CONCOURS D'ADMISSION 2007 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE. Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L usage de la calculatrice est autorisé

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1 A 007 PHYS. I PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 007 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filièr PSI (Duré l'épruv : 3 hurs) L usag la calculatric st autorisé Sujt mis à isposition s concours : ENSAE (Statistiqu), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycl intrnational Ls caniats sont priés mntionnr façon apparnt sur la prmièr pag la copi : PHYSIQUE I -PSI L'énoncé ctt épruv comport 5 pags. Si, au cours l épruv, un caniat rpèr c qui lui smbl êtr un rrur énoncé, il st invité à l signalr sur sa copi t à poursuivr sa composition n xpliquant ls raisons s initiativs qu il st amné à prnr. Il n faura pas hésitr à formulr ls commntairs (incluant s consiérations numériqus qui vous smblront prtinnts. L barèm tinra compt cs initiativs ainsi qu s qualités réaction la copi. LE BAIN DE BÉBÉ L bain st un activité quotiinn très apprécié u jun nfant. L bin-êtr c rnir lors u bain st, slon tout vraismblanc, lié au caractèr aquatiqu sa vi intra-utérin. Ls jux qu il y pratiqu sont très ifférnts cux qu il ffctu urant l rst la journé. L problèm étui, n ux partis inépnants A t B, un part l thrmomètr utilisé pour contrôlr la tmpératur, autr part l princip fonctionnmnt un mètr élctromagnétiqu msurant l lors u rmplissag la baignoir. Ls partis B t B sont largmnt inépnants. Dans tout l épruv, xprimr signifi onnr l xprssion littéral t calculr signifi onnr la valur numériqu. PARTIE A : THERMOMÈTRE À CRISTAUX LIQUIDES Fig. Thrmomètr à cristaux liquis. Pag /5

2 Physiqu I 007 : filièr PSI. L thrmomètr utilisé st n matièr plastiqu, n form poisson (Fig. ). Il possè un ban rctangulair contnant s zons à cristaux liquis. Clls-ci ssinnt ls tmpératurs comm par xmpl 34 C, 36 C, 40 C t OKBaby pour 37 C. L princip fonctionnmnt st l suivant : si l au st à 36 C, sul l inscription 36 C apparaît visibl sur la ban rctangulair snsibl u thrmomètr. Il st ainsi possibl contrôlr rapimnt la tmpératur u bain. On consièr un miroir longuur, placé ans l air assimilé au vi, éclairé par un on luminus monochromatiqu longuur on ans l vi λ (Fig. ). La lumièr incint fait un angl θ avc l plan u miroir ; on étui la iffraction à l infini ans l angl émrgnc i, comm iniqué Fig.. Bin notr l choix rpérag s angls, par rapport au plan u miroir. Établir, à partir s xprssions s amplitus complxs s ons luminuss, qu l intnsité luminus iffracté st onné par I sinc π I0 ( u) sin = ( cosθ cos i), où sinc ( u) =. λ u Tracr l allur l intnsité iffracté n fonction l angl i ans ls cas suivants : (cas a), la longuur u miroir st légèrmnt supériur à la longuur on ( > λ, λ t (cas b), st très gran vant λ. On n manqura pas commntr cs résultats. ) 3 On étui maintnant ls intrférncs ntr ls ons iffractés à l infini par ux miroirs intiqus à clui s qustions précénts. L étu s ffctu pour un angl émrgnc i. Cs ux miroirs, toujours isposés ans l air, sont séparés par la istanc. Ils sont éclairés façon cohérnt par la mêm sourc (Fig. 3). Pour ls bsoins la moélisation, on n s préoccupra pas un évntull «intrcption» u rayon () par l miroir (). Montrr qu la ifférnc march ntr ls ux ons passant par P t P st δ = ( sin θ + sin i). En éuir l xprssion suivant l intnsité luminus résultant s intrférncs t la iffraction cs ux ons amplitu intiqu : I = I C( θ i) + S( θ i) { }, max sinc, cos,, λ λ. avc C( θ, i) = π cos( θ) cos( i) t S ( θ, i ) = π sin ( θ ) + sin ( i ) 4 Vérifir qu la fonction iffraction par un miroir st maximal ans l cas où i = θ. Commnt alors choisir pour qu la fonction intrférnc ntr ls ux miroirs soit ll aussi maximal? Réciproqumnt, i = θ étant l un t l autr fixés, onnr l allur l intnsité luminus I, n fonction la istanc. 5 La rlation i = θ étant toujours satisfait, on utilis maintnant un nombr N (gran vant ) miroirs intiqus tous isposés à la istanc ls uns s autrs. Iniqur, par un rprésntation graphiqu ou par un phras clair, commnt évolu la courb onnant l intnsité luminus n fonction. La ban snsibl u thrmomètr utilisé pour l contrôl la tmpératur u bain st composé «cristaux liquis» présntant un structur hélicoïal stabl, it cholstériqu. Ls moléculs constituant ls cristaux liquis sont s moléculs allongés, rprésntés par s llipsoïs sur la Fig. 4, t qui sont isposés ans s plans prpniculairs à un ax Oz ; chaqu molécul fait un angl fix par rapport à la précént, ls xtrémités formnt onc un oubl structur hélicoïal, pério spatial L. Ctt pério épn la tmpératur T u miliu (t bin sûr la molécul constituant l cristal liqui). Lorsqu l on utilis comm cristal liqui un mélang binair ux cristaux liquis, la pério spatial L l hélic épn la composition u binair. Pag /5

3 Physiqu I 007 : filièr PSI. L Optiqu x z Fig. 4 Vu artist un structur hélicoïal t moélisation u comportmnt optiqu. y n h On amt qu l comportmnt optiqu u cristal liqui st intiqu à clui s ux miroirs étuiés ans ls qustions à 4, cs miroirs étant alors plongés ans un miliu inic n h l orr,50. 6 Montrr qu l ntré ans l miliu inic n h s ux rayons luminux corrsponant aux rayons () t () la Fig. 3 n introuit pas ifférnc march supplémntair. Pourquoi n st-il mêm à l émrgnc lorsqu ils rpassnt ans l air? Soit (Fig. 5) θ l angl, ans l cristal, ntr l rayon t l miroir ( θ ) ; xprimr, n fonction θ, n t, la h cos sin ( θ ) = n h ifférnc march ntr cs ux rayons ans l cas où i = θ. 7 L éclairag incint st ésormais normal ( θ θ π ) = = t monochromatiqu longuur on λ. Exprimr ls valurs possibls pour lsqulls on obtint un maximum lumièr réfléchi. Mêm qustion pour un minimum lumièr réfléchi. 8 Rapplr l étnu u spctr visibl ainsi qu ls coulurs associés aux limits u spctr, puis justifir l choix la longuur on λ = 555 nm. On convint ésormais qu = L, avc 60 nm L 500 nm. Calculr ls valurs L corrsponant rspctivmnt à un maximum ou à un minimum lumièr réfléchi. On ls notra L (pour un maximum), t (pour ls minima) t l on vérifira qu < L <. Il s agit maintnant étrminr la natur u matériau utilisé pour l inicatur 40 C t pour l inicatur OK Baby (37 C). L inicatur 40 C oit apparaîtr à 40 C sans qu l autr soit visibl t réciproqumnt. Pour c but, on ispos ux mélangs binairs ab t a b s moléculs (a, b) pour l prmir t (a, b ) pour l scon. Pour chacun s ux mélangs, la pério spatial L l hélic vérifi Composé ab : L40 C = 0,68 L37 C L37 C =,4 L40 C Composé a b : L40 C = 0,74 L37 C L37 C =,35 L40 C 9 La Fig. 6 montr commnt, à 37 C, L évolu n fonction u pourcntag molair a ou a ans l omain s mélangs réalisabls (tous ls pourcntags n sont pas rprésntés). Pour l inicatur à 37 C (par xmpl), on oit avoir un maximum lumièr réfléchi corrsponant à 37 C t un minimum corrsponant à 40 C. Qul mélang utilisr pour c but, t n qull proportion? Qul st l millur choix pour l inicatur 40 C? 0 La loi évolution la pério l hélic n fonction la tmpératur T au voisinag T = 30 K (37 C) st L ( T ) = L xp 0 ( αt ), où L 0 st un constant ; calculr α ab t α ab ' '. La valur α st xtrêmmnt variabl un matériau à l autr t ll put attinr jusqu à - 00 C! Pour qul(s) gnr(s) application(s) un tll snsibilité put-ll êtr util? Pag 3/5

4 Physiqu I 007 : filièr PSI. PARTIE B : DÉBITMÈTRE ÉLECTROMAGNÉTIQUE B Débitmètr L princip u mètr élctromagnétiqu (Fig. 7) s appui sur l phénomèn inuction élctromagnétiqu. Ls bobins Hlmholtz sont isposés part t autr u tuyau alimntation n au (chau ou froi) la baignoir. L rayon u tuyau st a = 5 mm. On consièr qu l champ magnétiqu créé par ls bobi ns st uniform ans tout la région l écoulmnt t on l not B = B ˆ x. On suppos qu l tuyau t l flui qu il contint n moifint pas la structur s ligns u champ B. Sur la Fig. 7, on utilis un bas cylinriqu aapté à la scription l écoulmnt l au. Ctt bas n a rin à voir avc cll qui nous a prmis étuir l champ magnétiqu ans ls qustions précénts. Il suffit qu l flui circulant ans l tuyau soit très légèrmnt conuctur pour qu l mètr fonctionn corrctmnt. C st à travrs la msur la forc élctromotric inuit ntr ls ux élctros C t D (isolés élctriqumnt u tuyau),, qu l on put msurr l. On suppos qu l écoulmnt s fait n régim prmannt. La vitss l au n un point M ( r, θ) st onné par v = v0 f ( r) zˆ où l profil vitss f () r st un fonction qu on n xplicit pas pour l instant mais qui satisfait l inégalité 0 f ( r) ans l intrvall [ 0, a]. Pratiqumnt, l mètr élctromagnétiqu n st utilisabl qu pour ls fluis n écoulmnt posséant un nombr Rynols R supériur à 000. a D Établir l xprssion suivant u volumiqu Vol. : DVol. = π v0 r f r r. La vitss ant, noté v 0, st la vitss fictiv tll qu, si tous ls points l écoulmnt posséaint ctt vitss, l volumiqu srait D Vol. ; xprimr v n faisant intrvnir un intégral ans laqull figur la fonction f ( r). On not nfin v la nn s vitsss l long un rayon un sction roit u tuyau. Exprimr v n faisant intrvnir un intégral ans laqull figur la fonction f ( r). En réalité, l champ magnétiqu, tout n rstant uniform, st sinusoïal, fréqunc f0 = ω0 π = 40Hz; on l not B = B cos( 0 ) ˆ m ω t x, où B m = 0, T. Vérifir qu l champ B au point M ( r, θ ) u plan Oxy put érivr u potntil vctur A= B cos cos ( 0 ) ˆ (,, ) ˆ mr θ ω t z= Az r θ t z. Ls composants utils u rotationnl n cooronnés cylinriqus sont ici rot ( A Az Az ) = ˆ ˆ. r θ r r θ A Ctt xprssion A prmt établir qu la forc élctromotric inuit = v B l put s t ramnr à = v B, l intégral étant calculé l long u sgmnt [ ] l [ ]. En autrs trms, l problèm s ramèn à un phénomèn inuction concrnant un conuctur mobil (l flui) ans un champ magnétiqu statiqu, bin qu clui-ci soit (lntmnt) variabl. a v ab cos ω t cos ω t v = a f r r. Ctt 3 Établir la rlation = =, où m 0 M 0 forc élctromotric st-ll proportionnll au volumiqu? Calculr pour. M v = 5m.s 4 Pourquoi n pas utilisr un champ magnétostatiqu? Pourquoi n pas alimntr ls bobins avc un tnsion altrnativ 50 Hz? 0 - Pag 4/5

5 Physiqu I 007 : filièr PSI. 5 On moélis l écoulmnt u flui par la rlation mpiriqu r rprésnté Fig. 8 f ( r) =, avc p > 0. Rapplr la éfinition la couch limit flui. Proposr un évaluation son épais- a sur, δ, n fonction a t p (on pourra, par xmpl, éfinir l omain où f >>, ou consiérr ls abscisss s points A p la Fig. 8). r a 6 Établir ls xprssions v t v n fonction v0 t p. À partir qull valur p put-on confonr ls ux vitsss à miux qu % près? Ctt évaluation stll cohérnt avc l omain utilisation u mètr évoqué plus haut R > 000? Pour ctt qustion, p δ a R. on amttra qu s consiérations qualitativs conuisnt à l stimation 7 Amttons maintnant qu l on puiss confonr t. Établir alors l xprssion la forc élctromotric inuit n fonction u volumiqu. La valur maximum la tnsion msuré ntr ls élctros C t D st 7 mv. Combin faut-il tmps pour qu la baignoir continn 00 L au? v D Vol. v B Msur Dans la suit ctt étu, on s intérss à la msur la forc élctromotric, qu l on écrira ésormais β D cos ω t V t s présnt comm la somm ctt forc = Vol. Dans la pratiqu, l signal étcté V () t V ( t) V ( t). 0 élctromotric t un tnsion bruit : un multitu fréquncs f b > f 0. b = + b VX = kv() t V( t). L spctr la tnsion bruit comport Afin réuir l influnc u bruit, on utilis la métho étction synchron ont l princip st écrit sur la Fig. 9. L amplificatur opérationnl, supposé iéal, fonctionn n régim linéair. L circuit multipliur, n grisé sur la Fig. 9, st lui aussi iéal. Sa tnsion sorti st. La tnsion V t = Acos ω 0 t st synchron avc. En sorti, on ispos un filtr RC ont la fréqunc coupur st f = Hz. 8 Qull st la rlation liant V V c t t t? Qull st la natur u filtr utilisé n sorti? Proposr s valurs R t C. Donnr, sans calcul, l allur u iagramm Bo asymptotiqu pour l gain c filtr. b t, l ispositif st quasimnt équivalnt à un pass-ban cntré n f0 t factur qualité Q = 40. Conclur quant à l intérêt u montag t onnr l xprssion la tnsion sorti V s n fonction u volumiqu. 9 Montrr qu, n c qui concrn la tnsion bruit V FIN DU PROBLÈME FIN DE L ÉPREUVE Pag 5/5