened interval of the well. The rate of frehwater and/or altwater extraction from a block, relative to the total fluid extraction rate, i determined linearly on the bai of the proportion of creen penetrating the frehwater and altwater zone relative to the total open interval of the well. The interface elevation in each finite-difference block i calculated uing the numericallydetermined frehwater and altwater head ditribution. The hape of the interface i obtained by connecting the dicretized interface elevation. The poition of the interface tip (the interection of the interface with the top of the aquifer and the interface toe (the interection of the interface

137 131 with the bottom of the aquifer) are located by linearly projecting a line defined by the interface elevation in adjacent block until it interect the top and bottom of the aquifer. Web ite: A.11 - DYNSYSTEM (DYNFLOW-DYNCFT-DYNSWIM DYNTRACK) Author: Brendan Harley, CDM Boton Code tatu: Commercial (DYNASYSTEM / CDM Boton) Decription: The code i preented a an integrated water reource modeling tool with a modular tructure. The flow module DYNFLOW i a finite element 3D code baed on the AQUIFEM code developed at MIT in the Two module are convenient for SWIM. The DYNSWIM module take into conideration a harp interface aumption. The DYNCFT i the coupled flowtranport modeling code of the DYNSYSTEM, baed on a particle tracking lagrangian approach. A tudy ha been undertaken uing DYNCFT to model Sea Water Intruion in the Gaza aquifer (Fitzgerald et al 001). Web ite: A.1 - SALTFLOW Author: J.W. Molon and E.O. Frind Code tatu: Copyright protected (Univerity of Waterloo, Canada) Decription: The code olve the fully coupled ma and tranport equation uing a 3D Finite Element - Brick Element dicretization method. The porou media are conidered aturated. A pecial time-weighting cheme (Leimann and Frind, 1989) combined with a tandard Galerkin finite element method i ued to maintain matrix ymmetry. Thi pecial cheme i more or le equivalent to treating the advective term explicitly. The final matrix equation for both the flow and ma tranport problem are olved uing a preconditioned conjugate gradient olver (PCG), appropriate for ymmetric ytem. Web ite: A.13 - HBGC HBGC: Hydrologic Tranport and Mixed BioGeoChemical Reaction in Saturated-Unaturated Media Author: G.T.Yeh et al (Penn. State Univ.) Code tatu: Publicly available (ORNL Oak Ridge Nat. Lab) Decription: The code i uitable for imulating flow in porou media with chemical reaction and biological procee. The tranport equation i olved in D which limit the code to D application. Quadrilateral and triangular element are enabled in the finite element method. The Newton-Raphon iteration technique i ued to linearize the ytem. The linear problem i then olved with one of the ix following olver: direct olution with Gauian elimination method, ucceive point iteration, and four preconditioned conjugate gradient method. It eem that only the PCG olver are convenient for real cae complex problem. Web ite:

138 13 A.14 - TOUGH & TOUGH Author: K. Prue and other contributor Code tatu: Available on licence (Earth Science Diviion, Lawrence Berkley Laboratory) Decription: The TOUGH code i a thermo-hydraulic code for porou media. It take account heat tranfer and phae change effect in multicomponent, multiphae fluid, in uburface flow (3D). Unaturated and aturated zone can be modelled. Several preconditioned linear olver are implemented, like the BICGSTAB. The code i programmed in ANSI tandard Fortran 77 to enure portability. Web ite: A.15 - FEFLOW (Finite Element uburface FLOW ytem) Author: Dierch, 1996 and other contributor Code tatu: Commercial (WASY Software) Decription: FEFLOW ue finite element method to olve the differential equation governing flow and tranport in ubflow ytem. It i capable of modeling fluid denity effect caued by contaminant, ma, and temperature difference imultaneouly.

139 133 ANNEXE B Code de calcul Bigflow Bigflow code Statu and author: Main Author: R.Ababou 1987: BIGFLO (3D): univerity reearch code (R.Ababou, L.W.Gelhar & D.McLaughlin, MIT, Cambridge, Maachuett) 1993: BIGFLOW 1.1 (3D): public domain reearch code (R.Ababou & A.C.Bagtzoglou, US Nuclear Regulatory Commiion, Wah. D.C.) 000: BF000 (D/3D): reearch code (R.Ababou & G.Trégarot, Intitut de Mécanique de Fluide de Touloue, France) 005 : BF005 / BF-Python (D/3D) : current reearch code, with eawater intruion & Python interface under contruction (R.Ababou & A.Al-Bitar, Intitut de Mécanique de Fluide de Touloue, France) Abtract. The patially ditributed flow model BIGFLOW (BF000) i a generalized multidimenional D & 3D model for variably aturated flow procee in heterogeneou, aniotropic, macroporou, and partially aturated media. For intance, the model can efficiently repreent the 3D dynamic of multiple interacting free urface. In addition, a vertically integrated D plane flow flow option i available, with everal pecialized capabilitie including urface hydraulic coupling, and eawater intruion. The general model i baed on a ingle generalized D/3D nonlinear conervative flux-divergence equation (mixed form), dicretized a a very pare implicit finite volume ytem and olved uing preconditioned conjugate gradient and modified Picard (fixed point) iteration. The material propertie can be ditributed arbitrarily in all direction. The code ha been ueful for direct imulation of highly heterogeneou GW flow problem on large grid (10 million node), but alo, more recently, for imulating nonlinear/coupled phenomena uch a perched water table, tream-aquifer-oil interaction, fat flow in ingle fracture and macroporou ytem. B.1 - BIGFLOW - Introduction and overview (D & 3D) The BIGFLOW code, named BF for hort, i the reearch code ued by the french partner (Partner 3 of SWIMED project) to develop analye on porou media hydrodynamic and hydrogeologic procee, particularly in the preence of heterogeneitie and coupling. Hitorically, BIGFLOW wa initiated a a numerical tool for modeling 3D flow ytem in randomly heterogeneou geologic formation, conidering firt only aturated GroundWater flow (Ababou et al. 1985) then unaturated flow in heterogeneou oil (Ababou et al & 1988) porou media with high reolution. The code wa extenively teted between 1988 and 199 reulting in a publihed manual of BGFLOW verion 1.1 wa publihed by the U.S. Nuclear Regulatory Commiion (Ababou & Bagtzoglou 1993). The BIGFLOW code wa later rehaped and enhanced, leading to BF-000, a computer code for modeling divere flow procee in heterogeneou variably aturated hydrologic media, including ome urface/uburface coupling. The BF000 code i well documented in the Ph.D. thei of Trégarot (000). The patially ditributed flow model BF000 generalize variably aturated flow procee for heterogeneou, aniotropic, macroporou, and partially aturated media in 3D. The model can alo efficiently track the dynamic of multiple interacting free urface in 3D. The model can accommodate nonlinear, aniotropic and heterogeneou material propertie, in (x,y,z) for the 3D cae, or in (x,y) for the D vertically integrated cae. A new D module BFSWIM wa introduced

140 134 more recently in BF000 to take into account altwater intruion modeling, and alo, internal ink/ource term. The BF code ha two rather different option, D/3D, each one leading to variou poible flow regime a illutrated in the flow-chart below option (BF-3D) and D option (BFD): 3D option (BF-3D): finite volume model for fully heterogeneou, three-dimenional, variably aturated and nonlinear (porou or macroporou) oil-aquifer ytem (figure 1). D option (BF-D): finite volume model for vertically integrated quai-plane flow, including Bouineq-Dupuit aquifer flow, free urface hydraulic baed on kinematic wave, Darcy-Forchheimer flow in rough fracture, and the eawater intruion module. Figure 1: 3D option with BIGFLOW (note the 3D Saltwater intruion model i not lited here). Figure : D option with BIGFLOW.

141 135 Remark on D v. 3D The 3D option i fully three-dimenional, in the ene that all material propertie being arbitrarily ditributed in 3D pace. On the other hand, the D option i vertically integrated and aume quaiplane flow (vertically hydrotatic). It hould be emphaized, however, that the internal computational tructure of the code i 3D. Indeed, the D option wa developed by pecializing the general algorithm of the code without modifying it internal 3D tructure. The 3D algorithm of the BF code have been teted quite extenively ince the late 1980, and many feature of the more recent D plane flow algorithm have been teted ince the late 1990 (ee reference: Ababou et al.; Trégarot et al.). Remark on Sea Water Intruion Modeling (SWIM) In thi report, we chooe to emphaize the general capabilitie of the D/3D code a they exited at the tart of the project, rather than the new eawater intruion modeling capabilitie. Indeed, for the preent project on coatal aquifer, a new algorithm for eawater intruion wa developed into the D verion of BF, called BF-SWIMD, to be decribed in deliverable D7: Seawater B. - BIGFLOW - Model equation and phyical bai (D & 3D) BIGFLOW i an integrated model for groundwater and hydrologic flow procee baed on a unified, generalized, conervative flux-divergence equation obtained from Darcy-Buckingham and ma conervation (ee equation in Figure 3 below). Figure 3: BF ingle generic equation governing flow in everal hydrologic configuration. Decription of variable and parameter are given in Table 0.1 and Table 0. Several type of flow can be derived from thi ingle generic equation. BF can alo implement trong implicit coupling of different type of hydrologic flow via it ingle generic equation (e.g. coupled tream-aquifer flow, macroporou media with quadratic head lo law, perched groundwater with multiple free urface, etc). Table 0.1 and Table 0. give the decription of the variable and parameter in the generic equation for the different configuration given in Error! Reference ource not found. and Error! Reference ource not found.. The table(1 & ) lit the flow regime that can occur in different cell of the flow domain, depending on the coefficient. Each line correpond to a type of flow regime. Different flow regime can co-exit in the ame flow domain (the D/3D option are mutually excluive).

142 136 Table 0.1: Variable and parameter of the generic flow equation BF (3D option) Table 0.: Variable and parameter of the generic flow equation BF (D option)

143 137 B.3 - BIGFLOW - Input / Parameter / Limitation General input Thee are to define the main apect of the imulation like type of imulation, tranient/teady tate imulation, and linear/nonlinear prob. There are alo the le important identification code and date of imulation. Domain geometry BF aume that the 3D domain ha the hape of a rectangular box (parallelepiped rectangle). However the box can be lanted at any angle with repect to the vertical. The finite difference meh i a fixed regular network of orthogonal link and node. Never the le phyical boundarie like ubtratum bathymetry and urface topography, ued in the coupled urface-uburface flow, can be ditributed uniformly or patially over the domain. Boundary condition and initial condition BF enable the ue of three type of boundary condition (BC) Dirichlet (fixed head), Neumann (fixed flux) and zero head gradient BC. All type can be fixed, uniformly or patially ditributed. Time dependence i alo available. Mixed type BC can be defined eparately for each BC. Mixed type mean that the type of BC can vary within the boundary plane. Initial head preure can be defined a fixed, uniformly ditributed or patially ditributed. Forcing Term Internal forcing term are given in two different way either locally for ource/ink term (e.i. pumping/recharge well), or uniformly ditributed over the domain. In the latter cae thee repreent recharge or infiltration rate. Forcing term are alo time-varying. Phyical Propertie For all cae: hydraulic propertie are pecified cell-by-cell (pixel in D, voxel in 3D) For uburface flow: hydraulic propertie for aturated media are the hydraulic conductivity (K ) and the pecific torativity (S ) both are patially variable if needed. For patially aturated or unaturated media the hydraulic conductivity (K) i a function of preure head h. The oil moiture retention curve can be choen among everal function with multiple parameter, two of which can be patially ditributed. For urface flow: where the diffuive-kinematic wave equation are applied, the hydraulic propertie are the friction coefficient (C) derived from the Chezy, Manning or Darcy-Weibach formula. For macroporou media flow: another coefficient (γ) of the quadratic term in the generalized Ward law i defined. Numerical olver parameter Thee parameter allow the uer to pecify the choice of matrix olver and preconditioner, a well a it convergence criteria, like the maximum number of iteration, the minimum error criteria, and the type of norm ued to compute thoe. Thee parameter alo include the nonlinear Picard iteration convergence criteria. In addition, machine dependent criteria can be pecified, uch a machine preciion, mallet and larget real floating point number, etc. Limitation The geometry of the 3D domain i rectangular (however, in D, the bedrock i pecified a Z INF (x,y)) The finite volume grid i rectangular, uniform, carteian (imilarly in D and in 3D)

144 138 Some ueful feature uch a leaky layer in the D cae are not yet implemented The time tep adaptivity and the nonlinear olution proce are not alway uccefull (a problem common to mot computer model for highly nonlinear and tranient problem) B.4 - BIGFLOW - Numerical method BF i baed on a fully implicit finite volume formulation of flux divergence equation in conervative form (mixed formulation), and it can olve tranient a well a teady tate problem (either by time marching or in a ingle infinite time tep). It implement trong implicit coupling of different type of hydrologic flow via a ingle generic equation (e.g. coupled tream-aquifer flow, macroporou media with quadratic head lo law, perched groundwater with multiple free urface, etc). The «computational kernel» of the code ha inherited feature of previou verion and ha been extenively teted, particularly for 3D aturated/unaturated flow problem with randomly heterogeneou propertie. The «kernel» i characterized by extremely pare, pecialized linear algebra baed on preconditioned conjugate gradient olver, interlooped with a robut modified Picard (fixed point) iteration cheme for nonlinear problem. (a) Figure 4 Bigflow tencil (a) for Darcy model (b) for Darcy Forcheimer quadratic lo model (notice the ued green cell in that cae) (b)

145 139 B.5 - BF-Py.0 (BigFlow - Python verion.0) modelling platform A graphical uer interface under Python 6 and uing the wxpython library ha been developed for pre and pot proceing. Since the Python language i cro-platform, the interface i available on virtual all operating ytem. Part of the interface ha been programmed during the WP3.1 of SWIMED project. The objective of the GUI (Graphical Uer Interface) i not to upply a commercial oftware package for BIGFLOW, but to provide BIGFLOW uer with a tool to manage the model input and output for more efficient uage. Thi i motly important for problem with complex geometry, but alo, for optimiation problem and multiple cenario analye. The Python interface manage directorie and file with minimal uer intervention. It alo enable uer to input imulation parameter like BC, grid ize, time tep, convergence criteria, initial head ditribution, etc. Simulation are launched and tracked in real-time by numerical and graphical output : ee for example Figure(5 & 6) below. Output are alo managed by the Python application; they can be plotted and exported in different graphical format. Multiple imulation can be launched and managed interactively, for example Monte-Carlo imulation for tochatic uncertainty analye, or iterative re-tart a occured in the igma-homotopy method 7. The Python interface i intended to be a platform for hydrological modelling. In the latet verion the interface now ha incorporated a 3D conditional random media generator (XiMUL) (Ababou et al.) a dicrete random object generator (Bailly et al.) a particule tracking code LPT3D (Ababou et al.) The interface enable 3D viualization uing the VTK library and the MayaVi interface. Additionally GIS importing and exporting capabilitie ha been implemented. 6 Python i a Freeware, interpreted, Object Oriented Programming Language. < wxpython i a Freeware, GUI toolkit for the Python programming language baed on wxwindow. 7 Note: the latter method i i an iterative continuation method with repect to the σ parameter, where σ repreent the degree of heterogeneity (tandard deviation of lnk); the method wa developed during the WP 3.1 and wa ued to model eawater intruion in highly heterogeneou tochatic aquifer.

146 140 Figure 5 : Illutration of the Python menu-driven and graphical interface of BigFlow. Unaturated column example: preure ditribution Water tank modelling uing the macro porou media approach

147 141 Source term modelling: contour of the head field Unaturated aquifer modelling: Vector plot of fluxe and treamline D coupled urface water & GW with eawater intruion: urface viualiation (green= topo., red = altwater /water interface, blue = water level) Water tank modelling: iourface of water preur Figure 6: modelling example performed by the new BF-Py platform

148 14 ANNEXE C Memory requirement of BIGFLOW D SWIM C.1 - Total Array Size In BIGFLOW (ref, RA 1993) all array are aembled in a total array. The total array i dynamically allocated in the code. It ize change depending on domain ize and imulation option. If an array i not ued in a imulation it ize will be reduced to minimal value (e.g. (1,1,1) ince all data array are three dimenional in BIGFLOW), the ize of total array needed i then reduced. Thi feature ha been conerved in later verion of BIGFLOW namely BF000 and BFSWIM. An etimate of the ize of total array i et by the uer before each compilation. Thi etimate hould be greater or equal to the effective ize of the total array, but not much greater. Since thi will reduce performance and increae memory requirement. C. - Memory Requirement The array ize et before compilation define the memory requirement of the code. The reerved memory i than the product of the integer ize and the total array dimenion. For a imple preciion calculation the integer ize i 4 byte and for double preciion it 8 byte. The ued Random Acce Memory RAM i than: Required RAM in Kb = ABIG x I / 104 with ABIG: total array ize I : integer ize Thi value i limited by two feature: the ytem RAM capacity and the reerved STACK. The ytem RAM i an intrinic feature of the PC or the tation. A for the STACK it the maximum reerved memory in the compilation option. The reerved STACK houldn t exceed ytem RAM and not le than the required RAM value. C.3 - Number of Node Since edge node are only conidered for initial mid nodal fluxe and do not intervene in computation, the effective number of node i therefore obtained by: 3 Nt = i= ( Ni ) 1 with Ni : number of grid node in direction i Relation between number of node and total array or memory requirement Thi relation i eential to optimize the ize of total array depending on type of imulation. It i linear when the domain ha mall boundary condition array compared to 3D data array. Uing erie of compilation and imulation, the linear relation were deduced for everal type of imulation uing minimal number of data array. Thi relation can then be generalized for other imulation option by adding 1 to the lope coefficient for each added array. But it can t take into account time dependent parameter or variable.

149 143 C.4 - BFSWIM D Memory Requirement Figure 1 illutrate the fitted function and the correponding correlation coefficient for D harp interface alt water intruion modeling (BFSWIMv1.1). The total array ize i : ABIG = Nt with ABIG in million element an Nt in million node the memory requirement uing ingle preciion i : RAM (Kb) = 11.4 Nt Storage Requirement for BFSWIM v Totla Array in million ABIG = Nt with ABIG : Array ize (million element) Nt: million node R = 1 Totlal array (ABIG) E-06 Required memory Mb M = 11.4 Nt with M : memory (Mb) Nt: million node R = Required Memory in Mb Nt (N1xNx1) million node 0

150 144 ANNEXE D Spectral/Fourier Analyi and Up-caling D.1-1-Spectrale Fourier analyi ϕ ϕ f + J x y x = 0 avec J = H / x (on néglige le terme de econd ordre) We now ue the pectral/fourier repreentation of the tochatic proce : The Fourier Stieltje theorem applied for a tatiticaly homogeneou variable give : i( kx) ϕ = e dzϕ ( k) ϕ R N + + ( ) e i kx = dz ( k) ϕ i( kx) f = e dz ( k) R N f f + + i( kx) = e dz ( k) f where dz ϕ dz f are Fourier increment and k wave vector The Spectral/Fourier tranform implie the unicity of the tranform and the orthogonality The unicity of the Fourier repreentation give: dz ik1j k) = dz f ( k) ( k + k ) ϕ ( 1 The orthogonality of the repreentation give : * dz ( k) dz ( k) = δ ( k' k'' ) S X X XX From the pat two hypothei we get : * k1 J Sϕ ( k) dk = E( dzϕ dzϕ ) = S f ( k) dk ( k + k ) The Weiner-khinchine theorem give the relation between the pectral denity function and the correlation by: 1 ikτ Sϕϕ ( k) = e R ( τ) dτ N ϕϕ π N R Replacing the correlation function conidered her i: 1

151 145 πτ πτ 1 πτ R τ ) = σ K1 4λ 4λ 4λ ( 0 πτ K 4λ Replacing thi function in the Weiner-khinchine relation give: 8 σ Φ = σ ln K λln K J x π where J x i the mean Φ-gradient denoted a in thi paper. The value of a are given in the following table: igma(ln(k)) L a=d(phi)/dx D. - Empirical upcaling of Z SALT In thi paragraph we ue an empirical upcaling technique for the altwater/frehwater interface. The upcaling i conidered with reference to the total water flux Kˆ p Qˆ = 1 SALT ε L ( H Z ( ε + 1) + ΔZ Z ) SALT The power average model (Ababou, 1994) for the empirical upcaling technique i then ued. Thi i given by the following formula: p p Kˆ 1/ p = E( K ) with p=directional averaging exponent λh p = 1 D λi D pace dimention λi=directional fluctuation cale λh=d-dimentional harmonic mean fluctuation cale

152 = D λ h i D λ i= 1 For a Gauian field the equivalent permeability i given by: ˆ p 1/ p 1 K p = E( K ) = KG exp pσ y Reult are hown in figure below. The numerical reult (x) are plotted againt the analytical reult ( ) for different value of p (p=-1,0, 0.08, 1). The bet fitted value of P i Thi how a mall deviation from the geometric mean. Other value of interet for the tochatic analytical model are hown in thi table.

153 147 D.3 - Reult of the tochatic analyi and imulation Axial tranect of fluctuation around the mean of Φ SALT ( ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ = 1.0. One hundred tranect of ΦSALT (tranformed from ZSALT); analytical mean curve ΦSALT (homogeneou aquifer); and "numerical mean" curve ΦSALT (mean of ΦSALT ampled horewie along y ). The ea hore i at left. Grid: 1000x1000. Heterogeneity: σ = 1.0. td of the tranformed of the tranform ΦSALT (ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ = 1.0. Numerical and theoretical σzalt v ditance from ea (x) for σlnk = 1.0.

154 148 Axial tranect of fluctuation around the mean of ΦSALT (ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ = One hundred tranect of ΦSALT (tranformed from ZSALT); analytical mean curve ΦSALT (homogeneou aquifer); and "numerical mean" curve ΦSALT (mean of ΦSALT ampled horewie along y ). The ea hore i at left. Grid: 1000x1000. Heterogeneity: σ = td of the tranformed of the tranform ΦSALT (ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ = Numerical and theoretical σzalt v ditance from ea (x) for σlnk = 1.66.

155 149 Axial tranect of fluctuation around the mean of ΦSALT (ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ =.0. One hundred tranect of ΦSALT (tranformed from ZSALT); analytical mean curve ΦSALT (homogeneou aquifer); and "numerical mean" curve ΦSALT (mean of ΦSALT ampled horewie along y ). The ea hore i at left. Grid: 1000x1000. Heterogeneity: σ =.0. td of the tranformed of the tranform ΦSALT (ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ =.0. Numerical and theoretical σzalt v ditance from ea (x) for σlnk =.0.

156 150 Axial tranect of fluctuation around the mean of ΦSALT (ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ = ln(10). One hundred tranect of ΦSALT (tranformed from ZSALT); analytical mean curve ΦSALT (homogeneou aquifer); and "numerical mean" curve ΦSALT (mean of ΦSALT ampled horewie along y ). The ea hore i at left. Grid: 1000x1000. Heterogeneity: σ = ln(10). td of the tranformed of the tranform Φ SALT ( ee previou figure); imulation on 1000x1000 grid for σ = ln(10). Numerical and theoretical σ ZSALT v ditance from ea (x) for σ lnk = ln(10).