UNE APPROCHE GENETIQUE POUR UN PROBLEME DE LOTISSEMENT ET DE SEQUENCEMENT SOUS ALEAS

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1 8 e Conférence Internatonale de Modélsaton et SIMulaton - MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse Évaluaton et optmsaton des systèmes nnovants de producton de bens et de servces UNE APPROCHE GENETIQUE POUR UN PROBLEME DE LOTISSEMENT ET DE SEQUENCEMENT SOUS ALEAS K. SCHEMELEVA, A. DOLGUI, F. GRIMAUD ENSM-SE 158 cours Faurel Sant-Etenne - France shchamalova@emse.fr, dolgu@emse.fr, grmaud@emse.fr RÉSUMÉ : Nous étudons le problème de lotssement et de séquencement sur une lgne de producton soums aux aléas. La lgne content k machnes. Il y a n types de produts dfférents à trater. Un temps de changement de sére est nécessare quand on passe d un type de produt à un autre. Deux types d aléas ont été prs en compte : le rendement et le temps d exécuton. Le rendement est aléatore à cause des rebuts, et le temps d exécuton est aléatore parce qu l y a des pannes machne. La demande et les temps de fabrcaton sont connus pour chaque type de produts. Le problème, que nous tratons dans cet artcle, consste à trouver la séquence et les talles de lots dans le but de maxmser la probablté de satsfacton de la demande pour tous les lots sous la contrante d un horzon de planfcaton donné. Pour résoudre ce problème NP-dffcle, nous utlsons la méthode par décomposton, permettant de trater les sous-problèmes séparément les uns des autres, ans qu une approche génetque pour résoudre la parte lot-szng du problème. MOTS-CLÉS : lotssement, séquencement, aléas, temps de changement de séres. 1 INTRODUCTION Dans cet artcle nous examnons le problème de lotssement et de séquencement sur une lgne de producton de type flow-shop. La lgne content k machnes placées en séquence, elle est capable de fabrquer par lots des produts de n types dfférents. Un lot est consttué d une quantté de pèces de même type, tratées successvement sur la lgne. La fabrcaton d un lot est précédée par le temps de changement de séres. Une parte des produts fabrqués peut être défectueuse. Les machnes peuvent tomber en panne. Nous consdérons que le temps entre deux pannes et le temps de réparaton sont des valeurs aléatores. Sot T 0 l horzon de planfcaton. Les paramètres suvants sont connus pour chaque type de produt, = 1,..., n: s 0, s,j d t - le temps de préparaton, s la fabrcaton commence par un lot de produt de type ; - le temps de changement de sére, nécessare pour passer d un lot de produt à un lot de produt j, s,j 0, j; - la demande en pèces de bonne qualté pour le produt de type ; - le temps de producton d une pèce de produt sur une machne. Sans perte de généralté, nous β pouvons consdérer, que le temps de producton d une pèce est le même pour chaque machne q, q = 1,..., k de la lgne; - le nveau de servce desré pour le produt,.e. la probablté mnmale de satsfacton de la demande pour le produt ; Pour le problème consdéré, nous supposons que l négalté trangulare est satsfate pour les temps de changement de sére,.e. pour chaque, j et e = 1,..., n l négalté suvante est vérfée : s,e + s e,j s,j, 1 Tenant compte de ce fat, tous les composants de même type dovent être fabrqués en un seul lot. L objectf est de maxmser la probablté d avor la quantté voulue de pèces de bonne qualté pour tous les types de produts. Pour cela nous devons optmser : La séquence de lots π = 1, 2,..., n : le temps total d exécuton dépend essentellement de la présence des temps de changement de séres, dépendant eux-même de la séquence. Les talles des lots x = x 1, x 2,..., x n : à cause des rebuts et des pannes machnes, l est dffcle de trouver les quanttés de pèces exactes à

2 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse lancer en fabrcaton pour satsfare la demande. L augmentaton du nombre des pèces lancées augmente la probablté d obtenr la quantté de pèces désrée pour un produt. En augmentant la quantté des pèces lancées, le temps restant pour la producton des pèces des autres produts et les réparatons dmnue, ce qu peut amener à une dmnuton de la probablté totale. Sot x b - la quantté de pèces de bonne qualté, obtenue en lancant en fabrcaton x pèces de type, = 1,..., n. En utlsant les notatons c-dessus, on peut formuler notre problème comme sut: P x b d π, x Max, = 1,..., n 2 sous la contrante que le temps total de producton sot nféreur ou égale à T 0. 2 ETAT DE L ART A l orgne, ce problème s est posé dans l ndustre électronque. Une lgne de ce type fabrquat des composants électronques pour le montage de modules spécaux sur une autre lgne. La producton des composants et le montage des modules se fasaent en juste à temps avec un mnmum de stocks entre deux lgnes, d où le crtère d optmsaton chos. Il y a un grand nombre d artcles scentfques sur les problèmes de lotssement et de séquencement, mas la plupart des problèmes consdérés sont détermnstes. Par exemple, Emmons et Mathur, 1995 étudent un problème de mnmsaton du temps total makespan sur une lgne de producton de type flow-shop. Il y a n jobs à trater, dvsés en m groupes. Le temps de changement de sére entre les jobs de groupes dfférents n est pas néglgeable. La comparason de dfférents algorthmes pour ce problème a été présentée dans Lee et al., L artcle de Potts et Kovalyov, 2000 examne des problèmes de lotssement et d ordonnancement pour des confguratons dfférentes de lgnes de producton. L ordonnancement avec les temps et/ou les coûts de changement de sére a été étudé dans Allahverd et Gupta, 1999, Allahverd et al., 2008, etc. Des aléas peuvent arrver à n mporte quel moment du processus de fabrcaton : le temps d exécuton aléatore, les rebuts rendement aléatore, la demande ncertane, les temps de lvrason ou les délas d approvsonnement aléatores, etc. Un temps d exécuton aléatore sgnfe, que le temps total d exécuton réel peut être dfférent du temps d exécuton planfé. Pour mnmser les conséquences, les entreprses utlsent généralement des stocks, et Materal Requrement Plannng MRP pour les gérer. Un état de l art sur les problèmes de geston de producton sous aléas avec utlsaton de stratége MRP a été présenté dans Dolgu et Prodhon, Des exemples de problèmes de ce genre avec des méthodes de résoluton correspondantes peuvent être trouvés dans de nombreux artcles - Molnder, 1997, Louly et Dolgu, 2004, 2009, Gurnan et Gerchak, 2007, etc. Les pannes machnes sont une autre source d événements aléatores. S une machne peut tomber en panne, le temps d exécuton devent aléatore. Généralement, le temps de réparaton est également aléatore. Il y a certanes technques pour estmer la durée moyenne de producton utle. Par exemple, Dolgu et al., 2008 consdèrent que le temps total de réparaton est une foncton de temps de producton fracton défectve cas. Gary C. Ln et Dah-Chuan Gong, 2006 examnent l effet des pannes machnes en Economc Producton Quantty EPQ modèle. Dans ce paper, le temps de réparaton après chaque panne est constant, mas le temps entre deux pannes est une varable aléatore avec une lo de dstrbuton exponentelle négatve. Certans auteurs ont déjà traté des problèmes de lotssement et d ordonnancement en prenant en compte des pannes machnes, vor T. Chakraborty et al., 2008, Allahverd A. et J. Mttenthal, 1995, Wang Chu S., 2009, etc. S le rendement est aléatore, la quantté de produts de bonne qualté peut être nfereure à la quantté de produts lancés. Des méthodes de base pour modélser ce genre d ncerttude sont le processus de Bernoull - vor Sngh et al., 1988, Teunter et Flapper, 2003, etc, Stochastcally proportonal yeld - vor Yao, 1988, Gerchak et al., 1994, Haj et al., 2008 etc, Interrupted geometrc yeld - vor Guu and Lou, 1999, and Guu and Zhang 2003, etc. Dans la plupart des cas, le rendement est une varable aléatore avec une lo de dstrbuton connue. Zhang et Guu, 1997, par exemple, ont étudé les proprétés de la foncton de coût pour un problème de lotssement où la lo de dstrbuton de rendement est quelconque. Yano et Lee 1995 ont présenté un état de l art sur les dfférents systèmes de producton avec un rendement aléatore. Nous consdérons le problème proposé dans Dolgu et al Les auteurs proposent une approche par décomposton et une méthode programmaton dynamque qu permet de trouver une soluton exacte pour la parte dmensonnement de lots du problème ntal. L nconvénent de cette méthode est le temps de calcul très élevé. Dans ce paper nous

3 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse proposons une approche génétque pour résoudre le même sous-problème. Cette méthode donne la possblté de trouver la soluton approchée pour des problèmes de plus grandes talles. 3 MODELISATION MATHEMATIQUE 3.1 Le processus de producton Prenons l exemple d un lot vor la fgure 1. Sot le premer lot à fabrquer. Au début l y a un temps de préparaton s 0,. Après avor préparé la lgne pour la producton, la premère pèce de lot entre sur la premère machne M 1. Au temps t, la premère pèce passe à la machne suvante M 2 ; la deuxème pèce du lot s l y en a entre sur la machne M 1, etc. La premère pèce du lot quttera la lgne à s 0, + kt. La deuxème pèce sera fne à s 0, +kt +t. S l y a n rebut n pannes machnes, le temps de producton de x composants du lot est égale à s 0, + k 1t + t x. k 1t est le temps de chargement c est-à-dre le temps que le lot, = 1,..., n passe de la premère machne à la dernère. Après ce temps, la lgne peut être consdérée comme une seule machne. Nous supposons que des pannes ne peuvent arrver n pendant le temps de changement de séres, n pendant le temps de préparaton, n pendant le temps de chargement. des pannes. Fgure 2: Des rebuts et des pannes Pour modélser le rendement aléatore nous avons chos d utlser un processus de Bernoull. Ans, nous supposons que la qualté d une pèce est complètement ndépendante des autres. Sot p q - la probablté que la qualté d une pèce de type, = 1,..., n, qu a été fabrquée sur la machne q, q = 1,..., k, est bonne. Les probabltés p q sont données pour chaque type de produt et chaque machne q. Nous supposons que la qualté d une pèce peut être détermnée qu après la dernère machne, et que le temps de passage entre deux machnes consécutves est égal à zéro. Alors, nous pouvons calculer la probablté p, qu un produt fn de type sot de bonne qualté, comme sut : p = k p q, = 1,..., n 3 q=1 Nous consdérons, que la probablté p x b x d avor x b pèces de qualté à partr de x pèces fabrquées peut être calculée de la façon suvante: p x b x x = C b x 1 p x x b x p b, 4 Fgure 1: Un exemple de processus de producton La fabrcaton d un lot avec des rebuts et des pannes est présentée dans la fgure 2. S une panne arrve, la producton s arrête pour la réparaton. Notons que s le temps de réparaton réel est supéreur au temps de réparaton prévu le temps de réparaton prévu n est pas suffsant, quelques pèces du derner lot ou le derner lot entèrement ne vont pas être fabrquées. Nous pouvons ne pas consdérer le cas où n 1, n 2,... lots ne peuvent pas être fabrqués à cause du manque de temps, car la probablté que nous maxmsons est alors nulle. 3.2 Modélsaton des aléas Les machnes sur la lgne de producton sont mparfates, alors, comme mentonné c-dessus, nous avons deux types d événements aléatores : des rebuts et où 1 p - la probablté de rebut. Notre objectf est d obtenr au mons d pèces de bonne qualté pour chaque produt, = 1,..., n. Alors, sot p > d x la probablté d avor au mons d composants de type de bonne qualté, sous la condton que x composants aent été fabrqués. Il s ensut que p > d x = x s=d C s x 1 p x s p s 5 Pour modélser les pannes, nous utlsons un modèle de processus de renouvellement vor Dolgu, L horzon de planfcaton est dvsé en pérodes de bon fonctonnement et d ndsponblté vor fgure 3. Des pannes arrvent aléatorement, le temps de réparaton de la lgne est également une valeur aléatore.

4 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse planfé T p rep comme sut : Fgure 3: Un exemple du processus de renouvellement Cette modèle permet d estmer le temps total h t de bon fonctonnement de la lgne cumulatve workng tme pour un horzon de planfcaton donné. Pour notre exemple de la fgure 3, le temps total de bon fonctonnement h t = h 1 + h 2 + h 3 pour l horzon de planfcaton t 0. Nous supposons que les dstrbutons de temps entre deux pannes et de temps de réparaton suvent des los exponentelles négatves. En utlsant ce modèle, l est possble de trouver la probablté ph t < t m que h t sot nfereur à une certane valeur t m, s l horzon de planfcaton est égale à t 0. Les explcatons détallées peuvent être trouvées dans Dolgu, 2002, nous donnons c les équatons fnales. Les paramètres suvants sont supposés connus: 1/u q - le temps moyen entre deux pannes sur la machne q, q = 1,..., k ; 1/r q - la durée moyenne d une réparaton de la machne q, q = 1,..., k. Sot U le taux de panne et R le taux de réparaton de la lgne. Pour pouvor consdérer la lgne comme une seule machne, les valeurs U et R peuvent être calculées comme sut: k k 1 U = u q, R = u q /r q U 6 q=1 q=1 Notons, que pour une soluton x = x 1,..., x n donnée, le temps total de fabrcaton T fab est connu et égal à n =1 t x. Alors, l nous faut estmer le temps total de réparaton réel Trep. r Sot Trep p le temps de réparaton planfé, autrement dt, le temps restant pour les réparatons après avor dédut le temps T fab : Trep p = T 0 s j 1, j + +k 1 t j + t j x j 7 Nous pouvons calculer la probablté que le temps de réparaton réel T r rep sot nféreur ou égal au temps p T r rep T p rep T fab = 1 exp { UT fab + RTrep} p UT fab ν ν 1 RT p j rep 8 ν! j! ν=1 3.3 La foncton objectve j=0 Rappelons que le problème à résoudre est le suvant: P x b d π, x Max 9 sous la contrante s j 1, j +k 1 t j + t j x j +Trep r T 0 10 =1 Mantenant nous allons montrer comment calculer la probablté 9 pour une soluton donnée. Rappelons, que x = x 1,..., x n - les talles et π = 1,..., n - la séquence des lots. Sot T + x, π le temps de fabrcaton des pèces des n 1 premers lots n 1 T + π, x = t j x j, 11 et T nr π, x le temps restant pour la producton du derner lot et les réparatons, T nr π, x = Trep p + t n x n = T 0 s j 1, j + k 1 t j + T + π, x, 12 Ensute, nous supposons, que x n = x pos n. Alors, la probablté 9 de satsfare toutes les demandes aura la forme suvante : P n 1 x b j d j π, x = p > dj j x j p > n dn x n, T +, T nr 13 où p > n d n x n, T +, T nr est la probablté d avor au mons d n pèces de bonne qualté dans le derner lot, s l nous reste T nr untés du temps pour fabrquer ce lot et pour les réparatons potentelles. Nous pouvons calculer cette probablté de la manère suvante : p > n dn x n, T +, T nr = x n z=d n p > n d n z p + n z xn, T +, T nr, 14

5 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse où p + n z x n, T +, T nr est la probablté d avor le temps pour fabrquer exactement z pèces de produt n. A son tour, cette probablté peut être calculée comme sut : p + n z xn, T +, T nr = p > n z xn, T +, T nr p > n z + 1 xn, T +, T nr 15 On peut conclure faclement que p > n z xn, T +, T nr = p T r rep T p rep T fab, 16 s z x n, T fab = T + + t n z et T p rep = T nr t n z. 4 UNE METHODE DE RESOLUTION 4.1 Préparatons Pour chaque produt, = 1,..., n nous avons le nveau de servce mnmal souhatable β. Alors, nous pouvons trouver les quanttés mnmales x mn des composants de chaque lot à fabrquer en utlsant la formule suvante : x mn = mn { z p > d z β, z = d, d + 1,...} 17 où x mn est la talle de lot, telle que la probablté de satsfare la demande d est supéreure ou égale à β. Pour calculer la talle maxmale d un lot x max, prenons un ε > 0 relatvement pett. Alors x max = mn { z p > d z 1 ε, z = d, d + 1,...} 18 où x max est la talle de lot, telle que la probablté d avor d pèces de bonne qualté sot proche de 1. Pour avor une borne supéreure plus précse, calculons pour chaque produt, = 1,..., n les valeurs suvantes : x pos = mn { x max, x mn + Trep/t p } 19 Sot X = { x mn, x mn + 1,..., x pos } l ensemble des talles possbles pour le lot, = 1,..., n. Alors, le produt cartésen X = X 1 X 2... X n donne toutes les combnasons des solutons possbles pour les talles de lots. probablté de satsfare la demande. Pour optmser la séquence des lots l faut résoudre le problème suvant : S π = s j 1, j Mn, π Π 20 La mnmsaton de la foncton S π est un problème de recherche de chemn Hamltonen le plus court dans un graphe complet et orenté s la dstance entre les deux sommets du graphe est égale au temps de changement de sére entre deux produts correspondants. Dolgu et al ont montrés, que ce problème est équvalent au problème de Voyageur de commerce. Il y a une grande quantté des travaux tratant de ce problème. Alors nous avons décdé de passer à la résoluton de la deuxème parte du problème - lotssement. Nous supposons, que la séquence de lots π a été trouvée en utlsant une des technques connues. Tous les lots sont numérotés conformément à la séquence trouvée. Alors, mantenant le problème est de maxmser la probablté suvante : P x = n 1 =1 p > d x p > n dn x n, T +, T nr 21 L augmentaton du nombre de pèces dans un lot entrane l augmentaton de la probablté n 1 p> d, x, mas, auss, la dmnuton de la valeur T nr, qu peut fare dmnuer la probablté fnale. Dans la secton suvante nous proposons une méthode pour resoudre la parte lotssement équaton 21 du problème ntal. 4.3 L algorthme génétque Génératon de la populaton ntale Sot T P la talle de la future populaton. En prenant en compte le fat, que nous calculons séparément la talle de derner lot, chaque soluton chromosome est représentée par un tableau de talle n 1, ou chaque élément est la talle de lot correspondante vor la fgure 4, c est un exemple de soluton pour un problème avec n = La décomposton Sot Π l ensemble de toutes les permutatons π sur {1, 2,..., n}, et π, x - la soluton optmale du problème. Notons que la séquence de lots n a d nfluence que sur la valeur T nr, c est-à-dre sur le temps pour la producton du derner lot et des réparatons. L augmentaton du temps total de changement de sére dmnue la valeur T nr, donc dmnue la Fgure 4: Un exemple de soluton Chaque soluton est générée aléatorement en respectant les lmtes x mn et x pos pour la talle de lot. Après avor généré une soluton g = g 1,..., g n 1, nous calculons la valeur T 0 T + g = T 0 n 1 =1 t g,

6 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse laquelle dot être comparée avec T nr pour s assurer, que cette soluton est admssble. Enfn, l y a une comparason avec des solutons déjà générées, pour élmner des doublons La foncton d évaluaton Ftness La deuxème étape de l AG est l évaluaton de toutes les solutons de la populaton. La valeur ftness pour une soluton g est calculée en utlsant les équatons des secton 3.2 et 3.3 : fg = n 1 p d g p > n Le crosement dn x pos n, T + g, T nr g 22 Quand une populaton est évaluée, l opératon de crosement s effectue de la manère suvante : les couples de parents se forment aléatorement à partr de toute la populaton. La probablté de crosement quand deux enfants vont être créés pour une pare des parents donnée est égale à 0.8. Nous utlsons l opératon de crosement suvante: 1. Sélectonner deux parents : g p1 et g p2 ; 2. Chosr le parent avec la valeur de foncton ftness la plus élevée,.e. ensute nous supposons que f g p1 f g p2 ; 3. Générer le nombre NomCr entre 1 et n 1, où NomCr est la quantté de gènes que nous allons changer pour obtenr des nouvelles solutons; 4. Générer les NomCr postons qu vont être changées; 5. Procéder de la manère suvante: s le gène n est pas parm ceux qu l faut changer, alors g e1 = g e2 = g p1, snon est un gène à modfer calculer la dfférence dff = g p1 g p2 et: S dff = 0, alors g e1 = g e2 = g p1 ; Snon générer une valeur aléatore ch entre 1 et dff ch = 1 s dff = 1 et s g p1 snon g e1 s g p1 snon g e2 +ch < x max = x max ; ch > x mn = x mn L opératon de mutaton, alors g e1, alors g e2 = g p1 +ch; = g p1 ch; Pour pouvor dversfer les solutons, nous utlsons l opératon de mutaton pour l ensemble des enfants créés en dernère génératon. La probablté de mutaton est égale à Pour fare muter un chromosome g = g 1,..., g n 1 l faut effectuer les pas suvants : 1. Générer une valeur m [1,..., n 1] qu donne le numéro du gène qu va muter pour une soluton donnée ; 2. Générer la valeur v m { 2, 1, 1, 2}, laquelle va être ajouter a g m. 3. Calculer la valeur g m = g m + v m ; 4. Vérfer: s g m > x pos m, alors g m = x pos m ; s g m < x mn m, alors g m = x mn m. Modfer le gène m de la soluton g. A cet étape, l faut évaluer la foncton ftness pour les enfants créés en dernère génératon, trer la populaton, supprmer les doublons s l y en a et, enfn, chosr T P melleures solutons pour fonder la populaton de la prochane génératon La recherche locale La procédure de recherche locale est généralement applquée à la melleure soluton g = g 1,..., g n 1 chromosome avec la valeur de ftness la plus élevée. S la recherche locale a déjà été applquée à la melleure soluton et ne l a pas amélorée, nous chosssons une soluton avec la valeur de foncton ftness la plus élevée parm les autres qu peuvent encore être amelorées. La procédure est la suvante: 1. Construre un ensemble V de solutons-vosnes pour la soluton g, pour cela, pour chaque, = 1,..., n 1 fare: s g < x pos, créer la soluton g 1 = g 1,..., g + 1,..., g n 1, g 1 V ; s g > x mn, créer la soluton g 2 = g 1,..., g 1,..., g n 1, g 2 V ; 2. Calculer la ftness de toutes les solutons de l ensemble V. 3. S l exste une soluton v V : fv > fg, remplacer la soluton g par v. L algorthme s arrête après un certan nombre de génératons. 5 DES RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX Tous les tests ont été fats sur le HP Compaq 7700 IntelR CorelTM2 CPU Gz 1.97Gb de RAM sous Wndows XP. Les données suvantes ont été générées pour chaque nstance du problème :

7 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse N Temps, sec Quantté exacte L erreur moyenne DP GAr RL GAr RL GAr RL Table 1: Comparason des méthodes de résoluton pour des problèmes de pettes talles, n {4, 5, 6, 7, 8, 9} la demande d, = 1,..., n pour des pèces de bonne qualté dans l ntervalle [5, 50] ; le temps moyen entre deux pannes 1/u q pour chaque machne q = 1,..., k dans l ntervalle [300, 500] ; le temps moyen d une réparaton 1/r q pour la machne q = 1,..., k dans [0.3, 1] ; des probabltés d avor une pèce de bonne qualté p, = 1,..., n dans [0.9, 1 ; la probablté de nveau de servce mnmal β, = 1,..., n dans [0.9, 0.95]. L horzon de planfcaton T 0 = 24 heures. Nous consdérons que le temps total de changement de séres est 2 heures. La génératon des temps de fabrcaton t a été effectuée comme sut : nous supposons, que le temps de fabrcaton total Tfab t le temps de chargement nclus est dans l ntervalle [0.6 T 0, 0.7 T 0 ] ; pour obtenr le temps de producton approxmatf pour chaque lot t lot fab, nous dvsons T fab t par le nombre de lots n ; pour obtenr le temps de fabrcaton approxmatf d une pèce t pce pour chaque, = 1,..., n, nous dvsons t lot fab par d + k 1 ; chaque t, = 1,..., n est généré dans [0.5 t pce, 1.5 t pce ]. Une approche exacte exste pour ce problème vor Dolgu, L nconvénent de cette méthode est que le temps de calcul est très élevé. Les resultats pour des problèmes de pettes talles sont présentés dans le tableau 1. La premère colonne content la talle du problème. Ic nous comparons le temps de calculs en secondes colonnes 2-4 et la qualté des solutons obtenus pas tros méthodes : programmaton dynamque PD, approche génétque avec la recherche locale GAr et la procédure de recherche locale RL suvante : Calculer la soluton ntale x nt, où x nt x mn + x pos /2 = Applquer la recherche locale vor jusqu à ce que la soluton s arrête de s amélorer. Chaque résultat est la moyenne de 100 nstances. Les colonnes 5 et 6 montrent le nombre des cas sur 100 où les méthodes approchées obtennent la soluton exacte. La dfférence moyenne entre les solutons exactes et approchées pour les cas quand elles ne sont pas les mêmes est présentée dans les colonnes 7-8. Nous avons lancé 100 nstances pour des problèmes de talles n = {10, 30, 50, 70}: 50 nstances avec la demande d, = 1,..., n dans l ntervalle [5, 50] et 50 avec d [5, 100]. Les tableaux 2 et 3 contennent les résultats des comparasons des temps de calculs et des solutons obtenues par les méthodes utlsées, où: GA - approche génétque; GAr - approche génétque avec la recherche locale secton 4.3.5; RL - recherche locale; RLt - recherche locale avec un temps de calcul lmté par le temps de calcul de GA+RL; La premère colonne content la talle du problème; les colonnes 2, 3 et 4 les temps de calcul pour respectvement l algorthme génétque sans recherche locale, avec RL et RL seule. Remarquons, que le temps de calcul de la recherche locale est plus élevé déjà pour des problèmes avec un nombre de lots égal à 50 s d [5, 50] et à 30 s d [5, 100]. Nous pouvons constater auss que le temps de calcul moyen est plus élevé pour le deuxème groupe d nstances. Les colonnes 5-7 contennent la dfference moyenne entre les solutons probablté fnale dans le cas où ces solutons sont dfférentes. Les colonnes 8 et 9 montrent le nombre de cas sur 50 où l approche génétque obtent une soluton melleure que les solutons obtenues par recherche locale et recherche locale avec temps de calcul lmté. Pour des probèmes de talle mportante GAr trouve sa melleure soluton plus vte que RL.

8 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse N Temps de calculs, sec Dfference moyenne Quantté exacte GA GAr RL GAr-GA GAr-RL GAr-RLt GAr-RL GAr-RLt E Table 2: Comparason de l algorthme génétque et de la recherche locale, n {10, 30, 50, 70} et d [5, 100] N Temps de calculs, sec Dfference moyenne Quantté exacte GA GAr RL GAr-GA GAr-RL GAr-RLt GAr-LR GAr-RLt Table 3: Comparason de l algorthme génétque et de la recherche locale, n {10, 30, 50, 70} et d [5, 100] 6 CONCLUSIONS Un problème de lotssement et de séquencement sous aléas a été examné. Des rendements aléatores et des pannes machnes ont été prs en compte. La lgne de producton trate des produts de n types dfférents et content k machnes placées en séquence. Le but a été de trouver la séquence et les talles de lots, afn de maxmser la probablté de produre les quanttés nécessares pour tous les produts pour une date donnée un horzon fxé. Nous avons montré que les décsons de lotssement et de séquencent peuvent être prses séparément. Le problème de recherche du séquencement optmal est équvalent au problème du voyageur de commerce. Pour résoudre la parte lotssement du problème, nous avons proposé un algorthme génétque. Dans la dernère secton, des résultats expérmentaux ont été présentés. REFERENCES Allahverd A., and J. N. D. Gupta, A revew of schedulng research nvolvng setup consderatons. Internatonal Journal of Management Scence, 27, p Allahverd A. et J. Mttenthal, Schedulng on a two-machne flowshop subject to random breakdowns wth a makespan objectve functon European Journal of Operatonal Research, 81, p Allahverd A., C.T. Ng, T.C.E. Cheng and M.Y. Kovalyov, A survey of schedulng problems wth setup tmes or costs. European Journal of Operatonal Research, 187, p Chakraborty T., B.C. Gr et K.S. Chaudhur, Producton lot szng wth process deteroraton and machne breakdown. European Journal of Operatonal Research, 185, p Dolgu A., Performance analyss model for systems descrbed by renewal process. Engneerng Smulaton Electronc Modelng, vol. 242, p Dolgu A., M. Y. Kovalyov et K. Shchamalova, Mult-product lot-szng and sequencng on a sngle mperfect machne. In Le Th HA, Bouvry P and T Pham Dnh EdsModellng, Computaton and Optmzaton n Informaton Systems and Management Scences, MCO 2008, Communcatons n Computer and Informaton Scence, 14, p Sprnger-Verlag. Dolgu A., G. Levn et M.-A. Louly, Decomposton approach for a problem of lot-szng and sequencng under uncertantes. Internatonal Journal of Computer Intergrated Manufacturng, 185, p Dolgu A. and C. Prodhon, Supply plannng under uncertantes n MRP envronments: A state of art. Annual Revews n Control, 31, p Emmons H. and K. Mathur, Lot-szng n a no wat flow shop. Operatons research letters, 17, p Gary C. Ln et Dah-Chuan Gong, On a producton-nventory system of détéroratng tems subject to random machne breakdowns wth a fxed repar tme. Mathematcal and Computer Modellng, 43, p Gerchak Y, Y. Wang et C.A. Yano, Lot szng n assembly systems wth random yelds. IIE Transactons, 262, p Gurnan H. and Y. Gerchak, Coordnaton n decentralzed assembly systems wth uncertan component yelds. European Journal of Operatonal Research, 176, p

9 MOSIM au 12 ma Hammamet - Tunse Guu S. M. et F. R. Lou, An algorthm for the multple lot szng problem wth rgd demand and nterrupted geometrc yeld. Journal of mathematcal analyss and applcatons, 234, p Guu S. M. et A. X. Zhang, The fnte multple lot szng problem wth nterrupted geometrc yeld and holdng costs. European Journal of Operatonal Research, 145, p Yao D. D., Optmal Run Quanttes for an Assembly System wth Random Yelds, IIE Transactons, 204, p Zhang A. X. et S. M. Guu, Propertes of the multple lot-szng problem wth rgd demands and general yeld dstrbutons. Computers and Mathematcs wth Applcatons, 335, p Haj R, A. Haj, M. Sajadfar et S. Zolfaghar, Lot szng wth non-zero setup tmes for rework. Journal of Systems Scence and Systems Engneerng, 172, p Lee I., R. Skora and M. J. Shaw, A genetc algorthm-based approach to flexble flowlne schedulng wth varable lot szes. IEEE Transactons on Systems Man and Cybernetcs, 27, p Louly M.-A. and A. Dolgu, The MPS parameterzaton under lead tme uncertanty. Internatonal Journal of Producton Economcs, 90, p Louly M.-A. and A. Dolgu, Calculatng safety stocks for assembly systems wth random component procurement lead tmes: A branch and bound algorthm. European Journal of Operatonal Research, vol. 1993, p Molnder A., Jont optmzaton of lot-szes, safety stocks and safety lead tmes n an MRP system. Internatonal Journal of Producton Research, 354, p Potts C. N. and M.Y. Kovalyov, Schedulng wth batchng: A revew. European Journal of Operatonal Research, 120, p Sngh M. R., C. T. Abraham CT et R. Akella, Plannng producton of a set of components when yeld s random. In: Electronc Manufacturng Technology Symposum, Desgn-to-Manufacturng Transfer Cycle. Ffth IEEE/CHMT Internatonal, p Teunter R. H. et S. D. P. Flapper, Lot-szng for a sngle-stage sngle product producton system wth rework of pershable producton defectves. OR Spectrum, 25, p Wang Chu S., Robust plannng n optmzaton for producton system subject to random machne breakdown and falure n rework. Computers and Operatons Research, n Press. Yano C. A. et H. L. Lee, Lot szng wth random yelds: A revew. Operatons research, 432, p

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